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der
Mathematik und Physik
mit besonderer Rücksicht
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auf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren
Unterrichteanst alten.
H erausgegeben
von
Johann August Gvunert*
Professor n fireifiwtli
Dreissigster Theil.
Mit acht lithograuhirten Tafeln.
Greifswald.
C. A. Koch's Verlagsbuchhandlung,
Th. Kunike.
1858.
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IiihaltsverzeichniBft des dreiisigstaii Thdku
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Arithmetik.
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«ndlnng. Heft, Seit*.
IV. Ueber dl« Auflösung der Gleichungen durch Nähe-
rung. Von dem Herauegeber I. 64
VI. Note bot Integration der linearen Differential-
gleichang
$<»> ss iir"1^" + Bx—ly* + 0*"-»y.
Von Herrn Simon Spitier, Professor ander
Handelt- Akademie an Wien I. 7«
VII. . Entwickelang des /*ten Differentialqaotienten Ton
y = €***. Von Herrn Simon Spitser, Pro-
fesser an der Handels -Akademie an Wien . I. 79
Vlll. Darstellung des unendlichen Kettenbrnchs
x + j
X+1+ 1
in geschlossener Form; nebst anderen Bemer-
kungen. Von Herrn Simon Spitier, Profes-
sor an der Handels- Akademie in Wien . . I. 81
IX. Bemerkung inr Integration der Gleichung
x^dx + Xfj&Xi -f- x^dx^ + xdx^ = 0.
Von Herrn Simon Spitier, Professor an der
Handels -Akademie in Wien ....... I. ftS
TV 11. Ueber eine von transcendenten Operationen nicht
abhängende Formel inr Auflösung des irredu-
ciblen Falls bei den cublschen Gleichungen, Von
dem Herausgeber ..••...... II. 186
XIX. Ueber einen Sats von ganaen Zahlen. Von Herrn
Doctor Du rege in Zürich IL 168
XX. Beweis des von Schlömilch Archiv Bd. XII.
No. XXXV. aufgestellten Lehrsatses ; — über die
Ableitung des D? "«rcnttals von log FX\ und —
11
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llgemeiiie Aufgabe über di
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Seite.
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Abel. Von Herrn Hnfrath llr.
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Heber den Werlh des Integrals /
"■'"- — dx
wenn ff
und n poaitire ganze Zahlen
sind «1
Dr. F.
Oder m = » Ut. Von Herrn
rlinding an der Universität zi
Professor
D o r ji a t
II.
IT
XXV.
Sehr ,■
i fache Bestimmung einen brannten In-
tegrah
V<m Herrn Friedrich Gm
sc, Kan-
didntcti
der Math eoi ali It zu Greifs«
ald . .
IL
2s»
XXV.
Zwei ganze Zahlen zu finden, deren
Quotient
«der Vf
rhnitnis* ihrer Differenz gleich
ist. Vou
XXV.
ßerich
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gang zu der Abhandlung Th
VI.Nr.l.
Von de
331
XXV.
lieber
ii: Kinrichtnng der Gaum'ich
en Tafelo
Hl Berechnung der Logarithmen dt
oder Differenz zweier Zahlen, die ni
r Summe
ht selbst.
mindern
nur dureh ihre Logarithmen
gegeben
sind.
o» dem Herausgeber. .
t . . .
11.
83»
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Heber
Prnfess
inige lieitimmte Integrale.
lr Dr. J. Uienger an der |>
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sehen Schule in Carleruhe . .
III.
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XXX.
Heber 7
der Qu
auf die
wei besondere Methoden der A
dratwurzel, mit besonderer
Vertuende de« italienischen il
iszichnng
lücksicht
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LlTb P
etro Antonio Cataldi, wahrsrhein-
lieh de
ii ersten Erfinders der Keltenhrüche.
111.
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l'inti'gratlon des cquutiont differen [teile*
1. *•(*
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= 6a*dx* ,
II.
tr*ff + —t<ix*=n.
III.
IV.
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= 0,
III .
Ar. der
Alataaetag« Heft. Seite*,
Pf mm%4w*fcM*h&*+*9mlmM*y:A*mimw4>: , ,
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XltKlY. Darstellung des jinen^iicjiea Kettenbruche* •
te-fl-f J ^ i : 1 • '
t • ja? +8 -f- — » — ■ ■ ...
in geschlossener Form. Von Herrn Simon
Spitzer, Professor an der Mandel« -Akademie
in Wfen HI. 391
XlXV. Integration der partielMh Differentialgleichung
&*% Ä d*%
dt* dx*
Von Herrn' Simon Spitzer, Professor an der
Handels -Akademie zu Wien . . . . . Hl. *35
XXXVI. Leichte £anz elementare Snmmirong einiger
Reihen und daraus abgeleiteter einfacher Beweis
des binomischen Lehrsatzes für negative ganze ^
Exponenten, zur Aufnahme in den mathematischen
Schulunterricht, öder tranigsten« znr Benutzung '
bei demselben. Von dem Herausgeber . • Hf. 336
XXXIX. Beweis des Fermat'tchen Satzes von den Prim-
zahlen nach Caiiehy. Ton dem Herausgeh er Hf . 357
ÄU. Einfache Herleitung des G a n s s ' sehen Ausdruck*
fn> i"ty). Von Herrn Dr. Zehfnss, Lehrer '
der Mathematik und höheren Mechanik an der'
höheren Gewerbeschule so Därmstadt. . • IV. 441
XLIIL Von dar Auflösbarkeit der ganzen rationalen *
Funktionen Uten Grades* In Paktoren. Von Herrn :
Dr. Aza Ende zu Langensalza IV. 44:1
XLV. Verschiedene Sätze und Resultate. Von Herrn
Dr. Zehfuss, Lehrer der Mathematik und hohe»
rea Mechanik an der höheren Gewerbeschule zu
Darmstadt • . . IV. 465
9 • * i
Geometrie.
II. Ueber den Flächeninhalt in oder um eine Ellipse
beschriebener Dreiecke und Vierecke» Von dem
Herausgeber • . . . . I. II
X. Merkwürdige Constraction des grössten in » und
IV
Nr. der
Abhandlung.
lieft.
Seite
da* kleinsten um eine Ellipae beschriebenen Viel-
■cki von gegebener Seitenzahl, Von dem Her*
auageber
M
XII.
Der Satz von Cotei, auf die Ellipie erweitert.
104
xin.
Der Satz des Ftolema.ua, auf die Ellipae er-
1,
10»
XIV.
. Bein geometrische Auflösung der Aufgabe van der
Dreiteilung de» Winkel». Von Herrn J. Tietx,
Gymnasiallehrer zu Itotiitz in Weatpreiisaca
I.
114
XV.
Ueber den körperlichen Inhalt achief ubge-
«chnittencr dreiseiliger Prismen. Von dem
US
XV.
Demonstratio theoremutis Fermatii. (Vld. Ton.
XXVII. p. 116.) Auct. D™, Chriatiano Fr.
120
XVI.
Die orthogonale Transversale und die Breun-
linie der zu rück geworfenen Strahlen für die ge-
meine Cycloide , wenn die einfallenden Strahlen
der Axe derselben parallel sind , und für die
logarithmUche Spirale, wenn die einfallenden
Strahlen vom Fol derselben ausgehen. Von
Herrn Friedrieh Gans«, Candidaten der
191
XXII.
Methode nnuvelle de discussion des liguea et
■ orfacea du aeennd ordre- (Methode des aecliona
plnnea.). ParMonaieurGeorge» Doator, Doo-
tcur £» sciencea mathematiques, Membre de la
Society des Scienees et Arls de I'lle de la
Beuninn (Mer dea ln<loa) a Saint-Denis
1t»
XXIII.
Methode rapide pour cerire les equatinns aui nies
dea lignes et mirFaoea du seennd ordre. Pur Mnn-
«ifiic Georges Uuatnr, Dortenr e* seiendes
mntheuiatiqiie*, Membre i'r la Snciete des Seien-
eea ei An« de l'Ite do la Beuninn (Her
des Indes) aSaint-llenia de UReiinion
11.
202
XXIV.
.Venu Methode die Ellipse zu reclifieiren. Von
Hl
VI
mg. • Iloft. Soll*.
»Ken KiveliiriingsBi'heUea im« fielt ln«*eii. V«
■lein tlera.i.^rlicr IV. 453
11. (Jeher den Fläch en Inhalt elliptischer Seetoren,
die ihreSpitie iin Mittelpunkte derJGIlipse hüben.
Von dorn Herausgebe« IV. 47ä
II. Aiaehirag and Bericiitigwng au der Abhandlung:
lieber die Bestimmung der Direotrixen, Brenn-
punkte und Charakteristiken oiler Determinan-
ten der Linien des nn'iim Grades im Allge-
meinen in ThI. XXV. Nr. XXII. Von dem Her-
iQ.gebtr , , IV. 474
II. Schreiben de« Herrn Professor Dr. K .""■ n i g am
KneiphÖBseheu Gvinnasio zu K ünigsberg i.Pr,
Hn den Herausgeber über einen einfachen Be-
weis des in Heftlll.S. 355. bewiesenen geome-
trischen Lehrsatz . > IV. 4TS
Trigonometrie.
XVIII, Ableitung der Grund form ein der Trigonometrie
in vüllig allgemeiner Gültigkeit an« den Elemen-
ten der Onrdinatenlebre. Von Herrn Professor
Dr. v..ii Riese n» der Universität in Bonn . II. I«
XXXIX. Ueber die Genauigkeit, mit welcher man statt
der Tangente oder des Sinn« den Bogen oder
Winkel setzen darf. Auszog aus einem Briefe
an den Herausgeber von Herrn Professor Dr.
Wolfers in Berlin 111 359
XI. VI. Kegle mnemuniquet jiour ecrire le« fnrmules
de Delambre. I'sir Monsieur George* Do-
st or. Oneteur 6t «ciences mnlhemalinues. Mern-
bre de 1a Sociale des Sciences et Art« de l'Ile
de Ib B-hinion (Mer deslnde») ä Saint-
Denia de la Reunion IV. 467
■
Praktische Geometrie.
XLIV. Nene merkwürdige Formel für den körperlichen
Inhalt schief abgeschnittener Prismen, mit be-
sonderer Rücksicht anf die wichtigen Anwen-
dungen , welche «ich von derselben zur Reroch-
VII
!\r. der
abhandln»*. Heft MM».
«nmar der ^fittratrtjadcni bb*V BtiBHafliBBtea ••
• Erdkörper bei 1ftsenb*Ji*fca4itew, W»««staitiftig«ti
mmi alle* MiYeJlinijg§tB£fceilen> inaehea %•§«»•
Tob dem Heransgeber. • IV, 453
Optik.
(S. Geometrie Kr. XVI. Heft IL & 121. und Phj-
«ik Nr. XI. Heft I. S. 92.)
Physik.
I. Ueber die gepmejritehen.Ei^easchaftaB der §tb-
▼itan acceleratrix Newton'« und ihre Conse-
. qqcnzrn für die Atomenlehre. Von Herrn Poctor * *
Fr. W $• Gensle*. Pastor in Grostmölten
. im Grossheraogtheme .Sachsen- Weimar . • Jn 1
V. Vergleichqng der drei Somme/ toq 1842, 1846
und 1867 in Berlin. Von Herrn Professor Dr.
,, ,',» 4« e^.,Wolf«ra^a Berlin ^ • - . * . . 1 • 73
"XL Zur Theorie der UeiigungserotmefnBBgen. 'Ve*V -» ••
Herrn Dr. Z e h f n ss , provisorischem Lehrer der
Mathematik und höheren Mechanik an der höhe-
ren Gewerbeschule zu Darmstadt . . . . I. 93
XXIX. Da« mechanische Aequiyalent der Warme und
•eine Bedeutung in jlej^aJlBrwissenschaffcen. Ein
Vortrag gehalten bei der feierlichen Sittung der
knittert. Akademie der Wissenech. (an Wien) am
30. Mai 1866 vom Präsidenten der Akademie Herrn
Dr. Andreas Freifeerrn Ton Batimgartner
ku Wien TU. 261
Geschichte derTMathematik und Physik.
Ifl. Au ^ustin Louis Clinch}'. (Extraitw d'une
lettre de M. Biot a M. de Fa^loux.) ... 1. ^6
Uebungsaufgaben für Schiller.
XL VII. Wie beweist man, da«*
/
\r(*)Bx ss 1 Vi* +plp-p*
p
Von Herrn Dr. Zehfns'« m Darmstadt . . IV. 46Ö
VIII
Kr. der
Abhandlung. . Heft. Seitr.
XLV1I. Geometrisch* Aufgabe yob Her rar Otto Böklen
sa Sulm a. N. in War temberg . .. . . . . • IV. 469
XLVII. Auflösung der1 drei Gleichungen ' '
t
(a- x)(b— y) = z,
(fli-aK*!— y) = i,
(flt-Ä)(6a-y) = i.
Von dem Herausgeber IV. 470
Literarische Berichte *).
CXVII I. 1
CXVIII. i ■♦■ IT. 1
CXI*. . III. I
CXX IV. 1
. — . . •
*) Jede einreiße Nummer der Literarischen Berichte ist für sieh be-
sonder» paginirt Ton Seite i in.
Ueber die geometrischen Eigenschaften der gravitas
aceeleratnx Newton'» und ihre Gonsequenzen fiir
die Atomenlehre.
Herrn Doctor Fr. W. K. Gensler,
wtor «n Groaimolseu im Gnxshrriogthume Sachlen-We
Newton schloss
Planelenbewegung, da
Massen zu einem und
kehrten Verhältnisse il
centrum stehe. Denkt
mit beliebigen Halb
die Schwere für jed'
materiellen Punkt die!
uf
§. I.
is den Keppler'schen Gesetzen der
die Schivcre, mit welcher verschiedene
nselben Centralkorper streben, im umge-
■ quadrirten Abstände vom Gravltatio
in sich also um das Gravitatimisccutrum
Kugelflächen beschrieben, ft> bleibt
einer dieser KugeHlächen liegenden
elbe, und rindert sieh nur van einer Kugel-
fläche zur andern; eine Eigenschaft, welche eine naturgesetzliche
Abhängigkeit der Schwere von der Ausbreitung des Kauines um das
Gravitalionscentrum anzeigt. Diese rein -genmetrische Bedingtheit
der Schwere, welche Newton in der defin. VIII. seinei
phil. riiitur, mit den Worten: ,,vim acceleratricem ad loeum cor-
poris (licet referre) tanquam eflieacinm quandam de centro per
loca singula in cireuitu diffusnm ad mnvenda Corpora, quae in
ipsis sunt" andeutet, theilt der Schwere Eigenschaften mit, die
«ine besondere Betrachtung verdienen, indem sie namentlich auf
die Berechtigung der atomistischen Theorie der Kürper ein uner-
wartetes Licht werfen.
Um aber der Betrachtung der geometrischen Ei gen sc haften
der Schwere die nüthige Schärfe zu geben, erscbeint.es zweck-
Th*U XXX. 1
2 Centler; Ueher die geometriichen Eigenschaften der gratitat
massig, den Begriff einer Schwerecapacität eines Raumes
einzuführen, so dass unter der Schwerecapacität eines Raumthei-
les die Quantität der Schwere oder die Summe aller Sollicitatio-
verstanden wird, welche demselben vermöge einer darauf
bezogenen Centralmasse zukommt, sobald derselbe von wägbarer
Materie lückenlos erfüllt ist. Der Begriff der Schwerecapacität
eines Raumtheiles geht daher sofort in den Begriff der in diesem
Raumtheile wirklich thätigen Schwere über, wenn derselbe mit
schwerer Materie wirklich erfüllt gedacht wird.
Die Continuität der mathematischen Theorie bringt es übri-
gens mit sich, dass man nicht bloss die Schwerecapacität von
Raarotheilen, sondern auch von Flächen, Linien und Punkten zu
berücksichtigen hat, wie ja auch die Statik ihre Theorie nicht
auf schwere Körper beschränkt, sondern dieselbe auch auf seh'
Flächen, Linien und Punkte erstreckt.
Uro die Schwerecapacität eines Raumtheils oder Volumens
der Rechnung zu unterwerfen, kann man die Summe der in allen
Punkten möglichen Sollicitationen der Schwere mit der Quantität
einer Flüssigkeit vergleichen, deren Dichtigkeit sich von Punkt zu
Punkt nach demselben Gesetze ändert, wie die Intensität der
Sollicitationen der Schwere.
Ist also k die Schwerecapacität eines Punktes, welche nach
gegebenen Bedingungen veränderlich und als das Element der
Schwerecapacität des ganzen Volumens gedacht werden soll; ist
femer K die gesuchte Schwerecapacität des ganzen Volumen«
und v das Volumen seihst, so hat man
K = gfB'„. (1)
Bedenkt man nun, dass die Schwerecapacität aller Punkte, welche
auf derselben Kugelfläche liegen, für alle gleich sein soll, so bie-
tet sich zur Integration von (I) ein System von Polarcoordinaten
dar, deren Pol mit dem Gravitationscentrum zusammenfällt. Ist
daher & der Winkel, welchen der radius vector r mit der Axe
der x, und ifi der Winkel, welchen die durch deo radius vector
und die Aie der x gelegte Ebene mit der Ebene der Axen der
X und y macht, so bat man bekanntlich
hH = r*nm&drd&dil>. (2)
Nimmt man nun mit Newton an, dass die Veränderlichkeit von
k, so weit sie sich auf ein und dasselbe Gravitalionscentrunt be-
sieht, durch die Relatioo
acctUratrix Newton* t u^fhre Con9eque*%en für die Atomeukkre. %
worin g die Schwerecapacität eines Punktes in der Einheit der
Entfernung vom Gravitationscentrum ist, vollständig gegebeu sei,
so wird
K = gßfs\ü&Brd&dil>. (3)
Soll beispielsweise die Schwerecapacität einer Kugel
vom Radius r, deren Mittelpunkt mit dem Gravitationscentrum
zusammenfallt, gefunden werden, so ergiebt sich aus (3), weil
fdr von den Winkeln $ und ip unabhängig ist,
K=zgr.ff&\T\&fädH>.
Dieses Integral von # = 0 bis &=7t und dann von tf/ = 0 bis
^ = 2» erstreckt, giebt dann als Schwerecapacität der Kugel:
K = i7cgr. (4)
Die Schwerecapacität einer Kugel, deren Mittelpunkt das
Gravitationscentrum darstellt, steht also im geraden einfachen
Verhältnisse ihres Radius oder der Kubikwurzel ihres Inhaltes.
§. 3.
Die Schwerecapacität eines Volumens v, dessen Ausdehnung
in der Richtung der Gravitation im Verhältnisse zu seinem mitt-
leren Abstände r vom Gravitationscentrum för unbeträchtlich gel-
ten darf, so dass die Schwere innerhalb dieses Volumens för
constant genommen wird, ist dem Volumen e einfach proportional.
Denn unter diesen Bedingungen ist A=^ constant, also aus (1):
K-kv. (5)
§• 4.
Die Geschwindigkeiten c, c', welche zwei Schwerecapacitftte«
(oder die ihnen entsprechenden wirklichen Schwerequantitäten)
k, h> von konstanter Intensität den Massen m, m' , deren absch-
rote Dichtigkeiten ij, d! und deren Volumina v> t>' sind, mitte-
len, sind
/'
4 Gensltr: VebeT die geomelrUchen Steemchaften der gravitns
Es verhält steh nämlich die .Summe der in einer lückenlosen
Masse möglichen Sollicitationen der Schwere hei innerhalb des
Volumens constanter Intensität der Schwere wie das Product der
Constanten Schwerecapacitfit eines Punktes in das Volumen der
Masse (§. 3.); die auf die Massen m, m' wirkenden Schwerkräfte
sind also kv und £V. Es verhalten sich aber die von zwei Kräf-
ten in gleichen Zeiten erzeugten Geschwindigkeiten zweier Mas-
sen gerade wie die Kräfte und umgekehrt wie die bewegten Mas-
sen (Euler, Median. Pctersb. 1755. lom.I. prop. 16. coroll.2.
S. 55.). Daher ist
, kv «V
P)
oder, insofern m — vd,
Zusatz I. Aus (6) erglebt sich als Verhältnissgleichung der
Seh w er eeapaci täten und daher der Schwerekräfte selbst:
daher hei gleicher absoluter Dichtigkeit der bewegten Massen:
k-.k' = c:c: (9)
Also nur dann, wenn zwei von der Schwere bewegte Massen
gleiche absolute Dichtigkeiten haben, verhalten sich die treiben-
den Schwerkräfte wie die in gleichen Zeiten erzeugten Geschwin-
digkeiten.
Zusata 2. Das Coroilar. 6. zur lex. III; in Newton'« Princ.
phil. natur. gilt also nur bei gleichen absoluten Dichtigkeiten der
bewegten Massen; dazu ist noch Folgendes zu bemerken:
Newton unterschied bekanntlich die Schwere nach drei Ge-
sichtspunkte n der theoretischen Betrachtung in die gravitas abso-
luta, inolrix und acceleratrix. Mit der gravitas absoluta bezeichnet
er die Intensität der Schwere, sofern sie von der Masse des
Centralkürpers bedingt ist; mit der gravitas motrix das mechanische
Moment der durch die Schwere bewegten Masse oder auch das
Gewicht derselben; mit der gravitas acceleratrix den Quotienten
ans der von der Schwere bewegten Masse in das mechanische
Moment derselben, oder in die gravitas motriz.
Demgemäss schliesst Newton bei der Betrachtung der gra-
vitas -acceleratrix sowohl die Rucksicht auf die Masse des Gra-
vitationsceDtrums , als des von der Schwere bewegten Körpers
acceleratrix Newton * u. ihre Conseguenten für die Atomenlehre. 5
aas, und macht also ausschliesslich die rein- geometrischen
Eigenschaften der Schwereerscbeinungen zum Gegenstande seiner
Theorie der gravitas acceleratrix, was er in der unter §. 1. ange-
führten Stelle auch ausdrücklich zu erkennen giebt.
Es scheint daher die Theorie der Schwerecapacität mit der
Newton'schen Lehre von der gravitas acceleratrix ganz zusam-
menzufallen, nnd in der That würde es so sein, trenn Newton
diese räumliche Bedingtheit der Schwere, wie sie das Gesetz
k= -j anzeigt, wirklich zum Entwickelungsprincip der vis acce-
leratrix gemacht hätte. Allein Newton hat sich darauf beschränkt,
eine durch lnduction gewonnene Thatsache, nämlich die Gleich-
heit der in gleichen Fallzeiten erzeugten Geschwindigkeiten schwe-
rer Massen, die sich in gleichem Abstände von einem und dem-
selben Gravitationscentrum befinden, zum wesentlichen Merkmale
seiner gravitas acceleratrix zu machen und mittelst dieses Merk-
males allein die Rechnung einzurichten ; so setzt er in der defin. VI.
Princ. jiliil. natur. fest: „Vis centripetae quantitas acceleratrix est
ipsius mensura velocitati prnportionalis, quam dato tempore gene-
rat." Diese empirische Regel gilt aber nur für einen besonderen
Fall des aus den räumlichen Eigenschaften der Schwere fliessen-
den allgemeinem Gesetzes, welches in §. 4. unter (4) dargestellt
ist, nämlich nur dann, wenn die Massen gleiche absolute Dichtig-
keiten haben, wie sich unter (9) eTgiebt, so dass die Schwere-
capacität eine etwas allgemeinere Bedeutung hat, als die vis
acceleratrix Newton's.
Die Beschränkung aber, in welcher Newton die Theorie der
gravitas acceleratrix aufgefasst hat, musste die principielle Ent-
wickelung derselben wesentlich hindern , und ist späterhin die
Veranlassung zu mancherlei Unklarheiten geworden. Schon die
ersten Commentatoren Newton's, Lesueur und Jacquier,
verwischten den rein -geometrischen Charakter der gravitas acce-
leratrix, und fassten sie als die Einheit der vis motrix (Princ.
pliil. nat. perpet. commeut. Illustr. Lesueur et Jacquier.
t o m. I. n o 1. 15.), wozu wohl die analytische Darstellung, vermöge deren
z.B. Her mann in seiner Phoronom ie (Amsterdam 1716. g. 143.
S. 63.) die beschleunigende Kraft aus der bewegenden herleitet
(indem er in 3/ = die Masse in der Einheit gleich setzt), Ver-
anlassung gegeben haben mag; ebenso definiren Kästner (An-
fangsgründe der hohem Mechanik, erster Abschnitt,
Ctp.3. §.49.), Poisson (Tratte de Mecauique, tum 11.
livr. 111. §. 316.) und mehrere Andere. Aber auch die grossen
Gentter: lieber die geometrischen Eigenschaften der
ffreviteM
der gravitaa
Mathematiker , die der Ne wton'schen Auffassung der
acceleratrix treuer blieben, wie Leonhard Euler, der nur den
Namen änderte (Mechanica, tom. 1. §. 203.), d'Alembert, der
das Element der Geschwindigkeit an die Stelle der Geschwin-
digkeit seihst setzte (Dy naniique, part, I. §.22.). ferner La-
grange, Laplace u. A. haben gegen die geometrischen Eigen-
schaften der Schwere gefehlt, indem sie voraussetzten, dass die
letzten Elemente der Körper von verschiedener Dichtigkeit sein
konnten, was bei der Abhängigkeit des Gesetzes (9) in §. 4. von
dem unter (8) dargestellten durchaus unstatthaft ist und auch der
ausdrücklichen Annahme Newtons (Princ. ph. nat. lib. III.
prop. 6. coroll. 3.) widerstreitet. So schreibt Leonhard Euler
tu der Median, tom. I. cap. 2. f. 139. schol.: „Puncta vero ea
inter se aequalia censeri dehent, non quae aeque sunt parva, sed
in quae eadem potontia aequnles exerit effeclus", und Laplace
in der Mecanique cel. pari. I. üvr. 1. chap. 3. §. 13. sagt ganz
ähnlich: „Ce que nous verions de dire suppose que les Corps
so:it coniposes de points materiels semhlnbles, .... Mais 11 est
possible, qu'il y ait des differences essentielles entre leurs niole-
culea integrantes. Heureusement on peut sans craindre aueune
erreur en faire usage, pourvu que par points materiels seuiblable«
on entende des points qui se choquant avec des vitesses egales
et contraires se fönt mutuellcment l'equilibre, que soit leur nature,"
Ueberdies hat die Vier hervortretende theoretische Gleich-
stellung von materiellen Punkten und den Massentheilchen der
Körper ohne Zweifel vorzüglich mit dazu beigetragen, die Einsicht
in die Bildung der Massen aus ihren Elementen zu verdunkeln.
Die materiellen Punkte haben, als Differentiale der Massen be-
trachtet, vermöge der mathematischen Continuität ihre gute theo-
retische Bedeutung; sie führen aber vom einfachen Element zum
Ganzen nicht durch Aggregirung der Elemente, sondern durch
eine genetische, lückenlose Construction; in der Form des Calcüls,
also nicht durch Adilition der Elemente, sondern durch Integration,
die nur bildlicher Wrüse als Summirung bezeichnet werden kann.
Die Physik aber, soweit sie die Veränderungen in der Gestalt der
Massen begreiflich machen wiH, kann ihr Geschält mittelst ent-
sprechender Anordnung der Massentheilchen ausfuhren und bedarf
nicht einer eigen tiiüinlicben Construction, vermöge deren Theile
einer Masse aus einem der Materie ungleichartigen Etwas so er-
xengt werden mössten, wie aus einem bewegten Punkte ein he-
g'vu/ler geometrischer Körper hervorgehen kann. Sie kann eich
d.ih«r, wenn sie nicht ohne alle Veranlassung transcendent wer-
den will, des Begriffes eines materiellen Punktes nur als einer
wissenschaftlichen Hilfsvorstellung bedienen, die im Gebiete ge-
aceeteratrix Newton'* u. thre Comequetnen für die Atomenlehrt. 1
ii'isser geistiger Operationen ihr gesundes Leben und ihre reale
Bedeutung hat; ist aher iveder gen (»h igt, noch veranlasst, dem-
selben einen physisch-realen oder empirischen Werth beizulegen.
Das bann der Physiker nicht fest genug im Auge behalten, wenn
er den seit Loibnitz so oft niederholten Ansprüchen einer so-
genannten dynamischen Naturphilosophie begegnet, welche die auf
induetivem Grunde ruhende, sicher und rastlos fortschreitende
Physik in die Schicksale der immernoch streitenden Philosophen-
schulen zu verflechten versucht.
8.5.
Nach Newton's vielfach bestätigten und erweiterten Unter-
suchungen der planetarischen und der Pendelben egung sind die
Fallgeschwindigkeiten aller Körper im leeren Räume nach gleichen
Fallzeiten und in gleichen Entfernungen von einem und demselben
Gravitationscentrum gleich gross; desgleichen verhalten sich die
Massen aller Körper wie ihre Gewichte. (Princ. ph. nat. üb. II.
prop.24. u. lib.lll. prop. 6. — Bessel: Untersuchungen über
die Länge des Secundenpendels in den Schriften der
Berliner Akademie der Wissenschaften für 1830.)
Für gleiche Entfernungen von einem und demselben Gravi
tionscentrum folgt also vermöge der eben angeführten Newton-
scheu Induktionen aus §.4. No. (6): c:c' = j:7T" *'a6S c=c'>
also auch
der t = k
eine Bedingung, die dadurch erfüllt
und zugleich d J
genommen wird, odi
k:k, = d:dl
(10)
rri, dass entwe-
i dass allgemein
Est, Im letztern Falle würde hei n fach er Dichtigkeit einer lücken-
losen Masse auch ihre Seh« erecapacitat die »fache von der Schwere-
cnpncität eines Körpers von gleichem Volumen, aber von einfacher
absoluter Dichtigkeit sein. Da nun bei nlaclier Dichtigkeit 4
Masse in einem und demselben Volumen auch »mal mehr Masse
ist, als bei der einfachen Dichtigkeit, und das Gewicht dem I'm-
ducfc der beschleunigenden Kraft oder der Schw erecapacitat in
die Masse gleich ist, so würden sieh die Gewichte solcher Mas-
sen verhalten wie mk-.nhnk, oder wie l-.rfl, also nicht wie die
Massen selbst, was der zweiten der oben angeführten induetiven
Regeln Newton's widerspricht.
8 GensUr: üeöer die geometrischen Eigenschaften der gravilas
st also die Annahme einer ipeolf Ischen
Schwerecapacitfit, der gemäss die Gravitation verschieden ar-
tiger Massen gegen eine und dieselbe Centralmasse verschiedene
Intensitätgrade haben sollte, nicht zulässig, da die einzige
Form einer specifischen Gravitation, welche das möglichst allge-
meine Gesetz in §. 4. No. (6) als denkbar erscheinen lässt, wie
eben bewiesen wurde, der Erfahrung widerspricht.
Es ist also für alle Massen, so weit die Newton'schen und
spätern Inductionen reichen, k = k', und daher aus (10) auch
d = d', also erwiesen, dass die absoluten Dichtigkeiten
aller Massen von einerlei Grösse sind.
j. 6.
Mit diesem mathematisch -induetiven Beweise der gleichen
absoluten Dichtigkeit aller Kiirjier ist die Thatsache der empiri-
schen Ungleichheit der specifischen Gewichte verschiedener Mas-
sen nur mittelst der Annahme zu vereinigen, dass die Materie die
Körper unter deren geometrisch -begrenztem Volumen nicht lücken-
los erfüllt, dass sie vielmehr aus einem Aggregate getrennter
materieller Theile bestehe, welche in allen Körpern einerlei Dich-
tigkeit haben, so dass bei allen Körpern absolutes und relatives
speci lisch es Gewicht unterschieden werden muss.
Es sei nemlich die allgemeine gleiche absolute Dichtigkeit
aller Materie d, so ist die Masse m eines Körpers vom Volumen
p hei lückenloser Erfüllung m = B(/. Ein anderer Körper, der das-
selbe Gewicht hat oder eine gleich grosse Masse m unter dem
Volumen »' enthält, hat dieselbe absolute Dichtigkeit d, und es
wiire daher
e'rf — vd,
nenn beide Massen ihr Volumen lückenlos erfüllten.
Wegen der Thatsache der Verschiedenheit der empirischen
specifischen Dichtigkeiten oder Gewichte der Körper wird aber
also
''<"•
(e±Jv)d = vd
(")
sein, woraus J:A.</ = 0 folgt. Da nun An.d die Masse oder
du Gewicht der den Raumtheil M erfüllenden Materie darstellt,
so muss dieses Volumen, von dem die scheinbare Verschieden-
heit des specifischen Gewichtes oder der Dichtigkeit der Materie
nb hängt, von Materie leer gedacht werden.
acceteratrtx tfeiflon't u. ihre Consegtienxen für die Momenkhre. 9
Die bekannte Thatsache, das« v' unter dem Einflüsse der
Wärme ohne Ende wachsen, dagegen bei Entziehung derselbe»
nicht ohne Ende abnehmen kann, entscheidet dafür, daes in (II)
nur der Wetth v+Jv, nicht aber r — .-tr brauchbar ist, weil die
absolute Dichtigkeit eines Körpers nur da gesucht werden kann,
wo sich ein veränderliches Volumen bei constanter Masse einer
festen Grenze ohne Ende nähert. Das Volumen e eines Körpers
und der leere Raum desselben werden also um so grösser, je
geringer das empirische specilische Gewicht desselben ist. Da-
durch ist denn bewiesen, dass alle Körper, so lange sie bei con-
stanter Masse ihr Volumen verringern können, als Aggregate
getrennter Theile, welche letzteren ihre Volumina lückenlos
erfüllen, anzusehen sind, und bei allen solchen Körpern absolu-
te« und spezifisches Gewicht zu unterscheiden ist.
§■?■
Das absolute speciGsche Gewicht eines Körpers, oder die
Dichtigkeit der ihre Volumina lückenlos erfüllenden Massentheile
desselben, muss das grösste bekannte relative specilische Gewicht
noch übertreffen, wenn derselbe bei constanter Masse sein Volu-
men verringern kann. Setzt man jedoch die grösste bekannte
relative Dichtigkeit der absoluten Dichtigkeit aller Materie nahe
gleich, so kann man das Gesammtvolumen der materiellen Theile
jedes Körpers, dessen spezifisches Gewicht bestimmt ist, wenig-
stens annähernd finden. Denn ist e das Gesammtvnlumen aller
dieser Massentheile eines Körpers, dessen relative Dichtigkeit d'
und dessen änsserlich geometrisch -begrenztes Volumen b' ist,
und ist d die grüsste vorkommende relative Dichtigkeit eines Kör-
pers, also etwa die des Platin, so hat man, wenn gleiche Ge-
wichtstbeile genommen werden, vtl=v'd', also das Gesammt-
volumen der Massentheile
I die Summe aller leeren Zwischenräume:
_ (d-dQv'
(12)
(13)
Nimmt man z. B. die Dichtigkeit dos Platins etwa 22, so kön-
nen die Massentheilchen des Wasserstoffgases bei 0"c höchstens
r — j-j oder gTflfiflß des ganzen Volumens, also in einem Ku-
10 Gentter: Veb.dtegeomctr.Elgimeh.dergraeUfisaccelerolrix
bikfuss Wasserstoffes höchstens 12% Kubiklinien einnehmen und
der leere Raum nmss wenigstens MtiöOTl1^, Kubiklinien betragen.
t noch nicht gelungen, die Dimensionen der Massen-
theile, deren Aggregate die Körper bilden, zu messen oder dem
Auge sichtbar zu machen; die Beobachtungen und Schlüsse Ehren-
berg's (Poggendorf's Annale» der Physik und Chemie.
1S32. S. I. ff.) beweisen aber schon so viel, dass dieselben noch,
weit unter i-juifuwi Par- Linie liegende Durchmesser haben. Fer-
ner sind die Erfahrungen der Chemie bis jetzt jeder Veränder-
lichkeit dei
also dieselben
ihre physische
Setzt mai
zweier Stoffe,
die Atome von
so würden die
i dieser Üntndtheilchen entgegen ; mau darf
x noch Atome nennen, wenn man damit nur
empirische Unteilbarkeit bezeichnet
roraus, dass in den chemischen Verbindungen
!S denen ihre Mischungsgewichte berechnet sind,
eiilen Seiten in gleicher Anzahl zusammentreten,
> Zahlen der Mischungsgewichte durchgängig die
relativen Gewichte der Atome selbst darstellen. Wenn aber auch
zur Zeit die Chemiker bezüglich der Atomzahlen noch nicht in
durchgängiger Uebereinstimmuiig sind (vergl, G. Rose; über die
Atomgewichte der einfachen Körper in Poggendorf's An-
uale n der Physik und Chemie. 1857. S. 270. ff.), so beruhen doch
die Unterschiede hauptsächlich auf Verdoppelung derselben oder
Herabsetzung auf die Hälfte; nimm! man also die gebräuchlichsten
Mischungsgewichte vorläufig für die relativen Atomgewichte, so
kennt man wenigstens den Umfang der etwa später erforderlichen
Verbesserungen derselben im Voraus.
Da die Atome alle gleiche Dichtigkeit haben, so verhallen «ich
ihre relativen Volumina wie ihre relativen Gewichte, also eben-
falls nie ihre Mischungsgewichte.
Man kann daher gegenwärtig annehmen, dass die relativen
Gewichte und Volumina der Atome zwischen den Grenzen 1 (für
den Wasserstoff) und 216 (für das Silber) enthalten sind; dürfte
man die geometrische Aehultchkeit aller Atome annehmen, was
bei der grossen Verschiedenheit der kry* tallaxen nach Neigung
und relativer Länge wohl kaum zn wagen Ist, so würden die
grüssten Unterschiede ihrer homologen linearen Dimensionen zwi-
schen 1 und 6 fallen.
Grun*rt:Ve*.*FMckeniuk>tnod.imrtiHRMpKUwto.tote*to*9e. U
. ■ • . - ^
• « . * *
i
. "•
Ueber den Flächeninhalt in oder um ein* EÄpse
beschriebener Breiecke und 'Vierecke.
Von
... •* r. ,
dem Herausgeber.
- 1 ■*
leb habe «rfion 4n früheren Abhandlungen (Tbl. XXIV. Nr. XXIX.
S. 370. — Tbl. XXVI. Nr. IX. S. 198.) auf den wichtigen und frucht-
baren Gebrauch aufmerksam gemacht« welcher sich von den soge-
nannten Anomalien in der Theorie der Ellipse und Hyperbel Atacftea
lässt. In der vorliegenden Abbandlung werde ich eine Reihe sehr
merkwürdiger und interessanter Ausdrücke für die ftfichenräuirie
in oder um eine Ellipse beschriebener Dreiecke und Vierecke
entwickeln» welche4, wie ich hole, die Wichtigkeit jenes Gebrauch«
in noch helleres Licht setzen werde, wobei Ich noeb ' bemerke,
dass die von mir Im Folgenden entwickelten Ausdrucke in einer
sehr bemerkenswerthen Analogie tu gewissen» längst bekannten,
fär den Fall des Kreises geltenden Ausdrucken stehen.
i.
: i
Das in die Ellipse beschriebene Dreieck.
Wir wollen die Anomalien dreier beliebiger Punkte AQ9 Ax% AM
ehier JSUipae #e*pecti*e durch «o, m , «*, and die diese. PonWe niil
einander verbindenden Sehnen A0Al9 AtA%9 A%A0f welche die
Seiten des in die Ellipse beschriebenen Dreiecks A0AtA% sind»
durch Jon* *i»tt h* beseichnea. Die Gleichungen der Sehnen
A+dt, AtAi, A%A0 sind: *) •
•) TM. XXIV. S, 373.
, .. ./
12 Grunert: Veber den Flächeninhalt in oder um eine Ellipte
fi^cosi(j(o + «i) + nysin',("u + '<i) =flftcosi(tl0 — «i),
Ajrcogif«, +1/2)4-0^81111(1/! +i/a) = fl6cosi(«1 — %),
6^cosi(Ka + i^j) + aysinKw, + «o) = «6cosK«a — «o);
und die Längen dieser Sehnen werden durch die folgenden For-
meln bestimmt: *)
^•ssisinKüo — 1/,)*| ß'sinJ^o+w^' + o'cosKwo+Wi)"!.
*i*,=4sinl(u1— i4pt«9»lnl(K|+*(l}1'H*CMtfe+i^1l.
!,,„» = 4wni(«,— w0)*i a« sin i(«a + i/u)* + 6«c(«»;(B,+tfo)*l-
Bezeichnen wir nun die Winkel des Dreiecks A0A,At durch
j4(i, ^1, i^2i so lassen sich für dieselben aus den Gleichungen
der Sehnen mittelst der bekannten Formeln der analytischen Geo-
metrie leicht Auedrücke durch die Anomalien ableiten. Etwa (lu-
den Winkel A0 Gndet man mittelst dieser Formeln sogleich:
6a
-3 [cot !<«„ + u,) — cot J(wa + «o) I*
oder
I * + 5*°ti("o + «iHot i(«a+Wo)|»
na63sinj(i/1 — Ma)a
^oa8in;(wü+w1)sin;(Ha+I/u)+D^cosi(^0+Hi)cosi(ua+a0)|■'
und hieraus dann ferner mittelst bekannter goniometrischer Formeln:
^[coti(«0+a,)— COtJCUj + Uu)!"
U+ ^cotiCwo+Mi^ltl + ^cotiCMa+Wo)8!
I ' + ^cot »K + "i) cot K«% + «öl I"
cos AJ= 55 £5 ;
U+-acoti(«0 + K1)ailI + -iacoti(MS + M0)a|
Bt'smtfi*,-»,)'
~toasini(i/0+t(i)a+Äaco8i(u0+i/i)al|aasini(Ma+«o)H*'cosi(a1+w0)a|'
iaa8ini(H1, + M1)BinUwa + Wo) + fi'c»siK + '/1)coBi(w9 + M0)|a
_ |o8sinU«0+w,)a+iacosH//o+«i)ali«asini(HI+«0)HÖ*cos;(u,+a0JaC
ieeckriedemer Dreieck* unä Vierecke. 13
Nun ist aber nach dem Obigen:
s %*
also ist:
/ . _ 16a^«glnl(«6-«1)«rin|(i»1-t^)'8iniC«.-«l>)'
.I„^._ -5-^-5 .
und
CObAq*
* • *
_C ><la»gini(«6+«H^^ >
•'..■■•.■. . ■■'• *»*
_ s ■
Nehmen wir an, dass, wenn man sich von d era Halbmesser der
Ellipse an, von welchem an die Anomalien von 0 bis 360° gezählt
werden, nach der Richtung hin bewegt, nach-, welcher die Ano-
malien gezählt werden, man zuerst auf den Punkt -4o# d*nn auf
den Punkt AX9 dann auf den Punkt A* trifft, so sind offenbar
die Sinus
. . ■ • ■ : . •-•! -i
sm\(ux — uQ), sini(«s— tij), sini(«s — «q)
sämmtlich positiv, und das Product
sin J(tii — Uo) sin ifo— Mj ) sin }(*, — uj) ,
so wie auch das Product
§ . * • #
sin J(ti0 — ut) sin Ifa — u£ sin ifo— t*o) ,
ist folglich positiv. Daher hat man unter der gemachten Voraus-
setzung nach dem Obigen die drei folgenden merkwürdigen Formeln :
<6n*fpo*sin^0=4a6sini(ti0— 1^)8^1(11! — tc^siniCtig— %), '"'
*i * *^i • s*n At = 4<i6 sin i(% — «0 sin i(«i '•*- *%) «n Ktt» — «b) ,
4^.^,3.810^=406 sin i(tio~Uj)sinj(uj~t<^sioi(^^lty). '
Bezeichnet nun A den Flächeninhalt des in die Ellipse be-
schriebenen Dreiecks Ä^A^Ä^ so ist bekanntlich
^ = i<*o>i • *t»o • sin.4o =s t'i'S *^mi * MüAi = Js^ • *i*. sfn il*,
14 Grunert: Veter den Flächeninhalt in oder um eine Ellipse
also nach dem Vorhergehenden:
A — 2«6stn i(K0 — «,) sini(«, — Uj) sin \{v^—ua),
welches jedenfalls ein sehr merkwürdiger Ausdruck für den Flächen-
inhalt eines in eine Ellipse beschriebenen Dreiecks ist.
Leicht sieht man übrigens ein, dass dieser Aufdruck auch dann
noch richtig bleibt, nenn die Punkte A0, A\ , .-f., nur so auf einander
folgen, dass man sich, wenn man sie in der vorstehenden Ordnung
durchläuft, nach der Richtung bewegt, nach welcher die Ano-
malien gezählt werden.
Die Gleichungen der den Seiten
AaA, , A,Aa, A^A0
dee Dreiecks A0AlA3 parallelen Durchmesser der Ellipse sind:*)
ff=— -arcoUfMo+Ui), y=——xcoti(ul+u£, j=— -jt cot J («,+!*„).
Bezeichnen wir die Coordinaten der Durchschnittspunkte des
ersten dieser Durchmesser mit der Ellipse durch x0,lt y0., ; so
haben wir zu deren Bestimmung die Gleichungen:
woraus sich mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf
einander leicht ergieht:
*o.i =±"S'ni(wo+Wi). Jo-i = + *cosi(M0 + «I);
nnd ist nun 77,,, der mit A0AX parallele Halbmesser der Ellipse,
so ist
r0,i»=^o.i'+S0a9=«as'ni(wo+"i),,+6*cosl(«o+w1)s-5^Tg
also:
*o.i =2r0ll sin ä(«, ~k„), t|,9 = 2)-1„sini(ua— «,),
t2,0 = 2ra,0 sin i(«2 — w0) ;
folglieh
sin i(«0 - Hj) sin l(«i — "a) *'" ifas - «o) = i • — ■ -^ • ^
po*i n-a •"*
and daher nach dem Obigen:
<f=?.M.
Ton rit *»«
•) i. m. O. S. 373.
ketckrieömur JtoHtcke und Vierte**. .1$
FfirdpiKrei* ist r0,l=r1,%—rt90=r und auch a=zbs=r, also:
* i .
-rf== S '
«reiches ein längst, bekannter Ausdruck ist, den folglich der vor-
hergehende sehr ra^&rkwärdig*, allgemein för die Ellipse geltende
Ausdruck als einen besonderen Fall enthält.
Mittelst bekannter goniometrischer Zerlegungen erhält man leicht :
sin K«! — Hq) + sin Ifa—Ux) + sin i(t^~ t^)
. ssieosUwir-UpJcosKttj— t^sinj^ — *,>), ;
* • i
.. /
« '• *■!
sin i(«t— wi) + *«« l(«a^ «b) -**"> l(*i — *o)
^=4cosl("i — ti0)sini(«- — ux) cos \(u* — %), .
* ■
sin i^ — ito) + sin j(tia — t*o) — sin \(u% — mJ
=4siQi(«i — «o>^>»l(wt — «l)C06l(t^ — tto), .
sinJC«! — MyJ + ^inKwji— t«,) — siniCiia— i«o)
=3 48101(11! — jfto) sini^ — «,) sin ^(tia — «o) ;
also ist das Product der vier Grossen auf der linken Seite d*r
Gleichheitszeichen :
4*. sin l(ut '— - «b)9cos](tf| — «q)*. sin l(tf9— t<|)*cos j(ii^ — i^)*
X sini(^--ico)2cosi(i%--tta)tj
folglich:
4sinl(w, — Uo)2sini(u,— tii)»sinl(ii^ — i^)a
oder
. • - '/> .
' *
also nach dem Obigen:
• * \ .-•
Nun ist aber nach den oben gefundenen Formeln;
^Hö-I.JJ.. *iä^h)^(5«,. Ä«i(i%-^i.^;
folglich: 1
- . > «
16 Crunert: Veber den FIXelientnhaU in oder vm eine Ellipse
sinjfu,- Bo) + sin !{»,—«,) + «in Uiia— I0'=l\^ + i^i + JW'
8inH«,-«1) + -H%-«o)-8ini(Wl-»u)^i(^ + g-^}
»ii>i(«,-«ü) + 8ini(«.-«o)-»ini(wt-«i)=i(^ + ^ - ™)>
sinUwj—^ + BinHws — K|)— 8'i>l("a-«o) = ir^1 + ^f ~r~)'
also obiges Product auch :
Vergleicht man dies mit dem Obigen, so erhält man die folgende,
gleichfalls sehr bemerkenswerthe Formel:
" ' X U» + r„ - r, J U„ + r„a üj I
welche für den Fall des Kreises in den bekannten Ausdruck für
den Inhalt des Dreiecks durch seine drei Seiten übergeht.
Weil nun natürlich auch im Falle der Ellipse
^ = J\r(*0.i+i,,I+J3.ü)(*i>a+«*H>-»o.i)(*o.i+*a.o— *i>i)(*o>i 4*1 >!)-«»«>)
ist, so erhält man die folgende, ebenfalls sehr merkwürdige, für
jede drei Punkte der Ellipse geltende Relation:
-Y
oder:
(*o.i+*i>a+*i.u)(*i.i + *M)-Vi)(*i)>i+*ao^'W )
X(*u.i+ti,a— *g.o) I_
('SA + &! + »SS) (!-2 + 3Mi_SBL^ )'
Wi T rar0 r1>8/ V»-«-! "*" r„a ra.„y J
1,1_('o.i+'i^+*iK>)('i^4*t.o— *o.|)(*o.i+*a.o-»i.«)(*o.i+*i-»-*«'o)
beschriebener Dreiecke und Vierecke. 17
Sind üq1, ■■%', Ub' drei andere Aoomalien, und bezeichnet /*'
de» Inhalt des entsprechenden Dreiecks, so ist
A1 = 2a6sinJ(M0'— «lOsinKtii1 — UaOs^aCtts'""1^1)'
Ist nun
t«o — tii = t««/ — t^', «j— t<a=tfi'~ tia
oder
so ist, wie hieraus auf der Stelle durch Addition folgt, auch
also A=±A', woraus sich der sehr merkwürdige Satz ergiebt,
dass alle in eine Ellipse beschriebene Dreiecke, für welche die
Differenzen der Anomalien der einander entsprechenden Ecken
oder Spitzen gleich sind, gleiche Flächenräume haben.
Sind zwei Dreiecke in zwei Ellipsen beschrieben, welche die
Halbaxen a, b und «', V haben, und sind für diese beiden Drei-
ecke die Anomalien u^> ux> u^ und uq', ux' 9 ti2'; so ist, wenn die
FUfcbenräume der Dreiecke durch A und. A' bezeichnet werden:
A = 2a6sin \{uQ — ux) sin \{ux — u^sin \(u2 — Uq) ,
zf' = 2Ä'6'sinJ(ti0'— t/1')sini(wi' — «a9s>n*(M2'-"t<o')i
also, wenn
t«i— Ko=tfi'— «öS «*— ««! =1*2'— ttt', tea— t^cstia1— •*/
ist:
^ _ q6
A' — a'V
Aehnliche bemerkenswerthe Beziehungen würden sich noch
manche andere aus dem Obigen ableiten lassen.
Insbesondere setzt uns das Vorhergehende in den Stand, auf
eine sehr merkwürdige und höchst einfache Weise das grösste
Dreieck zu bestimmen, welches sich in eine gegebene Ellipse be-
schreiben lässt.
Setzen wir nämlich
so ist nach dem Obigen:
^ = 2a6sin»t>sin£t0sini(t>-|-«>). ,
TheilXXX. S
18 Grunert: C't&er Um Flächeninhalt in oder um eine Ellipse
Die gemeinschaftlichen Bedingungen des Maximums und Mini-
mums sind, indem man alle im Folgenden vorkommenden Diffe-
rentialquotienten als partielles zu betrachten hat:
SJ
dj
-=o, g^=0.
Mittelst leichter Rechnung findet man ab«
dJ
ab sin in sin (to + Je) ;
und hat also die beiden Gleichungen :
sin J !t> sin (v + i"') = 0,
sin Jo sin (w + i«) = 0.
Die beiden Gleichungen
sin> = 0, siniB = 0
»Orden, wenn k und *, positive ganze Zahlen bezeichm
beiden Gleichungen
\v>=kn, iu = Ä1« oder to^si/at, c = 2*,n
führen, und sind also offenbar unzulässig, weil v und w augen-
scheinlich weder verschwinden, noch Vielfache von 2«, auch nicht
2.1 selbst, sein können. Also kann, indem immer k und *, posi-
tive ganze Zahlen bezeichnen, nur
e + ia)=A«, W + io=*,»
sein, welche Gleichungen unmittelbar aus den beiden Gleichungen
sin(o+iw) = 0, sin(w-r»=:0
folgen. Aus den vorstehenden Gleichungen ergiebt sich:
2o + w = 2*«, e + 2te = 2A,«;
2(*+*,)«
also
woraus ferner
6^ = 4(2*-*,)
o = 2(Ä— *,)«;
oder
6(0 = 4(2*,— *)«
30 = 2(2*—^)«, 310=2(2*,—*)«
beukrUbentr Bt$Uelte ttnä Vierect*. • •■ . IQ
folgt. Da v—Ui — «o, w—u%— ti] unter den gemachten Vorta»
Setzungen positiv sind, so sind 2k— kt und 2^ — A positive ganze
Zahlen, und wir können daher kürzer, wenn k* und kg solche
Zahlen bezeichnen,
3t? = 2A'a, Zw = 2kx'n
setzen. Keine der beiden positiven ganzen Zahlen W 9 kg kann
verschwinden, weil keine der Differenzen v, w verschwinden kann,
insofern es, sich um ein in die Ellipse zu beschreibendes wirt?
lieh es Dreieck handelt. Keine der beiden positiven ganzen Zah-
len &', ki kann 3 sein, weil, wenn dies der Fall wäre, eine «Sei
Differenzen t>, w gleich '2n wäre, was wieder offenbar nicht mög-
lich ist; noch weniger kaiin naturlich eine der beiden positiven
ganzen Zahlen k'9 kx' grosser als 3 sein. Endlich kann auch nicht
dieeirie der beiden positiven ganzen Zahlen kf, kx* die Einheit;
die andere 2 sein; denn aus den obigen defchungen folgt *
Sfo + t©)^*' + kl')n,
also
3(u*-u0) = 2(k'+k1')n, ........
und unter der gemachten Voraussetzung, dass eine der beiden
positiven ganzen Zahlen k\ kt* die Einheit, die andere 2 wSre,
wurde folglich t/2 — Uo = 2n sein, was wieder nicht' möglich istf
noch weniger können natürlich beide Zahlen k' , kt' gleich 2 sein.
Also bleibt nichts Anderes übrig, als dass A/=.l, t^^zl, folg-
lich nach dem Obigen
3o = 2», 3w = 2#, 3(t> + w?) = 4rc;
also
t> = fjr, w = j7t, ü+w? = |w
oder
tii — Uo = |», «2—1^=1», *>— t<o = |*P
ist.
Wir müssen nun noch untersuchen, ob die Bedingungen de#
Maximums wirklich erfüllt sind. Zu dem Ende erhalten wir durch
fernere Differentiation aus dem Obigen:
■ 3 •• f
94 8V ,
■g~5 = ab sin itveos (v + lw) , g— 2 = ob sin Jt> cos (to + Jt>)
Grüner t: üeber den ttächenlnhalt in oder um eine Ellipse
Nun ist nach dem Obigen:
also: .
6iniP = iv'3, sini«>=JV3
folglich für diese Wertho von »
;a6V3
8a^
cos(p + Jte)= — 1
cos(w + ie)=— 1;
so dass also die zweiten Differential quo (ienten negativ sind,
es das Maximum bekanntlich fordert.
Ferner ist nach dem Obigen o-|-w = }jr, also
sin (»+ w) = — sini?i= — Jv3,
und folglich
also ist
8M 3M
fl„2 *3CS — "<
)aa6a = _1?sa»6«j
j es nötbig ist, wenn wirk-
woraus wir nun sehen, dass
II ständig erfüllt t
und diese Grösse folglich negat
lieb ein Maximum Statt finden s
die Bedingungen des Maximums
Ueberhaupt führt uns die vorhergehende Betrachtung zu dem
folgenden jedenfalls sehr merkwürdigen Satze:
Jedes der in eine Ellipse beschriebenen, ein-
ander gleichen Dreiecke, für welche die Diffe-
renzen der Anomalien ihrer Ecken 120° betra-
gen, ist ein Maximum;
und wer erkennt hier nicht auf der Stelle eine sehr interessante
Analogie mit dem längst bekannten Satze, dass unter allen Drei-
ecken, welche sich in einen Kreis beschreiben lassen, das gleich-
seitige den grüssten Flächeninhalt bat, welcher Satz in dem obigen
merkwürdigen Satze von der Ellipse als ein besonderer Fall ent-
halten ist?
betchriebener Dreiecke und Vierecke. . Jl
Wie man mittelst des obigen Satzes sehr leicht das grösste
Dreieck in eine Ellipse beschreiben kann, ist klar.
Weil überhaupt
J = 2aAsin \v sin \w sin l(v + u>)
ist, so ist, wenn jetzt A den Inhalt des grossten Dreiecks bezeich-
net, welches sich in die Ellipse beschreiben lässt:
^f= 2ab sin Jwsin i«sin {» = 2ab sin 60* . sin80° . sin 120*
= 2a6.iV3.lv3.iV3f
also:
. 3aAv3
Für den mit dem Halbmesser r beschriebenen Kreis giebt die*
die bekannte Formel:
A 3rV3
^ = — j-. ,
Bezeichnen wir den Flächeninhalt der Ellipse durch E, so ist
bekanntlich E — abn, also, wenn jetzt immer A den Flächenin-
halt des grossten Dreiecks bezeichnet: -.^ ... .
z/_3i/3 £_ 4* .
E~T^ uucr ^=§v3* .-;i.
u ■
und dieses Verhältniss ist folglich für alle Ellipsen constant; oder
die Flächenräume der Ellipsen verhalten sich -wie die Flächen-
räume der in sie beschriebenen grossten Dreiecke.
IL
. Das um die Ellipse beschriebene Dreieck?''-'- '
Wir wollen nun zur Betrachtung der um die Ellipse beschrie-
benen Dreiecke übergehen, wobei wir wieder drei durch die Ano-
malien uQ9 ux, u* bestimmte Punkte A0, Al9 A2 der Ellipse be.
trachten, in denen dieselbe von den Seiten des um sie beschriebenen
Dreiecks berührt wird.
Die Gleichungen der die Ellipse in den Punkten Aq, Al9 A%
berührenden Seiten des um sie beschriebenen Dreiecks sind nach
der Ordnung: *)
*) A. a. O. S. 375.
Vebtr diu FISeheninhalt in oder um eine Ellipse
x V •
-C08«0+£8IP«(, = 1,
fco.«, +f«inBl = l,
-coawa + *
= li
Di© Coordinaten der Spitzen unsers Dreiecks, so wie diesel
durch die Durchschnittspunkte der ersten und zweiten, zweiten
nnd dritten, dritten und ersten der drei vorhergehenden Linien
bestimmt werden, seien:
«btt» ffon ; &w 9i«; «%m y-uo-
Dann haben wir etwa zur Bestimmung von xa,x , y0n &e folgen-
den Gleichungen :
-^-cosw0 +«^SIB«o = l,
jj C09W, + ft. MB«,_J,
woraus leicht
-~sin(m, — u,) = sinuo — ein«, =2sin '(«o — Wi)os»(wo+ "i)
■LS ■ ■ bin (ti 91. \ •= — -d<n<iri . Jv PnaM.^— 9oin'^w_ " * bin \{ u . -L- n
T"a
Wo — «iJ
also
*o,
cos
U«ö— "i)
ffo-
6
sin !(«,, + «,)
cosJ(«„-«,)
erhalten wird :
u..d »
ir haben daher
überhaupt:
£u-i
^CS
.'/.VI
0
aini(«o + «i).
eosiCMo-K,)'
£1:2_cos1(k1_+%)i ff|.»_sinlCi +"a).
a coeT(wi — "a)' A cosJ{m, — Mg)*
a^o^cos-ittiB + Mo) yiK,__einj,(Ma-|-u,)
a cos,;(«2 — Mq)* 6 cosi(wa — u0)'
Die Seiten des um die Ellipse beschriebenen Dreiecks, welche
dieselbe in den Punkten -■)„. AL, A.t berühren, sollen rcspective
durch *0, *,, s« bezeichnet werden; dann ist:
betchriebener Dreieck* und Vierecke. t Ä
«ö1 = fowi — ***)* + (Von — y«H))*»
Nach dem Vorhergehenden ist aber:
« » >•
XQ>\ — *
w* cos i(*o+Uj ) cos »(«>— ttp) — COS l(ü2 +Up) COS 1(Uq— th)
a cosi(iio — Ui)cos£(tt2— «o)
Ston — y»»o _sin|(ti0 + ti1)cos^(Mg~ti0)~sin^(tfa+t<0)cosi(ti0~ti1)a
6 C08 KUq — Ux) COS 1(1*2 — Wo) '
und zerlegt man nun die in den Zählern dieser Brüche vorkom-
menden Producta auf bekannte Weise, so erhält man nach eini-
gen leichten Reductionen:
^o>i — dfr*> siptipsin jfa — «a)
a cos l(u0 — uJcosKuz — Wo)'
Von — Vm— costipsin^«! -«g) .
6 COS J(tt0 — ttj) COS i(«2 — tlo) *
folglich :
m (q2sintiQ2 + 62cos*02) sinjfa — u»)2
#0 ."""* cpsi(«o— «i)2cosi(tta— %)*
*v*
Auf diese Weise ist also überhaupt:
', ** ■ »
t (q2sin tip* + 62 cos iipa) sin ^(t^ — «»)•
*° cos|(tiQ— tfi^cosita— Wo)*
. (aasinM1a+6acostt12)sini(ua-^tt0)2
1 COSj^x— Wft)2COS2(M0 — Wj)2
« __. (fl2gintia2+62cos«a2)sini(tio — tfr)2
*2 "" COs£(«ft---M0)2COSi(ttl--tta)2
Bezeichnen wir jetzt die drei Winkel des um die Ellipse be-
schriebenen Dreiecks durch Aon, Ali%9 A2,0'> so ist nach den
oben angegebenen Gleichungen der Seiten des Dreiecks:.
62
^(cottto— cotti!)»
tong A0il* = jp
(1 + ^COtüoCOttti)1
* t
und folglich:
62
-äCcott^- cot«!)*
810 Aon — tj p
(l + -icotV)(l + scot«i8)
24 (Sruntrt: Heber den Flächeninhalt in oder um eine Ellipse
°'1 (n*sin u0a + 62 cos m0«) («2sin w,2 + 6a cos w,a) '
folglich nach dem Obigen offenbar:
nWsin(«0— u,)Bs
■i("B~«0?a
i0*s,B8in-40,l3 = 4n2iatangi(Mu— K,)2tangJ(Mi— wa)2ta,|gi(%— «e)a-
iie Ellipse be-
Bezeichnet nun D den Flächeninhalt i
scbriebenen Dreiecks, so ist
welches mittelst des Vorhergehet
den überaus merkwürdigen Ausdr
len unmittelbar i
uke führt:
dem folgen-
IP=axl>* tangj(«0— i^jatang^Mi— M»)2tangi(i(a— w0)a.
Indem wir jetzt aber D selbst mittelst dieser Formel durch
Auszie bimg der Quadratwurzel bestimmen wollen, erhalten wir
natürlich ein doppeltes Vorzeichen, und es entsteht dann die
Frage, wie man das Vorzeichen zu nehmen hat, eine Frage, die
hier sehr wichtig ist und des Folgenden wegen auf die gründ-
lichste Weise beantwortet werden muss.
Sehen wir uns aber die Sache etwas genauer an, so ergiebt
sich auf der Stelle, dass ein um eine Ellipse, d. h. überhaupt so
beschriebenes Dreieck, dass seine drei Seiten die Ellipse berüh-
ren, entweder die Ellipse ganz einschliessen oder selbst ganz
ritlich die
weiten Falle ganz aus-
Fälle wir daher von
ausserhalb der Ellipse liegen kann, so das.
Ellipse im ersten Falle ganz innerhalb, im
serhalb des Dreieckes liegt, welche zwe
einander zu unterscheiden haben werden.
Wir betrachten zunächst den ersten Fall, wenn nämlich das
Dreieck die Ellipse ganz umschliesst oder die Ellipse ganz inner-
halb des Dreiecks liegt. Bezeichnen wir also i. B. die Entfernung
der Spitze A0,t von dem Berührungspunkte Aü durch Von} unu"
die übrigen derartigen Entfernungen in ähnlicher Welse, so wird
der Fall, mit dem wir uns jetzt zu beschäftigen beabsichtigen,
durch die drei folgenden Gleichungen charakterisirt:
*0>(o>i) + *0'f«-o) :=*ni *])(ii*i + *ji(oii) = *i t **>(**)) + *2>fi*s) ~
beeckrietemer Dreiecke und Vierecke. 25
Bezeichnen wirtdie Coordinafen der drei Qerähruiigspunktedtirbll
^o» yo> x\ * y\ » x%> y«>
so ist:
#0 = acosw0, y0 = 6sintf0;
art=<ico6til9 y, =6sinf/l;
#2:=:rt cosw^, ya=6sint*9.
Also ist nach dem Obigen ;
• > *
und
COSj(Wj + Mo).
*0 -**0 = at C08tt0- cosi^-tlo) ' '
woraus mittelst keiner Schwierigkeit unterliegender goniometrischer
Transformationen
^o— #o*i = ~ asinw0tangj(«0— tij),
yo— .Von = 6cost/otang2(a0 — «t)
^o — •r2»o= «sint*0tangJ(Ma— ?<o),
yo— y2.o = -*cos?i0taugi(tia— Mo);
also
*5>(o>i) = (aa«inM0» + 6*costi0*)tangJ(w0— t^)»,
*8»(2H>) = (a2sinu0» + 6acosw0*)tangl(t«a— ti0)«
gefundeo wird.
Die Gleichungen der den Seiten des um die Ellipse beschrie-
benen Dreiecks parallelen Halbmesser der Ellipse, welche "wir selbst
durch r0, rl9 r2 bezeichnen wollen, sind nach dem Obigen:
y=— ^tfcottio, y=— -«cotiii, y=— -xcotu*.
20 Grunert: (Jeder den Flächeninhalt 4» eder um eine ElUpte
Mittel»! dieser Gleichungen und der Gleichung der Ellipse erhält
man leicht:
r0a = aa sin m02 + 6a cos.«0a,
ri* = a* sin uf + 6* cos u^9
rf = aa sin 1*2* + b2cosu^.
Also ist nach dem Obigen und ferner in ganz ähnlicher Weise:
*o»(o»i) = r02tangi(Mi — w0)a» *o>(a*)=*o*kngU^— *o)*T
*,i,(m) = »'latang ;(!!»— t^)«, *i,(o,i):=ri2tangl(ti1— tio)a;
i,2,(2fo) =raatangi(M2— «o)a» *a,(i>2) = raatangi(uB— t^)*
Aach ist nach dem Obigen:
r0asini(tt2--«i)a
*6a=
COS 4(^1 — Mo)2 C0S «(^2 — tto)2 '
9 1 ri^siniCiia— tf0)a
f* — cos J(«a — ti^cos Ifa - t^)* '
* • *
a r2asinU**i— "o)a
'* ""cos^tia— »o^cos^tia— Ug)*'
Unter den früher gemachten Voraussetzungen, die wir auch
hier festhalten, sind die Grossen
siniC«!— u0), sinj(wa— Mi), sinj(w2— u0)
sämmtlich positiv; rücksichtlich der Grossen
cosiC«*!— u0), cos^Ma-^Mi), cosi(«a— w0)
oder der mit denselben gleiche Vorzeichen habenden Grössen
tangi^ — u0), tangi^ — t^), tang i(t«a— u0)
können die folgenden Zeichen - Combinationen eintreten:
± ± ±
± ± T
± T ±
± T T
Im ersten Falle ist nach dem Obigen zu setzen:
. • • \ »
\\\\ \-. :.-. &§§t Mrt9äew*r BtwUUe und Vier*c**> ■ ££
*> ^ + cos $(«! ^- w0) co» 4 (t^ — t^) '
; nVinj^-wo)
*=+
and
cos i(*a— *i) co» ifiij — u^Y
COS J(ttt — UQ) COS i(MÄ — Ut)
*6>(o»D = ± r0tang i(«j — w0), *0><2>o) = db r0 taug J{i%— f%) ;
*n (1*) = ± *i tang 4(11^— i^) , *lf (oä) = ± ^ tangi^ — t^) ;
«*<a»o) = i:*2tang4(%-- uj> *2»(ii»)=db»,atangJ(Ma — ti,).
Also ist
rx sin j(«a — «0)
*i>(i*) + *i>(o>i)=i:
«»•*(*»— *l) COS !(«,— M0)'
^teH>)+J4,(l,a)-:tCOsi(tiÄ^u0)cosi(Wa-ti1);
und die drei Gleichungen
*Of (Ort) + *Of (2H>) Ä *0'
*l>(l>») + *l>(0>l) = *1 >
*a> (a»o) + *a> (i>a) == *a
sind foIgTich offenbar nicht erfüllt.
Itu »weiten Falle, muss man setzen:
r0sinl(tt2 — «!>
*°~ cos i(%— 1*0)008 4(11,— tto)'
risin|(tta — 1«0)
i.
*! = +
%= —
CQ»i(l% — tt,)C0S 4(«, — %)'
' ^sinKVit— m0)
cos4(*k— u0) cos4(«2— Mi)
und
*0f (on) = ± r0 tang }(ti| - u0) , $0, {290) ar^r* taaglK ~i*vö) ; i n .
^ndft^i^itwigi^— «,>,. ^(0Hl»±nte»g4(%^*t40)f ., -
fbtoio)=Tratang4(M2— 1<0), f»u»)^:ft*st*fei(l%'M*«i)* -f'iiH
Grunert: üeöer den Flächeninhalt in oder um eine Ellipse
*o.(on) + *o.(i.o) = iF-
«Nfati+ibfoiA— ±-
*8>(i-ol+*»(i
*)= +
und die drei Gleichungen
ind also erfüllt, wenn man die oberen Zeichen nimmt,
im dritten Falle muss man
rosinU"»— i)
nsin^n, — «„)
u)'
un
*0»(o.i)=±'-utangi(Mi-ii0), s(1,tj,o) = ±'-0tangj(«a-w0);
*i,(ia) = :F''itangJ(»a— Mi)> *n(o«) = ±r, tangj(w,— «0)j
is,{B.o) = +»-atangJ(«a— ».,). *a.Ci.i) =+Mang>(''«— "1)
setzen. Also i-t
»a— -
cosiC«*-Wi}co*i(a,-
raBinj(M,— «„)
und
il(»t-»,)«o«i(i(,-«i)
*D(li» + *i>lo>i) = +
'tolaio) + *a)(i.s) = ±
und die drei Gleichungen
cosi(K,— «u)cosi(«a-"j'
^sinUWg — 2«1 + «n)
cos i("t — Ki) cos i(h, — wD) '
ainlfwi— u„)
ccosi(Ufl — MjcosifMj— «,)
sind folglich nicht erfüllt.
beschriebener Br Hecke und Vierecke. 29
Im vierten Falle muss man
ToSini^-Mi)
*n = *-
COBiC«!— *o) «5084(0^— tt0) '
, — rt sin 1(^2 — "o)
1 cosi^— wx) cos Jfa — u0) '
. _ . r2sin J(w, — u0)
cos K"»— u0) cos i(t% — ut)
nnd
*ö>(ü,i)=±r«tangi(t«l— m0), *0>(2»o)=Tr0taDgi(ua-M0);
*i9<xtti =Tritangi(Ua— t^), flf(0fl) = Jbrj tangKtij — u0);
^(a>o)=Tratangi(«2— «<>)> ^(i^) = Tyatangl(t«1— «^
setzen. Also ist
o.. -r r0sitiU^2— «i)
Mon)ti0,(2,o)-tcogi(tti_ttjcogi(U|_tfo)'
4t Cm) i- 4»(oti) — TcosUMa-M^cosJ^-iio)*
«*<•*» + **<m) -T cosife-uj"^^^)'
und die drei Gleichungen
*i>(m) + *i>(o>i) ==*i>
sind folglich auch in diesem Falle nicht erfüllt.
In Folge dieser Betrachtung ist also nur der zweite der vier
vorhergehenden Fälle, wenn man in demselben die oberen Zei-
chen nimmt, zulässig. Es ist also
cosi(«i— Mo)> 008 4(11!— tlj), cosKoa — m0)
und
tangifa— u0), tangi(tia— m,), tangifo— ti0)
respective
positiv, positiv, negativ
und man hat:
80 Grüner t: Ikder den. Flächeninhalt im odet um eine Ellipse
"ij / i-
*o= —
cos Kuj — Uo) cos !(««*— u0) *
^ = + . ;^J»*fo~V
*a=5-
COS J(%— Mi) COS i(Wl — h0) *
ft'sin }(«! — u0)
cos H«2— w0)«os i(*2— llj)
und
*<»iq>D= + r0 taugte - »o)> *o*<*o)— — *\> tang^u,— u0) ;
*i>(i*) = + ri tangi^—u,), fif(0fl) == +rk tangi^ — «<>);
«a»(a»o)=-»,2tangi(ii1 — mö), j^d«) = + r2 tangifa— *i)
» . . .
zu setzen.
Dias Pröduct
».*•
tangi(«i - w0)tangi(tia— ti1)tangi(%— w0)
oder
tang|(«0 —«1)tangJ(«1 -^tt^tangiCiia — tt0)
ist negativ, und weil nun nach dem Obigen
/>ft=a%2tangi(Mo--«i)2tangi(tf1-.t«a)»tangi(tit-M0)»
ist, so ist, wenn man die Quadratwurzel aussieht, da D natürlich
eine positive Grosse ist, im vorliegenden Falle
D = — ab tang \{u0 — ut) tang i(t«j — m2) tang i(w2 — m0)
zu setzen.
Weil nach dem Vorhergehenden
50__ sinj(t«a— «i) ?L— 4 *ini(«» — »o)
r0 cosJ(«i— M0)cosi(UB— «*o)' n cosi(^'2^«t)cosi(ll^•,-t«o),
*2_ 8inl(Ui—u0)
r2~"~ cosJ(w» — u0) w&XuzTrrUi)
ist, so ist von
?• j. *L 4. («
der Zähler:
— sin i(to2 =* tij) cos \{u%— ü{) + sin K^ — 1*0) öos ifltfe — u0)
— sinKt^— u0) cosi^ — w0) v '.
= 2 {sin («o— «i)+Äih (Ui—uJ + sin(u2— tt0) I
=— 2sini(M#— u1)sioi(M1— M2)sinJ(t^~M0>; ■"»«.
V
s äncärietmer Bttteäe und Vitr&ke. 31
also: \ -i*i
*o . *i ■ fr _ _ 2 *in i(t*o — «i) sin U«i — k») 8'P «("2 — ^q)
i\> *l *% "" cos J(u0 — «!> cos i^ — IIa) cos S(i% — u0)
=3 — 2 tangj(w0— ^i)tangi(Wi ~ «.2)tangJ(u,— u0) ,
und folglich Dach dem Vorhergehenden:
' ■ . ■■..'•.',
Für die Kugel ist rQ=zri—ri — r und auch a=6=sr, also:
°Ä 2 '
welches eine längst bekannte Formel ist.
Wir gehen jetzt zu der Betrachtung des Falls über, wenn die
Ellipse und das Dreieck ganz ausserhalb einander liegen, in wel-
chem Falle dann ferner die drei in Taf. I. Fig. 1. mit I., IL, HL
bezeichneten Fälle Statt finden können.
In dem Falle I. müssen die drei folgenden Bedingtmgsgtef-
chungen erfüllt sein:
*o>(o»i) + söf (a»o) == *o >
*2»(l>2) — *2>(2»0) =**•
Die erste Zeichen - Combination liefert:
. rpsin^i—^iio+Ma)
io,<o,D +*o,(2,o) ^co^fr-i^co«^-^,,)'
. risio»(Mg— ^4-Mq)
*i,d,2) -ii,(0,D - ± cos Kuz-uJ cos £("i-«o) '
... r4sini(^i — «o)
12,(1,2) ~ 12,(2,0) = T eoBXHr-UjcOBHUt-Uj '
Die zweite Zeichen -Combination liefert:
io,(0,i) + *o(2,o) = T cos^-t^cos««*-^) '
H,(l,2) +11,<0,1) - ± cog i(fl%_Ul) cos i(tlj ^u0)'
rg8inj(2a0— «0— i^)
32 Grunert: Otter den Fläckeninhait in 04er um eine ElUfet
Die dritte Zeichen -Combination liefert:
_i_. roginjfo+tta— 2»,)
% (o,i) + *o> <2>o) - ± cog i (Mi _ Uo) cos l(ut-u0) 9
r2sin,(2tt2-tt0— ttt)
*2» d ,2) " «3. (2io) - + cos i(tta — «<,) cos i(«2 — t^)*
Die vierte Zeichen - Combination liefert:
*6>(o»i) +*o»(a.o)— fr cos i(Ui _ tt4) Cos A(t*2— u0) *
*1»<1*) — *U («>*)- + COSj(Ma-M,) COSiK— Mo)'
r2sinl(Mi-»n0)
«■.(l*) — *2»(2rf»-± C08i("2 — Mo) COS l(tla — 1^) "
• ■ • '
Also ist bloss die vierte Zeichen -Combination, indem man die
oberen Zeichen nimmt, möglich, und es ist daher
COS 1(1*! — U0) , C08l(M2 — tlj), C08l(U% — U0),
so wie auch
tang i(tij - m0) , tang \(u2 — u, ) , tang i(a9 — u0)
respective
positiv , negativ , negativ
und man hat
r0sina(tta— u,)
5° COS i(t/! — M0) COS i(*«2 — Mo) '
rjSiniCKa— m0) y
*l cosifa»— ux) cos U^x— tto) '
r2 sin 1(1«! — ti0)
** = +
cosi(wa — u0) cos i(t«a ~ Uj)
und
*o»(o»i)= + »,otangi(M1 — ti0), s09(^0)=—r0tsLngl(u2^u0);
*i>(i>2)=— ritangKtia— t^), *i,(o,i)= + ritangä(ti!— Wo);
<2»(2K))=- r2tanglK— t*0), i2,a»2)= -r2tang 1(1^—1«!)
zu setzen.
Das Prodgct :---.■
i
ist positiv, also ' " * ..-.••. .,,.
i
Z> = abtSLngi(u0—-ul)tangl(ul — ut)tangl(u2— «0).
Per Z&bier von
I
sinifa-ii^coiifa— «!)— s2Di(Kt— «o)cosi(«,— t«o)
■ •
= — 4{sifi(tto— «,) + ein(Mt— ti^+sinCtft— «o)(
= 2sini(tto — «Jsinjfw,— tiaJsiniC«, — «o),
also :
.■'..v ■■;»:
n + ^ ~~ ^ = 2tang S(tt° "~ ttl) tang^(ttl "" ^ tan«i(«a- «o) .
und folglich:
* . j,« £/*+*_ *Y
2 Vra r» ro/.
Io dem Falle II. müssen die folgenden Gleichungen •rföUt nette':
... . .*.
<<
*o> (a»o) — *o> (o»i ) — *o >
Äl»(l»2) + *1>(0'1) = sl»
I , I
*2>(2>0) — *«>(l>2) == *a*
*
Die erste Zeichen • Combiuation liefert :
fü too> - *o> (o.i) - ± cos i (Wj _ Mü) cos ,(Ma _ 55 > :i
_ , r,ggnK*i— «*o)
<i>a>t) + *i'<ou)^+C08i(tta^Mi)coji(Mi^-) >
*2>(2>0) — ^^^±6081(1«*— ttJcOSiO*,— I«,)*
Die zweite Zeichep -Conibi»atioifr liefert:
Theil XXX. 3
»■ >/ i > "i
.'MI'.
$C Grunert: Viter dk* nächenkkält fm^ämrumeine £Mp—
r ginU«i+Ma — 9*V ;;
«6,(«,0) — *•> (0»1) - + co8 UUX — l*o) CO* i(Mt — ttj '
.'■■ • \ ; -v" . . «■•'
*i»(i»> + »i.(o»D-± cos i(«, - «1) cos 4(«i -wj ' '"
• . . * . *
__ ra sin i(2tfg— ii0 — u%)
H* (*o) — «4. (1 *)- + C08 .(Ma _ uj c08 i(^ __ ^ •
Die dritte Zeichen -Combination liefert:
r„ sin 1(1*«—^)
*o>(*o)-*d»(o»i)-± cos i(tli _u ) COsi(Ma — 1«0) '
» 1 >
_ rt sin »(?*,— 2üt-f tt0)
^(i.»)+^(oa)- + c08i(M2_ttl)c08j(Ml-tto)'
r9sini(2Ma — g,»— i^)
fetoo) «*(i*) — ±Cosi(w2 -m..)co».;(j», - «!>'
Die vierte Zeichen -Combination liefert:
i-osinaK+tt»— 2tt0)
^(w))--i6.(oa;-- + c08i(Wi_.M)cogi(M2_Uü)t s
1
__ _ r4sin •IOV--Wü)'
^^o)~^(i^-i-c08.(M2^i)co8,(M2_^)-
AU**, igt Mos« die erste Zeichten -Combination möglich, indem
man die oberen Zeichen nimmt. Daher ist
cos J(M1 — ««) , cos <i(tf2 — m,) , cos \(u.2 — u„) ,
so nie auch
tangi(w, —Mo), tana;i(t<2 — Mj), tangi(tc, — *,,)
■
respective
positiv, positiv, positiv
und man hat
r0sinJ(t/2 — ti,)
*o=+
*t= +
COsif*!— Wü)COSa(Ma — Mo)'
risinj(w2 — »„)
cosJ(Ma— M,)cosi(M, — m .)'
2 ^COS^t!,— <Utf)do«,(lls — tfj) '^i^S.'Ml
■ -. ■ i
t * • bmctoiüeuer Dreiecke nnd Viereck*. 55
uod ■"**
io,(0,i)= + IV) tangK^—uJ, *o,(*,o)= + »,otangi(ii2-tt0);
*i,a,a) — + rx tangS(ti,— «!), ii,(0,i) = + n tanglK — u0) ;
«,(ä,o) = +>*i**ngl(ut— m0), *2,(i,2) = + r9 tang|(w*— *«,)
r . ■ - .
zu setzen.
Das Product
tengi("o — wi)*ang i(^ — uj tang i(ii, — m0)
ist positiv, also
Z>=a6taogi(w0 — u,) tangi(w, -m,) tangj(tii— «J.
Der Zähler v*r>
.:<s
ist
sini(M2 — ti!)cosi(Ma— u,)— sinJ(Ma— «JcosJC11«— ^o)
+ sin i(Wj —u0) cos K*^ —m0)
= - i { sin (m0 — Uj) + sin (i^ — u2) + si o (m, — «0) }
= 2sina(M0 — w1)sini(w1 — M2)sin2(M9 — m0),
also:
ff ff ff
~T +ZT-» = '2tangi(M0 — «i)tangä(Mi— "a)tangJ(i*s — «„),
und folglich:
In dem Falle 111. müssen die folgenden Gleichungen erfüllt «eui:
«0,(0,1)— «0,(2,0) = «o»
«1,(0,1) — *1,(1,2) =*i,
12,(2, 0) + «2,(1,2) = «».
Die erste Zeichen - Combination liefert:
__ r„sin2(Ma— m^
«o,(0,i)-«0,(*,0) ~ + cos j(Wl —«0)co«i(iia -«„)*'
r, sin ^(211, — m, — m2)
51,(0,1) —*1,(1,2) - ± SwJ^TT^) COS 2(m, - Mo) '
_.'■' rasin2(2M8 — Mo— «i)
12,(2,0) +fa,(i,2X r^±^j(lirr^i,0)co8i£(ii, -^«T)*
3#
' r i
£6 Grüner t: toter den Fläcketdnkitit in eäer +M eine Ellipte
Die zweite Zeichen - Combination liefert:
r0 siu j(ttt »ftta^ 2q>> .
__ ^to,,)"^^)^±c<)fii(t<l,T-tl0)|B•ÄUM2,'^W»i, ■
*i»(o»i)~*i*(i»«)-±cogi(tta-|li)cosJ(lli_Mo)'
.„ rasin Ktia - Hp) .
Die dritte Zeichen - Combination liefert:
r0sini(«2~Mi)
— ■ rt sin 4(Ma— ftp)
*«» (2H>) X *2> (l »») — ±
^•i'.:
cos i(t«a — «o) cos i(«a — «i)
Die vterte Zeichen - Combination liefert:
. , . # _ . rpsinK^+^-^tto)
*o><»D *6><*o) - + cog i (Ui _ ^ co8 |(t£a _ -} >
*t»(2H>)X*2>(l>2) 1" „ne l /,. " \ _ÄO i, --V-
COS5(M2 — uo) COS 4(1^2 <Ui)
/. < ■ ■
Also ist bloss die dritte Zeichen -Combination zulässig, indem
man die unteren Zeichen nimmt. Daher ist
COS 1(1«! — «o) , COS 1(U2 <-Ux) , COS Ifa — U0) ,
«e wie
tangK«!— Mo), tangiCt^— ttj, tangj^ — Uq)
respective
negativ, positiv, negativ,
«od man hat
'.><! > Uli
_ rpsinJCtig— ux)
* "* cos \{ux — m0) cos J(«2 — Ho) '
9 _ ^sin^iig— k0)
1 COSi(W2 — «l)C(W J(w1 — tlp) '
rasinU«i~ «o)
ömckrH4e*irtfr*4**Ai*nd Vier***** Vt
*<M)=— »fctaogi^— k0), j^u«)=+ rmt*u$UH*-*d
10 setzen.
Das Product
tangJCno— *i)tangi(«i - umfang i(«i— «o)
ist positiv» also
<.
/> = aA tang l(«o — *i) tang J(«i — «*) tang ifa — «o)-
Darf Zahler tob
fo , h_ _ H
*o *i *%
ist
siniCuj— tt|) cqs 4(14 — Wi) — sin^t^— «o)co«4(«a — «fc),
~f 8iD i(«l — ' «0>«OS J(«! —Wo) *
=— Jlsm(wo— wj -f sittCtit— K^ + siofo— tio)|
== 2sinl(sio— «i)sin 4(«i — u^sin Ktta—Ho)»
tbo:
r + *- — |r =* * tang i(«o — «1 ) taug K«i — *t) tang i(u» - Uo) >
ro ri r«
tnd folglich
Iah habe diese Diseassion rfickuichttfch der Vorseicbcw vott*
sttodjg snU^etheilt, weil ich sie ftir lehrreich halte, und weil lei-
der in dieser Beziehuug noch vielfach gefehlt wird, indeh» mäh
sich häufig mit nur ganz oberflächlichen Anschauungsweisen zu
begnügten pflegt, was durchaus nicht zu billigen ist.
Im Allgemeinen schliesst man aus dem Vorhergehenden', dass
/JrsTofttangl^— «|)taiigl(tti — MaJtangiCtta— tio)
ist, mit der Bestinntidnfc; dass man in <{ieeer jedenfalls sehr merk-
vfrdigen Gleichung^ ckas nberto rät? untere Zeichen zu nehmen
L
58 ßrunert: Vtbtr den ilOchentnhalt in oder im eine FMtptt
hat, jenachdem Hie Ellipse innerhalb oder ausserhalb des Drei-
ecks liegt, von dessen drei Seiten sie hen'ihrt wird. Leicht sieht
man ein, dass der obige Ausdruck auch dann noch richtig bleibt,
wenn die Punkte Ait, A,, A., nur so auf einander folgen, dass
man sich, nenn man sie in der vorstehenden Ordnung durchlauft,
nach der Richtung bewegt, nach welcher die Anomalien gezahlt
werden.
Auch
Falle
* \r0 r, T rj
eiten Falle
ist
--Y
oder
/> =
nb(H
oder
ö =
§ u
4
-0-
-•$■
jenachdem die Ellipse unt
Seiten der die Ellipse in A
Seite des Dreiecks liegen
nähere Erläuterung findet.
Setzt man wie früher
das Dreieck auf entgegengesetzten
,, nder in A, , oder in A, berührenden
was in Taf.I.Fig.l. 1. Il.tll. seine
D= + at> langte lang iwtangi(i>-f ic),
nit derselben Bestimmung wegen des Vorzeichens wie oben.
Dass man über die der Ellipse umschriebenen Dreiecke Shi
liehe Betrachtungen einstellen konnte, wie ober die derselbei
geschriebenen Dreiecke, ist klar, bedarf aber einer weiteren Er-
läuterung hier nicht. Dagegen wnllen wir jetzt untersuchen, ob
aiich die umschriebenen Dreiecke ein Maximum oder ein Minimum
darbieten.
in-
Entwickeln \
i von I) in Be
auf
i Ende die partiellen Differentialquotii
und ic, no erbalten wir:
isjcacosi(o +«))*'
, ainipsin(ic + jp) ;
cos(iüscos»(p4 w)1'
k&fitoi&mer \4MeiMa\*md Vierte**. m\ x v 3}
«wlJiak** tl#Qi *ls ;(teitoei— irhaOlMi» He diogpngeo flea ttaskMw
nod Minimums die .Gleichungen: ••■ •♦ n
ei« £c08iii(t> +^w) as#,
sin £t> sVo (to +1r) = 0 5
welche ganz die nämliche Auflösung zulassen , wie dieselben Gtei-'
cboDgen in L, und daher zu den folgenden Wertheo von © und u
t? = j7r, w=ln, t? -J- ce = ja.
Hit Rüeksioht darauf,;, dass die vorstehenden, Gleichungen er-
füllt sind % and also auch nur für die denselben genügende,!) ^erthe^
tod v und v>, erhält man ferner leicht:
SPD __ j sinjifrcosfr-f *ip)
8»* "" T *tf6 cos Jt>»cos i(tT+w)* *
SPD sin Jt?cos(tc-f Jt>)
< -
and
oder
Sit2 * cosi«?acosi(p+«?)f
3*/> -iT . sin(o-f-<e) ..•
■
S? « x iab ""(" + «0 ,
cm«o C0e»tt>acoai(o + 1«)"
i 1 1<
•
♦ » • ■
1 1 i't i
' \
Weil nun
sinit> = iV3, cosJt? = £; sinic0 = £V3, cosl«? = J;
cos (v + %w) = — 1 , cos (w + lv) = — 1 :
.. sto(t>-f to)c£:— JV3, cos i(t>*f 10)05*»}' '
ist; so ist, wie man leicht findet:
ji .
* •
'i
^=±w3, g^*«*». ££:-«**** "
ttn: : • ; i • •
Vöww/ ctr pur i i- • •
Nimmt man also die oberen Zeichen, so sind die Grösse*
: -mD. SPD /8»/»\* 8«1> 8»Ä ' ■;
respective ,.
»positiv,, . ^, positiv % negativ ,
• «
* • >
• . j
Vettr dm f/äcAeittnualt rt oder um eine Ellipse
die Bedingungen des Minimums sind; nimmt man dage-
unteren Zeichen, so sind die Grössen
s*d <pd
respeetive
negativ , negativ , negativ ,
welches die Bedingungen des [Maximums sind.
Bestimmen wir nun aber den kleinsten oder grüssten Werth
vbh /> «erbst, so erhalten »vir, Indem das obere Zeichen dien
den ersteren. das untere sich auf den letzteren bezieht:
E + Bi.^_.^.^,
also
fi = ±3a6v3,
und sehen hieraus, dass das untere Zeichen, also auch das nbl)
Maximum, im vorliegenden Falle überhaupt gar nicht statthaft ist.
Uebrigens aber ersieht man auch auf der Stelle, dass die um
die Ellipse beschriebenen Dreiecke, ausserhalb welcher die Ellipse
liegt, bis zum Verschwinden klein werden können, wobei man
zugleich zu bemerken hat, dass die Gleichungen
sin}w«in<e + iw>) = 0,
sinWn^ + ^O
auch durch tt = ü, w = 0 erfüllt werden, was zu D=0 führt
Noch etwas Weitere.» hierüber zu bemerken, halten w
flüssig.
Die aus dem Vorhergehenden sieb ergebende höchst merk-
würdige Coustructi'ni des Maximums in I. und des hier in II.
Statt findenden Minimums ist nun folgende. Ueber der Hauptaxe
der gegebenen Ellipse") als Durchmesser beschreibe
Kreis, wie Tal. I. Fig. 2. zeigt, und theile diesen Kreis in d.
Punkten A»' , A,' , At' in drei gleiche Theile, wo Immer eim
dieser Punkte beliebig angenommen werden kann! Von diesen
Punkten falle man auf die flauptaxe Perpendikel, welche die
Ellipse in den Punkten A., A, , A? schneiden, verbinde diese
Punkte durch Sehnen der Ellipse und ziehe durch dieselben Be-
rührende an die Ellipse, so bestimmen die ersteren das Maximum
*) Man konnte am b die iVebenase wählen, in welcher Röcküct
Tbl. XXIV. S. 371. und tun Taf, Xll.Ftg. I, sn vergleichen
.
'* •■.*■'■ bucHHHetet BrtiHke und Wertete. • 41
«fr fe<M* Blfipstväfe tefeteren das* Mhrimfcni Äev um die ffllfyse
beschriebenen Dreiecke *). ■ " "! :
III.
Oas in die Ellipse beschriebene Viereck.
Vier Punkte A6t Alf A2, A% der Ellipse, die in dieser Ord-
nung auf einander folgen, so dass A0 der erste ist, auf welchen
man trifft, wenn man sich von dem Halbmesser der Ellipse an,
?on welchem an die Anomalien nach einer gewissen Richtung hin
vtrtt 0 Ms 860° geiählt werden, nach dieser Richtung hin1 bewegt,
seien durch die Anomalien ttw, ul9 utt, ua bestimmt; so ist, wenn
F den Flächeninhalt des in die Ellipse beschriebenen Vierecks
A0AiA2A9 bezeichnet, nach L offenbar:
F=z 2abs\n 1(uq — Mi) sin l(ux — tc^sin i(Ma — Oq)
+2ö6sinJ(w0— W2)sinJ(t% — M3)slnJ(M3— Mo)
=2a6sini(Ma-H«o)!8*nJ(«o— t^)slftl(ti,— tta)-sinJtt^^t%}^K%-:iBb))»
woraus man feruer mittelst ekliger leichten goniometrischen Trans-
formationen den folgenden merkwürdigen Ausdruck erhält:
F^ÖrrfrSin^Wa— «oJslniCtti — Ma^njftio— «! + tfa— V13). "
Bezeichnen wir die Selten
AqAj , AlA%i A^A^i A$Aq
des Vierecks A0AlAaAz durch
und die denselben parallelen Halbmesser der Ellipse durch
"*V»i » ri»a> *3>3» ni>t>
so ist nach I.:
^I=2sini(«1-«oi, J^-Bsin^-fi^ ^^sinjfo-t^,
Tq9i ri,% r2,3 *"
rSH>
•) Otelxer rite' Seiten, Winkel, «.s.w. dieser beiden Dreiecke lassen
•ich noch viele interessante Untersuchungen anstellen, und manche die-
selben betreffende merkwürdige Relatrohen finden, "was aber Altes nach
dem Obigen keiner Schwierigkeit unterliegt (und füglich dem Leser
überlassen werden kann. \ ? " .
$C Grunert: Dttor 4M Ftächeninhmlt m+lmr um eine EMf*
___ r ginifoi+tt» — 2nn): ■"
*0,(*^))— '•»(0»l)-+co8i(tt _„ ) C08j(", — Mj*
■ > . .'•••■.; .■-.«■•
. n wn K«« — «») . ■ ,lf,
*u(i»*) + *i»(oa)-±c08.(t<a_Ili)co8i(Ui_i4ü)' ' . *
r9sinl(2tt2— ti0 — t^)
Die dritte Zeichen -Combination liefert:
r„8ina(t*» — «Q
•<ö>(»o)- *6»(o>i) — ± cos t(Mi _M ) cos i(Ma _ tto) '
« ■ . i
__ 1 rt sin £(?*« — %ui + uq)
'i'(i'») + 'i'(oa)- + c08i(Ma_tti)co8i(tti _Mo)>
r98in K^2 — u« — «h)
**<*o) **(i*)— ± cog i(Mä _ Ml )eos i(tf2 - ux) '
Die vierte Zeichen -Combination liefert:
■ »
. _ r»sinU«i+»»— 2«o)
«o. (■*» ~ «o. (m J - + C08 . (Ui _ u _) C08 M-i _„„)'
__ rt sin j(«*i— 2«h + "o)
. __ __ iysin Ifa—Up) *
J^d-o)-^(i-*- + Cosi(«;'-il.) ei««!!.-«,)'
AUfe ist Wo88 die erste Zeichten -Combination möglich, indem
man die oberen Zeichen nimmt. Daher ist
C08£(tti — Mo) 9 COS«l(tfa — Ml), COSl(tt2 — W..),
8o wie auch
tangi(w, —M0), tang J(t«Ä — u,), tang l(u2 — «„)
respective
positiv, positiv, positiv
und man bat
r0sing(i/2 —m,)
*°~~ ' COS !(«! — Wo) COS 2(m2 — tt0) '
r, sin J(w2 — #*,.)
cos 1(^2— M,)cnsi(w, — M .)'
s = , rtaln ;(«,—!£„)
■1 ;'
■* < « fieectoieiener Dr Hecke nnd Vierecke. 95
und .Vi
#o,(o,i) = +ivte«gi(Kr--Ko)> *o,(2,o)== + *\>tangj("a-tt©);
#1,(1,*) = + rx tangf («*— »|); #i,(o,i) = + rt tang J("i — «0) ;
J»,(«,o) = + *s*«ng £(%—*«)• #2,(1,2) = + r2 tang|(*2— «,)
zu setzen«
Das Product
tang i(»0 — ?«i) tang i(ut — t^) tang 1(1^ — 1*0)
ist positiv, also
/)== ab tang i(«0 — u, ) tang i(w, - t*t) tang i(t*i— r< J.
Der Zähler toü
.:;s
#A *2
^ X -?- — Tl
r© r2 rf
ist
sini(M2 — t^Jcos^M»— ii,)— sini(»Ä— .«0)cosiC»t— te0)
+ sin J(ti| — u0) cos Jfa — m0)
= -it*in(t«0 — «fiJ + sinC»! — Ma) + sin(t*a^tt0)!
= 2sinJ(tt0— «!)8ini(ti| — M2)sini(t*a — w0),
also :
?2. + ^™ J =2tangi(M0— tfi)tangi(«C| — »*)tangj(u* — «,,),
r0 ra r,
und folglich:
In dem Falle III. müssen die folgenden Gleichungen erfüllt seitt.:
#0X0,1) —#0,(2,0) = *o *
#1,(0,1) —#1,(1,2) =*|»
,. #2,(2,0) +#2,(1,2) =#«.
Die erste Zeichen - Combination liefert:
• i:
_ roSina(tta — ux)
#0,(0,i) -#0,(2,0) - + cos'««, — «o) cos i(«. - ««) '
ri sin l(;2ii| — m. — u2)
#i,(0,i) -#i,(i,2) ==±-^7(^ _ Ml)cosi(w, -«„)'
, __ • ■" ra sin 1(2«» — m^— «i )
«2,(2,0) +f2,(i,2X r^±^s-i(ica^~l«0)cos«iia - t^)-
3*
44 Gruttert: Ueitr den Fletcheninkait in oder «m eine Ellipse
i cos i(«, - m„) | cos K»« — 2«! + b») - COS i(w, — 2u, + u„) |
=COBiK~«„)*ii1i(«1-KJ)8mi(«0-«1 +«,-«,);
folglich ist nach dem Obigen offenbar:
nj(n» — ttjsin^ifo-
9 = - ab -
»,)ginj(»0— «| +ut— »,)
(voraus sich, in Verbindung mit III., das folgende merkwürdige
Resultat ergieht:
F
j= — 2 cos J(b, — u„) cos iOa — »,,) cos Wh — M J cos i(uo — Ms) •
wobei wir zugleich noch bemerken wollen, das« nach I. und II.
auch
j=+2cosd(H,
mu) cos .!(w* — i^JcosJtttg — w,)
= + 2cosJ(k,
cjcosj^ — t*,)cosi(Ma— «n)
' die aus II. bekannten Vor-
ist, wo wegen des Zeichens i
schriflen gelten.
Nach den in II. bewiesenen Formeln ist auch, wobei die Be-
deutung einiger der nachher gebrauchten Bezeichnungen voi
aus Tat. I. Fig. 3 erhellen wird:
also:
Ut S' der Flächeninhalt des in Taf. I. Fig. 4. um die
beschriebenen Fünfecks, so ist hiernach und nach II.:
f^Cf-^l+^ + ^-fCf + '-f-")
i Vo r, r, rs/ i \ru rs rj
ab ftp' — 10" . Si s9 , »'—«■* , '*\
also:
■i _ ab (*<>
r~2 U
^
beschriebener Dreiecke mmd Vierecke. 4fr
Ist $" der Flächeninhalt des in Taf. I. Fig. 5. um die Ellipse
beschriebenen Sechsecks» so ist nach vorstehendem Ausdrucke
üQr den Flächeninhalt des Fünfecks und nach IL:
^~ 2Uo+'i ra + r,+ rj 2 U + U tj
also
ab /*>'—*„" . «l . *» . 's , *± — *S.*>\
Wie man auf diese Art weiter gehen kann, ist klar, und wir
werden daher hierdurch zu dem folgenden sehr merkwürdigen
allgemeinen Satze geführt:
Wenn 9 der Flächeninhalt eines um eine Elltpge,
deren Halbaxen a und 6 sind, beschriebenen beliebigen;
Vielecks von n Seiten ist, und die Seiten dieses Viel-
ecks durch
^0 > ^l » *2 * ^3 ' *4 > • • • • Sn— 1 5
die denselben parallelen Halbmesser der Ellipse durch
ro* T\* r2» *fc» 1^4» •••• t\i— i ■ '" "
bezeichnet werden; so ist immer ' l-
2 \r0 rt ra rs T
Jn-1/
Für den mit dem Halbmesser r beschriebenen Kreis geht hieraus
auf der Stelle die einfache, längst bekannte Formel
hervor.
Für so merkwürdig ich auch alle im Obigen bewiesenen Sätze
von der Ellipse halte, und so wünschenswerth es mir auch scheint,
dass diese Untersuchungen weiter geführt und, wo möglich, zu
noch grosserer Allgemeinheit erhoben werden: so will ich diesel-
ben doch , um dieser Abhandlung nicht eine zu grosse Ausdehnung
zu geben, Rh- jetzt abbrechen, indem ich mir übrigens vorbehalte,
auf dieselben zurückzukommen, insofern nicht ein Anderer dudiiKfr
veranlasst wird, diesen Gegenstand weiter zu studiren, was Mir
m grosser Freude gereichen würde, wobei es sich zugleich ganif
v*n selbst versteht, dass ich alle hierauf bezüglichen Untersuchung
gen sehr gern in diese Zeitschrift aufnehmen werde.
Auguttin Louis Cimchp.
Augustin Louis Cauchy *).
D'UKK LKTTHK I
. DB PALLOGX.)
Augustin Cauchy a eii le hnnheur d':ipparteuir ä cette blasse
moyenne de la sociale qui n'est exposee, ni .ins snnfl'rances de la
jiauvrele. ni aus dangers de In rithesse. Ne le -I aodt 1 78t* d'une
famllle pieuse, leg desordres qui suivirent cetteepoque n'alteisnirent
point .s.m enfance. Snn education classique, <:ommeiicee de lionno
heure |iar son pere, se cnntinua plus tard, sous d'haliiles pro-
fesseurs, ä l'er-ole centrale du Pantheon. II en sortit en 1804,
ä 1'ä.ge de quinze ans, apre« deux alinees de rhetnrique, renipor-
tant au concours general le deuxieme prix de discours latin; le
premier de version grecque; le premier de vers latin«, Celle uni-
versalite de succee lui Üt decerner par ['Institut la coumnne re-
servee ä l'elev« des ecoles centrales qui s'etait le plus distingue
en humauites.
Apres avoir suivi. pendant nne seule annee, le rours puMic
de mathematiques d'un uxcellent prof'esseur, Dinel. le jeune Cauchy
se trouva en etat de se prescnter aux exauiens d'admissinn de
l'Ecole polytechniqne. II Tut recu le deuxieme de la liste, en 1806,
ä Beize ans; et sea deux annees de cnurs etant terminees, il
sortit. le truisieme en 1807. En quittant l'ecule, il choisit la car-
riere des ponts et chaussees, oü il entra le premier desa promotion,
II en parcourut rapidcment les grades Interieurs, fut eniploye ä
{uusicurstravauxdecoristrucliou, et devint ingenieur en chef en 18'25.
N etant encore qu'aspirant ingenieur, le 6 mai 1811, a läge de
vingt-deux ans, il presenta ä la classe des sciences niaiheiua-
tiques de l'lnstitut un Memoire sur les pnlyedres geometriques,
qui fut extremem ent remarque. II y generalisait un theoreme
d'Euler, et cmnpletait la theorie d'une nouvelle espeee de polye-
•) GeiturLeti
AufuUtm Leuli CmHehf. 4f
drra rögafiers d&onverts par M. Poinsot. Legendre, le plusaua-
täte de nos gäoftiötres, regarda ce Memoire „corame laprodttt^
tion d'an talent dejä exe>ce\ et qui devait par la suite, obtenir de
plus grands succfcs." II engagea le jeune autenr a poursuivre ee
genre de recberches, pour tächer d'efablir un theoreme ägalement
relatif amc polyedres, que supposent certaines d^finitions dEuclide,
et doot la dämonstration n'avait pas encbre 4M obtenue. Oatfchy
la donna en 1812. Dans le rapport cjue Legendre en fit ä l'Aca-
dämre, II expriraa son approbatiön avec an etrtrafnement qui lui
etait peu ordinaire. „Nous n'avions voulu, dit-il, que donner une
id4e de oette demons*ration , et nous l'avons rapport ^e presque
tont entere. Nous avons akisi fourni une nouvelle preuve de la
sagacitl avec laquelle ce jeune geometre est parvenu ä vaincreuoe
difßculte qui avait arrtte' les mättres de Part, etqu'il importajt de
r&ondre pour perfectionner et Computer la theorie des corps solides.44
i
. Ges deux premiers meruoires de Cauchy auraient pu faire
pre>ager une aptitude special- et exclusive pour les probleraes de
g^ODiätrie pure.' On ne tarda pas ä s'apercevoir que la capacitö
de, ce jeune esprit avait une etendue bien plus grande. Dans les
anntfes 1813 et 1814, Cauchy produisit deux remarquables meV
moires de haute analyse; et en 1815, il präsenta un Memoire suc
la »theorie des nombres, oü il demontrait, en letendant, un tbeV-
rerae 4nopc4 par Fermat, th£orerae dont quelques particularitös
seulement avaient pu 6tre jusqu'alors etablies par les mathema-
ticiens les plus habiles dans ces matteres, Legendre et Gauss.
Cette m£me annee, l'Acadeinie avait propose, comme sujet du
grand prix de roatheinatiques , d'etablir la theorie de la propaga-
tion des ondes ä la surface dun fluide pesant, d'une profondeur
ind^finie. Cauchy resolut completement la question. Son Memoire,
qui fut couronne en 1816, est iraprime au torae Ier des volumes
de prix. II porte pour epigraphe ce vers de Virgile:
Nosse quot Tonti veniant ad littora fluctus. (Georg. II.)
applicatipn litt&aire d'autant plus heureuse que ce vers renferrae
Yänonce* complet et tout a fait exact du probleme propose*.
Ces de*buts si rapides et dejä si feconds d'un jeune homme
de vingt-sept ans, lui assuraient la premiere place qui deviendrait
vacante dans les sections mathematiques de l'lnstitut. Une cir-
constatice regrettable pour les sciences et pour lui-möme Fintro-
dntsit officiellement parmi eux. A la suite de la crise passagere
de* Cent Jours, une ordonnance royale, date'e du 21 mars 1816,
rätablit les anciennes acad^mies sous leurs de>iomiuations primi-
tives, d'Acadefnie francaise, des scFences, des inscriptions et
4Q AuyustiH LotUs Cui'clii/.
belles-leüres, des benux-arts, et lixa la. couiposition des acadt
mies restaurees, Dane Celles des sciences, denx nom* celebre*.
reu» de Carnot et de Monge, efaiiint reroplace« par deux noms
nouveaux, Breguet et Caucliy. Vers la Gn de 1813 Ciuphy fut
neiame professeur adjoint d'analyse ä l'Ecole polyteohnique, i-l
devint professeor titulaire en 1816. II etait, avant tnutaa flioses,
l'himirac du devoir. Appele ;i eusetgner, il tourna toutes se» pen-
see* vars rciitseisneiuent. De 1816 ä 1826, il publia s.in cours
d'analyse algebrique.de calcul diAarentjel, d'application de I analyse
infinitesimale ä la theorie de« courlies : trois ouvrages excelleots,
hien ordniines, procedant par des demonstrations toujours rigou-
reuses, et riches de detail? nouveaux; oü l'on ne saursit de sirer
tpi'uu peu de condesceudarice ä eclairer les abstraetions d« l'awi-
lyse par les considerations geomelriques. Dana cette meine periode
de temps, il publia un Memoire aur les integrales prises entre
des limiles imaginaires, qni a t;le puur plusieurs de aas jeunes
geometres l'nriirlne d'importants travaux. Tout cela ne sullisait
pa's encore ä son ardeur inlatigable. II entreprit et comnien^a de
faire parattre, en 1826, une sorte de revue peYmdique, propre i
tui, qu'il appela Earercicex matkimatiquei , oü toutes les parties
des mathematiques, les plus & lern entai res ctimnie les plus subli-
mes, etaleiit abordees avec tanl de ge'ne'raüte, de f'e'condite', de
pulssance invenlive, qua la lectiire de ces publicafinns, Abel,
un den plus profunda iuialystes de notre temps, e^crivalt ä un de
ses amis: „Caiichy est actuellement le georoetre qni coroprend
le mieux comment les mathÄmatiques doivetit etre e'tudiees." En
effel, les creations de metbndes et les aper<;us de voies nouvelles,
repandus dans ces exercices , ont ete, nnn-seuiement ponr l'uu-
teur, mais aussl pour beaueoup d'autres geometres, les initiatives
fecondes d'une mnltitude de hrillants travaux. Tauchy enntinua
la pnhlication et Talimentati'yn de ce tresor matbematique* jusqi
Son existence paisible, tonte concentree dans les jnies niora-
les et les purs plaisirs de i'irilelligence, se trnuva inopiuement
trouldce et brisee par la Evolution de 1830. A cette epoipie, II
etait marie et pere de deux lilles. II s'etait allie ;i une lamille
bouorable, dont la position sociale, les goflts, les setiliments,
etaient assurtis aux siens. Outre son eroploi de profeeseur ä l'Ecole,
polyteebnique, il oecupait une chairc a la Faculte des seien ces de
Paris, et il etait suppleant du cours de pbysique mathematiqii«
au College de France. Le gou verneinen t nouveau jugea necessaJrs
de Ugitimer ses titres de fait par un serment de ndelite iiiipo»^
ä tous les fonetionnaires publics, uieme a ceux qni n uvaient
ra-
.»■
AuffHstin Lauts Cauchy. 40
d'aotre Charge quo d'enseigner les sciences physiques ou mathe^
triatiqoes.
Cauchy se refugia en Suisse pour garder sa foi. La preseu« e
d'an gäometre de cet ordre, dans la patrie des Bernoulli et des
Euler, ne pouvait rester longtemps ignoree. Le roi de Sardaigne,
in forme' de sod exil volontaire, crea pour lui, dans l'universite de
Tarin« ane chaire speciale de mathematiques, que Cauchy vint
jtempfir avec äclat, tout en poursuivant ses autres travaux. La
France perdit ainsi un de ses geometres les plus illustres, un de
ses professeurs les plus habiles.
Dans rannte 1832, Cauchy quitta cette chaire hospitaliere,
ätant appele* k Prague par le roi Charles X pour etre attache' ä
l'äducation du comte de Chambord. Alors il fit venir pres de lui
sa femme et ses deux filles, suivit avec elles les princes ä Görz;
et pendant les six annöes que dura cette honorable tache, son
activite* incessante lui fit trouver encore assez de loisir pour com-
poser sur les diverses parties des mathematiques une multitude
de nrömohres pr^cieux, qui, aujourd'hui repandus en Allemagne,
sont pour nous tres-difficiles ä rassembler. Vers la fin de 1838,
les fonctions qu'il avait ä remplir £tant terminees , il se s^para de
son royal eleve dont il s'etait acquis. Taffection et l'estime ; puis
il rentra en France, et vint reprendre sa place parmi les membres
de l'Institut, sans autre condition que de le vouloir, comme cela
s'est toujours pratique. Des ce moment n'etant plus distrait, je
dlrais volontiere, contenu par aucun devoir de professorat, ne
sortant de ses calculs que pour s'occuper d'oeuvres morales ou
de bienfaisance que sa piete" et sa g^närosite" lui suggeraient,
Cauchy laissa epancher dans nos reunions l'intarissable abon-
dance de son genie mathematique. Pendant ces dix-neuf dernieres
annäes de sa vie, il composa, et publia dans les volumes de l'Aca-*
d^mie ou dans les comptes rendus , plus de cinq cents Memoire«,
outre une multitude de rapports sur les Memoires presQiites par
des Prangers. Dans v?ette masse immense de travaux, rapidement
produits, beaucoup ont une grande valeur propre; d'autres pre
sentent des initiatives d'id^es, de m et ho des, qui ont ete dejä ou
qui seront plus tard fecondes. Tous portent sur les sujets les
plus Kleves des mathematiques : le perfectionnement et l'extension
de l'analyse pure, la recherche et la determination directe des
mouvements plan Zaires et de leurs inegalites les plus complexes,
la the'orie du mouveraent ondulatoire de la lumiere considere dans
son eotiere generalis. Je me hörne ä cette indication sommaire.
Malheureusement sa preVipitation ä produire ne lui laissait pas la
patience de raürir ses travaux. Chaque voie nouvelle qui se prä-
Tlieil XXX. 4
50
Augnstln Louis Cauchy.
sentait ä son esprit le passinnuait exclusbement, et, pour I
suivre, il quittait coli« quFil avait couimcnce d'explorer, nieuie
sans avoir pris le temps de reeonnaitre jusqu'oü eile pouvait con-
duire. Pour aller plus vite, il condensait presque toujours ees
iinuveaux apercus dans des notations inusitees, qui les rendaient
inintcDiglbles a tout autre que lui, jusqu'ä ce qu'on se les füt ap-
propriees; et souvent il ne s'aper<,ut pas que ces iunovations ne
faisaient que deguiser sous une forme clrange des resultats dejä
connus. L'exuberance de son ge'oic n'aurait pii fitre contenue
qu'etant dirigee vers un but marque' par le devoir. II se pr^senta
i de le lui offrir.
En 1840, la mort de Poisson laissa une place vacante au bureau
des longitudes. Ce corps scientilique, de meine que 1'InstUut, se
renouvelait alors par l'election libre sous l'approbation du chel
de IK lui. Nons eJümes Cauchy ä l'unanimite. II etait evident
pour tout le munde que Cauchy ne preterait pas et ne pouvait
pas preter sercneiit; sa noniination ne fut pas ratifiee. La science
en souffrit, car, engage des lors par devoir dans les travaux
d'astronnmie , il s'y serait portö avec sou ardeur accoutumee, et
la roecanique Celeste lui nurait du tres-prnbablement des döcnu-
vertes dont eile sera longtemps prive~e,
Ce Tut en effet sa fidelite ä remplir un devoir pareil qui devint
l'oecasion et la cause du grand service qu'il rendit ä l'astronoruie,
en lui fournissant le moyen d'evaluer directement, par des Tor'
mules analytiques d'mie application generale et süie, les inegali-
tes a longues periodes des mnuvements planetaires, qui rendent
les tables de ces mouvemeuts prngressivement fautives tant qu'el-
les n'y sunt pas appreciees. Eu 1843, Cauchy se trouva ehurge
par l'Acailemie de verifier la determiiiatioii dune inegalite de cette
nalnre, que [VI. Le Verrier annoncait avoir döcouverte dans le
moiivement de la planete Pallas, et dont la periode embrasse
sept cent quatre- vingt-quinze annees. Elle elait Tort importante
ä connaitre, son effet, sur la longitude de la planete, surpassant
15 ininutes sexagesimales, dans son Maximum, d' apres l'evalualion
de M, Le Verrier. A defaut d'un procede d'amdyse direct, il
en avait obtenu la mesure par une Interpolation numerique cxlre-
mement hardie qui avait necessite d'immenses calculs. Pour sc
soostraire ä l'enorme travail de patience que la verification de
tant de nnmbres aurait exige , Cauchy rnventa une methode analy-
tique par laquelle toutes les inegalites de ce genre se determinent
directement, dans tous les eas, et avec d au tant plus de precision
qu'eiles sont d'un ordre plus eleve. II retrouva ainsi les chiffres
"
Augvt#n Louis Caucky. 51
dt M* h* V*wiex; el d&ormais, dans cß* problemes, Ja pnissance
4m h wence afesjtraite jvemplaca l'effort jwdjridjiel,
£■ 1848, Cauchy reprit, a la Faculte des seiendes de Pari«,
sa ehaine de mathejnatiques , la seule de «es anciennes piaces qm
m me ttouwkt pa« eceupee. x
Cn 1851, Cauchy cessa de nouveau son enseignement; mais
an pea ptus tard, le ministre de ['Instruction publique, M. Fortoul,
ohfint facilement de l'Empereur l'autorisation de le renvoyer tont
simplemerit ä sa cbaire, sans condition ni exigence pol Hi que, -Kai
laissant ainsi la liberte d'etre reconnaissant. II le fut aussi et le
teinoigna de 1a maniere la plus noble. Tont son traitement de la
Faetrltf se depensaft en oeuvres de bienfaisance pour la commune
de Sceaux, oü il residait. Et, une fois que le maire, qui etait
l'intermediaire eclaire de ses charites, lui temoignait quelque hesi-
tation ä le voir si prodigue: „Allez, lui dit-il, ne craignez rien.
(Test TEmpereur qui paye." Je ne crains pas de dire que cette
pajrpje est la r£corapeuse de l'Empereur.
L'expese' que je viens de faire des cireonstanees exterieure«
dans lesqneBes Cauehy a vecu, ne nous montre pas seulemesrt
ce qu'il a e*t£, mais ee qu'il aurait pu etre pour les scienees ma-
ttiematiques. Si«a vie, comnie celle d'Euleret de Lagrange, avait
pu a'&caxAet sans. trouble dans leurs paisibles speculatiens , il
aurait äbtf'une de leurs plus grandes lumieres. Par i'effietde l'in-
consfanee et du deserdre que les eveuements ont imprimes ä son
gdnie, Tinfluence qu'il a exercee sur efles ne «era completeraeot
sentie qn'apres q*e le temps en aura developpe toutes les conse-
quenees.
J'al seufement esquisse* ici 1e portrait du savant et de l'homme
lettre. Qui pouira petndre dignement l'homme prive, le lils affec-
ttonn^, le frere devoue, le bon pere de famille, le citoyen bien-
faisant; pour taut dire en un mot, le vrai chr&ien, remplissant
avee foi et amour tous les devoirs de loyaute, de probite, de
charitö affectueuse, que la religion nous prescrit envers Dous-memes
et envers les autres! On l'a vu s'oecuper ä faire du bien autous
de lui jusqu'a ses derniers moments ; attendant , aeeeptant La mort
avee la s&&iite' coofiante qu'une foi profonde peut seule inspirer.
Henreux eelui en qui Dieu, pour notre exemple, a voulu ainsi
reuair les dons du geVie et ceux du coeur!
Nachschrift des Herausgebers.
leb kann es mir nicht versagen, dem Obigen noch die scho-
nen Worte hinzuzufügen , mit denen der treffliche Tortot ini den
4*
52 iuguUJn Limit Cauchy.
Lesern seiner für die mathe malische Literatur so ungemein wich,
tigen Annaii ili scienze matematiche e fisiche Nachricht
von dem unersetzlichen Verluste gegehen hat, welchen die mathe-
matischen Wissenschaften durch Cauchy's Tod erlitten haben,
Worte, die, eben so, wie alte Schilderungen, die mir über Cauchy
bekannt geworden sind, darauf deutlich hinweisen, dass der Gntnd-
zug seines ganzen Wesens vor Allem wahrhaft christliche Gesin-
nung, fortwährender Hinblick auf das Höchste im Leben, dag
tiefste Recbtsgefühl und die aufopferndste Hingebung an die Wis-
senschaft und deren Mitlheilung an die ihm anvertrauten Schüler
waren. Möge Jeder in allen diesen Beziehungen ihn sich zum
Vorbilde nehmen! Wer aber soll und kann ihn ersetzen? Friei
seiner Asche! <
Necrologia.
Nel 23 Maggie 1857 cessö di vicere Agostino Luigi
Cauchy Membro dell' Accademia Imperiale delle Scienze dl
Parigi. [I gran Geometra ei trovava nel sessantottesimo anno di
sua vita toltagli da brevissima malattia. L'Esercizio piü scrupn-
Iobo di tutte le virtü cristiane specialmente diretto al bene del
euo prossimo, le grandi 6coperte in tutte le parti delle Matema-
tiche pure, ed applicate provenienti dalla sua straordinaria intel-
Hgenza resero questeuomo ammirabile a tutta l'Europa. Le Opere
pubblicate dal medesimo sono cognite ai geometri e la sua car-
riera seien tib'ca contava piü di einquantadue anni. Le Memnrie,
le no te, gli articoll, i rapporti sparsi nelle differenti collezioni
seientitiebe, e specialmente nei Campte* Rondits sono inmtniere-
voli. II Cauchy nei scorsi anni ci dava una speranza, che non
si e realizzata, cioe la puhblicazione d'un Trattato di Mecci
motecolare: a fronte di questo trattato si avea da porre il ni
roso Catalogo di tutte le Opere, Memorie, note da esso pubblicate
*) II coro pi lato™ di questo onlalogn c il t*. Juitten della CtimpBgnr.i
ili ficati. (tinvnne ;r«i>metra assai ilislintn. eil Antore dell' inleresiiante
Optra Innlo per gli allievi , qnnntn i prnfeasnri «nttn il titnlo ProMemes
de MecanUine vol. 2. in 8°. PrH« 1855 Che* Rnchtlier. II P. JullUn e
preaentementu atndente di Sacra Teolngro in Collejrio Romano cd avanti
In ans partcnxa da l'arigi nve» cnnsegnH tu al «ig. Badmlier il nnniinatn
(lataliigii per la «tainpa. Mi sia permeaso qui di faie nn'osaervazione
relativ» alle tre diverse (laterire da ine iicrnpate per l'inse^nnmentu in
Roma. Akuni dutti «träniert miei amiei < runfunilendo forse Ufiivernttä
Homana tun Collegio Rommio cred..n<> ehe io »in Professor»
II Cullegio Romano si chianin anclie inieeitila Grcgortaita; le j>u übliche
Je
7,
m
Augusttn Louis Cauchy. 53
II Canchy deve aver lasciato un gran nomero di Memoria
inedite, ed alcune di esse presen täte giä all' Accademia delle
Scienze da molti anni a questa parte. lo non dubito che T Acca-
demia medesima seropre intenta all' avanzameoto delle scienze vorrä
presto collocarle fra i volami delle sue Meniorie, e si conoscerä
sempre piü quanto grande, ed irreparabile sia stata la perdita dt
qoesto uomo, che al suo alto sapere congiungeva un' esattissima
- osservanza di tutti i suoi doveri Christiani. Io penso di non poter
termioar meglio il breve cenno dato del Cauchy se non col ripe-
- tere le stesse parole, che il medesimo diceva di Ampere alla
fioe di una sua lunga Memoria litografica pubblicata a Praga nell'
Agosto 1836 sur la theorie de la Lumiere 9 quäl Memoria io con-
servo diligeotemente come una delle prirae gentilmente donatemi
dal)' Autore, da che fu da me conosciuto in Roma nel 1832. li
Cauchy adunque alla pag. 90. ed ultima di questa Memoria dice
che alcuni resultati sulla teoria della luce erano statt giä da esso
comunicati a Mr. Ampere „qui apres avoir sur la terre par ses
importantes decouvertes dans plusieurs branches des conoaissan-
ees humaines, montre* jusqu'oü peuvent atteindre les ressources
de l'analyse, et les meditations de la science, est alle dans une
meilleure patrie contempler la beaute supreme de ce Dieu de-
vant lequel s'abaissait son puissant genie, et se plonger avec
„delices dans la vive et douce lumiere de l'Eternelle Ve>ite\"
B. T.
9»
9»
W
»9
»f
•coole di questa Uniyersitä sono affidate ai P. Gesuiti exclusivamente, e
oon appartenendo io a qnesto Ordine Religioso non posso occapare in
qaella alcnna Catedra. lo sono Professore nel Cotlegio Uröano celebre
Collegio detto di Propaganda- Fide, e fondato da Papa l rbano VIII per
le Missioni Catioliche nei paesi esteri. In qualche circostanza, il titolo
di Professore al 'Collegio Urbaoo di Propaganda -Fide e* stato cangiato
in Collegio Romano della Propagazione della Fcde, come pure per
fUnWersita Romana della Sapienza, si e" detto Collegio Romano della
Sapienza. Infine il Fontificio Seminario Romano nel quäle anche son
Professore e" sotto la cura immediata dell' fimo Cardinal Vicario pro
tempore. Le scuole di questo Seminario sono affidate ad Ecclesiastici
•ecolarij cioe non spettanti a special i Religiöse corporazioni.
Veber die Auflösung
IT.
Ueber die Auflösung der Gleichungen durch Näheru
Von
dem Herausgeber.
Bei der Auflösung der Gleichungen durch Näherung hat mir
oft eine, auf eine einfache Transformation der Gleichungen sich
gründende Methode sehr gnfe Dienste geleistet, die ich in diesem
Aufsätze mittheilen will. Ich weide diese Methode zuerst an den
Gleichungen des fünften Grades erläutern und dann einiges All-
gemeinere über dieselbe beibringen.
Dia aufzulösende Gleichung des fünften Grades
ax* + bx* + cxs + dx* + ex + f=Q.
Line neue unbekannte Grösse u einführend, setze man
wo st und " immer glei
leicht findet:
Vi — «»'
Vorzeichen haben, so ist,
"Vl + j
"""•"
woraus man sieht, dags sich die erste Gleichung, insofern sie
überhaupt reelle Wurzeln hat, immer durch reelle Werthe von u
erfüllen lässt, die, absolut genommen, nicht grösser als die Ein-
heit sind oder zwischen den G ranzen —1 und | 1 liegen. Führt
man nun den obigen Ausdruck »on x durch u in die gegebene
Gleichung ein, so wird dieselbe, wie man leicht findet:
aa» + cwB(l— m^ + cmCI— ua)a i
+ I6ii* + rfa*(i— w^ + Ai— MVl^nr^ö f _
der Gleichungen durch Näherung. 55
oder, weil
on* + cu*(l — u*) + en(l — t*Ä)*= (a—c + e)u* + (c— 2«)ü» + eu»
bti*+du*(l-u*)+f(l-u*)* = (b-d +/)ii*+ (d— 2/e)uH/r
ist, wenn man der Kürze wegen
0(a) = (« - c + e)v*+ (c~2e)u*+eH,
^W^I(Ä-(/+/)«H(rf-2/)ttH^JVT^
oder
0(u) = {(a — c + e)«* + (c— 2e)iia + e)t«,
0,(u)={(6— d + />*+ (rf -2/) a« +/•( Vl^w*
setzt :
<P(t») + 0>1(i«) = 0.
Bestimmt man nun aus dieser Gleichung durch Näherung die
Grösse u, wobei man den grossen Vortheil hat, dass man weiss,
dass u zwischen den Gränzen — l und + 1 liegt, oder dass der
absolute Werth von u nicht grösser als die Einheit ist, so kann
man x mittelst der Formel
u
x=z
\^1 — u*
berechnen, d. h. für jeden der Gleichung
<D(m) + 0>1(m) = 0
genügenden Werth von u den entsprechenden Werth von x finden.
Zu bemerken hat man hierbei, dass, was für die Leichtigkeit
der Rechnung ein nicht unwichtiger Umstand ist, für absolut
gleiche, aber entgegengesetzte Werthe von u die Werthe von
0(u) absolut gleich und entgegengesetzt, die Werthe von Ot(u)
aber einander gleich sind.
Der Kürze wegen werden wir im Folgenden
fXu) = <P(a) + Ox(u)
setzen, so dass also
56 Grünen: Veber die Auflösung
F(u) = t}
die aufzulösende Gleichung ist, und nullen nun diese Methode
durch ein, so weit ca hier imthig ist, vollständig ausgerechnet!
Beispiel erläutern, indem wir nur noch bemerken, dass man die
aufzulösende Gleichung aucb unter der Form
(q— c+e)u4+(f-2e)ua+*i VT^a*
darstellen könnte, was manche Vortheile, aber auch manche Nach-
theile haben wurde, hier jedoch jetzt nicht weiter erläutert werden soll.
Die aufzulösende Gleichung sei die Gleichung
x*— 3a:*— 24x* + %x*-46x — 101 = 0,
berühmten Werke mehrfach als
welche aucb Fourier
Beispiel gebraucht hat
ist:
3, c=-24, d=Ua,
-46, /■= — 101;
als.
a— e + e = -2l, c— 2e= + 68, e = -46;
6— <Z + f=-190j d— 2/= + 297, /■= — 101 ;
folglich:
*(«) = - 21k" + 68«3— 46m ,
«,(«)=— 19«!!* V^T^m»+297u* Vf^wä— 101 VT-
<P(«) = (— 21k* + 68k2— 461 «,
«,(«) = (— 199w* + 297k»— 101) VT^*.
leb habe mir nun zuerst die folgenden Tafeln berechnet, welche
bei allen solchen Rechnungen Anwendung finden, und ab
ein für alle Mal berechuet zu werden brauchen, wobei ich die
weitere Ausdehnung dieser Tafeln für sehr wünschenswert!] halte
und hierüber weiter unten noch Einiges sagen werde.
der Gleichungen durch Näherung.
57
u
U*
u
i«
u«
u
i«
ob"
0,00
0,000
0,0000
0,00000
0.1
0,01
0.001
0,0001
0,00001
0.2
0,04
0,008
0,0016
0,00032
0.3
0,09
0.027
0,0081
0,00243
0.4
0,16
0,064
0,0256
0,01024
0.5
0,25
0,125
0,0625
0,03125
0.6
0,36
0,216
0,1296
0,07776
0.7
0,49
0,343
0,2401
0,16807
0.8
0,64
0,512
0,4096
0,32768
• 0,9
•
0,81
0,729
0,6561
0,59049
1.0 1,00
1,000 1,0000 1,00000
«
Vi—»»
4
»Vi— u»|a»V 1-a»
u»V 1-tt*
«*Vl-M*
<mT
1,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,1
0,99499
0,09950
0,00995
0,00099
0,00010
0,2 0,97980
0,19596
0,03919
0,00784
0,00157
0,3 0.95394
0,28618
0,08585
0,02576
0,00773
0,4
0,91652
0,36661
0,14664
0,05866
0,0-4346
0,5
0,86603
0,43302
0,21651
0,10825
0,05413
0,6
0.80000
0,48000
0,28800 | 0,17280
0,10368
0,7
0,71414
0,49990
0,34993
0,24495
0,17147
0,8
0.60000
0,48000
0,38400
0,30720
0,24576
0,9
0,43589
0,39230
0,35307
0,31776
0,28699
1,0
0,01
KXX)
0.0C
1000
0,0(1
1000
0,00000
0,00000
Ich habe diese Tafeln des allgemeineren Gebrauchs wegen
hier mitgetheilt, bemerke aber, dass die fernere Berechnung des
vorliegenden Beispiels nicht mit Hülfe derselben, sondern auf
ändere Weise mittelst der Logarithmen geführt wor-
den ist, weshalb ich noch besonders hinzufüge, dass für
58 Grünen.- Ueber die Außvmtig
* = 0,0 resp. log^I
— 5 = 0,0000000
= 0,1
= 0,9978176—1
= 0,2
= 0,9911356-1
= 0,3
=0,9795207-1
= 0,4
= 0,9621397—1
= 0,S
= 0,9375307-1
= 0,6
= 0,9030900—1
= 0,7
= 0,8537851-1
= 0,8
= 0,7781513—1
= 0,9
= 0,6393768—1
= 1,0
= -»
ist. Da an den Zahlen der zweiten der beiden obigen Tafeln nach
den gewöhnlichen Regeln mehrfache Abkürzungen angebracht sind
nnd dieselben nur bis zur fünften Decimale richtig sind, so kön-
nen die mittelst dieser Tafeln berechneten Resultate nicht ganz
mit den im Folgenden angegebenen, auf andere Weise gefundenen
Zahlen Übereinstimmen, was ich hier ausdrücklich bemerke, um
jedem Missverständuisse vorzubeugen, wenn sich, wie dies
wirklich der Fall ist, Abweichungen der iin Folgenden ent-
haltenen Zahlen von den mittelst der obigen Tabellen erhaltenen
Zahlen zeigen. Es ist und soll ja Alles hier nur beispiels-
weise gegeben sein, Die weiter unten folgenden Beispiele sind
mittelst der obigen Tafeln berechnet.
Für die Functionen 0>(w) und ^{w) habe ich nun die in der
folgenden Tafel angegebenen Werthe erhalten:
u
«(«)
»,(«)
0,0
f 0,00000
- 101,00000
0,1
— 4,83037
- 97,55842
0,2
— 8,66-272
— 87,63136
0.3
— 12,01503
- 72,38672
0,4
— 14,26304
— 53,68437
0,5
— 15,15625
- 33,93739
0,6
— 15,14496
— 15,89632
0,7
-12,40547
— 2,32089
0,8
- 8,86528
+ 4,54176
0,9
— 4,22829
+ 3,92567
1,0 + 1,00000
+ 0,00000
der Gleichungen durch Näherung
SO
und hieraus haben sich mir ferner, mit Rücksicht auf die oben
gemachte Bemerkung über die Werthe, welche <ß(tt) und #i(m)
für absolut gleiche, aber entgegengesetzte Werthe von u erhal-
ten, für F(u) die folgenden Werthe ergeben:
u
-0,9
—0,8
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
—0,2
-0,1
T0,0
+0,1
+<W
+0,3
+0,4
+0,5
+0,6
+0,7
+0,8
+0,9
+ 1,0
fXu)
.:•::
- u
+ 8,15396
+ 13,40704
+ 10,08458
— 0,75136
— 18,78114
— 39,42133
|— 60,37169
— 78,96864
— 93,02805
—101,00000
—102,08879
— 96,29408
— 84,40175
— 67,94741
— 49,09364
— 31,04128
— 14*72636
— 4,32352
— 0,30262
+ 1,1
1X11!
Hieraus sieht man, dass unsere Gleichung zwei reelle nega-
tive Wurzeln und eine positive Wurzel zwischen
— 1,0 und —0,9; -0,7 und -0,6; +0,9 und +1,0
hat ; und da man nun schon so enge Gränzen dieser reellen Wur-
zeln kennt, so hat es gar keine Schwierigkeit, dieselben selbst
durch die einfächsten and elementarsten Näherungsmethoden mit
jeder beliebigen Genauigkeit zu finden. Sind a und b die beiden
Gränz werthe von n, und A und B die beiden entsprechenden
Werthe von F(u), so findet man einen neuen Näherungswerth von
u mittelst der bekannten Formeln:
teöer die wflfisimg
.< = »--„--,».
B—A"~" B
i berechnet
Fourier, der, nie gesagt, dieses Beispiel auch I
hat, findet nach Heiner Methode auch drei reelle Wurzeln; unsere
Methode führt aber immer zugleich auf schon sehr enge Gränzen der
Wurzeln, von denen man \ ittelbar mittelst der einfachsten und
leichtesten Methoden zur weiteren Annäherung Gebrauch machen
kann.
Ueher die Art der beiden anderen Wurzeln, »eiche aussc
den drei vorher gefundenen reellen Wurzeln die Gleichung noch
hat, lasst sich im vorliegenden Falle auf folgende Weise urlheilen.
Die Gleichung, mittelst welcher u gefunden wird, ist nach
dem Obigen:
\(a-c+e)u*+(c-2e)u*+e\K+Kt>— d+f)u*+(d— 2/)n*f/lVT^Äa
oder, wenn man diese Gleichung rational macht;
|(a-c+e)K*+(c-2e)«»+ela«a+l(6-d+/)»H(rf-2O«,+/'ls(«a-l)=0,
wo nun «* die unbekannte Grosse ist. Entwickelt man diese
Gleichung nach den Potenzen von u, beschrankt «ich dabei aber
auf die beiden Anfangsglieder und das Endglied, so erhält man
die Gleichung:
,. . ai<«-c-f«)(c-2«H(*-«*-f/)(rf-y?ilt.
cnen
isser
och
en.
ich
„
eren Wurzeln wir durch a, ß, y, ö, f bezeichnen wollen, so
!>■ also
,.,,,.,,,_ 2|(a-ct>)(c-2«)t(B-rf-r/1(rf-2/)|
» + ?+)• + » + .- („_c + <), + („_d + rt,
t. Nach dem Obigen ist also, wie man leicht findet:
der Gleitkungeit äureh Näherung. 61
j.*. ^a_l mm «^ 10201.
* «+/» + ? + * + «= 40042' eft^e = 4ÖÖ43'
oder:
«+P+y+* + * = 3,023; «0y6a = 0,255.
Sind nun a, ß, y die drei reellen positiven Wurzeln , welche nach
dem Obigen die vorstehende Gleichung hat, so ist nach der obi-
gen Rechnung:
0,81 <«<],00
0,36 < ß < 0,49
0,8l<y<l,00;
also :
l,980<a + jHy<2,49U
0,236 < aßy < 0,490.
Die beiden anderen Werthe von u, um deren nähere Bestimmung
es sich hier handelt, sind entweder beide reell oder beide
imaginär. Sollte nun das Erste der Fall sein , so würden 8 und *,
die beiden entsprechenden Werthe von tta, zwei reelle positive
Grössen sein; und nach dem Obigen hätten wir offenbar die fol-
genden Vergleichungen: »
1,980 + 8 + €< 3,023 < 2,490 + 8 + e,
0,236 . 8s < 0,255 < 0,490 . 8$ ;
woraus sich
0,533 <$ + *< 1,043,
0,520 < 8s < 1,081
ergiebt Weil nun hiernach
« + *< 1,043
und nach dem Obigen 8 + s positiv ist, so ist
(<5+e)*< 1,088;
und weil
ist, so ist
also:
8t > 0,520, also 4ös > 2,080
(<$+€)«_4fo< 1,088 — 2,080;
6* — 2d* + **< — 0,992
oder
Grünen: lieber die Miflfisung
(o — *)»<- 0,992,
was offenbar ungereimt ist, da (Ö — e)a stets eine positive Grösse
ist. Daher igt die Annahme falsch, dass die Gleichung ausser
den drei oben gefundenen reellen Wurzeln noch zwei reelle Wur-
zeln habe, und diese beiden noch übrigen Wurzeln sind folglich
imaginär, so dass also die Gleichung überhaupt eine negative
Wurzel zwischen — 1,0 und — 0,9 ; eine negative Wurzel zwischen
— 0,7 und —0,6; eine positive Wurzel zwischen +0.9 und +1,0;
und zwei imaginäre Wurzeln hat. Dass auch .r zwei reelle nega-
tive Werthe, einen reellen positiven Werth und zwei imaginSre
Werthe hat, versteht sich nach dein Obigen von selbst
Die cubische Gleichung
ux* + bx* + cx + d = 0
liihrt mittelst der obigen Transformation zu der Gleichung
i(0-,.>* + C|« + !(&-</) «*+</: vT^ä=0,
so dass also liier:
(P{M)=|(n— c)u* ic\u,
0», (u) = I (b - d) u* + d I VT^S«
»rlei
a>(«) =
{a-c)u*-\-cu.
ist. Auch hier setzen i
F(u) = d>{u) + Qlu).
> oft als Beispiel gebrauchte Gleichung
') Schon Newton hat diese GleiihuuK als Itei^ie! bemittl. ...,
■ and dal folgende Reinfiel sind mjflelnt der obigen Tabellen gerechni'I.
der Gleichungen durch Näherung,
63t
um) folglich:
«(«) = (8«»-2)« = 3««-2*,
«,(«) = (5m« — 5) VT^ü* = 5u» VI—«* - 5 VT^Tt?.
Mit Hälfe der beiden obigen Tabellen erhält man mit der gross-
ten Leichtigkeit:
u
ÖjÖ
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0'
und hieraus ferner :
T 0,00000
-03700
— 0,37600
—0,51900
-0,60800
-0,62500
-0,55200
-0,37100
—0,06400
+ 0,38700
+ 1,(
®i(»)
III
—5,00000
— 4,92520
-4,70305
—4,34045
— 3,84940
—3,24760
—2,56000
— 1,82105
-1,08000
—0,41410
I 4-0,00000
u
-llÖ
-0,9
—0,8
-0,7
-0.6
—0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
+0,0
+0,1
+0,2
+0,3
+0,4«
+0,5
+0.6
+0,7
+<*8|
+0.9
+1,0
T\u)
-1,00000
—0.80110
-1.01600
- 1,45005
—2,00800
—2,62260
-3,24140
—3,82145
—4,32705
- 4,72820
-5,00000
—5,12220
—5,07905
- 4,85945
- 4,45740
—3,87260
-3,11200
—2,19205
-1,14400
-0,02710
+ 1.00000
64 Grunert: üeber die Anflötunff
Also hat die Gleichung eine reelle positive Wurzel zwischen
+ 0,9 und 1,0; und die weitere annähernde Bestimmung dieser
Wurzel unterliegt nun nicht der geringsten Schwierigkeit.
üeber die Art der beiden anderen Wurzeln kann man auf
folgende Weise urtheilen.
Die Gleichung, aus welcher u bestimmt werden muss, ist
nach dem Obigen:
t(a-c^Hc)tt + |(6-«f)aH^i^r=:«* = 0,
oder, wenn man diese Gleichung rational macht:
l(a— c)tt2 + c|«it*-|-{(6--d)t«* + d)*(t«»-- 1) = 0;
folglich, wenn man nach Potenzen von u ordnet:
„« . 2l(«-c)c-Kfe-ri)rf| rf«
+ (a-c)af(6-d)9 u -■• (a-c)* + (b— rf)»~u*
und daher in dem vorliegenden speciellen Falle:
oder
ue — 1,824. w4 .... — 0,735 = 0,
so dass also, wenn wir uns ahnlicher Bezeichnungen wie oben
bedienen,
« + jS + y= 1,824; aßy = 0,735
ist.
Nach dem Obigen ist
0,8J <«<1,00:
also:
0,81 + jS + y<l,824<J,00+(3 + y;
O,81.0y<O,735<l,Oö.|fy;
und folglich:
0,824 <ß+y< 1,014;
0,735 <ßy< 0,907.
Wären nun die beiden anderen Wurzeln unserer obigen Gleichung
auch reell und folglich ß und y reelle positive Grössen, so wäre
dtr- 4>UMumn dmreh fiäktmm- 96
(ß+y)*< 1.028; ■■'■«■■••
4ßy> 2,940; ■ . , •
(/J + y)« - 4fr <- 1,912;, ... ,
fo,8,lc!1 .-„ . , '■:.-.,.. . ->.,!
• >p2ft,.+ y,'<-1'912 oder Wy)*<-Ü»V „(il
was. ang^reimt ist. {Daher sind die beiden anderen Wurzeln
imaginär. '
Dieser Weg, ober die Art der noch übrigen Wurzeln zu ur-
theilen, führt bei dieser Methode der Auflösung numerischer Glei-
chungen meistens zum Zweck. Indess sind die obigen Näherungs-
rechhungen' gewöhnlich schon so genau , und geben > elnetf tfo
deutlichen Aufaobluss über die Natur aller Wurzeln, das« dergleichen
besondere Beurtheilungen über die Art der noch übrigen Wurzeln,
wie die vorhergehenden, die wir nur deshalb ' toitgetheilt' haben,
weil wir sie an sich für lehrreich halten, nur seilten erforderlich sind.
Da die hier behandelte Gleichung also nur eine reellej \y ujH .
zel bat.» so will ich zum Ueberfluss noch zeigen, wie man die-
selbe'mittelst der im Obigen angegebenen Formeln:
«— b A , <*— b D b—a b — a „
* ;:..!
durch weitere Annäherung finden kann.
Nach dem Obigen sind die Gränzen der zu findenden Wurzel :
+ 0,90000 und + 1,00000; < W.
und die entsprechenden Werthe der Function F(u) sind :
. — 0,02710 und + 1,00000. .
Man wird also zuerst setzen: ,; „;, jv(m
a=0,90000i , J=-0,02710
6=1,00000 fl=fl,Qp00Ö
6— a= 0,10000 B-A= 1,02710
;!...• ■■•.•
log(6-a)==94JQP0(»0--l
log A= 0,4329693 -2„
0,4329693—3« <■ ■
log(Är-J)==0,OHßl27 , , , i. ■ ; •
Theil XXX. 5
«•
Ormmert: Otter «t» HmflHtm§
«= 9,90000
-1-0,00264
*
u= 0,90264
logt*= 0,9555146-1
*
log.«> = 0,9110292-1
«•=0,81476
log.«» = 0,8665438-1
1 - «•=0,18524
log (1 — «*) =0,2677848— 1
log V 1 — «»=0,6338674— 1
log 3 =0,4771213
3»>= 2,20630
log. u8 =0,8666438-1
2«^- 1,80628
0,3436651
«(«)*=+ 0,40101
log 5 =0,6089700
■
log. «*= 0,9110292— 1
log V 1 -««=0,6338674-1
,
0,2438566
log 5 =0,6989700,
log V 1— ««=0,6338674 - 1
0,3328374,
Man wird also nnn farner setzen
1,75330
—2,15198
-0,39868
+0,4011»
«(«0
F(tt)=+ 0,00234
a = 0,90000 A = - 0,02710
6=0,90264 B= + 0,00234
and findet hieraas auf ganz ähnliche Art wie vorher :
■-. -
ti = 0,90243
*
Setzt man jetzt also:
a! 0,90000
6=0,90243
so findet man wieder
w = 0,90243,
und ist also jetzt, nur fönf Decimalstellen berücksichtigend, mit
der i* dieser Weise geführten Rechnung su Ende.
F(ti)= + 0,00004.
A = — 0,02710
B= -1-0,00004,
4if 9MckuM§en durch Näk*ru*$. §7
Nun ist x mittelst der Formel
u u
su berechnen. Es ist sn dem Ende:
ti= 0,90243
1 — u= 0,09757
1 + «= 1,90243
log(]_tf)= 0,9893163-9
iog(l + u)=J
0,2793018
69
log(l— «*) = 0,2686250—1
|ogVT=u«= 0,6343125—1
logtf= 0,9554135-1
logar= 0,3211010
•ss 2,09459.
Caachy, der dieses Beispiel im Cours d'Analyse algl-
brique. p. 505. nach seiner Methode behandelt bat, findet:
x = 2,0945515.
Die Berücksichtigung einer grösseren Anzahl von Decimal-
stellen nach meiner obigen Methode macht die Arbeit nicht sehr
beträchtlich beschwerlicher.
Wir wollen auch noch die gleichfalls häufig als Beispiel ge-
brauchte cubische Gleichung
** — 7a? + 7 = 0*)
betrachten.
In diesem Falle ist
a = l, 6 = 0, c = — 7, d=7;
also:
o— c=8, 6 — rf=— 7,
und folglich
0(u) =(8w*— 7)w = 8**~ 7ii,
QtM^i— 7t««+7)VT^i?=— 7ti» VT^ + 7 VT^Ä
•) Dieae Gleichung hat, *o wie aaoh die obige tcbon ron New
ton benotete Gleichung, insbefondere Lsgrange gebraucht
68
Grüner t: Veter tUe Am/Uutmg
Mittetat der beiden Tabellen erhalt man':
u
o;i
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
und hieraus ferner :
-.1
<P(u)
*i(«)
T 0,00000
+ 7,00000
—0,69200
-1-6,89528
—1,33600
+ 6,58427
— 1,88400
+ 6,07663
—2,28800
+ 5,38916
-2,50000
i
+ 4,54664
—2,47200
+ 3,58400
-2,15600
+ 2,54947
—1,50400
+ 1,51200
-0,46800
+ 0,57974
+ 1,00000
+0,00000
u
-0,9
-0,8
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
+0,0
+0,1
+0,2
+0,3
+0,4
+0,5
+0,6
+0,7
+0,8
+0,9
+1,0
F(u)
IX II
-1,<
+ 1,04774
+ 3,01600
+ 4,70547
+6,05600
+ 7,04664
+ 7,67716
+ 7,96063
+ 7,92027
+ 7,58728
+ 7,00000
+ 6,20328
+ 5,24827
+ 4,19263
+ 3,10116
+ 2,04664
+ 1,11200
+ 0,39347
+ 0,00800
+ 0,11174
+ 1,1
II III
• i t '■'
f i « . •
■ ^
1 . ' ' ' : •
• i . . ' '■ J . ? ■ » -
d$r GtMekun§*n äurcA Näherung 08
Aus diesen Zahlen, die sich mittelst der obigen Tafeln in
ungemein kurzer Zeit berechnen lassen, schliesst man, dass die
gegebene Gleichung jedenfalls eine reelle negative Wurzel zwi-
schen — 1,0 und — 0,9 hat. Weil ferner
F(+ 0,8) ss + 0,00800
ist, so hat die Gleichung offenbar eine reelle positive Wurzel,
die sehr nahe + 0,8 ist, und da eine eubiscbe Gleichung nie zwei
retolle und eine imaginäre Wurzel haben kann , so müss unsere
Gleichung nothwendig noch eine dritte reelle Wurzel haben. Da
das letzte Glied der cubischen Gleichung
ar8 — 7a: + 7 = 0
positiv ist, so ist das Product der drei Wurzeln negativ, qn4 die
dritte reelle Wurzel, welche die Gleichung nothwendig noch haben
rouss, muss folglich positiv sein, so dass also die Gleichung
eine negative und zwei positive Wurzeln hat, was auch ganz mit
den anderweitig gefundenen Resultaten übereinstimmt. Wo man
die beiden .positiven Wurzeln zu suchen hat, ergiebt sich aus dem
Obigen auf der Stelle ; dieselben können aber nur durch weitere
Tbeilung der betreffenden Intervalle und die bekannten Näherungs-
methoden gefunden werden, was einer weiteren Erläuterung nicht
mehr bedarf. Im vorliegenden Falle fällt übrigens sehr leicht In
die Äugen, wie man sich zu verhalten hat; denn da die den
Wertben +0,8 und +0,9 von u entsprechenden Werthe von
fXt«)=<P(w)+ <2>i(«) der Null am nächsten kommen, so setze man
einmal
tt= + 0,85;
dann ist:
ua = 0,7225
l-u* = 0,2775
and berechnet man nun, was sehr leicht ist, die entsprechenden
Werthe von 0(u) und Ot(u) mittelst der Formeln :
0>(t0 = 8tis— 7w, <P1(M)=^7(l-tt*)*;
so erhält man :
0(u) = - 1,03700
<P1(a)= + 1,02328
F(u) =-0,01372 '
ufid es ist also :
70
trnnert: üeötr die Amflösun?
u
+ 0,80
+ 0,85
+ 0,90
F(u)
+ 0,00800
-0,01372
+ 0,11174
Also Hegen die beiden positiven Wurzeln der Gleichung zwUchen
+0,80 und +0,85 und zwischen +0,85 und +0,90. Dieselbe
hat also drei reelle Wurzeln
zwischen — 1,00 und —0,90;
+ 0,80 „ +0,85;
+ 0,86 „ +0,90.
Setzt man , um wenigstens eine der drei Wurzeln der gegebe*
nen Gleichung zu berechnen, nämlich die zwischen 0,80 und 0,88
liegende,
« = 0,80500,
weil aus dem Obigen erbellet, dass die Wurzel sehr nah* M
0,80 Hegen muss; so hat man folgende Rechnung:
u =0,80500
1-~»=0,19600
1+tfrr 1,80500
log u =0,9057959—1
log. m2 =0,8115918-1
log.?«» =0,7173877— l
log (1 — ti) « 0,2900346—1
log (1 + u) = 0,2564772
log (1— w*) = 0,5465118— 1
log VrI::S«=0,7732559— 1
log 8 =0,9030900
log.w» =0,7173877—1
0,6204777
+ 4,17328
-5,63500
<P(t«) = — 1,46172
log 7 =0,8450980
log. ^=0,8115918— 1
log VT=t? = 0,7732559 — 1
0,4299457
—2,69120
+ 4,15292
^(ti)ss+MÜn
der GMctomgen ämrtk Ndkerw*. 71
fog7:eO,848O08O
log^l^*- 0,7732559- 1
0,6183539 Q(u) = - 1,46173
^(u^-h 1,46172
#W = 0,00000
logt« = 0,9057900 — 1
log VT^S* = 0,7732559 — 1
log*=r 0,1325400
ar = 1,35688.
Caochy a. a. O. findet diese Wurzel auf vier DecNftafetellen
nach «einer Methode = 1,3569, übereinstimmend mit dem obigen
Resultat.
Mittelst der obigen Tafeln werden alle hierher gehörenden
Rechnongen mit grosser Leichtigkeit ausgeführt. Für den prak-
tischen Gebrauch wurde es aber von grosser Wichtigkeit sein, die
obigen Tafeln, die hier eigentlich nur als Beispiel mitgetheilt
sind, in grösserer Ausdehnung zu besitzen, so dass das Argu-
ment u wenigstens durch die einzelnen Tausendtheile von 0,000
bis 1,000 Fortschritte und die Genauigkeit bis zur siebenten Deci-
malstelle ginge ; auch müsste man naturlich noch höhere Potenzen
von u als die fünfte berücksichtigen , wenn die Tafeln zur Erleich-
terung der Auflösung der Gleichungen von noch höheren Graden
als dem fihrften dienen sollen. Besässe man aber eine solche
Tafel in möglichster Ausdehnung und zweckmässiger Einrichtung,
so würde dieselbe jedenfalls bei der Auflösung der numerischen
Gleichungen in vielen Fällen die vortrefflichsten Dienste leisten
können.
Hat man die Gleichung eines geraden Grades
ciqX** + fli a:2"-1 + a%x2n- 2 + ....+ aa*-i3? + aa* = 0
aufzulösen, so erhält man, wenn
u
und der Kürze wegen
-ffl6M««^(l- «*)*
u s. w.
■
«
. i :• f «iaj.~*w*(l— ?**)*-*
72 Grüner t: Ucberlto Auflönm§ der Gleichungen 4urck Näkeruaj.
+ «^^(1— «*)«'
« ■
gesetzt wird, die folgende transfnrmirte Gleichung:
wo es nun leicht sein würde, die Grössen P und Q mittelst des
binomischen Lehrsatzes nach Potenzen von u zu entwickeln.
.. ! Hot man die Gleichung eines . ungeraden Grades -,. t. \
aufzulösen, so erhält man, wenn
u
v k
i . ■" i »
V^l — u*
und .der Kürze wegen '
i
U. 8. W.
Q' = ax u*"~* + OzU*«-* (1 — w2) + a6te*«-« (1 — m*)«
u. s. w.
+ 0^-1(1 — M«)«-l
gesetzt wird, di<> tr insformirte Gleichung:
wo man P1 und Q' wieder leicht nach Potenzen von u entwickeln kann.
Wie man sich aber bei der Auflösung dieser transformirten
Gleichungen zu verhalten hat, unterliegt nach dem Obigen kei-
nem Zweifel, und ich will nur auch noch zu bemerken nicht un-
terlassen, dass man immer u mit hinreichender Genauigkeit be-
stimmen muss, wenn man versichert sein will, x mittelst der Formel
Wolfen: VcrfHHk* <t*r vipaKtommBr K 1018, 1046 * 1057 in BerUn. 73
nift zitier :; gewissen verlangten Genauigkeit zu erhalte«, was
nätthiicn besondere Vorsicht erfordert, worüber sieb in Allg-e-
irietaen natürlich bier ohne grosse Weitläufigkeit nichts Weiteres
sagen Iftsst.
Die Berechnung und Herausgabe solcher Tafeln , wie ich die-
selben oben näher charakterisirt habe , wurde nach meiner Ueber-
zeugusg ein sehr verdienstliches Unternehmen sein und der Wis-
senschaft damit gewiss ein sehr angenehmes und wichtiges Geschenk
gemacht werden, da dieselben in sehr vielen Fällen bei 'der Auf-
lösung jder Gleichungen die wesentlichsten Dienste leisten kennen»
Möchte doch einmal eine Akademie der Wissenschaften die Publi-
cafiön solcher Tafbin zum Gegenstande einer Preisaufgabe machen!
i ■
i
■ '■■ :\. .
t# ■
> .
T.
Vergtakhung der drei Sommer von 1842, 1846 wi
1857 in Berlin.
Von
Herrn Professor Dr. J. Ph. Wolf er s
zu Berlin.
Ueber den letzten Sommer vernahm man die Aeusserung,
welche häufig bei besondern Witterung* -Erscheinungen gemacht
zu werden pflegt, dass die ältesten Leute sich keines ähnlichen
erinnern. Diess war die äussere Veranlassung, dass ich die drei
oben angefahrten Sommer mit einander verglichen habe, umLieti
74 Wolfer*: Vergteichttng der drei Sommer
erlaube mir, über das beifolgende Tableau einige Bemerkungen
zu machen.
Aehnllch wie bei meinen Untersuchungen der Winter in Ber~
liu habe ich mich nicht an die bekannten Grenzen der drei
Monate Juni, Juli und August gebunden, sondern sie einen Som-
mert ag einen solchen angesehen, an welchem die mittlere Tem-
peratur wenigstens 15° R. betrug. Hiernach war die Dauer der
drei Sommer
1842 Mai 28.— Sept. 9. 105 Tage mit 83 Sommertagen.
1846 Mai 22.— Sept. 12. 114 „ „ 67
1857 Mai 21.— Sept. 18. 121 „ „ 74
Um nun bestimmter einen Vergleich anstellen zu können, habe
ich die letzte längste Dauer für alle drei Sommer angenommen
und für die einzelnen Zwischenräume von 8 bis 11 Tagen die
mittlem und absoluten Werlhe so dargestellt, wie das Tableau
sie zeigt. Aus demselben ersieht man sogleich, dass der letzte
Sommer allerdings die beiden andern in der mittlem Temperatur
Überragt und dass auch das Maximum innerhalb der ersten 10 Tage
des August das im zweiten Drittel 1842 um l°,4 und das im ersten
Drittel 1846 um 2°,3 übertrifft. In allen drei Jahren ist der August
hervorragend :
1. durch die höchste mittlere Temperatur,
2. durch die Hithe der grüssten Temperatur,
3. durch die Zahl der Somiuertage.
Man sieht, dass dem Extrem der Temperatur keineswegs ein
Werth der mittlem Temperatur entspricht, namentlich zeigt nick
diess in dem Zwischen muri Aus;. 1 — 10., und betrachtet man die
entsprechende Curve, so stellt sich dieselbe 1857 als der Durch-
schnitt eines auf beiden Seiten steil abfallenden hohen Berges,
1846 hingegen als der Durchschnitt einer Hochebene dar; diess
zeigen auch die Zatdenwertlie. Der letzte Sommer tibertrifft die
beiden andern hauptsächlich durch seine hohe Temperatur im
Mai und September; Hesse man diese nach der in der Meteoro-
logie gewöhnlichen Weise fort, so würde
1842 1846 1857
die mittlere Temperatur I5°,l 15<\<) !>",(>
die Zahl der Somroertage 46 5',i 57
vvn 18 a im« nur/ 1857 In Berlin.
75
Was die anhaltend
e Dürre betrifft, so sieht man, dass 1857
sowohl Oberhaupt mehr Hegentage, als auch eine gleichförmigere
Vertheilung derselben als in den beiden andern Jahren stattge-
funden bat. 1857 kommt nur ein Zwischenraum von 10 Tagen
vor, während dessen kein Regen gefallen ist, 1846 deren zwei.
1842 aber einer von 20 und ein zweiter von 8 Tagen. Im letztern
Sommer hat aber in Wirklichkeit ein Zwischenraum von 30 Tagen
stattgefunden, innerhalb dessen in Berlin kein Tropfen Regen
gefallen ist.
Vergleichung der drei Sommer von 1842, 1846 und 1857
in Berlin.
,.,
Mittlere
Maximum
tiewitter
tägliche Tempe
der
Sommertage.
und
ratur.
Temperatur.
Regen.
1842
1840
1857
1842
ISJfi
1857
1842
1846
1.857
IHt-2
IHIti
1857
Mai
21—31
Juni
1—10
I4°.6
11",0
16V
22'>,2
l',l",3
24»,2
4
1
7
1
3
2
13,2
13,3
14.1
'20.8
20.0
23.9
2
3
4
4
_
2
11—20
11*
15.4
11,8
22.1
21,2
21.4
3
4
2
L
2
3
21-30
Juli
1—10
14,1
15,2
16,6
26.6
22,0
24,6
4
6
8
5
'
2
15.1
16.0
15.6
25,6
22,8
24,3
4
6
6
_
1
2
11—20
14.4
16,5
15.5
22.0
24.6
23.6
4
8
6
—
3
21-31
Aug.
1-10
13.2
Ki.O
15.5
111,0
24,6
22,7
1
7
6
2
2
3
16,5
16.7
18.7
24,6
24.6
27,2
8
10
10
1
1
3
11-20
ISJ
16.7
17,3
25.8
22.(1
22,9
9
10
10
1
2
3
21-31
Sept.
1-10
17,8
14,0
15,3
23,7
20.0
22,2
11
5
6
1
3
1
13,8
15,1
15,7
22,6
21,6
21,2
, 3
5
6
■2
3
li— ld
13.1
12.0
14,7
I7J)
20,8 |21,3
- 2
4
—
3
2
|1842
1846
1857
1842
1846
1857
1842
1846 1857
1842,1846
1857
TC-
TW'
22l,,2liFT5l
24».-
"T
T?
~Ti~T
T
Juni
13.4
14,6
14.2
22,1 24,2
24.6
6
13 14
10 3
7
Juli
14.2
16,2
15,6
25,6 124,6
24.3
9
21 1 17
2 6
5
Aug.
21-31
Sept.
1-18
17, li
13,5
16.8
13.7
17,1
15,3
25,8 ,24,9
22,6 21,6
27,2
21,3
28
3
25 | 26
i 1 6
2 1 3
7
5
7 10
I40,8J|5",1 15",6
wSSpWK
53
■stItt
ir|7T
■36"
-
78 Spitter : Note *nr huegrmtim ä$r M*$ar§* Diffirmäalgleickww
\ r.*:
i »:
VI.
ff
Note zur Integration der linearen Differentialgleichung
y(") = Axmtf + Bsfi*-*if + Cr«"- V C1)
Vos
Herrn Santo» Spitzer
zu Wien.
Ich setzte in meinem frühern Memoire aber diesen -Gegen»
stand (Tbl. XXIX. S. 403.):
y—f^^ux)Vdu9 (2)
und kam dabei auf folgende zwei Gleichungen zur Bestimmung
ton y und Vi
^^M^A^B^+^A^B + C^t^^^V^O. (3)
Seien die Integrale dieser Gleichungen :
«*)= Ci^ite) + C^a(*)+- ... + Gnh»(or),
V=AXVX\A%V*
so hat man endlich diese Werthe in folgende gleichzeitig statt-
findende Gleichungen
«*F^'(twr)=:0,
zu substituiren , und zu sehen, ob man ihnen durch zwei solche
constante Zahlen genGgen kann (in der Regel wird eine schick-
IkSe Wähl von ?zu einer solchen Zahl rühren), die *1* IwtÄ-
grationsgrenzen für das Integral (2) gebraucht werden können.
Fährt man nun in (3) eine oene unabhängige Variable t in
Rechnung ein, mittelst der Substitution
„«-H^t — f i
wodurch
v ' = 'i'-U-a: .«-■.■ ■ .,/ t . * ■ ■ , ■• .-..Mi-,
^^(m+n -2)r(m + «-3)tf"*»^+(m+»-2)«*-»+«-»> 3^]
wird, so erhält man:
+ (2J-ß[+C-f J)F=iO..
1 ■
Die Einfährung einer neuen abhängig Variablen 2 mittelst
Substitution
■!• .1 .■..«•.
gibt, da
ist, Folgendes:
^(m+n«2)*^ + (m+n-2)[^(mfii-.2)(l+2A) + 3^~Ä]f~
+ %[M*(m+n-2)*+k(3A-B)(m+n-2)+2A--B+C-t]=09
und diess vereinfacht sich, wenn man k so w&hlt, auf dassj
Ak*(m + n— 2)*+Ä(3^ — B)(m + n— 2)+2^—JB + C=0
wird, denn obige Gleichung wird dann durch t abkurzbar und nimmt
somit folgende Form an:
nspU%er: Oek. 4.*n. BVWOitalff. y<4):
(4) •
4» +»- Pf 9 + (»+ «-2)^(»i+ii-2) (1 +2*) + 3A - B\ jg
-«ssO.
Für das Integral der Gleichung
fand ich (siehe das Junihßft des Jahrgangs 1857 der Sitzungsbe-
richte der mathem. naturw. Classe der kai*. Akademie der Wis-
senschaften zu Wien):
folglich tot da« Integral der Gleichung (4):
dtV
.1
3A—B
unter l die Zahl i + 2A + A, , 5* und unter Ax und ils wÄl-
kfihriiche Constanten verstanden.
Mptt**r: mmtektimm *$m p*n&t**m*mHmH. mm *«*««»». 79
»?
.i
- 1 •
Vit.--
Entwickehuig des pten Differentialquotientaii ¥0»y«^f*:
4
Von
Herrn Simon Spitzer
- zu Wien.
* »P^>»«^W^^»^
Wir geben au« von folgender Formel, die Liouville im
15ten Bande des Journal de l'ecole polyttechnique aufstellte:
und setzen in selbe:
Jf5S
tot:
• t ..
1 1
• :il.- i;<!
■■V*OS'Or '■■*•-. :i- l.i-
Aber in:
i
80 Sj»*j««r:?..fiHartrtMfr^
Man hat daher behufs der Entwickelung von -jzn~ den Sten
Differentialquotienten von dem Produkte z a e** zu bilden, als-
dann hierein x = #* zu setzen und das erhaltene Resultat mit
(4m)* a: zu multipliziren.
Führt man in die bekannte Formel
^T^ PWQ + (J) P**)M? + (Q !*-»> e- + . . . .
r —
2*
p=
«"",
Q =
ein, so erhalt man, die angezeigten Operationen verrichtend:
1 •
, fjfr-l)»-8)»-3)»--4)fa^6) . _
■+ 3! (4m^ä)» + -"J
und diese Reihe bricht für jedes ganze positive p ab. Ist p eine
andere als eine ganze und positive Zahl, so wird diese Reihe
eine divergente.
Gleichwohl ist es leicht, auch für andere, als ganze positive
Werthe von ft den fiten Differentialquotienten von emx% in conver-
gente Reihen zu entwickeln, und zwar wieder mit Benutzung ;4et~
dHPQ)
selben Formel von w ; nur setzen wir jetzt in dieselbe
£-1 ■ * ■■
p=z * , G = <?»«.
Da aber die weitere Rechnung keine Schwierigkeit darbiefit, 'W
unterlassen wir die weitere Ausföhrang derselben.
: 15 1 rnlii
1 • • » ■ ■ i
1 * M » ■ „ - -.
r. "
8ßw$%0#\X w^9$$ii%\M9$$ WMNMA M€ifH$uftUCß9 wH$Q9CmI. rVTSF»/ tifcol
; i
.'»
I
Till.
_ *
Darstellung des anendlichen Kettenbrachs
*+ — ^ —
*+l + j
in geschlossener Form, nebst anderen Bemerkungen.
Von
Herrn Simon Spitzer
zu Wien«
Aas Legendre'g Geometrie folgt für den Werth des obi-
gen Braches:
xtpjx)
wo
ist« Nun iSsst sich np(x) auch so darstellen:
V(*)«(*-l)!|^Z:ij, + 5! + 2!(a.+ l), + Jy(a. + 2)! + ....j.
folglich i«t obiger K«ttenbrach gleich :
1.1.1.1
(*-!)» "*" «gl * M(g + 1)1 + 3t (x + 2)l + —
i . i . i ,i ~T~
*! + l!(i+1)l + 2! (* + 2)! + 5T(«+3J! + • • • •
Bonatzt man nun folgende Formel:
Th.il XXX.
o
die ich bei Gelegenheit der Integration der Gleichung xyW — y=0
(Thl. XXVI. S. 57.) entwickelte, so hat man, dieselbe xmal diffe-
renzirend:
d* VVr Pn ~\
3r*l — / cosa>e2Vrc0»ft>d» I
o
i"
_ 1 , r . r» . r»
somit hat man als Werth des vorgelegten Kettenbruches :
dx (*n
foi [Vr / COS Q> 6»V r co» a» rf w]
o
COSW62Vrco#«rfft|]
d*+*
dr*+*
wenn nach vollendeter Differentiation r = J gesetzt wird. Es er-
scheint also dieser unendliche Kettenbruch in der merkwürdigen
Form eines Bruches, dessen Zähler und Nenner Differeotialquo-
tienten sind mit veränderlichem Differentiationsindex. •
Ich füge hier noch einige Bemerkungen bei, die Bezug auf
früher von mir gelieferte Arbeiten haben. Das Integral der Gleichung
y(») = Axmy' + Bxm~lg
ist
y= f* y(ux)uI~1e~Aim+—1)du,
wo A und B positiv und m+n> 1 ist, sonst aber beliebig , <un,4
y(x) ergibt sich aus der Gleichung
■i »
spit% #r ; ,fitme*h>%. imftgnit- tfffc*. *i4*4^4**4*,^4'^iF==O'09
• 41
> .;> Bemerkung nur Integration 4er Glqidying - tf
Von
Herrn Simon Spitzer
zu Wi«n.
i . <
«,i,
1 Dpe Gleichung
. X\dx + äfedri 4~ x%dx^ + x^dx3 -f- x6dx4 + ^rcfa?» = 0
lisst sich folgendermassen schreiben:
ferner die Gleichung
Xidx+Xtflxi + x9dx2+x4idx3'{-x6dx4^x6dx5 \ x7dx6 + o:rfar7 = 0
so:
(ara— a?) cf(dPx —^8)+ (^4"""^) «^(^3 — **)
f.
a. &f. Mittelst der Pf äff sehen Methode sind die hier gewon-
j*eeen Formeln nicht zu bestimmen.
.4
:' ;.:\..r ■ • -. P ? ,,■ •
- * 1 * . ■ * 1 1 1 ' : '. .,-■■■
6*
84 «raier/; Merkwürdig* Ctmstruei. rf.-.* $r6sU»n tn, u. <ie*
Merkwürdige Construction des grossten in, and de«
kleinsten um eine Ellipse beschriebenen Vielecks von
gegebener Seitenzahl.
dem Herausgebe
In der Abhandlung No. 11. habe ich gezeigt, wie sich <
grüsste Dreieck in, das kleinste Dreieck um eine Ellipse beschrei-
ben lässt. In der vorlreaenden Abhandlung will ich jetzt diese
Betrachtungen auf in und um die Ellipse beschriebene Vielecke
viin gegebener (Seitenzahl überhaupt erweitern, was zu einer, wie
ich glaube, sehr bemerkenswert heu allgemeinen (.'nnstruction sol-
cher Vielecke frihren, und die Lehre vom Griissten und Kleinster
nicht unwesentlich erweitern wird.
Zuerst nullen t
chreib
r die folgende Aufgabe auflösen:
rch eine Sehne abgeschnittenes Seg-
r Ellipse das grüsste Dreieck i
Die Anomalien der Endpunkte der gegebenen Sehne
m0 und «2, wobei wir, «w offenbar verstattet ist, grösserer Ein
fachheit und Bestimmtheit wegen annehmen wollen, dass ua klei-
ner als "i sei. Da dieselbe Sehne nun aber immer zwei Seg-
mente der Ellipse abschneidet, so ist es ntithig, dass wir ans
vereinigen, welches dieser beiden Segmente wir im Folgenden
betrachten wollen. Wir wollen aber immer dasjenige dieser beiden
Segmente ins Auge fassen, dessen elliptischen Bogen man durch-
läuft, wenn man sich von dem durch die Anomalie u0 bestimmten
Endpunkte der Sehne an nach dem durch die Anomalie ua be-
kmutm um Mmrmim betctorttb Yieltcks *§&€*. 8*U*mmkl. $*
stimmten Endpunkte derselben hin in der Richtung bewegt, nach
welcher hin die Anomalien von 0 bin 360° gezählt werden. Ist
nun «| die Anomalie irgend eines Punktes in dem das auf diese
Weise bestimmte Segment, begr&nzenden elliptischen Bogen, se
siehe man nach diesem Punkte von den Endpunkten der Sehne
gerade Linien 9 welche in Verbindung mit der Sehne ein in das
Segment beschriebenes Dreieck begränzen werden , dessen Flächen-
inhalt wir durch J bezeichnen wollen. Unter den gemachten Vor-
aussetzungen ist bekanntlich *) : u , .
J = 2a6sin \(ut — ti^sin 4(**— ut) sin !(««— u0)9
und es ist nun unsere Aufgabe, die Anomalie tij so zu bestirnt
men9 dass A ein Maximum wird, wobei natürlich u0 und % als
constant zu betrachten sind. Durch Differentiation nach «i erhält
to sogleich: :l ^ '»■■
g--«a0sin{(tCa-t^^^
g— =o6 sin i^-— Uo)sinS(u, — 2ttj +t*0),
und hieraus ferner :
gj^5 = - a6 sin !(•% - «0) cos 1(1% - 2»! + 1«0).
Folglich ist die gemeinschaftliche Bedingung des Maximums und
Minimums :
sin !(««»— 2uj + uj =? 0,
■ ■ ' • •
woraus sich, wenn k eine beliebige positive oder negative ganze
Zahl bezeichnet,
*(** — 2tt1+tt0) = A«,
also
ergiebt
Weil i(*o+tt*) nicht grösser als 2tc ist, so kann man, inso-
fern Ux positiv sein und 2k nicht fibersteigen soll, offenbar nur
A=0 und k = ±l, also bloss
«,5= }(*«+«*), tt1 = J(t«0 + u^)+ nf u1 = i(u0-fut)— n
• ■ •
setzen.
i ■
*) M. «. S. 14. in diesem Band«.
.i
da k, positiv sc
*6 Grunert: Verkwvrtll'ie Ctmsiruet. *W grüasrnt in
Offenbar entspricht die Anomalie
dem Segment, «elehes «ir hier betrachten.
WeiiH i{" , (- »e) < " »»t, so kann
muss, »icbt
«i = i(»u + "»)-«.
sondern muss
sutseu. Weil
und offenbar J(wb— mq) nie griisser als «*), also auch «s— i("o+<V
nicht grösser als tz sein kann, so gehurt der durch die Anomalie
U| bestimmte Punkt im Allgemeinen augenscheinlich immer dein
dos gegebene Segment zur ganzen Ellipse ergänzenden Segment ■
Wenn »(w, +*,}>* ist, so
als 2jr sein darf, nicht
,n, da U] nicht grSssw
sondern muss
setzen. Weil
«1 = '.(«„ + "»)+«,
also wie vorher !i"iiH-"'i) — "» nicht grösser als it ist, so geht
der durch die Anomalie w, bestimmte Punkt im Allgemeinen augen-
scheinlich wieder dem das gegebene Segment zur ganzen Ellipse
ergänzenden Segment an.
Hiernach kann l
= :<«»+",)
setzen, und es erficht sich nun hieraus unmittelbar die folgende
uie:k«ürdige Conslructioii des griissten Dreiecks, «eicht-« sieb in
das gegebene Segment beschreiben lässt, da t-«si(?(a— lüt\uv)=z\,
und folglich der Werth des zweiten Differential - Quotienten
— ab .sin .j(«2 - »1,1. also negativ ist.
lieber der Hauptaxe der Ellipse als Durchmesser beschreibe
•) Wäre !(". — «")>"■ *» wSre "j>2" + "„- "1"« «,>2n, wi
unialäiaig ist,
klrtHtttn am eine KUif** teukrM. Vieleck* », gtgeö.Settam&l. 87
aym, wie Taf. 1. Fi;. 6« zeigt, eisen Kreis. Von de* Endpunkten
4+ und At der gegebenen Sehne A0A2 fälle man auf die Haupt*
exe Perpendikel und verlängere dieselben , bis von ihnen de« be-
schriebene Kreis in A0' und A% . geschnitten wird. Nun böalWre
man den Kreisbogen A*AJ in A\ nnd fölle von ^i' auf j$e
Hauptaxe ein Perpendikel» welche* die Ellipse in At schneidet
Zieht man dann die Linien A0Alt 4-A, so ist A0AXA% das
grosste Dreieck» welches sich in das elliptische Segment, in dem
ee liegt, beschreiben lässt
Die Gleichung der durch die Anomalien U0 und tfe bestimm-
ten Sehne ist bekanntlich:
« i ^cosKtto+tt^ + aysini^+^araÄcosKUo— «t>*)f
i
naid die Gleichung, der die Ellipse in dem durch die Apoipfifie
f(iMQ+tta) bestimmten Punkte Berührenden ist:
f cosl(«0 + tta) + |8ini(?i0+ttis) = l **):
■ ■ ■ » *
also ist diese Berührende offenbar der Sehne parallel, woraus das
im Obigen Bewiesene noch unmittelbarer folgt, als durch die
obige Darstellung, die wir jedoch nicht ohne Absicht hier mitge-
theilt haben.
■ >
Die Construction 'des grossten Vielecks von gegebener Seiten-
zahl, welches sich in eine Ellipse beschreiben lässt, ist nun leicht
auf folgende Art au geben :
■••*. ITeber der Hauptaxe der gegebenen Ellipse als Durchmesser
heechreibe man, wie Taf. I. Fig. 7. seigt, einen Kreis. Soll mm
beispielsweise das grüsste Siebeneck in die Ellipse beschrieben
werden, so theile man den beschriebenen Kreis von einem belie-
bigen Punkte A0' an in den Punkten A0'$ Ax' , A^, Az' 9 A4,
A5' , AJ in sieben gleiche* Theile ein, und falle von diesen Theil-
punkten auf die Hauptaxe der Ellipse Perpendikel, welche die
Ellipse in den Punkten A0, Ax, A^, A3, A±, Abi A^ schneiden;
diese Punkte sind die Ecken des zu beschreibenden grossten
Siebenecks, und geben Hasselbe, wenn man sie durch Sehnen
der Ellipse mit einauder verbindet.
Der Beweis für die Richtigkeit dieser Construction kann mit-
telst des Obigen leicht auf folgende Art geführt werden.
•) Thl. X1IV. S. 373.
»•) A. a. O. S. 375.
88 ffi
Wi
bigen
Herkuriirfltge cotatrvct. det ^rSttten in. u
Wir wollen annehmen, dass A0A,AtA3AiAiAt ein mit behN
bigen Anomalien in die Ellipse beschriebene* Siebeneck
Theilen nun die Punkte A0', At', Ja', A3', At', A6', Aa' den über
der Hauptaxe als Durchmesser beschriebenen Kreis nicht in sieben
gleiche Theile ein, and ist demzufolge etwa nicht Au'A,'=A1,Ai',
so denke man sich den Kreisbogen AJAt' in dem Punkte il,'
in zwei gleiche Theile getheilt, von diesem Punkte auf die Haupt*
axe ein die Ellipse in ilL schneidendes Perpendikel gefällt, und
die Sehnen A^il, . 1&iA% und A„At der Ellipse gezogen. Dann
ist nach dem Obigen das Dreieck Au&iAt grösser als das Drei-
eck AltAlAt, folglich das .Siebeneck Aoü^A^A^A^A^A^ grösser
als das Siebeneck A^AiA^A^AiA^A^. Hieraus echliesst man aber
nun ferner leicht, dass das griisste Siebeneck, welches steh in
die Ellipse beschreiben lässt, nur das sein kann, bei welchem
die Punkte Aa' ', Ax', A^', A3', A±, Aa', A0' den Aber der Haupt-
axe als Durchmesser beschriebenen Kreis in sieben gleiche Theile
theilen.
Wir geben nun, indem wir alle vorher gemachten Festsetzun-
gen beibehalten, zu der Auflösung der folgenden Aufgabe über:
Wenn in Taf. I. Fig. 8. durch die Punkte A„ und A2 *)
Berührende an die Ellipse gezogen sind, so soll man
den Punkt A, so bestimmen, dass, wenn man durch den-
selben eine dritte Berührende an die Ellipse zieht,
das von diesen drei Berührenden und der Sehne A0At
eingeschlossene Viereck, dessen Flächeninhalt wir
durch F bezeichnen wollen, ein Minimum wird.
Behalten wir die in der Abhandlung Nr. II. eingeführten Be-
zeichnungen bei, so ist in dem ersten der beiden in der Figur
dargestellten Falte:
r0sinj(ttB-ai)
*» cos i(«i - «o) cos i(a* - «o) '
,«~coaj(«,-"„)™si(«B-«1) )
*».fa-u) — »o tan g i(wa — «0) ,
*s,to-o1 = rt tsng K"i — «o) ***) =
*) In der Figrir finden «ich überall, der lünfiiehlinit und der
formt tat mit der Abhandlung i\r. II. wegen, nur die an deu Bucbil
A„, i., .■!,, u. s. w. «lebenden unteren Indiie..
"*) M. *. S. 34. in die-em Bande.
***) 11. s. $.35. in rfievem Bande.
so wie
i» i
sin i**o= •£- sln(tit— *o) *) > ?
rora
• .-
wobei man nur tu beachten hat, das« tangi(tfg— «M) wegen der
Yorhergehenden Ausdrücke von *o,(*»o) un^ H»(ro) positiv, also
0<l(u,-uo)<90°,
folgDch
und daher «10(1^— t*0) positiv ist
In dem «weiten der beiden in der Figur dargestellten Fälle ist:
J Forint^-"«!)
*~ cos i(t«i-«o)€os «II, -l^),
**gini(*i-*o)
cos 4(11,— w^cos^i^-Wi) '
' » ■
*o»<ih>) = - f0 tang^ii»— u0) ,
*i»<sh>) = — r% tang i(t^ — «<,) ***) ;
■
so wie auf dieselbe Weise wie vorher:
sin 4o = — — sin (1% — t%) ,
wobei man nur zu beachten hat, dass tang 4(1^— t^) wegen der
vorhergehenden Ausdrücke von <o»(*o) und fed*) negativ, also
W°<4(«B-«b)<M0D.
folglich
180° <«• — "o<360°,
und daher sin^— u0) negativ ist.
Nun ist aber , wenn man im ersten Falle das obere, im swet-
ten Falle das untere Zeichen nimmt, offenbar: ■•,.-,..■■
f= ± *t*o, (s*))**too) — *o*i * sin <4*h> »
also nach dem Vorhergehenden in völliger Allgemeinheit:
•) M. s. S. 24. und S. 34. in diesem Bande.
") M. f. S. 30. in diesem Bande.
) M. s. S. 30. in diesem Bande.
90 Grmntrt: Merktcurdlgc Conttrvct. des grünten in, m da
I *ang ;(«, — w0)tang i(w,— a0) \
aini("«— "i)
*F=*b .
cos |(k, — «u) cos i("a
i'(«i-Wq)
(u) Witi<w»-Wo),
I Acosi(i^ — u^cosJlWa-w,) J
oder, wie man mittelst leichter Rechnung findet:
F=a6tangl(w,-«ü)|sini(«»-«o),-tangl(«i-»0)ta'>gi(«i-«i)l-
Setzen wir der Kürze wegen
t7=sini(as-a0)»-tangl(«|— «o)tai'gl("a — «*>)•
so ist, wenn man, ti„ und at, als constant betrachtend, nach u,
als veränderliche Grösse differentiirt :
SÜ tangK"i— "») taug i(»«— «i)
8«, — cosl(i*j— »,)* cosifu, - «„)■'
und folglich die gemeinschaftliche Bedingung des Maximums i
Minimums offenbar:
-Mo) tang^Wg-%) .
tangl(w
costf«,
welche Gleichung man leicht auf die Form
sini(Mi-«o)co»t(«i — «o) = *ini{««-wi)*;osi(M*— ui)
»l-o auf die Form
«inf.V-w^sInfa,-«,),
oder auf die Form
sin ("%.—«!> — sin («, — i^) — «
folglich auf die Form
«^(«.-«JsinJO-^^.+V^O
bringt, woraus sich
sie l(vt — 9«, -f Ho) = 0
ergieht, welche Gleichung ganz auf dieselbe Weise wie üben zu
«, = I(«o + %)
führt.
Nun ist nach dem Obigen :
klein** m***mMHt)m **9cM*temHo*B «ühw* tißmmaM Wb
■•i^fiJiT"- ■ ' ••»»«■■ ebsi(ti|^%)^oo»i(%^ifi)^i ■ - n.\ -»«»i-%.
•' ■ ■■■:■■■ '...■.■ >!■ »«IT ' im . *'
also:
"■■■■ '<:l :^9t7 rittte^*») — sinfa-^) l '
1 - ; 4^^^c«>si(«1--i^)*cö*J(t»»-J^)i#
i... \ ■
oder :
, ■ ' « • ■ I 4 • I ■
; öWl . posKuj— .«pF cos J(f^ — tiE)* ;
Läset man nun , wie es fcfer f erstattet ist v de* Kürf ctiwetffi 4m
Glied weg» welches verschwindet, wenn man t#i = »(% + «*)
setzt, so ist
8*(7 _ cos j(tf a — Up) cos £(««— 2H|-f«o).
ötii* cosiCiij—t^^cosKfi,— t#i)*
and weil — «»™-
F=zab ü tang i(ti. — Uq) ,
also offenbar:
g^ = ab tang i(w. - «o) gj^ä
ist, so ist
8*F _ abBioKu*— <^>cosi(tia— 2ttt + iiq)
3%»"" 2cosi(tij— tto)acosj(tia — t^)*
natürlich immer bloss unter der Voraussetzung/ äass man
seizt Für diesen Werth ■ ?drt \ erhält man aber auf der Stelle:
'"' '' 8*F te8sinittta— ftp) _ a6tangl(ti,— i^y
SSi* ~ 2 cos J(tt« — Wo)4 ~~ cosi(«i— *e)* '
und sieht also, dass dieser zweite Differentialquotient, weil
sini(t*, — Uq) stets positiv ist, gleichfalls stets positiv ist, die
Bedingung des Minimutns sich also erfüllt «zeigt
Weilte 'tafen als* um eine Etlipeedfeis kleinste Viel-
eck teft-ge gebe wer Seitenzahl; etwa -das kleinste *SW*
fe'6n<iclt,' beschreiben, so würde in an im Wesentlichen
gfcnz eben so verfahren wie oben bei de* Besieh vefbanfe
des grösfrten Vielecks von gegebene* : Seitenzahl 'üb
41* C!li«p«e, nur ntif dem einzigen' Ustexscfcjdde, da1*«
Watt -41e aof die obige W-ai^' b^ tieften 'Punkte
9t
A.
ÄSB|f»#e<^* wflTA ■ÜMfW Wtt'y'&6ltfWt0ftor$$B9mltl09$nk
Aq, Ai, A%> Ai,\AnAb> A4 tiefet dttrcb <SeVneft mtfte|n-
aoder zu verbinden» &ouAev» durch alle diese Punkte
Berührende an die Ellipse zu legen hätte.
Von der Richtigkeit dieser Constrnction überzeugt man sich
mittelst des vorher. Bewiesenen, durch ganz ähnliche Schlüsse wie
von der oben gelehrten Constrnction des grossten Vielecks von
gegebener Seitenzahl in die Ellipse..
V
Ich hoffe , dass auch diese Constructienen die Wichtigkeit
des Gebrauchs der Anomalien in der Theorie» der Ellipse sehr
deiiltieh an «eigen geeignet sein werden. .
t
V
. t ' I I l) t. 'I
'..iMJllili
XI.
Zur Theorie der B^ugungserscheinüngen.
Von
Herrn Dr. Zthfua$>
prorisorif ehern , Lehrter der höheren tyUtheinatiV und höheren Meehaaflt
\i »
an dsr höheren Gewerbeschule »u paerostaty
i.-
VorM m e r k n, n § e n.
><
■ ■ 1
. 1) Es. «hellet Webt ans dem Princip der virtnellen Gesehwin-
digfaeiten, dass, wemn anf drei in Ä zusanunenstossend* gerades
P9 Q, B (Taf.II. Fig. !•)> welche als Kräfte betrachtet, sieb 4a*
Glctakgewicbt halten würden» top einem Paukt* M ans Pernfn*
dikel' gefUlt werben und die Entfernungen de* Fusapnnlft* ifcfr
selben von 4'=>#*<t»r beias*n, Immer. PpTtQg+fo*?Q *4>
«ehe* ein, ettabet Abstand, p,<f, jr als positiv oder negativ«?
\
tetracotfc&i ist, jeuachdem derselbe .mit P, Q, R aaf einerlei oder
M entgegengesetzte Seite fällt Dies« ergibt sieh; wttnn'Mii»
MA* alfti'sftricligeleftteii Wog« den A*gn&»unktcs ^ befrachte^
fcaan aber; auch leicht rein geometrisch bewiese» werden*
2), Sollen zwei Ausdrücke rcos(w— jfir), i'cosfa— JF)* fllfr
je^jen Werth von to. einander gleich sein, so muss 1=2',' tf— ^
sein, wenn, wie in der 'Theorie der Beugungserscheitoungett/ x die
immer positive Amplitude, ß die Wegdifferenz ist Denn aus
z cos w cos ß + ssin te sin/S ;=s 2' coste cos ß' +*' sin wsin j^
b|gt, ^enn man durch cos 10 dividirt, wegen der Willkübrlichkeit
von tgto:
2 cos 0 = 2' cos 0', 2 sin /3= 2' sin/?'.
«
Die Summe der Quadrate dieser Gleichungen liefert *=*', ihr
Quotient tgßstgj?, also 0' s» 0 -f w«. Nun kann ajhcr sin£
niebt zszslnß* sein, wenn nicht » eine gerade Zahl ist, also, ist
0 = 0', weil eine Pbasendifferenz von 2« keinen Einfluss bat i
3) Wenn ein Aethertheilchen in Folge der Einwirkungen meh-
rerer Lichtquellen die Ausweichungen ax sin (10— ft), a^sio (w— jSj)..a
aus der Gleichgewichtslage auszuführen hätte, wo al$ na.... die
2nt 2iw
Amplituden, a> = -~r, ß=— jt-, 71 die Oscillationsdauer,' iL die
Wettanl&age, x die Wegdifferenz vorstellen, so ist sein eigent-
licher Stand durch
* ♦ *
ajgiulu? — ßk) + a* sinftc — fo) + . ... = 5a sin (w— ß) = f sin (w — y)
*
ausgedruckt, w*
2*«fS«io0]^Sacosfl*, tgw==|£^.
Es folgt hieraus, da 2 von t© unabhängig ist, dass, wenn man
ein anderes Aethertheilchen betrachtet, welches um i weiter von
simmtlichen Erschüttertuigsmittelpunkten entfernt ist, seine Am-
2«d
{riitude z dieselbe bieibea, seine* Phase, aber um, -^
kleiner sein wird;' denn es vertauscht sieh' ttlädaita<4ft obigen1
AasJräcken nur überall w mit «c — -^-. Es »folgt . (eroer, dass,
weaa ein zu einer Beugungserscbeinung gehöriges AtetbeVtNellobifc
M von mehreren in beliebig gestalteten Oefnuttgen eise* »Schis*
mos enthaltenen Lfehtquetten Erscb(ltterun.gea empfangt, welche
•• nahe parallel sind, dass sie sicfi addiren,1 seine Ausweichung
Zur Tktmrlt tUr BevfungtertcMiiungen.
i von der Form seil
Die*» ist folg lieh der allge
weichung eines beliebig.
Beugungserscbeinung.
t(w— y) oder
»tvei Ausweichungen von der Form a
«ine Amplitude geben , deren Quadrat
(V
Ausdruck für die Aus
thertheilchen» jeder
Schliesslich sei noch bemerkt, dass
sin (it—
»-
■ (•-«
Beogungser
irkung eines unendlic
-heinunge*.
hmaleu Paral I el ogra in m es.
Der Punkt M (Taf. 11. Fig. l2.), welcher der Wirkung des un-
endlich schmalen leuchtenden Parallelogramme« ausgesetzt werden
soll, dessen Seiten AA' — P und AC=n seien, und dessen
sämmtltche Aethertbeilchen in gleichem Phasenzustände angenom-
men werden, sei so gelegen, dass seine Entfernung von A mit
AA' den Winkel P, bilde, und soweit entfernt, dass seine Ab-
stände von den einzelnen in AA' enthaltenen Aethertti ei leben als
parallel gellen können. — Es sei nun die Wirkung, welche eine
der Flächeneinheit entsprechende und in A vereinte Anzahl von
2«r
Aethertbeilchen auf M ausübt, = «sin ^ — «sin w; alsdann kann
nach 3) die Wirkung des Parallel ogra mm es =isin(to — y) gesetzt
werden, wo es sich nur darum handelt, t und y zu bestimmen.
Wir verfahren zu dienern Eurle auf folgende Weise. Es ist ge-
wiss, dass wenn iler Streifen AA' in seiner eigenen Richtung in
die Lage BB' um BC=Ö fortgeschoben wird, der neue Schwin-
gungszusland des in der Entfernung e befindlichen Punktes HS,
weil er aus der Summe der Einwirkungen der in BB' enthaltenen
Aethertheilclien besteht, gleich ist der Wirkung von AA' -| Wir
kung von A'B' — Wirkung von AB, oder dass der Unterschied
der Wirkungen von AA' und BB' demjenigen der Wirkungen von
AB und A'B' gleich ist.
Da die in AB befindlichen Aethertbeilchen unendlich nahe
aneinanderliegend gedacht werden, gegen die Grösse von i, so
kann man annehmen, dass ihre Wirkungen auf HS, als im Ein-
klänge stehend, sich unterstützen, und dass sie also zusammen
— njsm.'f .«sinw seien. — Ebenso ist die Wirkung von A'B' auf
Jf nach 3), weil alle Tbeilchen dieses kleinen Parallelogramm es
um Pet>sl\ näher an M sind, als diejenigen in AB,
..... 2a/>cos /y
= nSaiaA.aa*u(tc~ r ).
* ' .11, Nl.T ,.,
2ttjftr»*i • Zw* Mwfe.*r ßiufuHfttritlktwmtiH* {$
Der, Uft, .wenn die Wirkung voo AA' *='2»\n(v>—y) gesetsr
,..,., v ^ , iniib*pu, :■■■ '
i J. • lii«»rt -im:- ■ ■ ■ - . .... : jj( .
,,i M-»
= w<Jsin ^ . a [sin tc — sin (w : — '-r 2y\. '
* .■
:i ... «
t '.i
Aas dieser Gleichung bestimmen wir sowohl z als y. Zuvor-
derst folgt:
zsin r — -cos(« — /— r ^T »)
. TcPsin Pt . »Pcosft .
= no sin 21. asm r cos(to*— . ■ **),
oder, da, wegen des anendlich kleinen d,
sina — j — :ö = — r — - • ' ■
ist, and mit ^Zuziehung vpn 2).:
. uPcobPx
sin
,m . . I nPco&Pt
zzznPsinA.a. 5— — n~ * 7= 5 L*
nPcosPx ' X
i ■ ^ » ■
1
. ' ■ " ■ ■ ■ 1 ■ 1 . . " - ■
,' : i • . . . ■ . i »'.■.'■ ,
4l*a ' ist 4ie ganze Wirkung jter unendlich schmalen Spalte: ( *
■ 'i. • t- f
- ' I 1*:
A-.
■ » . .■ »*i .
' 1 : i
■I ■
1 . tzPcosPi
>■ ■ 1 ■ M ■ I f ^ .IT. - »
1 1 ■ i^>
.-..., .: IL Wirkung eines Parallelogramme«.
, Um fär dieselbe wieder einen Massstab aufzustellen, sei die
Ausweichung, welche eine der Flächeneinheit entsprechende und
hi de? «inen Ecke A concentrirte Anzahl von Aethertbeilchen auf
den ausserhalb der Ebene des Parallelogrammes gelegenen Punkt
d der Zg-
ZtkfK**: ?,ur Theorie der Beugitngseracheinvnten.
M ausübt, —«sin -yr = asinw, und dem entsprechend der Zu-
stand von !U, in Folge der Einwirkung des Parallelogramm es ACA'
(Taf. II. Fig. 3.) , =i,ßin(w— y,). Um i, und y, zu bestimmen,
verschiebe man wieder das Parallelogramm längs der Seite AA'
um BC=n in die Lage BA'B'. Alsdann ist, wie in I., wenn
die Entfernung MA mit AC=P den Winkel P,, mit AA'—Q
den Winkel Q, bildet:
Wirkung von AA' — Wirkung von BB'
= Wirkung von AB - Wirkung von A'B',
d. h. wenn i uud y die in I. angeführte Bedeutung haben:
s,sin(w— y,)-
in(w-h-
-)
= ; sin (10 — y) — zein(t
Verwandelt mau diese Gleichung ähnlich wie die entsprechende
in I. und suhstitnirt den Werth von 1, so hat man:
n A* cos P,
Nimmt man l\ und Qt als rechte Winkel an, so erhalt man
;, = PQxinA.tt. Dies.« ist also die Amplitude, welche bei senk-
rechtem Einfalle durch alle im Einklänge stehenden Aethertbell-
chen der ganzen Parallelogrammfläcbe hervorgebracht wird. Das
Quadrat derselben liefert die Intensität J des Licbtes bei senk-
rechtem Durchfalle *)■ Für jede andere durch die Winkel P, und
Qf bestimmte Richtung ist also die mit z,a proportionale Inten-
sität 1' im Punkte M :
') Dir Dynamik b'iweist, dam nenn die Urinchi
plntilich aufhört, eine kugelförmige Welle 1
■cbreilet. Nach dem Gesetze der Erhaltung d
nun Sme* . welches dieumal proportional i»i
ferniing Tum Centram, a die Amplitude vm
ist aber auch erfab.ru ugigeioasa r* . J conattn
ntt a\
Erichütternnn;
Dicke fori.
lebendigen Kräfte mm*
t r*«*, wo r die Eut-
111, cum taut sein. Es
also Ist J 1
ZckfuMt: imr Themie der BeugunfMerscktiniH&t*. 9T
. nPcosP* . nQ cos Q*
* \. nPeoB Px ) l nQcos Qt )
Um die dieser Formel entsprechende Beugungserscheinung objec-
tiT auf einer durch M parallel mit der Ebene des Parallelogram-
mes aufgestellten Bildtafel a priori zu construiren, bemerke man,
dass z. B. der Ausdruck PcoaPl auch noch anders dargestellt
werden kann. Zieht man nemlicb durch den Punkt M der Bild-
tafel nach dem Mittelpunkte des Parallelogrammes eine Gerade,
deren Länge = €, so stellt ecosP, die Projection von s auf P
oder eine mit P parallele Gerade vor. Diese Parallele wollen
wir durch die Projection O des Mittelpunktes des Parallelogram-
mes auf die Ebene der Bildtafel innerhalb der letzteren gezogen
denken (Taf. IL Fig.3a). Alsdann stellt ON—p direct den Aus-
druck ecosPj, oder die Projection von s auf die Richtung von P
Pp
dar. Wenn nun Pcos Px=z— einer ganzen Anzahl von Wellen-
längen gleichkommt, so verschwindet immer der Ausdruck
•
. 7tPcOsPt . 1t Pp
8,n 1 sm^
nPcos Pt nPp
l IT
ausgenommen für cos/\=0 oder p~ ON = 09 wo er den
Pp
Werth 1 erhält. — Es sei also — —zzznX; alsdann verschwindet
C
der fragliche Factor für alle Punkte der Geraden MN, weil alle
denselben Werth von p = NO liefern, d.h. die Gerade MN ist
eine dunkele Linie. Ein ähnliches Verhalten zeigt der andere
Factor von i, welcher entsprechend in | ^,Q/y J umgewan-
delt werden kann.
Wir haben also folgende Construction der Beugungserschei-
nung. Durch die Projection O des kleinen Parallelogrammes auf
die Bildtafel ziehe man senkrecht gegen die Seiten P und Q des
Parallelogrammes die Geraden Oy und Oc (Taf. II. Fig. 4.) ; zu Oy
parallel in gegenseitigen Entfernungen = p die Geraden aa'9 66',
cd 9 .... dd'f et1, ff1 ...., und zu Oc parallel in gegenseitigen
TJieil XXX. 7
' 1
ZehfutS: Zur Theorie der BeugwigitTtchetnungen.
Entfernungen =q die Geraden aa' , ßß' , yy' .... So', st'
geben die dunkelen Linien, das Gerippe des ganzen Phanomenes
an. Die Intensitäten in den Zwisehenfeldern werden alsdann durch
die Werthe der Factor en
nPp
u
iE
je grösser p und q
■iiliiiin O entfernt. —
*nkrechten Paralle-
bestimmt. Sie fallen um so geringer
sind , d. b. je weiter das Feld sich v
Die Abstünde -p, -~ der gegen P und Q
len sind mit den Seiten P, Q umgekehrt, mit s direct proportio-
nal; je weiter man also die bildlafel hinter dem Parallelogramme
aufstellt, desto mehr breitet sich die ganze Erscheinung als
Durchschnitt einer Pyramide mit jener Ebene aus.
Es ist klar, dass man durch Abmessen des senkrechten Abstandes
d z. B. der beiden mittleren Streifen dd' , aa' die Grösse 2» erhält.
.
e Wellenlänge aus der Gleichung ;
«1
77 berechnet
so dass alst
werden kann.
Anmerkung. Gewöhnlich misst man die Weller
mittelst des Winkels, welchen die von der Mitte des Parallelo-
grarames senkrecht auf zwei dunkele Streifen, z. U. ff und cd
gezogenen Geraden mit einander bilden. Ist dieser Winkel -
tgf =
6e1:P
-• = 0.
Man befestigt dessbalb das Parallelogramm mittelst einer Kapsel
vor das Objectiv eines T heodolitfemrohrs und bringt dessen
Achse zuerst in diejenige dunkele F.bene, welche durch das Pa-
rallelogramm und die Linie ff gebt, wo alsdann das Fadenkreus
die dunkele Linie ff trifft; dann stellt man dasselbe in die dun-
kele Linie cc' ein und liest den Winkel beider Ebenen ab. Wenn
auch bei dieser Procedur die auf der Ebene des Parallelogramme«
befindlichen Aethertheilchen nicht mehr in gleicher Phase stehen,
so ist diess doch mit denjenigen der Fall, welche in der Projection
desselben auf eine durch seinen Mittelpunkt senkrecht gegen die
Richtung der einfallenden Strahlen geführte Ebene liegen, und
diese Projection, welche wegen der Kleinheit der Verrückung p
dem ursprünglichen Parallelogramme gleich gesetzt werden kann,
Zehfuee: Zw Theorie der Beugungterschctnunjen. 99
wird dabei als eigentliche Lichtquelle betrachtet Jedenfalls ist
es leicht j die aus der Verrtfckung fi nothwendige kleine Correction
der leisten Gleichung abzuleiten.
HL Wirkung eines Dreieckes!
Schiebt man das Dreieck ABC (Taf. IL Fig. 5.) , dessen Sei-
ten AB^P9 ACz=:Qf BC=R, längs seiner Basis Cum die
Meine Strecke n weiter in die Lage ccßy9 so ist wieder wie früher
Wirkimg von ABC — Wirkung von aßy
= Wirkung von Aß — Wirkung von Ay9
d.h. wenn man die Wirkung des Dreieckes ABC=:z2s\n(u) — y^)
setzt, und die Winkel, welche die von dem Punkte A nach M
gezogene Gerade mit den drei Seiten P, Q, R bildet, Pl9 Qu
R1 genannt werden:
2nn cos Bx v
Zg sin (ic— y2) — z% sin (w — ya r )
. mPcosPi
o . t% k . , «PcosPiv
ziznPsinB.a n #T- sinftc = -)
Q'.r, l . , nQ cos Qlv
sin Ca j, -=— sm(to , ^*),
tzQ cos Qx v * y
wobei zur Berechnung der Einflüsse der schmalen Streifen Aß9 Ay
die. Formel (W) in I. benutzt wurde. Setzt man in der letzten
Gleichung beiderseits die Quadrate der Amplituden gleich, su
deren Bildung man die letzte Formel aus (3) rechterhand an wen*
det, so erhält man :
K. 7tPcasPl , tzQcosQ*
Sm X V ^sin r— y
nPcosPj J \ nQcosQl J
\ i j x x y
. nPvosPi . nQ cos Qt
_ o*IP i *'" A fnPe<mPx 71 Q cos ft \""|
■ gPcosP, nQco8Q1 C08V A A JJ
100
Zthfuts: Zur Thenrie der R'iiiiunggrrschrtiiungm.
Um diese Formel für die Intensität in M zu vereinfachen, den-
ken wir uns das Dreieck ABC auf die durch M gehende Bild-
fläche prnjicirt und zugleich die Seite Q in ihrer eigenen Verlän-
gerung rückwärts aufgetragen, die Seile R aber, deren positive
Richtung von B nach C ging, zu sich selbst parallel nach A ver-
setzt, so dass die drei so erhaltenen Linien drei einander im
Gleichgewicht hallende Kräfte vorstellen. Die Grosse cosftL ist
alsdann durch = - dargestellt (Taf. II. Fig. 1.)- Nennen wir
ferner von jetzt an Q, den Winkel, den t mit der Rfickwärtsver-
längerung von Q bildet, um die positiven Richtungen von P, Q, B
mit den in Taf. II. Fig. 3. angedeuteten Pfeilen in Uebereinstim-
mung zu bringen, so dass in obiger Formel — cos Q, oder — -
an die Stelle von cos Q, treten muss, so ist nach 1):
Mit den
formet über
Pp+Qq + Rr7= 0.
rsprecbendeu Abänderungen geht r
"C-^-g-O"1
itPp , nQq
3e ) + k iOiV
. nPp . nQq
Die Discussion dieser Formel ergibt kurz folgende Hauptum-
stände : Für p = 0, o = 0, d.h. wenn M in die Projection A' des
kleinen Dreieckes fällt, ist i, obgleich von unbestimmter Form
0 L . i: ..— , _ .. ._,--.-- -'PP
luden
und
' Q
sind,
. nQq
Ferner kann i nur verschw
sin^- gleichzeitig =0, d. h. p = m. p, (
ala nPp,
augenblicklich erhellet, wenn man sich = — , -= — als
nPp it Qq
Im Ab
zwei Seiten eines Dreieckes denkt, welche einen Winkel ^ I -77*
ei nach Hessen ; t stellt alsdann das Quadrat der dritten Seil
lifo,
Z*kfu$$? Zur Tkewie der Beuf*nft*rscäeinwife*. 101
nraltiplicirt mit t~öZ ttt* vor. Diese dritte Seite kann aber
\ Xe + Xe J
nur verschwinden : 1) wenn die einschliessenden Seiten = 0 sind ;
3) wenn die beiden ersten Seiten gleich und der eingeschlossene
Winkel =09 d. h. Pp+Qq = Q ist, wodurch sich die Bedingung
über die Gleichheit der Seiten
. nPp _ n
sin i sin—,
Xe Xe
nPp itQq
TT "IT
von selbst befriedigt. Die Gleichung Pp + Qq = 0 zieht aber
nach sich /2r = 0, d. h. man befindet sich alsdann auf einer durch
A' senkrecht gegen R gezogenen Geraden, welcher Fall keine
weitere Betrachtung , als etwa derjenige, wo Pp=0 ist, verdient.
Betrachten wir also den ersten Fall, um die ganze Erschei-
nung auf der Bildtafel zu construiren. Senkrecht gegen die drei
Seiten P, Q, R ziehe man durch die Projection A' des Drei-
eckes auf die Bildtafel die drei Geraden A'it9 A'x9 A'q (Taf. II.
Fig. 6.) und zu diesen parallel in gegenseitigen Abständen
Xe Xs Xe
= p* ä > -p die Systeme von Geraden aa1 , 66', cc'...., ddl,
es', /Jf'..*., gg', AA'...., deren je drei sich in einem Punkte
schneiden, wegen Pp + Qg + Rr = Q. Da nun die dunkelen
Punkte blos da sein können, wo gleichzeitig
nPp tcQo
Xs Xe
d. h. wo drei Gerade sich schneiden, so haben wir nicht wie
beim Parallelogramm dunkele Streifen, sondern nur dunkele, auf
Geraden senkrecht gegen die Seiten gruppirte Punkte *). Betrach-
ten wir noch insbesondere diejenigen Geraden Atz, An, Aq, welche
durch A' senkrecht gegen P, Q, R laufen, z. B. diejenige, deren
Gleichung p = 0 ist. Für diese Voraussetzung verwandelt sich
die Intensitätsformel in:
* =
J [Y8,n "ST *Q9 V ^ • *?9i\
V Xe ) Xe
*) Dieselben find, um sie besser hervortreten zu machen, in der
Fignr mil kleinen Kreisen umgeben worden.
102
Zehfust: Zur Theorie der Beitgungterscheinungen.
Dieser Ausdruck kann nie verschwinden, weil sonst die beiden
letzten Quadrate gleichzeitig =0 sein müssten, was, da der Fall
p = 0, q — 0 schon früher ausgeschlossen war, auf ein2=cos2=0
hinauslaufen würde. Es ergibt sich mithin, dass die dunkele»
Punkte durch drei auf den Seiten des Dreieckes senkrechte Strassen
durchbrochen werden, auf welchen die Intensität niemals ganz
erlischt, wie in den übrigen auf P, Q, R senkrechten Geraden,
Sie bilden den sechsseitigen Stern, welchen man zuerst bei Be-
trachtung des Spectrums gewahrt.
IV. Wirkung
1er geraden Reihe gleic
Inger OeTfnungen.
-
Wir werden finden, dass das von einer Qeffnung gelieferte
Grundphänomen durch die Zusammenstellung mehrerer ihr gleicher
Oeffnungen mit parallelen gleichnamigen Seiten zu einer geraden
Reihe nicht geändert wird, sondern dass dasselbe sich nur mit
parallelen dunkclen Streifen durchsieht, welche senkrecht auf der
Verbindungslinie der gleichnamigen Ecken stehen. Es seien z. B.
lauter Dreiecke zu einer Reihe ABC... (Taf. 11. Fig. 7.) zusam-
mengestellt und der ganze Effect =j,sin(w — ■/) ; schiebt man das
ganze System AB — E um die Distanz d = AB weiter längs AE,
so kommt jede der Figuren A, B, C... an die Stelle der nach-
folgenden, E kommt nach £'. Es erbellt alsdann wieder, daas
Wirk<
■mg i
-Wirkung von B...
— Wirkung von E'
£' = Wirkung von A
sei. Setzt man nun die Wirkung der Figur J=isinw, so erhält
man folgende Gleichung, in welcher n die Anzahl der Oeffnungen
A....E, J' den Winkel zwischen A — E und der Richtung AM
bezeichnet :
Hl«
-/>->,
„(„_, —
1ltdV<
~)
Ztkfutt: Zur Tkeorit der Beu§u*f*tr9C?*einunfftn. MB
Mithin itl
zx = 1
, nnAcoaA'
8in — - —
, 1lA COS A'
sin z
oder, wenn i die durch die Figur A, f die durch die ganze Reibe
A....E bewirkte Intensität vorstellt:
. MtA COS A'
Sin-- ; ~
i
. nAcosA'
sin ;
So oft nun t verschwindet , ist auch i'=0, d. h. das Grundphä-
nomen bleibt dasselbe, ausserdem ist dasselbe aber durch einen
anderen Factor modificirt, welcher, wenn d die Projection des
Strahles AM auf die Richtung A....E vorstellt, leicht iu
nnAS
sin
Xs
* itAd
Xs
▼erwandelt wird. Ist also wieder A' die Projection der gegen die
Entfernung s sowohl, als gegen das sich kegelförmig ausbrei-
tende Spectrum verschwindenden Oeffnungen A....E auf die
BUdfläche, so zeichne man, um die durch das Verschwinden des
zweiten Factors verursachten dunkelen Streifeu zu construiren,
solche senkrecht gegen die Richtung AE, und zwar in gegensei-
Xs
tigen Entfernungen ä= — -.9 lasse jedoch sowohl den durch A'
gehenden, als auch sonst je den nten Streifen aus, indem für
d=0, + — t> -1 7-, ... Zähler und Nenner des fraglichen Fak-
' — nA — nA * "
tors gleichzeitig verschwinden, derselbe aber den Werth n* er-
hält, so dass also an der Stelle des nten Streifens, von der
Mitte an gezählt, jedesmal ein Streifen von w2 fach er Intensität
wie bei einer einzigen Oeffnung entsteht. Für n = 4 gibt Taf. II.
flg. 8. ein Bild dieser Streifen.
V. Wirkung einer zu einem Parallelogramme zusam-
mengestellten Doppelreihe gleicher und homologer
Oeffnungen.
Die Gesammtheit aller beugenden Oeffnungen ist fflr diesen
Fall zu betrachten als eine Reihe von Figuren, deren jede selbst
104 Grüner t: Der Sai% von Cotet,
eine zusammengesetzte Figur AA'A" bildet (Taf. IL Fig. 0.). Setst
man also AA' = D, AB—A, so finden wir leicht:
, mitDd . nitAi
1 ~~\ . nDd ) V . nAÖ J
Es wird also jetzt die durch die Figur A allein hervorgebrachte
Erscheinung durch zwei sich durchkreuzende, auf den Richtungen
AE, AA" senkrechte Systeme von Streifen durchschnitten, welche
mit den in IV. betrachteten übereinstimmen.
Der Satz von Cotes, auf die Ellipse erweitert.
Von
dem Herausgeber.
Es scheint mir sehr bemerkenswert!! zu sein, dass das be-
rühmte Theorem von Cotes sich auf die Ellipse erweitern
lässt, und namentlich dürfte die Leichtigkeit merkwürdig sein, mit
der dies in sehr eleganter Weise möglich ist, wenn man die Sache
einmal aus dem richtigen Gesichtspunkte aufgefasst hat.
Die Anomalie eines beliebigen Punktes P einer mit den Halb«
axen a, b beschriebenen Ellipse sei u, und /*, 0 seien die Coor-
dinaten eines beliebigen Punktes O in der Axe 2a dieser Ellipse.
auf die ßtHpte erweitert. 105
Ueber der Axe 2a als Durchmesser beschreibe man einen Kreis,
und bezeichne den, dem Punkte P der Ellipse entsprechenden
Punkt dieses Kreises, nämlich den Punkt des letzteren, in wel-
chem derselbe von der nötigenfalls gehörig verlängerten Ordinate
des Punktes P auf derselben Seite der Axe 2a, auf welcher der
Punkt P liegt, geschnitten wird, durch P*. Die von dem Punkte
O nach den. Punkten P und P gezogenen Geraden OP und OP
bezeichne man respective durch r und r'.
Dies vorausgesetzt, sind nun die Coordinaten der Punkte P
und P respective acosu, 6 sin« und acosu, asinu; und nach
• einer bekannten Grundformel der analytischen Geometrie ist
folglich :
r1 = (f — acosu)2 -f 6asin**,
r/2= (f — acosu)* + a*sinu*;
woraus mittelst Subtractioo sogleich
r*— r* = (a»— 6») sin«*
folgt. Die Gleichung der durch die Punkte O und P der Lage
nach bestimmten Geraden ist
bsxnu / -
und die Gleichung des, dieser Geraden parallelen Halbmessers
der Ellipse ist folglich
bsxnu
cos«
9 — f—Or- X'
Bezeichnen wir nun die Coordinaten des Durchschnittspunktes
dieses Halbmessers mit der Ellipse durch jr, »; so haben wir zu
deren Bestimmung die Gleichungen:
i
woraus mit Beziehung der oberen und unteren Vorzeichen auf
einander leicht erhalten wird :
a(/— acosu) %
»=T
V(/— acost*)2 + aasinu*
ab sin u
\T(f — a cos u)* + a*sin u* "■
oder:
Crunerl; Der San ton Colts,
a(f— ncoBtt)
Vfr—'iafcosu + a
Vf*— %,f cos u+a*
Bezeichnen wir den, der durch die Punkte 0 und P de» Lage
nach bestimmten Geraden parallelen Halbmesser der Ellipse selbst
durch 11, so ist:
R = V"r» + i>*,
und folglich nach dem Vorhergehenden:
■ V(f-
aco. «)» + *>.
j„,ji
Vif-
»co.u)*+<i'.i
""'
cyTif-
-flco8w)a+6»Hinu*
V./*-
-20/-C0.1.+
„2
' r und r' gefundenen Ausdrü'i
also r' = a-n-
Von dieser bemerkenswerthen Formel lässt sich nun die folgende
Anwendung machen.
Mit Beziehung auf Taf. III. Kitt- 1. sei in der Axe In unserer
Ellipse oder in deren Verlängerung ein beliebiger Punkt O ange-
nommen und über der Axe In als Durchmesser, wie die Figur
zeigt, ein Kreis beschrieben. Die Peripherie dieses Kreises theile
i der Figur ersichtlich ist, in den Punkten
A0, Ai, At',.... An— l', An, An+l', Az*-*' , Ain-l'
m 2« gleiche Theile, und lalle von den dadurch erhaltenen Theil-
punkten auf die Axe 2a der Ellipse Perpendikel, welche durch
ihre Durch Schnitts punkte mit der Ellipse auf dieser die Punkte
Aa, At, A% An-\, As, An\\ Atn-i, An*.
bestimmen. Die von dem Punkte O nach den Punkten
Äft, At , A%,.... An—l, Aa, A„±l,,... A;„--i, A-ia-
g*zogenen Geraden bezeichne man respective durch
»
ood die diesen Geraden parallelen Halbmesser der Ellipse respec-
tive durch
die von dem Punkte O nach den Punkten
gesogenen Geraden mögen aber respective durch
Tq , tf , rj , . . . . r»_i 9 t% , iV|-i » • • • • rm— * » ra»— i
■
bezeichnet werden, wo natürlich r0' = r0, rn' z=zrn ist. Dies vor-
ausgesetzt, ist nach der oben 'bewiesenen Relation allgemein:
rk=awk-
Folglich ist:
»'»'•.'•.' ~ .' — « JÜ -Ü *«L J3L f|H .
fkffc*t> ....t*-i -«»^ ^ Ä/ß,' '15^7»
nach dem Cotesischen Lehrsatze ist aber bekanntlich:
flWV • • • • r»»-!' = C4o" + ^O*.
oder , weil
ist:
r^rsV'r' • • • • ra«-i' = «■ +/N
folglich ist nach dem Vorhergehenden:
ill it^ JK5 ICf li'Zn-l
oder:
«
\c/ Äi Ä8 Rb Rr "" Rtn—i
Ferner ist nach der obigen allgemeinen Relation:
tiit • / » ro r« r4 r6 ra«-i " .
nach dem Cotesischen Lehrsatze ist aber bekanntlich:
'oV^V •• • • *■*«•-»' = i: (Cio*— CO»)
oder
106 Grünem Der Salm ton Cotes. auf die Eltipst
wenn man das obere oder untere Zeichen nimmt, jenachdem der
Punkt 0 innerhalb nder ausserhalb des über der Axe 2a als
Durchmesser beschriebenen Kreises liegt; folglich ist:
erweitert.
±W
I-
1° I* Zi iL
■ßa— ,
wenn man das obere oder untere Zeichen nimmt, jenachdem der
Punkt O innerhalb oder ausserhalb der Ellipse liegt.
Geht die Ellipse in einen Kreis über, so sind die Halbmesser
Ä0, Rlt Rt,:... fi„_i, Ä„, Rn+i,... ßan-s, Äa=-
säiumtlich einander gleich, nämlich alle gleich der Grösse a, wo-
raus erhellet, dass im Falle des Kreises die beiden obigen Glei-
chungen
1+1
ZL L\ 1° iL
fr
Ra'R6'RT
R6 "" Wan-
wieder in die Gleichungen des Cotesischen Satzes übergehen.
Dass für alle über derselben Axe 2a beschriebenen Ellipsen
and denselben Punkt O die beiden Producte
fi ^ '»_ !r
«i ßj R6 Rj Ron-
uud r" fa r* *e
Kq /** Ha tili
natürlich unter Voraussetzung desselben n, constante Grossen
sind, gebt aus den obigen Gleichungen von selbst hervor, ist aber
jedenfalls eine sehr merkwürdige Eigenschaft der Ellipse.
Grüner t: Der8*t% de* Ft0iemäu$^anf die &itp$* erweitert. lQtt
•
p *
Der Satz des Ptolemäus, auf die Ellipse erweitert
Von
dem Herausgeber.
Es sei AqAiA^Ai ein beliebiges, in eine Ellipse beschrie-
benes Viereck; die Anomalien der Punkte
Ao> A\ , A%s A^
sollen respective durch
uo> ui> «*> u*
und die Seiten und Diagonalen
^o^™i» A1A2» A%A%f A^AqI AqA%» AiA$
sollen durch
*0»l> sl>2> *2>3» *3H> 9 *0>2» *1»3»
die diesen Seiten und Diagonalen parallelen Halbmesser aber durch
rO»l » rL>2> r2>3» **3>0> r0>2> rl>S
bezeichnet werden.
Dies vorausgesetzt, haben wir nach den in der. Abhandlung
Nr. IL bewiesenen Formeln *) die folgenden Ausdrucke :
^ = sinj(t*1-u0), i.^=sin«ti1~iia);:
*0>1 r2>3
*i,2 rSK)
i.5ü2 = sin4(%-ti0), i.^ = sini(«8-til).
*) M. •. S. 14. and S. 41.
. 1 ■
HO Gruntrl; Der Bat* d$i Ptolemäus,
Also ist
\rO»l rM *1»2 r8»0/
= sin 4(11! — iio) sin U«, - tij) + sin J(«a— «i) s'"» l(«b — Uo) ,
und folglich nach einer bekannten Zerlegung:
VrO»l rl* rl*2 r3»OX
= cosi(tio— tt, — u2 + te8) — cos l(u0— ux + Us— t<s)
+ COSi(t*0 — l^ +"9~"s) — <M*l("0+"l--"9-- ^l)»
also:
i ff™ . fea + Sit . !»!* ^
\r0»l r2>3 rl>2 *»,<>/
= cos i(tio -t«! — tij+tia) — . cosi(«o+«i — «i— «s).
Ferner ist nach den obigen Formeln:
I.Ja. Ja = du Mt^-nOshKn-n),
also nach einer ähnlichen Zerlegung:
i . J*. J* =cos i(M() — ttl — t^ + t^)- COS l(U0 +ttj - t*a — t^).
Vergleicht man dies mit dem Vorhergehenden, so erhält man
auf der Stelle die folgende merkwürdige Gleichung:
*6»i *s>» i *i>« *3>o *o»s *i>a
r0>l r*»3 rl»Ä r3>0 r0>2 rl>8
oder:
AqA\ A%A$ A\A± A$Aq AqA% A\Aj
— — — • -|- — — — • — — — ; • • — — f
*b>i r&a rit r3*o ro»a ri>3
wo, wie ans dem Obigen bekannt ist,
r0»l> rl>2> rl>8> r3H)> r0»2> rl»3
die den Seiten und Diagonalen
AqA\9 AfA^, 292**3» -"8^0 > AqA^9 A\A±
des in die Ellipse beschriebenen Vierecks A0AXA%AZ parallelen
Halbmesser der Ellipse sind.
auf die OUp$0 etmttarL 111
Für den Kreis sind diese Halbmesser sämmtllch einander gleich,
ood die obige Gleichung geht daher io diesem Falle in die Gleichung
AqAi • A^'A9 -f- A\A% . A9A$ sä A$A$ . A\ A%
über, welches bekanntlich die Gleichung des Ptolemüschen Satzes
ist, den folglich der obige elegante Satz von der Ellipse als einen
besonderen Fall enthält
Anmerkung.
Man kann noch manche Sätze vom Kreise auf ähnliche Art
auf die Ellipse erweitern, 'was ausführlicher zu erläutern zu weit
fähren wurde, und im Ganzen, nachdem ich hauptsächlich in dem
Aufsatze Nr. IL die dazu nöthigen Formeln entwickelt habe, auch
keiner besonderen Schwierigkeit mehr unterliegt Beispielsweise
mag indess noch Folgendes bemerkt werden.
Wenn wir -die Winkel des vorher betrachteten, in die Ellipse
beschriebenen Vierecks A0AlAtAi durch A0, Alt A^ 4» bezeich*
oen, so ist nach der Abhandlung Nr. U.S. 12.:
sin 4>*
_ fl^ainKMa-*1*!)*
Is^niCwo+iOH«^^
Nach S. 14. ist aber:
ron»= a*sin i(tio + «0*+ 6*cosi(«o + «1)*,
rM* = a»sin4(ti5 + Uo)a+6»cosi(tt, + ii0)*;
also ist offenbar: ,
sin Aq = — — — sin i(ti, — te, ) ;
and ganz eben so ist:
sin 4 = -~- siniC«,— i^);
Abo ist:
*\nAp rlf%r^M
&\qA% . r<»lrS>0
Befrn Kreise sind die Halbmessef eämmtiicb einander gleich,
also
112 Gruntrt; Btr Sat* des riolemdus
-j---j-— 1 oder tiinJ0 — sin/J5,
nie bekannt, weil bei'm Kreise .(„ | - At~ ISO0 ist.
Ganz auf ähnliche Art wie vorher ist;
Mn.-f, ^ r3,3r3K,
sln^fg ro>irin'
also:
ein An sinAt _ /Vg.aV
sin^a'6mJa-U.i/ '
und mehrere dergleichen Relationen würden sich leicht finden lassen.
Noch ein anderes Beispiel einer solchen Erweiterung bietet
der bekannte Satz dar, dasa die Summen der Gegenseiten eines
jeden dem Kreise umschriebenen Vierecks einander gleich sind.
Sind die vier Punkte, in denen eine Ellipse von den vier
Seiten eines um dieselbe beschriebenen Vierecks berührt wird,
durch die Anomalien u0, a,, az, w3 bestimmt, und bezeichnen wir
die vier Seiten dieses Vierecks durch s0, * j , *j, »s, die densel-
ben parallelen Halbmesser der Ellipse aller durch r0, r, , r», rs;
so ist, mit Rücksicht auf Taf. III. Fig.2., nach den in der Ab-
handlung Nr. II. für die verschiedenen hier zur Betrachtung kom-
menden Fälle bewiesenen Formeln:
r0sin!(a3 — «t)
cos
H«,-
-üjjcos
««.-
-«.)
<-!-■
iniK-
■Kt
cos
!<«.-
-«,)«»
««i-
-«.)
raf
in!<«,-
»,)
cos
Kh-
- Kg) COS
;<«,-
-•;)
r38inj("i-
■<!
ni(ws — «0)cosK"a — ^*
also, wie man sogleich übersieht:
»i("i— Mo)cosi("i— «o) ~
j{(«g— "itcos^u,— ut)
'cosi(«, — UQ)C06i(u^~- u,)c\
mf dte EUtfis* erweitert. 115
\ — -f- —
*\ a "o'cosifaj — UoJcos^tij— «JcosiCttj— u0)cos4(ms— Mj)
%
Mittelst bekannter Zerlegungen erhält man aber zuvorderst leicht:
COSi(tt,~ M0)C0Sj(tt3 — t£0)— .C0Sj(«3 — Ma)C0Si(M2^ttl)
= 1 { coai(ifi — 2u0 + 1£3) — cosi(% — ^2 -f «,)|,
cos 4(«s — Uq) cos i(«3 — «a) — cos i(w2 — «i) COS l(ttj — «ö) ,
= 1 1 cos 1(Uq — fc2«3 + tta) — COS 1(1/2—2«! + Uq) 1 ;
and hieraus ferner:
cos i(«t — *<g) £08 2(1% — 1%) — cos i(tfg— «a) cos ifo— «i)
rrsin^iia— Uo)sin i(Mo — «! + «ft— 113),
«osi(«! — «o)cos 10h — Hg) — cos£(h»— »i)cos i(«i— «*)
r=sin i(«3 — ut) sin J(tto — wi + wa — ws)« *
Aloe ist nach dem Obigen:
1
'O r» C0sj(ttj — «o)COSi(w» — «i)CQSj(«3 — «o)cOSj(f«3~- «t)'
*l i3 sin j(ua — tpsin K«3— ^i) sin 2(^0 — ^1 +Ma— «3) .
rt rg^cosiCti!— tto)eosJ(Ma— a«i) cos iftis—iio) cos 1(1*3 -«a) '
woraus sich die sehr merkwürdige Relation
^ 4. 5 = *1 1 *i
»0 r« rl r3
ergteoc.
Bei'm Kreise sind alle Halbmesser einander gleich, also:
*6 + H = «1 + * 3 »
wie bekannt.
Theil XXX. 8
Ti*<\ Hein gnimrtrltekf Ai'/Miunf der iufyabe
Rein geometrische Auflösung der Aufgabe von der
Dreitheilung des Winkels.
Von
Herrn J. -Tieft,
GjuMRiiBlIchrer zu Kon Uz in We«tj>reui«en,
Aufgabe.
i gleiche
abg* (Taf.HI.Fig.3.) der zu «heilende Bogen und I
der dritte Tlieil d«
rungspunkt b des Boger
Kreises die Gerade c6,
nnd dann gg*. so ist cb pai
man ferner durch ca die G<
alsdann durch t
i abg* und durch den Mittelpunkt c des
lieht ferner durch n den Durchmesser ag
£ Ci3*g = ^ v*ggi = ^- "*b2c = £ c%cb^ ,
c$g = Cvgz und c2&a = fjC, d. h. (.'ffa = fl&a.
Um daher die vorstehende Aufgahc zu lösen, kommt i
an, zwei Gerade cja und gb% so zwischen den Paraljelei
gg* einzutragen, dass sie einander gleich sine
punkt in den Bogen abg* fallt; oder, was das:
Punkt ra einen genmetrischen Ort zu konstruii
dingung, dass, wenn man c^g nnd ic% zieht
bis gg* verlängert, dass dann c.1g = cig%.
Hiezu gelangen wir auf folgende Weise. Es
Fig. 4.) der zu theilendc Bogen, so ziehe man
10 ist
A.
iommt es darauf
'arulJeHi cb und
und ihr Sehnitt-
■llif ist, i'iir den
ti unter der Be-
nd diese letztere
abg* (Taf. III.
e vorhin, den
von der DrtUhcitung des Winkels. \\%
Durchmesser *gs die Gerade gg* und dazu die Pat aHele cb ; trage
alsdann zwischen diesen Parallelen, von c und g aus, die Geraden
c9i = c9s =^*i = £*s
ein: so schneiden sich cgx und gbx in Cj , <?grs und #63 in c8, und
es sind cgxgbz und cbtggB und auch ccxgc3 Parallelogramme, welche
den gemeinschaftlichen Mittelpunkt m haben, wenn nämlich cm^=mg
ist. Mithin ist, wie man leicht sieht,
^cxggx=^Lcxgxg und Zc8^3 = ^c3g3gt
folglich
C\9 — C\9\ «nd <*0=rcs$r8.
Trägt man ferner
<#* = <tf 4 = <A = gb±
ein, so ist auch für die beiden Schnittpunkte ca und c4
C^ = f^a una* c40 = c4°4-
Wenn endlich
cg1=:cg^=:gbl=:gb^9
kleiner als cg, eingetragen werden, so ist auch für die beiden
Schnittpunkte c1 und c2
clg = c1^ und c*g = c*g*.
Folglich erfüllen die Schnittpunkte clt c2, c1 und c8, c4, c* alle
die Bedingung des zur Losung unserer Aufgabe gesuchten geo-
metrischen Ortes; und wenn man beliebig viele Punkte auf die
angegebene Weise konstruirt, so erhält man eine Curve, welche
der oben gesuchte geometrische Ort ist. Diese Curve besteht,
wie man sieht, aus zwei von einander getrennten Theilen, die
aber vollständig symmetrisch sind in Bezug auf mp und mq9 wenn
nämlich mp parallel cb ist und mg senkrecht steht auf mp. Dass
c uud g selbst in dem gesuchten geometrischen Orte liegen, sieht
man, wenn eg* = gb* = cg eingetragen wird.
Um also die gestellte Aufgabe zu lösen, konstruire man nach
dem Vorhergehenden die beiden Theile clccx und c^gc2 (Taf. HL
Fig. 3) unserer Curve, so ist c^g*, wenn die Curve den gegebe-
nen Kreis in c2 schneidet, der dritte Theil des Bogens abg*;
denn es ist c»2gr = C2°2> folglich
^ c29&2 = 2^ cc*9 = i^ CffC*>
und daher
^caflf5r4 = i^c^ °&er B°£- ß25f4=s Bog. abif.
Und wenn c^d senkrecht steht auf cb, so ist'
Bog. ad = Bog. dc9 = Bog. c%g4.
110
Ferner ist Bog, t^ffg*
»amlidi e3 der Punkt ist
Kein jr?o/tteMsci>e Auflösung der Aufgabe
der dritte Theil des Bogens anff*,
in welchem der /.weite Tbeil unsere
is ausser in n schneidet; dem
folglich
^affff»
= \Z. cctf =
:.Z.cgc3
z:
%9az = l-£c99il
weil aber ^.c3gg3 — ^.v3c
so ist
'• "»'1 ^ cgg3
=£gcb
U2(
"'" ~
Fallt in
an daher
c3h senk
recht aufwc,
so Ist
Bog. nk
= Bog. n
ca = ( Bog. c
tfff*-i
Bog.
'ii-5/i
d. h.
Bog. uc8A = Bog. hnc3 = Bog. c3gg*.
Es bestimmt mithin der Punkt c3 den dritten Theil desjenigi
Bogens, der den gegebenen Bogen abg* zu 360° ergänzt.
Endlich igt der vierte Schnittpunkt e3 nicht ohne Bedeutung
für die Aufgabe. Es ist nämlich, wenn man für den Augenblick
j£neg=»Z.cgg*=a, J£ncc3 = J£cWc = Z.b*gg*=ß und slccW
= Z.cgb*=y setzt, <Zy+a + ß = 2k und y = ß ~ a, folglich
ß = tf£R + a), d. b., jC nee" = i(2Ä + *£ ach) oder Bog. cbAh
= J Bog. a!ig*n. Hierzu addirt Bog. nc3g* = Bog. ncaa giebti
Bog. e3ngi*= IfBog. n%*K + 3.Bog. oc8«)
= l(Bog. «%* +4.Bog. ac*n);
weil aber 2. Bog. ac^n =■]> — Bog. abg*, na ist endlich Bog. c'ng*
= \(2p~ Bog. abg4), wenn nämlich pdie ganze Peripheriebezeichnet.
Die gestellte Aufgabe ist somit vollständig gelöst und wir lugen
nur noch folgende Bemerkungen hinzu. Ist der gegebene Bogen
abg* gleich dem Halbkreise, so fallen (Taf. tll. Fig. *.) die Punkte
%■ cB u. s. w. und C'j. t-4 u. s.w. alle in die Gerade mp, und der
zur Lösung der Aufgabe bestimmte geometrische Ort ist für die-
sen speziellen Fall die Gerade mp. — Ist der zu theilende ßogea
abg* (Taf. HI, Fig. 3.) gleich einem Quadranten, und man tragt
cg = cg* = gb* ein, so ist f/b'* eine Tangente, welche den gege-
benen Kreis im Punkte g berührt; tragt man daher egi=gb3,
grösser als cg, ein, so liegt der Schnittpunkt c3 ausserhalb des
Kreiset.; wird aber cg*=zgh%, kleiner als cg, eingetragen, so
liegt auch der Schnittpunkt c8 ausserhalb des Kreises, woraus man
sieht, dass für ^aegfl — A' der zweite Theil unseres geometrische»
Ortes mit dem Kreise nur den Punkt g gemeinschaftlich hat.
Dies lässt sich Auch aus den obigen Resultaten folgern ; denn
•
i der Drettketltm? des Winkels.
(Taf. 111. Fig. 1.) bestimmte den dritten Theil des Bogen« agg*.
wenn aber Bog. a&jr4= Bog. g*g=\p, so ist Bog. g*g=\ Bog. agff*,
d. h. C3 fällt mit g zusammen.
In dem mathematischen Wörterbuch« von Klügel heisst es
unter „Trisection des Winkels'-, dass Montucla der platonischen
Schule folgende Lösung unseres Problems zuschreibt.
Um den Winkel ncg = egg* (Tal. III. Fig. 3.) in drei gleiche
Theile zu theilen, kommt es darauf an, nc zu verlängern nnd
dann die Gerade glij, so zu ziehen, dass c46s gleich dem Radius
wird. Wie aber der Punkt ca gefunden wird, davon lindet man
nichts. Kries schreibt dies Verfahren, zur Lösung des Problems
zu gelangen, dem Archimedes zu. — Folgendes Mittel zur Lo-
sung unseres Problems wird in Klügers Wörterbuch von Cam-
panus angeführt, wovon jedoch behauptet wird, dass eine rein
geometrische Lösung nicht ausführbar sei. Wenn nämlich ^neg
= s£cgg* (Taf. III. Fig. 3.) der zu theilende Winkel und cu senk-
recht auf nb steht, so kommt es darauf an, den Punkt ca so zu
bestimmen, dass cc8 = e%t. — Dass diese beiden Lösungen durch
die nnsrige gegeben, sieht man auf den ersten Blick.
Jetzt wollen wir zum Schluss uoch nachweisen, dass der oben
cur Losung des Problems benutzte geometrische Ort eine gleich-
seitige Hyperbel ist, wie sie nach Klfigel auch die analytische
Lösung ergiebt. Wenn nämlich c und c, (Taf. III. Fig. 6.) Punkte
unserer Curve sind, und man zieht ec\ , so ist i'/ir, = Ci//, (wenn
nämlich wiederum cm = mg, mp |iarallel cba und mq senkrecht
aufmalst); denne9 ist Z.c1cbl=Z.ncq, und da ^clc61 = ^jc»i,,
so ist Z. ncq = ^L qcmx , und daher >mc = en. Ferner ist A cm/t
aa &gmnt, folglich mn = m*il, deshalb aber .l. ji/v" = —-'"/Vi
= £c\Pipi — ^CipiT^i d. h. npz parallel cc( , folglich cctpsn
ein Parallelogramm und daher nc = e,/^ ; weil aber ttc—tntC und
cxp3 = c,/>| , so ist Bi|C — Cj£>x, «ic behanplet wurde. Dasselbe
gilt für jedeo andern Punkt t,. unserer Curve, auch für den ist
nijC — i:,/>:. Ferner ist mn:vq = mps:cq; wird nun c,;;4 senk-
recht gefällt auf mp, so ist ct/ — p3pi, und daher 7/m:«o — m/>3 -psPt,
folglich mn + tu/:ntp3 + ptp,t — n>": mp3 oder mq:mpi-=mn;mpn
= nq:cq; weil aber nq = c,p4, so ist mqimpA= erf^cq, d.h.
mq.cq = wp4.c,pt. Ebenso findet man mq.cq = mp&.Cjpit und
so für jeden anderen Punkt unserer Curve, woraus man sieht,
dass dieselbe eine gleichseitige Hyperbel ist, deren Asymptoten
mp und mq sind und deren Potenz mq.cq ist.
Um daher den Winkel egg* (Taf. III. Flg. 7.) In drei gleiche
Theile zu theilen, halbire man cg in tu. ziehe cq parallel gy* und
falle »17 senkrecht aal cq: mache dann qtt=zqc, beschreibe über
ich dem Obigen:
k.A'A" ar.iiii,
— ' ' AV '
!■=!(«+«' +«")■
A'A"
Bezeichnen wir aber ferner den Winkel A'A"B" durch a, so int
h' = A' A" .m\(t; folglich: /J = $(a+tf' + a")F*inasini. Für das
gerade dreiseitige Prisma ist o = t = <JO°; also P= J(a + o' + a")F,
wie oben.
Demonstratio theoremntis Fermatii. {Vid.Tom.XXVII. p. 116.)
Aurt. 0". Christian» Pr. Linriman, tect. Strcngn.
Lemma. Eadeni hypothesi atque in theoremate- facta,
(Tat 1. Fig. 9.):
FG*z='lAFxBG.
Quia A^CFsiniile est A° CEit et \BDG \" DER, habemus
AF:AC=CH.EG, BG.AC—BB-.EH
>el
AFxBG:ACxBG=CHxBH:DHxEH,
BCxAC:,iC* -DHxEH:EH>
et ex aequo
AFxBG:A€*=CHxDH.EU*.
Quia est CH = AK, Dll = BK, evadit
CHxDH=ETt*, AFxBG:AU' = EK*:El
Triangula veru siniilia EFG, ECB dant
EK:EB = FG:CD (vel ^8),
unde
AFxBG: AC* = FG*:AB*
vel alternando
AFx BG: TE» = A~C*: ÄE>=. 1:2,
quia per hyp. ÄB* = 'IAC*. q. e. d.
Jam facillima est theorematis demonstratio. Secondum Encl.
(ü. 4.) est
AB* = AG* + BG* + idfix BG.
Quam vero sit
AG = AF+FG, BG'+2BGxFG=BF*-FG*,
evadit
AB* = AG* + BF* - FG* + 2AFX BG
* vel vi lemraatis
AB*=AG* + VF*. q. e. d.
Gamst: Die ortkogonaii Trtm$9er$aie *. die Brem&nie He. 1SBL
I
i- .; ■•)'
orthogonale Transversale and die Brennlinie der
zurückgeworfenen Strahlen fiir die gemeine Cycloide,
wenn die einfallenden Strahlen der Axe derselben pa-
rallel sind, und für die logarithmische Spirale, wenn
die einfallenden Strahlen vom Pol derselben ausgehen.
Von
Herrn Friedrich Gauss,
Candidaten der Mathematik zu Greif iwa Id.
§. 1.
Wenn
■
die Gleichungen resp. einer zurückwerfenden Curve und der ortho-
gonalen Transversale der einfallenden Strahlen sind, so findet man
die Gleichung
F(x'9y') = 0
der orthogonalen Transversale der zurückgeworfenen Strahlen leicht
auf folgende Art. Die Gleichungen der Normalen der beiden ortho-
gonalen Transversalen für die dem Einfallspunkte (xl9 yx) ent-
sprechenden Punkte (x9 y) und (x' , y') sind bekanntlich
uX vx
M—»=-g- («-«), «-Y— -jyr« — *9;
folglich ist, da sie auch durch den Punkt (x,, y,) gehen,
*i-* + foi-y)|| = 0, ...... (1)
*i — ^+(yi-»')^=0. ..... (2)
Th.il xxx. »
128 Samt: Die orthogonale Trttnnersiile und
Die trigonometrischen Tangenten der von den Normalen der orthi
gonalen Transversale der einfallenden Strahlen, der zurückwer-
fenden Curve und der orthogonalen Transversale der zurückge-
worfenen Strahlen für die einander entsprechenden Punkte (ar, y),
(*u */t)> C^'t y') m*t dem positiven Theile der Abscissenaxe
geschlossenen Winkel sind offenbar
V— gi
0£,
'
Folglich sind, wie leicht erhellet, die Quadrate d
sehen Tangenten des Einfalls- und des Reü
SuJEJ
_y~Vt
Bezeichnet man diese Winkel durch
nach der Formel
Folglich ist nach dem Gesetze der Zurückwerfun»
Die Nenner der Grössen auf beiden Seiten des Gleichheitszei-
chens sind offenbar die Quadrate der Längen des einfallenden
und des. zurückgeworfenen Strahls, vom Einfallspunkte bis zu den
betreffenden orthogonalen Transversalen gerechnet. Bezeichnet
man diese Grössen durch ra und r'B, so findet man durch Diffe-
rentiation nach Xi •
dq sw&^e^fywi &frahlerkjür die gjtmefn* Cvcloifc, etc. 18?
d. i. nach (1) und .(?): -
I ».
Dies mit (3) verbunden giebt:
(*y = (*)- ,
\dxxJ \dxiJ
... • r
also ist
Br = ±dr'.
Mithin ergiebt sich durch Integration
r = ± (r' + C).
Pie willkürliche constante Grösse C, welche in 4*r Cjleic^jung
zwischen r und r' auftritt, zeigt ao, dass es unendlich viele orthpr
gopale Transversalen der zurückgeworfenen Strahlen giebf. Setzen,
wir C=0, so ergiebt sich folgender Satz:
Werden Strahlen von einer beliebigen Curve zu-
rückgeworfen, so entspricht jeder orthogonalen Trans-
versale der einfallenden Strahlen jederzeit eine ortho-
gonale Transversale der zurückgeworfenen Strahlen
von solcher Beschaffenheit, dass für jeden Punkt der
zurückwerfenden Curve die Längen des einfallenden
und zurückgeworfenen Strahls, vom Einfallspunkte hü
zu den entsprechenden orthogonalen Transversalen
gerechnet, einander gleich sind.
Dieser Satz lässt sich auch also aussprechen:
Werden Stra'blen von1 einer beliebigen Curve zu-
rückgeworfen, so ist die einhüllende Curve aller
Kreise, welche eine beliebig angenommene orthogo-
nale Transversäle der einfallenden Strahlen berühren
und deren Mittelpunkte auf der zurückwerfenden
Curve liegen, eine orthogonale Transversale der zu-
rückgeworfenen Strahlen.
9*
Die orthogonale Transversale und die Srennlinte
Ein ähnlicher Satz lÄsst sich ehen so leicht für den Fall dei
Brechung beweisen.
Für C=0 erhalten wir statt der Gleichung (3) die beidei
Gleichungen
{x-xj* + (ff-»,)' = (x'-xj* + {y' - Sl)»,
x~*i + <s—$i) £l = x1 ~xi +(y' —yi)^''
** + f,*-1(xx, +wl) = x,* + y'*-2(X,x, \y%), (4)
'&*,'
Um nun die Gleichung der orthogonalen Transversale der zurück*
geworfenen Strahlen zu erhalten, hat man aus den Gleichungen
nnd den Gleichungen (1), (4), (5) die Grössen x, y, X\, yx zu
elimimren.
Da die Brennlinie der zurückgeworfenen Strahlen von diesen
berührt wird, so ist sie die Evolute der orthogonalen Transver-
aale der zurückgeworfenen Strahlen, und lasst sich also nach der
Theorie der Evolution ohne Schwierigkeit finden.
1. Es sei die Basis einer gemeinen Cycloide die Abscissen-
axe, indem man die positiven Abucissen nach derselben Richtung
hin nimmt, nach welcher sich der erzeugende Kreis hin bewegt,
und die Axe der Cycloide der positive Theil der Ordinatenaie.
Bezeichnet ferner tp den Wälzungs» inkel und r den Radius
erzeugenden Kreises, so sind bekanntlich
»wOt
»»)
ja des
die Gleichungen der Cycloide. Für der Axe der Cycloide parallel
einfallende Strahlen ist offenbar jede sie senkrecht schneidende
gerade Linie eine orthogonale Transversale dieser Strahlen. Neh-
men wir als solche die, die Cycloide im Scheitel berührende ge-
rade Linie, so ist deren Gleichung
«=2r.
dir mrüffretyrfrmen $jrakUn für 4H pemqtotCycMde, <tc. -12^
und >diel dem Punkte, (xx, 5^) der Cycloide entsprechende Absei*«*
= ar|. Wir erbalten also nach den Gleichungen (4) und (B) df#
vorigen Paragraphen:
(*'— xx)dxx + (y— 2r)Syi =0
oder
(^-^)8^ = -(y^2r)8y|; (3)
aus denen wir mit Hilfe der Gleichungen (1) xx and yx eüminiren
müssen, um die Gleichung einer orthogonalen Transversale der
zurückgeworfenen Strahlen zu erhalten. Aus (I) erhalten wir durch
Differentiation :
dxx =5 r(l — cos q>)d<p , Byx == r sin qpdqpu
Setzen wir diese Werthe und die Werthe von xx und yx in die
Gleichungen (2) und (3), so erhalten wir:
4^008^ = {#'-*- r(g>— »— -singOJS+y'* — 2ry'(l— cosy), (4)
\af — r(q> — jt — sin<p))(l — cosqp)=— (y1 — 2r)sinqp. . (5)
Nehmen wir aus der Gleichung^5) den Werth von xf — r(q>— n— sin q>)
and setzen ihn in die Gleichung (4), so wird
4r*cosg>(l — co8q>)*=;(y'— 2r)28inq>2-{-y,%(L— cosq>)2 — 2ry'(l — cos?)*.
Hieraus ergiebt sich nach leichter Rechnung:
y'a — ry (3 + cos qfl) = — 2ra(l -f cos qP),
oder» wenn wir das Quadrat auf der linken Seite des Gleichheits-
zeichens vervollständigen ,
t Vi — M3 + cos qP) )* = ir*(l — cos qpp,
und hieraus:
yx — Jr(3-f 008^)== + ir(l— cosqp2).
Nehmen wir in dieser Gleichung das obere Zeichen, so ergäbe
sich %f = 2r, d. i. die Gleichung der orthogonalen Transversale
der einfallenden Strahlen. Es ist daher das untere Zeichen zu
nehmen» und wir erhalten demnach:
y' = r(i + cos91)=ir(3+cos2g>). .... (6>
126 Gauss: Die ortlwgvnaie Tramrersale und die
Verbinden wir diese Gleichung mit der Gleichung (5),
sich leicht:
x' =r(q> — 3i + sin<pco5ip) = r(g) — re+isin2<p).
Setzen wir jetzt 2tp = jr-f-i(>, also <p — it=z Uty — »), sin2ip =— sin'
— cosi^ und r + j' für y' , so nehmen die Gleichuoj
(7) und (6) folgende Gestalt an :
x' = ir(tC — « — simf1), y' = «r(I — cos^).
Hieraus ergiebt sich folgender merkwürdiger Satz:
Wirft .eine gemeine Cycloide ihrer Axe parallele
Strahlen zurück, so giebt es immer eine orthogonale
Transversale der zurückgeworfenen Strahlen, die
wieder eine gemeine Cyclo! de ist, deren Axe und
Scheitel mit der Axe und dem Scheitel der zurück-
werfenden Cycloide zusammenfalten, die aber durch
einen Kreis erzeugt ist, dessen Radius halb so gross
als der Radius des die zurückwerfende Cycloide er-
zeugenden Kreises ist.
Man kann diesen Sats, mit Rücksicht auf den zweiten im
vorigen Paragraphen ausgesprochenen Satz auch folgendermassi
ausdrücken :
Die einhüllende Ci
durch den Scheitel ein
aller Kreise, welch
imetnen Cycloide an
gezogene Tangente berühren, und deren Mittelpunkt«
auf die -er Cycloide liegen, ist wieder eine gemeine
Cycloide, deren Axe und Scheitel mit der Axe und
dem Scheitel jener zusammenfallen, die aber durch
einen Kreis erzeugt ist, dessen Radius halb so gross
als der Radius des jene Cycloide erzeugenden Krei-
ses ist.
II. Nach der Theorie der Evolution ist die Brennlinie der
zurückgeworfenen Strahlen der geometrische Ort der Krümmungs-
Mitlelpunkte der orlhogonalen Transversale. Es ist daher,
wir die rechtwinkligen Coordinaten der Brennlinie durch x
sseo
m
dy'
j=y +
m
der mtr^eißemmr/knen Strahlen /Ar die gemeine Cycloide, etc. XJJJt
oder» wen» wir «'und y? als Functionen einer dritten Variabein
q> betrachten ,
(9),
* = ^ + ^^|^-^ <10>
Durch Differentiation von (7) und (6) erhalten wir:
&r' == r(l-f cos2a>)8g>, dy* = — r8in2q>d<p ;
3*o;' = — 2* sin2g>fy>», 3y =— 2r cos2o>8o>» ;
md hieran:
&** + fy* = 2r2(l + cos2g>)8g>»,
a^V— 3^3»^' = - 2r*(l + cos29>)S9a.
Substituten wir diese Werthe und die Werthe von (7) und
in die Gleichungen (9) und (10), so wird
xz=z\r($<p — 2« — sin2g>), y = ir(l — cos2qp). . . (U)
Setzen wir 2qp = 23s + x, so ist 2(<p — rc) = ß, sin2a>=sin%,
eee2a> = cos^9 und unsere Gleichungen nehmen folgende Gestalt an:
xz=z *r(%— «»nx)» 3f = *r(l — cos$. . . . (12)
Dies fuhrt zu folgendem merkwürdigem Satze:
i
Die Brennlinie der von einer gemeinen Gycloide
zurückgeworfenen Strahlen für der Axe derselben pa-
rallele einfallende Strahlen ist wieder eine gemeine
Cycloide, deren Basis und Anfangspunkt der Bewet
gnng mit der Basis und dem Anfangspunkte der Bew'e*-
gung der zurückwerfenden Cycloide zusammenfallen',
die aber von einem Kreise erzeugt ist, dessen Radius
halb so gross als der Radius des die zurückwerfende
Cycloide erzeugenden Kreises ist
III. Bezeichnen wir die Länge des zurückgeworfenen Strahls
vom Einfallspunkte bis zur Brennlinie der zurückgewerfenen Strah-
len durch B, so ist bekanntlich
d. i. , wenn wir die Werthe von x, y, xl9 yx einführen 9
zu-
LU«-
allspunkt bis zur Brenn-
enen Strahlen gleich der Länge
;infallenden Strahls vom Ein-
i der zurückwerfenden Cycloide.
Den obigen Satz über die orthogonale Transversale der
rückgeworfenen Strahlen kann man auch folgend ermassen ai
sprechen :
Wenn eine gemeine Cycloide ihrer Axe parallele
Strahlen zurückwirft, no ist die Lange jedes zurück-
geworfenen Strahls vom Einfallspunkt bis zur ortho-
gonalen Transversale der zurückgeworfenen Strahlen
gleich der Entfernung des Einfallspunktes von der
durch den Scheitel an die Cycloide gezogenen Tangente.
Aus diesen beiden letzteren Sätzen folgt nieder folgender Satz:
Wenn eine gemeine Cycloide ihrer Axe parallele
Strahlen zurückwirft, so ist die Summe der Länge des
zurückgeworfenen Strahls vom Einfallspunkt bis zur
llrennliriie der zurückgeworfenen Strahlen und der
Länge des zurückgeworfenen Strahls vom Einfalls-
punkt bis zur orthogonalen Transversale der zurück-
geworfenen Strahlen einer constanten Grösse, näm-
lich demDurchmesser des die zurück»
erzeugenden Kreises gleich.
Die beiden letztern Sätze gelten natürlich nur für die ortht
gonale Transversale der zurückgeworfenen Strahlen, deren Glei-
chung wir üben unter I. gefunden haben.
Schliesslich mag noch bemerkt werden, das.*. wie leicht
erweisen ist, die einhüllende Curve der Verbindungslinien des be-
schreibenden Punktes mit dem Mittelpunkte des erzeugenden Krei-
ses eben unsere unter II. bestimmte Brennlinie ist. Daher fallen
jene Verbindungslinien mit den zurückgeworfenen Strahlen zusammen,
* Cycloide
die ortho-
dereti Glei-
der ■ tmrtktf e war fmm Btrmklem /»r Ott ttmtimt CpchMt, etc. 129
5. 3.
I. Die logarithmische Spirale Ist bekanDtlicb eine Corve von
solcher Beschaffenheit, dass sich die Logarithmen der /Radien
Vectoren, in Bezug auf einen gegebenen Punkt als Pol, vorhatten
wie die zugehörigen Polarwinkel, oder dass das Verhältniss des
Logarithmus des Radius Vector zum zugehörigen Polarwinkel ein
constantes ist. Bezeichnet o! dieses constante Verhältniss und
vx und cpx die polaren Coordinaten, so haben wir also als Glei-
chung der logarithmischen Spirale :
Setzen wir logt^ =mlnt>i, wo unter dem Logarithmen auf der
rechten Seite des Gleichheitszeichens der naturliche mit der Basis
e zu verstehen ist und m den Modulus des Logarithmensystems
mit der Basis b bezeichnet, und o! = ma9 so nimmt obige Glei-
chung folgende Gestalt an :
\nvx~tvpx, (1)
oder
dx = eWi : (2)
Nun sei der Pol der Anfang rechtwinkliger Coordinaten und die
feste Axe, auf welche die Polarwinkel sich beziehen, der positive
Theil der Abscissenaxe, und es werde der positive Theil der
Ordinatenaxe so angenommen , dass man , um vom positiven Theile
der Abscissenaxe durch den Coordinatenwinkel hindurch zum posi-
tiven Theile der Ordinatenaxe zu gelangen, sich nach derselben
«Richtung hin bewegen muss, nach welcher die positiven Polar-
winkel genommen werden.
Wenn nun die logarithmische Spirale von ihrem Pol aus-
gehende Strahlen zurückwirft, so ist jeder aus dem Pol als Mit-
telpunkt mit beliebigem Radius beschriebene Kreis eine ortho-
gonale Transversale der einfallenden Strahlen. Setzen wir diesen
Radius =0, so haben wir, um die Gleichung der orthogonalen
Transversale der zurückgeworfenen Strahlen zu erhalten, in den
Gleichungen (4) und (5) des §.1. #=0, y =0 zu setzen* Dies giebt
*"+y":=2(*'«k-i-afa). • • • • • flft,.
.T'fl^+y'ty^O. . (4)
E« ist aber
130
Vau*t: Die orthngoHate Tr untrer inte und «He BreimUnle
also
Xi zt^coboj,, y, =p,sinqp1;
dwx zzcosqpiSvt — ti sinaj,3oii,
d. i.
5y, =^sinip1P(.'1 + ülc.08>pld(ptj
da vi=e"t', d»i = «c^Sy, =aplSo?1 ist:
&Fi ^Bi(acosoj, — sin^>t)dtpi.
0y, =r,(asino?i +coS91)3q)1.
Bezeichnen mir ferner die polaren Coordinaten der orthogonale»
Transversale der zurückgeworfenen Strahlen durch »' und <p' , so ist
x' = v'cQB>p', y' =v's\n<p'.
Die
ileichungen (3) und (4) erhalten demnach folgende Gestalt :
c' :=2fj (cos 9^ cos 93' +6109?! sin 93') =2vt cos
(n— 9') Cs)
uod
cos y' (aces tpt — sin 93, ) + sin 93' (a sin 9^ + cos
m)=o
• oder
sin 93, cosqp' — cos 93, sin 95' = «{cosgjj cos 93' -|-s
11 tpl sin <p')
oder
tang<«p,— 9>') = o- • ■ ■
... (6)
Hieraus ergiebl sich, da naeh (5) cos (9;, — 93') p
sitiv ist,
cos (93! -93') = ^==.
folglich ist nach (5)
Fem
1 ergiebt sich aus (6)
9)1 — tp' = kn + Arctanga,
... (7)
wo /• eine gewisse positive oder negative* ganze Zahl ond Arctaaga
den kleinsten zn lang (91, — tp') gehörigen Bogen bedeutet. Da
aber cos(qo,— 9?') stets positiv ist, also 91, — <p' im ersten oder
vierten Quadranten sich endigen muss, so muss k eine gerade
Zahl sein. Wir wollen daher
9>, — 93' == 2Aw + Arctang a
•
de* m*ckfem*r flsnen tiNMm für dfe ##**** C*claMe, Uc. 131
sfeftrefterf, wo Jfc eitm gewisse positive oder negative, gerade oder
ungerade gante* Zahl bedeutet Es ist also * '
<Pi — ¥>' + 24« + Arctanga;,
©!=e«(9'+»**+^rc*«i$a)#
Dieser Werth in (7) eingeführt giebt:
'■'■'•■■%'
t>' = 77==.««(y' + »^+4rcraiMra) . . .,(8).
V^l + o«
als polare Gleichung der orthogonalen Transversale der zurück-
geworfenen Strahlen. Nehmen wir nun die Polarwinkel t/; unter
Beibehaltung desselben Pols in Bezug auf eine feste Axe, d«flA
Lage in Bezug auf die primitive feste Axe durch den: Wmkel
ö =± — 2ä« — Arctang a + - In — -5 —
bestimmt wird, so ist
g/ÜÄ-H> = ^— 2A#— Arctang a + -1n — -s — •
IÄ Bezug auf das secundäre System erhält daher die Glei-
chung (8) folgende Gestalt:
2 „,.,, VHh
v'= r-=.efl^-Hn
a*
Vl +
a
2
2
oder
©' = «•*.• (9)
I
Hieraus ergfebt sieb folgender merkwürdiger Satz :
Wirft eine iogarithmische Spirale von ihrem Pole
ausgehende Strahlen zurück, so giebt es immer eine
orthogonale Transversale der zurückgeworfenen Strah-
len, welche eine der zurückwerfenden gleiche, nur
eine andere Lage habende logarithmische Spirale mit
demselben Pol ist.
Diesen Satz kann man auch» in Rücksicht auf den zweiten
int'$. 1. Ausgesprochenen Satz, folgendermassen aussprechen:
Die einhüllende Curve aller Kreise, deren Mittel-
punkte auf einer logarithmischen Spirale liegen und
derän Peripherien durch deti Pol derselben gehen, Wt
eine» jener gleiche, nur eine andere Lage hab^ndte
logarithmische Spirale mit d<e*ft selben Pol.
'ilttiie
] Coordina-
Die urthogonate Tratmertale und die Brennliiät
IL Bezeichnen x, y und x' , y' die rechtwinklig
ten der Brennliuie und der orthogonalen Tranaversale der zurück-
geworfenen Strahlen in Bezug auf unser jetziges Coordinatensystem,
H, i. in Bezug auf die jetzige feste Axe als positiven Theil der
Abscissenaxe, so ist
;r' = p'cosi/;, y' = p'sin^',
und a> die polaren Coordinaten der Brenulinie der
in Bezug auf unser jetziges System
coso), y = risincp.
Bezug auf V als unabhängige Variable
■' = cos ip3i>' — v' sinilrBty ,
' =s'iüipdi>' -f-v'cosipdty;
d2x' = coBiif/5h>' — 2sin^Si''8t{< — p'cosTf.8*»,
S*y' =sim|*aV + 'icastydv'Bty— ü'sin^Sif*;
de' = ae0,!*3ij> =3 ac'öifi,
SV = aV01,9if>a = aVtty*
Bx' = (acosty — stni/jjE'ßif,
(' = (aslntff + cost(i)ö'8i[j;
8*x' = (oacoaif>— 2osiny — cosi^r'oty9,
6V =(aasinifi + 2acost|i — sini/>)u'ßi/A
ya=(aa+ijp'aeica,
fo'sy ~ s^'ö^' = (os + 1) u'sap«
Wir erbalten also leicht nach §. 2. (9), (10):
pcos<p = e'cosiji — c'(asintfi + coBV) = — av'sin^i, (10)
csinai =c'sin^r + u'(ocosij» — sin 1/1) = <w'cosi/j. (II)
beiden Gleichungen durch einander, so be-
cotg^> = — tan £■■■>
der mtrto&gemwfhun Stratum f9f die ffmeiüe Cpclotd*, He. 188
fitieraus ergiebt sich allgemein
wo kf eine gewisse positive oder negative ganze Zahl bedeutet.
Setzen wir den Werth von ty in (10) oder (11), so erhalten wir
v = ± av'9
wo das obere oder untere Zeichen gilt, jenachdem K gerade oder
ungerade ist. Nehmen wir nun a als positiv an (was uns offen-
bar gestattet ist, da wir in dem entgegengesetzten Falle in der
Gleichung der gegebenen logarithmischen Spirale nur — <pt für <pt
zu setzen , d. i. die Polarwinkel nach der entgegengesetzten Rich-
tung zu nehmen brauchten, um den Factor von <pt positiv zu
machen), so kann in obiger Gleichung nur das, obere Zeichen gel-
ten, also k' nur gerade sein, und wir haben daher unter dieser
Toraussetzung
t|> = 2Jk'7r — (irc — q>)9 © = 00'
zu setzen, wo k* eine gewisse positive oder negative ganze Zahl
bezeichnet. Wir erhalten also
© = ae«^ = ae« (**'*-!*+?) .... (12)
als Gleichung der Brennlinie der zurückgeworfenen Strahlen. Neh-
men wir jetzt wieder die Polarwinkel % der Brennlinie in Bezug
auf eine feste Axe, die in Bezug auf die zuletzt angenommene
feste Axe durch den Winkel
d^ln-Wn- -Ina
a
bestimmt wird, so ist
qp = «* + ^ = ^ + in — 2k*it — - In a.
Dadurch wird die Gleichung (12):
t> = *a* (13)
Dies giebt uns folgenden merkwürdigen Satz:
Die Brennlinie der von einer logarithmischen Spi-
rale zurückgeworfenen Strahlen für vom Pol derselben
ausgehende einfallende Strahlen ist eine, der zurück.
werfenden gleiche, nur eine andere Lage habejv4ft
logarithmische Spirale mit demselben Pol*).
Die festen Axen , in Bezug auf welche die Polarwinkel t/; and
1 der orthogonalen Transversäle und der Brerinlinie dter zurück-
geworfenen Strahlen genommen werden, werden in Bezug auf das
primitive System bestimmt durch die Winkel
• * * » ■ • ,
«= — 2kn — Arctanga + - In 5 9
1 V~l+a*
0=a+ «' = £*— 2(*+A#) n— Arctanga + -In •*■ a^- ,
oder, was dasselbe ist, durch die Winkel
1. VT+> A .
v^sr— In s — ' — Arctanga,
• > . .
ßt=- In — 2i — + **— Arctang a = - In — ^ — + Arctanga*
*) Dieser Satz ist bekanntlich schon voq Jap. Bern null! ß*f*Wr
den worden , was jedoch Herr G. nicht wussfe 5 und seine Anleitung
desselben ist durchaus eigenthümlich, D. H.
• 1
: 1
).
*\
t ' • •
6***0*1; sa.Hn0p*irmm€mLOtm^^Hmkkä^.F»nmU€lfi.^
i »
■- «■
. . i
XVII.
Ueber eine von transcendenten Operationen nicht ab-
hängende Formel zur Auflösung des irredttciblen Fall»
bei den cubischen Gleichungen.
Von
dem Herausgeber.
b seinen Werken ThI.I. S. 536. bat Jacob fiernoulli einige
allgemeine, bloss algebraische Operationen in Anspruch nehmend«
'Vonnein zur Auflösung der Gleichungen des dritten und vierten
•Grades gegeben, welche sämmtlich aus einer in's -Unendliche fort-
schreitenden Anzahl von Gliedern bestehen. Natürlich hat er kein*
dieser Formeln mit völliger Strenge gerechtfertigt. Ich sage
„natürlich", weil die von Jacob fiernoulli gegebenen soge-
nannten Beweise dieser Formeln ganz der völlig ungenügenden
Art und Weise entsprechen, wie man in älterer Zeit, — und aueb
leider nur noch zu häufig heutzutage, — dergleichen Dinge «a
behandeln pflegte, wodurch meistens so gut wie nichts bewiesen,
vielmehr Alles in Zweifel gelassen wurde. Denn bei allen der-
gleichen Untersuchungen kommt es darauf an, — was die ältere
Behandlungs weise ganz bei Seite setzte, — streng zu zeigen,
dass die Wertbe der in Rede stehenden in's Unendliche fortschrei-
tenden Ausdrucke sich einer bestimmten Gränze in der That
immer mehr und mehr und bis zu jedem beliebigen Grade nähern,
wenn man nur eine hinreichende Anzahl von Gliedern dieser Aus-
drücke bei der Berechnung ihrer fortschreitenden Werthe benutzt,
und dass diese Gränze die Grosse ist, deren Bestimmung die
Aufgabe verlangte, also im vorliegenden Falle eine Wurzel der
aufzulosenden Gleichung 4e,s dritten oder viqrten Gradea.
136 Grunert: i'eb. eine e, tremcendentenOperat. nicht abhängende •
Eine genaue Untersuchung der sehr bemerkenswert hen, von
Jacob Bernoulli gegebenen Ausdrücke bat mir gezeigt, das«
sie in der Allgemeinheit, wie sie von ihrem berühmten Urheber
aufgestellt werden, keineswegs gültig sind. Zugleich aher führte
diese Untersuchung, deren Resultat, wie gesagt, zum Theil ein
negatives war, und die ich daher hier vollständig raitzutheilen
keineswegs die Absicht habe, zu dem Schlüsse, dass gerade nur
im sogenannten irreduciblen Falle bei den cubischen Gleichungen
der in Hede stehende Bernoulli'scbe Ausdruck wirklich eine
Wurzel der Gleichung liefert, und zu deren Berechnung gebraucht
werden kann. Weil ich diese, den irreduciblen Fall darstellende
Formel Tür merkwürdig halte, werde ich die von mir über die-
selbe angestellte Untersuchung im Folgenden mittheilen. Da diese
Formel insofern algebraischer Natur ist, weil sie bei der Berech-
nung der Wurzel der cubisehen Gleichung bloss einfache alge-
braische Operationen in Anspruch nimmt, freilich aber auch das
Transcendente keineswegs verleugnet, indem sie aus einer in's
Unendliche fortschreitenden Anzahl von Gliedern besteht, wie
dies nicht anders sein kann, da die reellen Wurzelnder cubischen
Gleichungen im irreduciblen Falle nun einmal transcendente Gros-
sen sind, die auch eine kürzlich angeblich gegebene: „Endliche
Liisung des dreihundertjahrigen '"roblems" nicht zu alge-
braischen Grössen zu machen im Stand..- gewesen ist; so wird
man vielleicht die im Folgenden besprochene Jacob Bernoulli'sche
Formel als einen freilich sehr bescheidenen Beitrag zu der
Liisung dieses „dreihundertjahrigen Problems" zu betrachten ge-
neigt sein '), wenn auch freilich hier eigentlich gar kein Problem
mehr zu lösen ist, da ja die schönste, einfachste und zweckmässigste
Lösung schon mittelst der K reis funt (Jonen gegeben ist.
Unter der Voraussetzung, dass p und y zwei positive, nict
verschwindende Grössen bezeichnen, wollen wir die folgenden
Grössen einer genaueren Betrachtung unterwerfen:
^1 = Vp ,
xt = V(p + V(p'i + qj:i)),
Xn = V(p + V(p3 +?*„-!)).
Dass zuerst diese Grössen sämmtlich positiv sind, fällt auf der
Stelle in die Augen.
•) hi möge hier auch wieder an die ichöne AuflÖmng »ort Htm
T. Ciamen in Thl. II. S. 416. erinnert werden.
Foruui %ur A*fift.äesirreducM<m Fat** öei am CKöfak. Mick. 197
'Nun ist offenbar: ■ J
(xn* — p)* = p* + qXm-\ ,
(Xn-1? — p)2 = p2: + qxn-* 5
also, wenn man subtrahirt:
* ■
(&u% — p)2 — (arw-ia— p)* = q (a?*-i — a;«-«) , f
und folglich durch Zerlegung der Grösse anf der linken Seite des
Gleichheitszeichens in Factoren auf gewöhnliche Weise :
(am2— ar«-i*) (xn* + am-i2 — 2p) = ?(a:«_-i— 3fc_*),
-oder ferner:
i
(.**— a:«-i) (ar«+ JTn-i) (ar«*+a?n-i2— 2p) = ?0r*.-i — ar«_») ;
folglich :
q (xn-i — Xn-i)
Weil
\ «*»2 =p + V(p2 + ^«-i),
f x«-ia=p + V(p2 + 9db-&)
ist, so ist
*»* + arw-i2— 2p = V (p2 + ja?»-i) + V (p2 + ?*«-«) ,
folglich ar*i2 + a«— ia — 2p eine positive Grösse.
Als besonderer Fall ist noch zu bemerken, dass
x** = p+ V(p2 + q*i), xt* = p;
folglich :
.,!,.
'«I
und daher
oder
ist.
Weil
\ V(p^ + qxl)
X« — X\ — :
* * x2 + xl
V(p* + qVp)
X^—Xx = -r
X% -f- Xj_
x£ + xx*— 2p = V(p2 + qxx) = V(p2 + qVp)
fet, so '19t auch x^ + xx* — 2p eine positive Grösse.
Theil XXX. 10
136 G rattert; Veb. einer, transcendtnun »perat. nicht abhängende
Hiernach haben wir jetzt -die folgenden Gleichungen :
x% + x,
_ g(^»-g|) _
^ * ~"(*.+*i)(*,*+V-%»)'
** *» ^-f^KV+V-Sp)'
_ g(^4 — ^a)
y(jrn_i — a:w-a)
'-* <*„ + xn-i) {x£ + ar„-ia - 2p) '
aus denen durch Multiplication
..-..(,Xn-l*+Xn*-2p))
Aus dem Obigen geht unmittelbar hervor, dass die Grösse
auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens, und folglich auch
xB— 2n_i positiv, also ,r,.> xa—i ist, so dass die Grössen
«I, j-1( .r3, x4, a:B, .ra
•in« fortwährend wachsende Reihe bilden.
Nach dem Obigen ist
x— 1* + a;.fl- 2p = V(pa + ?*«-*) t V(p* + ^H_i) ,
also offenbar
Ä»-i»+^na— 2p > t/?.(V«n-» + Vx.~ l).
folglich nach dem Obigen :
*— > <
X9~»"(Va-, + Vxt) (Vx, + Vars) (V-r, + V**) . . ..
.... (V*»-» + Va*_i)
fwrmti mr Außto. riet trred*ciMenFmU*b*tS*nc*Hsc*.€4*c** Üf
oder :
Xn-l+Xn ( (xl+X2)(x^+X3)(xi-\-X^).... (Xn^-^Xn—l) j "
X(V*i + Vx2) (Vx2+ Vxz) (Vx9 + V*4) /
Wegen der Formeln
ar„_i == V(p + V(p* + ?*•-*)) , xn = V(p + V(p* + qxn-\))
ist offenbar, wenn nur n > 2 ist, welche Voraussetzung wir im
Folgenden stets festhalten wollen,
*„-i> V3jp, *„> V2p;
also
a?«-l+ #» > 2V2p,
und folglich nach dem Obigen :
Xn — #*— i
y * vWyyp) # L- j
X(Vxx + V*a)'( Va* + V^h) (V*s+ V*4)
.... (V*»-2 + Va?ii-i)
Es ist nun
(a?t + X2) 0ra + a?3) (#3 + #4) . . . . (#»-* + ar„-l)
X ( Vxt + Vx%) (Vx2 + Vx*) ( V.r3 + V*J .... ( V*»-* + VM
— ^^2^3 • • • • #n— 2» \Z.Tj . V#2 . V^s • • * • V#»— 2
x(i + axi+|)(i+jY...(i + ^)
also, weil nach dem Obigen die Grossen
"Tl » "^2 » ^8 > ^4 > *&b * &6 * • • * •
eine stets wachsende Reihe bilden, daher die Grossen
x+ x* a?4 oPw-i . a[xz a/x9, i/ar4 4/ *«-*
«1 j^ jt, d?»_a yf Xi M x* M x* 1 *»-*
10*
140 Orknert: üeb. eine 9. transcendenten Operat. nicht abhängende
sämmtlich grösser als die Einheit sind:
(xt + X2)(x2 + Xz) (#3 + #4) • • • • (Xn-2 + Xn—l)
X ( V*\ + V^a) ( Vx% + V* 3) ( V^8 + Vx£ .... ( V# n-a + V* »-1)
^ 22(*-a) .tfitffc.^ .... ara-2. V^i • V^a» Vxz .... V#»-a
oder
(^ + #2) (tfa+^s) (#3 + ^4) • • •• (**-a + xn-i)
X ( V* 1 + V* 2) (V*a + V* 3) ( Vxs + Va?4) .... (V^n-a + Vx*-\)
3
> 22("-2) . (xxx^x^xA .... #»-2)*.
Folglich ist nach dem Obigen:
n-a
„ ' <r ?* V(/>* + ?V»
Xn — " #«-1 V
22n-3 V"2p.(a?ia?2^8a?4— • #«— a)1
Weil nach dem Obigen
xt = Vp = ^ • ^ = vä ' (2p)i' *» > (2p)i '
%
*!>(%>)*• *4>@W*» usw., ob-sX^p)*
ist, so ist
I n—2
x^x^x^oci .... #11-2 ^ --^ . (2p) 2 >
also
. — 1 8(n-2)
(#t x*x*X4 . . . . a:»_2) * ^ -7 • (2p) 4 >
> 2*
folglich nach dem Obigen:
oft — ^«-1 <
3
2*.
n-2
q 2 V(/>2 + ? Vp)
2*»-
3(n-2)'
~3 V2p . (2p) 4
oder
n—2
ar« — #«-1 v SZäT '
22»-aV2p.((2p)8)~
oder
Formet %ur Auflös. des trreductblen Falls beiden cuMsek. Gleich. 14t
Xn-
^.V{p* + qVp) 1 \ J?\ 4
Haben wir nun die cubische Gleichung
x* = 2px + qt
wo jetzt p und q positive Grossen sein sollen, so wird der irre-
ducible Fall bekanntlich durch die Bedingung
charakterisirt, woraus sich ergiebt, dass in diesem Falle jeden-
falls p positiv ist. Hätte man nun aber, q gleichfalls als positiv
vorausgesetzt, die Gleichung >
x*~2px — q,
so würde dieselbe, wenn man x= — y setzte, die Form
—y*=—2py—q oder y* = 2py+q
annehmen, woraus sich ergiebt, dass es genügt, in der Gleichung,
x* = 2px + q
die Grossen p und q beide als positiv anzunehmen.
Da nun, dies vorausgesetzt, im irreduciblen Falle
ist, so nähert sich, wenn n in's Unendliche wächst, offenbar
1 \ 9* ( 4
2*»-8 ' I (2p)8 {
also auch
V-V(.P* + qVp) 1 {_<£_} 4
V"2p~ -2*»-3- <(2p)»» »
folglich nach dem Obigen um so mehr xn — xn-i der Null bis zu
jedem beliebigen Grade; und da wir gesehen haben, dass, wenn
n wächst, auch xn wächst, diese Grösse sich folglich bei wach-
sendem n nicht der Null nähert, so nähert auch der Bruch
Xn — Xn-1
Xn
143 Orunert: Utk. eine r. iranscrntt.Operat. nicht abhäng. Formel etc.
Hebigen Grade.
xB* = p + V(p*+qx*-
i Unendliche nächst, der Null bis
Nach dem Obigen ist aber
1), oder jna— p= V(pa + ?*ii-i).
i auf beiden Seilen quadrirt, und aulhebt,
i jedem be-
Ihebt, wm
also , «
sich aufheben lässt
xn* — ilpxiit = q<Cn-t oder x,s — 1pxn = </
welche Gleichung man leicht auf die Form
sn'i = -2pa-n\ q — q " ^"'
bringt. Nach dem vorher Bewiesenen wird man also offenbar n
immer so gross annehmen kflnnen, dass die Gleichung xn3 = 2pxn-\ q
mit jedem beliebigen Grade der Genauigkeit erfüllt ist, d. h., wenn
x die eine reelle positive Wurzel bezeichnet, welche unter den
gemachten Voraussetzungen , dass nämlich p und q positiv sind,
die dem irreducililen Falle angehörende Gleichung x3 = 2p.r + q
bekanntlich jederzeit hat, so nähert sich bei ins Unendliche wach-
eendem n die Gr
beliebigen Grade
endliche n- ach sei
Ueberlegt m,
iisse Xj, dieser Wurzel x als Grunze bi;
, oder es ist unter Voraussetzung ein»
■ = Linutn oder kürzer x = xtXl.
in nun aber, dass
x^=:Vp,
*2 = V(.P + V(p* + qXt))t
Xi=V(p + V(p'1 + qxJ)t
Xt^Vip + Vipi + f/xJ),
ist, so kann man offenbar auch setzen:
x=V{p\r\,{p*-\-qV{p+V{pn(iV(p\-+qX/(.P\V(pHqVp))))...)
welches die von Jacob Bernoulli gegebene Formel |
lüsung des irre.hn.uden Falls ist, um deren strengen B.
sich hier handelte. Freilich schrankt Jacob Bernoul
Formel nicht auf den in Rede stehenden Fall ein, sonde
ihr vielmehr allgemeine Gültigkeit bei, ohne übrige
einigennasseu genügenden und der Natur der Sache
den Beweis zu geben. Inwiefern und unter welchen
aber diese Formel noch einer weiteren Ausdehnung als
irreducililen Fall fähig ist, will ich jetzt nicht untersuchet
Auf-
eis es
illi diese
lern inisst
nur einen
(sprechen-
iditigungen
Is auf den
v. ff/«*«.- AHeUung dir Vrundformtln der TrigimomttrU ilt. 143
Ableitung der Grundformeln der Trigonometrie in
völlig allgemeiner Gültigkeit aus den Elementen der
Co ordinalen lehre.
Herrn Professor Dr.
■n der Universität zu
Die so vielfältig bearbeitete Trigonometrie baben znar meh-
rere Schriftsteller in den Vortrag der analytischen Geometrie, zu
welcher sie auch eigentlich gehört, aufgenommen, ohne jedoch
von der Coordinateolehre die Vortheile, welche sie darbietet, zu
ziehen. Es möge mir gestattet sein, hier so kurz als möglich an-
zugeben, wie die Behandlung der Trigonometrie durch Anwendung
von Coordinaten an Kürze, Allgemeinheit, Schärfe und Leichtigkeit
der Uebersicht gewinnt. Man bedarf zu dem Ende für die Win-
kelf unet innen und die ebene Trigonometrie nur der gewöhnlichen
rechtwinkeligen Linear- und der Polar -Coordinaten in einer Ebene,
and für die körperliche (sogenannte sphärische) Trigonometrie der
rechtwinkeligen Coordinaten im Räume nebst einer Verall gemeine-
rang der Polarcoordluatcu in demselben. Diese Gegenstände kann
man, auch wenn die Trigonometrie allein behandelt wird, leicht In
kurzer Zeit erledigen, und werden hier natürlich übergangen; nur
Ober die erwähnte Verallgemeinerung der Po la reo ordinalen wer-
den unten einige Worte nothwendig sein.
Begriffe der Winkelfunetionen.
V 1. In einem gewöhnlichen rechtwinkeligen Coordinalensy'
■tarne iu einer Ebene seien x, y die Coordinaten eines beliebigen
144 e. Riete: Abteilung ttur Grund farmetn der Trigonom. in pSUig
Punktes P, sein Alistand vom Anfangspunkte der Koordinaten d,
<p der Winkel, welchen die Linie d mit dem positiven Theile der
.T Achse, von diesem nach dem positiven Theile der »/Achse bis
zu einer ganzen Umdrehung oder 4K fortgezählt, einsehliesst,
alsdann sind die Def i nition en der gewöhnlichen Winkelfunctiooeu
(!)
= -j . sin q> =
_?
tauggj-
worin die absoluten numerischen Werthe einer jeden Function
durch die rechtwinkeligen Dreiecke zwischen x, y und d, die alge-
braischen Vorzeichen dieser Werthe aber durch die Zeichen der
Coordinatenwerlbe gegeben sind. Aus den Gleichungen (1) hat
man sofort die Definitionen der übrigen Winkelfunctionen, so wie
die Beziehungen zwischen den Functionen desselben und gleich
grosser positiver und negativer Winkel. Auch kann mau sehr
leicht die Gleichungen zwischen den Functionen von q> und denen
von ±cp±nR. ableiten, indem man noch ein zweites Koordinaten-
system für letztere zu Hülfe nimmt, und dessen Achsen auf ver-
schiedene Arten mit denen des ersten Systems zusammenfallen
las st, z. B. für <pf-ß. wenn die Coordinaten des zweiten Systems
xti/i heissen, die d^ Achse mit der — y, die y,Achse mit dei
-(-.cAchse, so dass xt — — y, fc—x ist. Alsdann hat mau
(Ja) ,os(q) + ß)=^ =
7— — siinp, sin(oi+y2) —
gi_L*".
;cosa».
l'iir 9 + 2K würdet
und — yAchse zits
die xk- und ^Achse bezüglich mit der — x
sin{<p+if.) und
■ (*±*).
§. 1. Zuerst bietet sich hiernach die Frage dar nach den ent-
wickelten Gleichungen zwischen einem Winkel und seinen Functio-
nen, eine Aufgabe, die ohne Künstelei nur mit Hülfe der höheren
Analysis gelöst weiden kann. Zur Anwendung derselben bei den
ersten Schritten in der Geometrie ist man zwar im streng wissen-
schaftlichen Gange vollkommen berechtigt (denn dieser ist vom
Allgemeinen zum Besonderen, die Analysis betrachtet Grössen in
höchster Altgemeinheit, die Geometrie aber speciellere, die Raum-
grössen) und nach Begründung der bezeichneten Gleichungen
geben die imaginären Exponential- Grössen sogleich die Ausdrücke
für die Functionen der .Summe u. s, w. in höchster Allgemeinheit.
Aber bei dem gewöhnlichen Unterrichte ist es wegen des I
ungemeiner Gültigkeit ans den Kiementen der CoertHnatenlekre. 145
dürfnisses and der Fassungskraft der Lernenden durchaus notb-
wendig, dfo Trigonometrie vor der Differential-Rechnung tu betrei-
hen, wesshalb alsdann die Formlln für die Functionen der Summe
und Differenz von Winkeln direct jedoch in völliger allge-
meiner Gültigkeit abgeleitet werden müssen, was allerdings
ohne die Coordinatenlehre mit grosser Weitläufigkeit verbunden
ist, wesshalb denn auch die meisten Lehrbücher diese Gleichungen
nur für spitze und allenfalls für stumpfe, nicht aber für grössere
Winkel beweisen.
A. Rein wissenschaftliche Behandlung.
§. 3. Da, wie leicht zu erweisen, Sinus und Cosinus völlige
Continuität für alle reeHen Werthe de» Winkels g>, namentlich
auch für q> = 0 besitzen, und durchaus eindeutig sind, so kann
man sie nach dem Taylorseben und Maclaurinschen Satze entwik-
keln, und da für gleich grosse positive und negative Winkel der
Sinus gleiche absolute Grösse aber entgegengesetzte Zeichen hat,
der Cosinus dagegen sowohl der absoluten Grösse als dem Zei-
chen nach völlig gleich ist, so kann die Entwicklung von jenem
nach dem Maclaurinschen Satze nur Potenzen ungeraden, die des
letzteren dagegen nur Potenzen geraden Ranges enthalten, und
muss mit 1 beginnen, weil cos 0=1. Bezeichnet man daher der
Kürze wegen cos q> und sin <p durch c und *, die Differential-Quo-
tienten im Allgemeinen mit slt 52.... Cj,^...., die für 9 = 0 aber
mit £| , S% . . . . Cj , C% .... , so hat man
co» (y + A <P) = c \ cx A 9> + ^2 -J72 + ca jTä 3+etc-'
sin (9 + A?>) =*+sl A9+*a~|72 + *s l±3+etc' ;
(2> j ^V^C/,^ ,
cos 9 = 1 + -^ + T-j + j-g+etc.,
S3g>s S6<p*
sin<jp== Sxq> + » — q"+t — «r+etc. 5
in welchen letzten Gleichungen nun die CoefQcienten C und & zu
ermitteln sind, was von dem hier genommenen Standpunkte aus
auf mehrerlei Arten geschehen kann.
Nimmt man ausser dem Punkt P (§. I.) noch einen andern P'
an, dessen Cooxdinaten bezüglich x + &x9 y + &y, q> + A9>
140 »■ Riese: Ableitung der 6'rund/brmein der Trlgonom. in
völlig
Anfangs-
und d sind, utrd lallt man auf die Linie I'P' aus dem i
punkt A der Coordinaten ein Perpendikel, so macht dieses, dj
das Dreieck PP'A gleichst henk lieh, mit der x Achse den Winkel
q> r \dyt und daher die Linie l'l'1 mit einer Parallelen zur a-Achse
den Wink. Ä+ip+iA9>' Man hat daher defimtionsmässig und nach (la.)
. PP'
A#
Ay
folglich, da die Gleichungen (Ij mit den
und y + Aff
;cos(Ä + 9> + iAv)=- «in^ + iAv).
:sin(Ä + o> + iA<p) = cos(g> + iAo!);
lalogen für x + Ar
gebei
A cos <p = — 2sin J A V »■
AsinoJ= 2sin i Ag>c
»(p + sA-p),
s(<P+iA<p),
und demnach durch Entwicklung eines jeden Factors rechts m
Vi) für die Differential-Quotienten als Coefficienten der ersten
Glieder der Incrementen - Reiben oder als Grenzen:
ctp
=— S,s
in welchen Gleichungen der Cnefnclent S, später hestimmt wer-
den wird.
Auch auf rein analytischem Wege gelangt man zu demselben
Resultate. Aus den Gleichungen (1) hat man nämlich:
(4)
O^M.+C,
wonach uothweadig e
i inus*:
mttfmetner eüUtgkeit mu$ dm Siemeuten der CoortUnatenUhre. 147
wenn mao unter f einen noch näher zu ermittelnden Factor ver-
steht, and bemerkt, dass sx positiv, cx aber negativ* genommen
werden muss, weil von o?s=0 an der positive Sinus wächst, der
positive Cosinus dagegen abnimmt; übrigens würde eine andere
Annahme in (5) nur das Zeichen des noch unbestimmten Fac-
tors f ändern. In Betreff dieser Bestimmung fordert nun, wenn
f nicht eine Constante, sondern eine Function von tp sein sollte,
die Continuität von Sinus und Cosinus auch diese Eigenschaft in
gleichem Maasse von f nach den Gleichungen (2) und (5), und
man kann daher, auch /"als Function von <p betrachtet, alle höhe-
ren Differentialquotienten aus (5) durch Differentiation ableiten.
Diese verbunden mit der Substitution aus (5) giebt, wenn man die
Differentialquotienten von f mit fl9 f% u. s. w bezeichnet,
(6)
«4=+/'*-6/YiC-3/i%-4/5faj+/-8c
c4=+m6/*/i,-3/i»c-4/&c-/i,
u. s. w. •
und man sieht leicht, dass allgemein von *n und c« nur die ersten
Glieder den Factor fn9 die übrigen aber sämmtlich Producte nie-
derer Dimensionen von f und seinen Differentialquotienten enthal-
ten, und daher auch, weil * und c abstracto Zahlen sind» von ge-
ringeren Dimensionen als der ttten in Bezug auf die in f gezählte
Einheit sein werden. Eben aber, weil Sinus und Cosinus abstracte
Zahlen sind, <p dagegen in irgend einer beliebigen Einheit ausge-
drückt werden kann, so müssen cn$ sn, Cn, Sn einen der nten
Potenz dieser Einheit proportionalen Divisor enthalten, damit die
nten Glieder der Gleichungen (2) ebenfalls abstracte Zahlen wer-
den. Da hiernach und nach (6) sn, cn und fn benannte Zahlen
von der (— w)ten Dimension dieser Einheit sind, die in jeder der Glei-
chungen (6) auf die ersten folgenden Glieder jedoch sämmtlich,
wie eben gezeigt, von einer geringeren Dimension als fn> folglich
von einer höheren als der ( — w)ten dieser Einheit sind, so würden
die Gleichungen (6) gegen das Grundprincip der Gleichartigkeit ver>
stossen, wenn diese übrigen Glieder nicht sämmtlich gleich Null» ala*
wären, woraus, weil für <p=0, sl~Sl und c=l ist, nach (5) folgt i
Hierdurch gehen die Gleichungen (5) in die auf anderem Wege
[4H P.Htese: Abteilung der Grutulftirmttn der Trlgonom. tn t
gefundenen Gleichungen {''•) über, und die allgemeinen Uleichui
(2) werden;
i weichet
i Ä, zn bestimmen ist.
Sei zu dem Knde, um die Natur von 5, der kurz vorher ge-
machten liemerkung zufolge naher /.u bezeichnen, K die Zahl der
Theile des rechten Winkels, in welchem tp ausgedrückt ist,
A~ eine noch näher zu ermittelnde abstracte Zahl, so kann man
setzen :
*-i
und die vorhergehenden Gleichungen werden:
(»i
Nun Destimmt bekanntlich di
scheidtiug we;
AhuIym.
i..
(ä*) -et
hi
sr der Unter-
hnenden Cosi-
' Zahl t durch die Formeln:
welche Reihei
(10)
- W
mit den vorhergehenden ganz identisch werden. Sie geben daher
mit x = 0, ijj = 0 anfangend, und um ein ganz beliebiges Intervall
A-— iiAfP fortschreitend , ganz dieselben Werthe der fraglichen
Functionen, und erzeugen diese Werthe gimz in derselben Ordnung
wieder, so oft ; um 'In und q> um 4fi sich geändert baben. Unter
m und fi ganze Zahlen verstanden, würde man statt (10) auch
setzen können:
allgemeiner Gültigkeit aus den Elementen dir Coerdinalenlekre. 149
K
% + m. 2it = -r (qp+fi.4/2) .
Da aber diess für z = 0 und g>=0, so wie, weil (i und m ganz
willkührlich sind, auch für m=l und fi=l gilt, so folgt:
(11) 27n=g.4J2 also K~.
Man kann diess auch so fassen: da der Bestimmung und dem
Begriffe der fraglichen Functionen gemäss diese für
z=0 9=0
z^mSIn+lit q>=zm.4R-\-R
z = m.%7t-{-it cp = m.iR-\-2R
z=m. 27T-J-J7T cp=zm. 4R+3R
bezüglich die Werthe 0, 1, — 1 erhalten, und zwischen diesen
Wertben der s und q> bei dem Fortschritt A*= j?A?> ganz zu*
sammen gehen, so müssen die obigen Intervalle mit Rücksicht auf
(10) einander gleich sein, was zu der Gleichung*(U) fährt.
Auch noch auf ganz anderm Wege kann man zu demselben
Resultate gelangen. Für q> = R hat man nämlich aus (8)
K* Kb
1 = K ~ HO + 1~~5 -etc-=8in*>
indem diese Reihe nach (9) sin an AT ist. Diese Gleichung giebt
bekanntlich auch:
/^, n . . . .»»»ans3 . 1.3 . . x
(©) z = 2w?r + sin an z + i — g h 'F7isin an 2 +etc ,
oder
i=r(2w + l)7t— der vorstehenden Reihe,
welche beide Ausdrücke für sinanz= 1 geben:
z = (2n + 4)ä.
Man hat also für sin an 2 = sin an Ä= 1:
(Ua.) K=(2n+l)it.
Setzt man nun, um das noch willkührliche n zu bestimmen,
»=^B, für £ solche Werthe wählend, dass die Functionen von
9 9
150 f. MMN Ableitung der Grund für mein der Tri&mom. in rMlg
R aus den Dreiecken zwischen x, y, d leicht zu ermitteln sind.
also 1, {, l n.
$ — 6 ' 2 ~ 4
gehörig
vird für m=0 dte Grösse „T bezüglich
ii.s. iv., und man erhält aus (8) und
(9)
sin -.;
1 = sin an ?
2 V s-"'"0"
Ä t/3
*r t/T
Wenn sieb nun auch noch andere
von n angeben bissen, welche dies
dieselben Werthe verschaffen nie » =
Werthe von n jedoch wenigstens
s Werthe von - odi
ausfallen für verseil iedei
Null verschiedene Werthe
Sinussen und Cosinussen
i so werden diese anderen
Allgemeinen verschieden
. Nun ist aber
er i
-S =
A"
auch K eine für alle Werthe von <p gleiche c
stante Grösse, welche Eigenschaft hiernach mit einem von Null
verschiedenen Werthe von n in der Gleichung (IIa) sich nicht
vereinbaren lässl. Man hat daher
und die in die Gleichungen (8) eintretende Grösse
oder, was dasselbe sagt, den Satz: di
frischen Cosinus und Sinus fallen gana
analytischen und geome
zusammen, wenn man in
oder in letzterea für die willkührliehe Ein
den tten Theil von
jenen *=^S
heit, in welcher tp ausgedrückt werdei
2ß wählt.
Mit dieser Uebereinstimmung sind offenbar auch alle die For-
meln, welche die Analysis für ihre aus den imaginären Exponen-
ten herrührenden Zahlenfunctionen kennen lehrt, und zwar in
völliger Allgemeinheit erwiesen. Namentlich gehören hierher
die Gleichungen für die Tangente und die übrigen Winkelfunctio-
allgemeiner Gültigkeit nut den Elementen der Coordtnatenlehre. 151
neu, die Ausdrücke für diese durch den Winkel, z.B. indem man
in den Gleichungen (©) z= ^tt- setzt, (da nicht in dieser, sondern
nur in (IIa.) ji=0 ist),
a)=4»ß + — {sing> + i — $- + ■%[! ~~\ 5 +etc'l;
rner und vornehmlich die Gleichungen für die Functionen von
Summen und Differenzen von Winkeln, so dass diese in rein wis-'
senschaftlicher Grenze gar keiner weiteren Erörterung bedürfen.
B. für den gewöhnlichen Unterricht.
§. 4. Wenn man die höhere Analysis nicht voraussetzen, und
daher die Beziehung zwischen einem Winkel und seinen Functio-
nen nicht gleich anfangs ableiten kann, so bleibt, wie §. 2, erwähnt,
nichts übrig, als die notwendigen Formeln und namentlich die
für die Functionen der Summe und Differenz von Winkeln direct
auf die Elemente, jedoch in allgemeiner Gültigkeit, zu
gründen, was auf mehrfache Weise geschehen kann. Hierzu die
Coordinaten-Verwandlung anzuwenden, führt eine Zerreissung die-
ses Gegenstandes im Vortrage der analytischen Geometrie herbei,
und fordert, wenn die Trigonometrie allein behandelt wird, etwas
lange, hernach in dieser nicht weiter nüthige Vorbereitungen.
Man vermeidet diese Uebelstände, indem mun die fraglichen For-
meln auf die relativen Coordinaten oder noch besser auf den leicht
ganz allgemein zu beweisenden Satz gründet: Wenn man zwei
Punkte A und B im Kaume durch eine gerade Linie L und durch
einen zusammenhängenden Zug von n geraden Linien {„ 4- — '■
verbindet, welche mit L und den damit durch die entweder sämmtlich
nach Adder sümmtlich nach B zu genommenen Endpunkte der /gezo-
genen Parallelen*) bezüglich die in derselben Richtung und bis
zu All gezahlten Winkel w, . wa — w„ einschliessen, so ist:
*) Vermittelst dieser Parallelen und der durch limintlii-Eie n | 1 End-
punkte gedachten auf L rech twiultel igen Ebenen (oder wenn alle L und
mite / in derselben Ebene liegen, auf L gefällten Perpendikel) lägst «ich
der SaU leicht beweisen, indem man bemerkt, da««, wenn im fiten Punkte
eine oder mehrere negative von B nach A zu liegende Prnjectienan vor-
kommen, dann nothwendig auch eine ihrem Gesam mibe trage gleiche
Summe positiver, d.h. von A nach B zo liegender Project innen vorkom-
men mnu, am wieder in die /ite auf £ rechtwinkelige Ebene in gelan-
gen. — Ana (12) folgt auch leicht und allgemein der Sali für relative
Coordinaten.
|f»2 r, fliese: Weitung der Grundfannetn der Irigunom. in riiliig
l = n
Sofort ergebt sich auch hieraus, das«, wenn in der «yEbei
die w die in der Richtung von dem positiven Theile der «Achse
nach dem positiven Theile der vAi;hse gezahlten Winkel der /
bedeuten, und man die relativen Coordinaten von II in Bezog auf
A mit £ und tj hezeichnet, dann
l=1f,'»°'
indem Ix mit der y Achse den Winkel w* -
Andeutung im §. I. cos (ma — ß) = siu wj
gewannen vi inuei aer i
en von II in Bezog auf
.....
II macht, und nach der
sich nun TaUV.Fig.l.
In Bezug auf (n \ l<) denke man sich nun Taf.IV.Fig,
für 6 im Isten n. 4 Ich . Fig. 2. für 6 im 2ten n. 3ten Qadranten) in der
Richtung vom positiven Theile der «Achse nach dem der 1/ Achse
den Winkel a=XMA und von MA aas den Winkel b=AMB aufge-
tragen, nehme in MA im willkürlichen Abstände d von M einen Punkt
P an, errichte, wenn o zwischen 0 und ffi oder zwischen 3ß und
AR ist, auf MP in P, wenn aber b zwischen ß und 3fl ist, auf
dem jenseits M verlängerten MP in dem gleichfalls um d von M
entfernten Punkte P das Perpendikel PQ oder P'Q, welches im
Punkte Q die Linie MB trifft, und fälle endlich von Q auf die
«Achse oder ihre Verlängerung das Perpendikel QN. Sind als-
dann der Abstand und die Coordinaten von Q
MQ^D, MN=x, PfQ=y
> ist begriffe massig allgemein
.(.+»)-B-
Sind als-
Zufolge der Gleichungen (12) lassen sich aber x und y durch
die Projectionen von MP und PQ oder von MP' und P'Q auf
die «-and »/Achse ausdrücken. Bezeichnet man diese mit MP*,
MP„, PQX, PQy, und die Winkel jener Linien mit den Achsen
bezüglich durch XP, YP, XQ, YQ, und beachtet die angegebene
Beziehung der Punkte Pund P' zu der Grösse von /„, so hat rat
9ti$metocrG*M9*tU*u*den Klemsn(**><krC<iocdiMimUIX0x 16$
wenn
. b .vtisdM.»
Ou. Ä
6 swUpcheu
Ru.ZR
6 zwischen ,
2Ä q. 3Ä
£ zwischen
3Ä a. 4/?
XPoi.XP'
• >
. a
k a+2Ä
a + 2Ä
•
a
red. yp*
-a—R
a+Ä
a + Ä .
10 T 4». *
XQ
a + R
a + R
a+3/rod.a-Ä *+3Äod .^*
ra
a
a
« + 2*
•«•fHt'f»
MP.
rfcos«
(--dXr-coaa)
et cos a
et cos a
«
=zdcos a
'
„«
MP„
ifsioa
» #
( — d)(— sin a)
=^ds\na
cfsina
cfsina
i. ' - i }
»od da P(?
oi.PQ
«*tg6
(-d)tg(2Ä-6)
=<*tg6
(-<*)tg(6-2J?)
=s—dtg6
dtg(4Ä^
PQ>
— dtgAsina
— dtg&sina
— dtgbsina
— <Ztg6sina
PQ,
rftgocosa
d 4g 6 cos a
<Ztg6c«»a
ittg6cosa
MfcRch in allen vier Fällen:
j?= MPS+ /*<?* = d(«oso— tg*»ioa) ,
y=MPy + PQy = d(sin a + tg£cosa).
Nim ist aber nach (1) oder begiiflsmttssig:
d ,
cos6=?\ also rt^Dcoso»
• *
B
ud daher ganz allgemein :
(13)
22 = cos(a +6) = cosacosoj— sin6slna,
jj =j: ein (a + 6) = sin acos 6 + sin 6 cos a.
Man sieht, dass bei diesem Beweise die Grosse des Winkels
• ganz ohne Einflass ist, and nur die von b die Unterscheidung
4er vier Fälle, wenigstens der grosseren Deutlichkeit wegen» er*
fordert, um dem Resultat strenge allgemeine Gültigkeit so ver-
«tafa*.
cos
ll
Gleichungen für • (a — 6) lassen sich aus (13) auf ver-
ein
K^ie^enen Wege» ableiten*1 a*B. indem man a<4-fa=*«4 *»t*fc»*a«
farch aua (13) folgt: ' .,; • ,i r»*:-
TMXXX 11
{64 *#•*■*¥ \hMtHiig drr Grunilformeln der Tftfnnom. In t/HMf
.11«. = sin (VI ft),
da coa6a + sin62— 1 und die übrigen Glieder rechts sich aulTieber
Oder, mau kann auch, da fiir b alle Wertha zulässig sind, statt t
qch reihen 4/> — b, wodurch n\\m uns (13) erhält:
eos(ß + 4ß— 6)=aco»(«— i)=co»ocos{4ß-6)— sinnsin««— *)
— :c'w«i!nsi | sin.,- sin/. .
sin(a+4ß— A) = sin(fl-«)=sino-cos* — cosnsinö.
Diese, so nie alle übrigen, durch bli»se anah tische Operatio-
nen, aus (13) gefolgerten Gleichungen haben dieselbe unbeschränkte
Gültigkeit, welche die obige Begründung den Formeln (13) Ter*
schafft, und bedürfen daher keiner weiteren Erörterung.
i Trtg
cte
Da bekanntlich nach den Elementen der constructiven
Geometrie ein Dreieck durch solche drei seiner sechs Bestand-
teile, unter denen wenigstens eine Weit* sich befindet, völlig
oder doch nur mit einer Zweideutigkeit bestimmt ist, so müssen
die analytischen Beziehungen wenigstens vier Stücke, die drei ge-
gebenen und ein gesuchtes, enthalten, und da Seiten und Winkel
mit einander abwechseln, so folgt leicht, dass nur die drei Grund-
gleichungen aufzusuchen sind : l) zwischen 4 an einander liegenden,
2) zwischen 3 an einander liegenden und 1 davon getrennten, und
3) zwischen 2 an einander liegenden und 2 davon getrennten aber
eben desshalb an einander liegenden Stücken. — Zu Auffindung
dieser Grundformen) werde im Dreiecke AJiC mit den Seiten
a, b, c, der Punkt A als Anfangspunkt der Coordinaten, sowie die
Seite AC=b als die Achse der .r angenommen, und die Coordi-
naten .r, y von B einmal diTect in Bezug auf A, and einmal als
relative Coordinaten in Bezug auf C und A ausgedrückt. Diess gieht
=j— acosC,
(10 y.=c'sifiA=äs'mC.
Die Gleichung (II) ist die dritte der bezeichneten Grundformen.
Die zweite*) ergiebt sich aus (I)9 + (U)9:
') Die •cbeinbnr hierher gehörige lieetimmun^ det drillen Winkel*
mi. einer Seile nebtt den beide« aalitgemd» Winkel» itt durch .(-J-ff+C
— M erledigt.
WlfaNrin* MAtyfcWa** den Elementen der Voordinatenlekre. <156
•i
I
nui die erste bat man aus j|*
c*=± #*+. 2u6 eo* e+ a* ,
• «
■ ■ ■ ; 1 1
»
asinC .»
* ' :I( DteUmwandtongen dieser Gleichungen in bequemere Rechnung^
formen, so wie die Fälle, wo einer oder mehrere bekannte 4)6-
stätidthfeUe durch andere : Angaben, z.B. des Flächeninhalte»
vertraten sind, können hier keine Stelle finden. - ■•■■.! ;
i:l" :
.1 ■ i ' ■ ' '
. Grqndformeln der körperlichen Trigonometrie»
' »• " .... .i .1«:
§. 6. Durch eine leichte constructive Betrachtung kann mfcjii
sicfi überzeugen» dass von den sechs Winkeln, welche bei drei
in ej^em Punkte sich schneidenden Ebenen an diesem sich bilden,
je firei durch die drei auderen bestimmt sind, jedoch« ähnlich wie '
ii\de( ebenen Trigonometrie bei zwei Seiten und einem von ihnen
nicnt eingeschlossenen Winkel, hier sowohl bei zwei Kantenwin-
kejn *) und einem von ihnen nicht eingeschlossenen FIKchenwinkeL
^Is bei zweien FJächenwinkeln und einem nicht dazwischen liegen-
den Kantenwinkel Zweideutigkeit eintritt. Zwischen welchen Stücken
Grundform ein aufzusuchen seien, ergiebt sich daher hier auch ähn-
lich wje in der ebenen Trigonometrie, nur mit dem Unterschiede»
dass während in letzterer bei den drei an einander liegenden und
^inem davon getrennten Stücke die Beziehung einer Seite nebst
dep beiden anliegenden Winkeln zu dem dritten Winkel durch
die' Gleichheit der Summe der drei Winkel mit 2B erledigt war,
hier sowohl zwischen den drei Kanten- und einem Flächenwiukel,
al$ den A*$\ Flächen- und einem Kantenwinkel eine Grundgleichung
au&usqehen ist, von denen, jedoch auch, ohne Beschränkung der
Qrjiase der Winkel die letztere Formel aus den ersteren abge-
leitet werden kann, wie sich unten näher zeigen wird,
■. ■ • ■ *•»■
' Zur unbeschränkten Begründung dieser Formern bedarf man,
wie §. I. erwähnt, ausser den gewöhnlichen rechtwinkeligen Lineals
*) Die Benennungen Kantenwinkel und Flächenwinkel wer-
denden manchen Schrift« tellern , besonders in der Kristallographie, in an-
derer Bedeutung gebraucht. Sprachrichtig scheint mir Flächenwinkel
ndr den Winkel zwischen zweien Flächen, and Kantenwinkel daher den
zwischen zweien Kanten bedeuten zn können. Richtig war« ev wohl,
statt jenes Ebenenwinkel zn sagen. ■
Weitung der Grundformeln der Trigonom. in
völlig
:h g eh alte -
coordtnaten auch einer etwas allgemeiner als f»
nen Auffassung von Angularcnordinaten. Gegen eine feste Ebene
und eine durch einen gewissen Punkt in ihr gehende, ihrer Lage,
nach unveränderliche Linie in ihr, wofür hier (Taf.1V. Fig. 3.) die
a:yEhene ABCD der Liuearcoordinaten und der positive Theil
MX der durch ihren Anfangspunkt M gehenden ^Achse eh neh-
men sind, wird die Stelle eines beliebigen Punktes P bestimmt,
wenn man sich durch diesen unter beliebigem Neigungswinkel N
gegen die- angegebene Fundamental-Ebene eine diese schneidende
Ebene pfity gelegt denkt, und nun 1) den Winkel XMy, welchen
dieser Durchschnitt jtfifi mit der Linie XM macht, 2) den Nei-
gungswinkel iV, 3) den Winkel tyMP zwischen dem angegebenen
Durchschnitt und der von M nach P gezogenen Linie MP, und
endlich 4) die Länge D dieser Linie angiebt. Hierbei werden alle
Winkel bis zu Mi, der Winkel A.l/i," positiv von dem positiven
Theile MX der :? Achse nach dem MY der i/Achse u. s. w,, fer-
ner N von dem in dieser Richtung weiter vorwärts als ijtM lie-
genden Theile der .r^Ebcne nach dem positiven Theile der lAchse
zu, und yMP von tyM an, wenn iV<2ff, nach + z, wenn aber
iV>2ß, nach —i zu gezählt; endlich wird der Abstand D stets
positiv genommen"). Es sind zwei Systeme dieser Art von Cooi
dinaten nöthig, das zweite jedoch dadurch vereinfacht
durch den Punkt P zu legende Ebene XVPWX' die .TjEbent
stets in MX schneidet und den Punkt P daher der Neigungswin'
kel n und der Winkel XMP bezeichnet, wobei n ähnlich wie JV,
also von dem +y enthaltenden Theile der xpEbene nach -f i zu,
und XMP ebenso wie ■pMP, wenn Mij> mit MX zusmmenfiele,
gezählt werden. Die gesuchten Grundformeln ergeben sich
sogleich, indem man x, y, : In beiden Systemen nöthigenfs
mit Hülfe der Gleichungen (12) ausdruckt.
§. ?. Zur Erleichterung denke man sich vom Punkte P auf
die Ebene x,j, den Durchschnitt 3/ifi und die .-Achse MX die
Perpendikel P%, Pö und P% gefallt, ziehe öf und bemerke, das«
für die Anwendung der Formeln (12), um die Coordinaten x, y
von i' oder P durch Mä und o£ auszudrucken, diese Linien stets
positiv zu nehmen sind, folglich in ihren algebraischen Werthen,
wenn diese durch die Winkelfunctionen negativ werden.
*) Wenn die obengenannten Winkel in der nngegehenen Folge (.tyj,
V, (V) cnnslrnirt gedacht werden, so findet keine Unbestimmtheit d
fraglieliPD Pnnktea P »tnlt, obgleich derselbe dureh verschiedene Ansa-
hen lieirirfinet »erden kann, fc. It. bei demselben N dureh Xy/ =
und ,l>=«+2fl, y>P=6+2H.
b...
win-
>Hr.
: ZU,
iele,
„„„
fall.
% tHjemetoer Gtil/tffAeUovt am Elemettlen der CoenHnaiwHtk+e: 157 '
•egatwe Zeichen vorzusetzen ist, am die numerischen Wertbe posttto'
10 machen. Bezeichnet man nun durch (Xty), (XP)9 (XQ,(Yy) sie*
die von den Achsen oder ihren Parallelen dorch ö in der positi-
ven Richtung bis zu den Linien My9 JHP, Sf gezählten Winkel,
ebenso durch (tyP) den Winkel tyMP, ferner durch £, iy, {', ff
die Projectionen von Jtfu und <5£auf die x* und y Achse, und lässt
dabei in den unten stehenden, aus der eben angegebenen !Zählungs-
weise der Winkel leicht folgenden* Ausdrücken von den doppelten
Zeichen das obere für N zwischen 3Ä und R, das untere aber
6r N zwischen R und 3/2 gelten, so ergiebt sich fol|ende Zu-
sammenstellung :
ilrfoP)
0 bis R
(Xy)±R
R bis 2ß
(Xy)±R
±Dsin(iJ/P)cosJV ±D&\n(yP)eosN
(**)
2Ä bis 312
(Jty)T«
(Xty) + 2Ä
— Dco&tyP)
SR bis 4ä
(A»TÄ
\n(rpP)cosN T&zni+P)™*!*
• 1
Dcös($P)
(Xq) + 2Ä
Z>cos(if>P) I — DeostyP)
folglieh in allen vier Fällen:
t ss — ttem (t^P) cos 2Vsin ( Jty), V = D sin (f P) cos JVcos (Jty),
{ = Oeos ft/P) cos (Xy) , y =/> cos (^P) sin ( Jty) ;
also im ersten System ganz allgemein :
X = £+ £ =DC08(yP)C0s(Xty) ~ D8m(tyP)8lB(Xll>)C0BN,
y = rj -f r{ = D cos tyP) sin ( 2fy) -f Z> sin tyP) cos (2ty) cos 2V;
and, da nach obiger Art des Zählens stets gleichzeitig (tyP) und'
ff entweder beide <2ß oder beide > 21? , ebenso allgemein;"'
x = D sin (tf>P) sin 2V.
Im zweiten Coordinaten Systeme kann man die Werthe der xyi
leicht direct oder durch die Bemerkung ableiten, dass das erste
System in das zweite übergeht für (jfy)=0 und iV=n, wodurch
($>P) z= (Xy) , iVö = ^und u£ = y wird, jedoch, weil y Coordh
alte und nicht zu projicirende Linie ist, ohne Zeicbenanderung*
aad man erhält:
z=Dcoa(XP), y = Z)sin(J¥P)cosn, 2= sin(xP)»ionv
lf>8 r. Riete i Aöleilini'j tfar nrundformttn der frlpimont. in völlig
Werden iiud die Weihe der Coordinateu in beiden System
einander gleich gewetzt, und (^)P)=.a, (XPj—b, [X<l') — €, u =
N = 2K — B •), und dabei statt negativer Werthe von B (
iV>2#) deren Ergänzungen, zu 4K genommen, so ergiebt aic
= cnsö =cosacosc+sin«siiiccnsÄ,
,.,, 1 w , cotosine
(11) f =""=-5^
06 sin .■! . siua .sin /}
*\nA~ Smß~ ßinC
welches die bekannten drei ersten Grundfornieln der körperlichen
Trigonometrie sind, jedoch in völlig allgemeiner Gültigkeit
erwiesen, indem bei der Unbeschränkte ei t aller bei der obigen
Ableitung vorkommenden Winkel offenbar Leine dreikantige Ecke
denkbar ist, die sieh nicht durch die betrachtete Ecke X>fl'. und
zwar auf mehrfache Art darstellen Messe, so dass z«ei beliebig«
der drei Flächen ninkel in den Endformeln vorkommen. Hierdurch
ist aiebt allein in der letzten der obigen Gleichungen der Quotient
— — j-,-, sondern auch in den andern beiden Formeln jede Vertau-
schung einander gegenüberstehender Kanten- und Fladen» inkeln
mit andern einander gegenüberstehenden vollkommen gerechtfertigt.
§. 8. Die noch übrige vierte Grundform»! ergiebt sich be-
kanntlich, wenn man von uberstumpfen Winkeln absieht, sehr
leicht mittelst der sogenannten ErgÜuzungsecke aus der ersten
Grund formet, und es ist möglich, aber ziemlich weitläufig, hier-
von ausgehend ihre allgemeine Gültigkeit zu zeigen. Uelambre
Ast.I. pag. Ul. (ed. KU) und Tralles in den Abhandlungen
der Berliner Akademie vod 1816 und 181? haben diese Formel
aus den drei anderen ganz allein mittelst Rechnung abgeleitet. Sie er-
hält hierdurch »war mit diesen völlig gleiche allgemeine Gültigkeit;
') Aii^enfälÜfr tiejseiehnet ß den innerhnln iler Krke an der Kante
My iitgmtrtr. oder, allgemeiner snagedrorM , den Wtnkel, weither Wt
enlge-gen*#*etti*r Uiclilung von A' und von dem Theile der J-J/Kbe»»
gezählt wird, welcher rückwärli von My oder nach JUX au . aUu nw
Mifi au* in der der Zählung de* Winkcia Xffyi entgegengesetzten Kieh-
lung liegt.
*Ute»iei»er Cü/riglifil um ii«it Eiv/etetiren der Veorrtinftttnlekre. ISO
di» Ableitung bleibt aller, wenn auch dem Mangel M Symmetrie
bei derselben leicht abzuhelfen ist, doch immer künstlich und
neitläuftig, und dürfte mehr als gute L'ebnng in analytischer Rech-
nung beim Unterrichte, nie als natürlicher Beweis einer solchen
Grundformel anzusehen Mein. Bei dieser Sachlage ist vielleicht
die folgende Begründung, im Wesen eine Verallgemeinern)! g dar
sogenannten Ergänzungs- oder besser Hülfs-Eeke, einiget Beach-
tung nicht ganz unwertb.
Es seien (Tal*. IV. Fig. 4.) aß, ay die Durchschnitte eweier
Ebenen mit der des Paniers, öS, nJ die auf den inneren oder
einander zugekehrten Seiten dieser Ebenen, ad,a& die auf ihren
äusseren Seiten errichteten Perpendikel , der hohle Winkel zwischen
diesen Ebenen /i, ihr erhabener oder überstumpfer /'— iit ~ />,
und ähnlich der bohle Winkel der Perpendikel Sa& = n, der
übers tu ujple zwischen ad und e® =A, so ist augenfällig
w=2Ä — p also p=*ilt — n,
desgleichen wegen der vorhergehenden Gleichung zwischen Paaäp:
iV = 2ß + />=:fift — P also />=6fi — ff.
Errichtet man folglich auf den drei Ebenen irgend einer be-
liebigen körperlichen Ecke, und zwar, um die zusammengehen gen
Flächen» inkel zu nebmeu, auf den dem Beschauer zugekehrten
Seiten der drei Ebenen (vergl. folgenden Paragr.) in ihren] nemein-
scbaftücheii Durch seh nittspunkte (« Taf. IV. Fig. 4. und M Taf. IV.
Fig. ii.) Perpendikel, und verbindet, je nachdem der zwischen je
awei derselben liegende Fläehenwiutel der gegebenen Ecke ein
hohler «der ein erhabener ist, diese beiden Perpendikel so durch
eise Ebene, dass diese hiernach den buhlen oder den erhabenen
Winkel zwischen diesen Perpendikeln ausfüllt (was immer müg-
lich ist, da keine dieser drei Verbindungen auf die andere Ei«-
lluss hat), so erhält man eine HtU&eck«, deren Kanten winke! z«
den gegenüberstehenden Flächen wink ein der gegebenen Ecke entJ
weder in der Beziehung
(15a) n=2fi — p oder in der Begehung A'=tiffi-P
.stehen. Da ferner hiernach jede Eben* der Hülfsucke durch zwei
Linien gebt, welche bezüglich auf zwei Ebenen der gegebenen
Ecke rechtwinkelig sind, so muss auch jene Ebene auf der den
letzteren beiden Ebenen gemeinschaftlichen Linie, d. h. auf der
durch sie gebildeteu Kante, rechtwinkelig sein, und daher, wenn
der Winkel zwischen zweien solchen Kanten durch */ «der W
1 der zwischen den entsprechenden beiden Ebenen der Wirts.
180 r. Riete: Mrleilii'tnit'-iGrundformtlnderTilgoiioiK.ln
ecke durch p' oder P' , je nachdem er hohl oder i'iberstumpf ist,
bezeichnet wird, ebenso eine der Beziehungen
(150 p'='2ß — h' oder P
stattfinden. Offenbar führen aber beide Beziehi
(13,), als (15») ganz zu denselben Winkelfuncli
den Winkeln r und tc gieht die Gleichung
(ßß — «) = ', JAR + 'IR— v>) =
Stehen nun den Winkeln n, b, c, A, B, C der gegebenen
Ecke bezuglich die Ü. », <£ , ü, b, c in der Hülfsecke gegenüber,
so hat man nach der ersten der Gleichungen (14) allgemein:
cos 6 ^cosflcoat-J-BinflsinccosB,
also kraft der Beziehungen (15):
cos B = cos A cos C — sin A sin Ccos 6,
welche bekannte vierte Grundfi
ebenfalls in völlig allgemeit
5. 9, Die Ableitung der, fünf und sechs Stücke einer kürjier
lieben Ecke enthaltenden Formeln '), von denen zwei aus den
Werthen von y §. 7. und aus dem vorigen Paragraphen sehr leicht
»ich ergeben, so nie die Umformrjng der Grimdgleichungen für
die einzelnen Aufgaben und Rechnungen liegt nicht im Plane des
gegenw artigen Aufsatzes, da diese Gleichungen vielleicht mit sehr
wenigen Ausnahmen ganz dieselbe Gültigkeit wie die Grundfor-
meln, aus denen sie abgeleitet sind, besitzen. — Znm Schlüsse
mögen aber noch einige Wnrte in Betreff der liberstumpfen Win-
kel in einer Ecke um so eher gestattet sein, als dadurch die
Constractionen des vorigen Paragraphen übersichtlicher werden.
Zur leichteren Auffassung der Entstehung und der verschie-
denen Arten dieser Ecken denke man sich drei von einem Punkte
M ausgehende, aber nicht in derselben Ebene liegende Linien
.VA, MB, MC, und je zwei derselben durch Ebenen entweder
auf dem kürzesten oder auf dem weitesten Wege (d. h. entvredei
■1 der Trigonometrie hiernai
Gültigkeit erwiesen ist.
•> In Dela
feig. Formell:
■ ländi^c U fimt:
S. "■>. ff. lind liiclirrt
n. 1. rhav t-1 AH. R«
«UfttM
■o, das* d
allgemeiner üHlUykeU au» den HeMUftM* der Cuontlnalenlehrt. 1 1> J
dass die Eben« den einspringenden, oder so, dass sie den
tagenden oder üb er stumpfen Winkel zwischen den betref-
fenden beiden Linien einnimmt) verbunden. Es entstehen alsdann
eigentlich zwei einander ' nahe verwandte, jedoch verschiedene
Ecken aus den zwei entgegengesetzten Ansichten desselben Ge-
bildes herrührend, indem hei der einen die drei Seiten a, ß, y
dieser Ebenen, hei der anderen die drei entgegengesetzten Sei-
teo «' . ß' , ■/ derselben dem Beschauer zugekehrt sind, in beiden
Lagen zwar die Kantenwinkel dieselben bleiben, die Flächenwin-
kel in der einen aber die in der anderen zu 4/i erganzen, wenn
man bei derselben Ansicht nicht verschiedene Seilen derselben
Ebene, z. I> für einen Flächen" inkel au der ersten Ebene ihre
Seite a, für den anderen ihre Seite a' uimnit, ein Versehen,
welches namentlich indem unten bei 3) aufzurührenden Falle leicht
müglich wäre. Zur Angabe der einzelnen Falle mögen die beiden
Ansichten durch I. und II., die einspringenden hohlen Winkel durch
abc, ABC, die entsprechenden ausspringenden oder überstumpfen
aber mit a*b*c* , A*B"C* bezeichnet werden.
1) Sind die drei Linien MA, MB, MC auf den kürzesten
Wegen verbunden, so entstehen die drei Kantenwinkel abc und
in I. die drei Flächenwinkel ABC, also die gewöhnliche Ecke
(TaUV.Fig.5.*)), in 11. dagegen A*B*C*.
2) Bleiben die Verbindungen vou MA mit Mli und MC wie
eben, die zwischen letzteren beiden Linien geschiebt aber auf
dem weitesten Wege, so bleiben auch b und c, dagegen hat man
statt a jetzt a* und in I. AB*C*, in II. aber A'BC (Taf. IV.
Fig. 6 1. und Fig. 1} IL), also an überstmnpien Winkeln einen Kan-
tenwinkel und in I. die beiden anliegenden, in II. aber den gegen-
über liegenden Flüchen winke).
3) Bleibt aber jetzt die Ebene BMC wie bei 1) und wird
dagegen MA mit MB und MC auT den weitesten Wegen verbun-
den, so entstehen die drei Kantenwinkel ab*c* und in Taf. IV:
Fig. 7 I. die Flncbemvinkel A'BC"), in II. jedoch (Tar. IV.
"ig. 7 11.) die AB*C, also werden zwei Kantenwinkel und entwe-
•) Die Ilegrenxiing der Ebenen in dieaen nnil den folgenden Figuren
durch grö««te Kreise einer Kugel isl hl na der leichteren Zeichnung wegen
gewählt und ohne irgend eine Beziehung zur Kugel.
•*) B und C zwiichen der unleren Seite der Ebene HVC und den
vorliegenden Seilen der beiden anderen Ebenen. Um Taf. IV. Fig. 7 I.
(■um wie die übrigen zu «teilen, wurde IHBC al* von oben angesehen
auch hier gezeichnet, snn*l hütte eigentlich die untere Seite riieaer
Ebene dem Hesehaner xugekehrt werden müaaen.
1«2 r. Hitte- Ableitung der tlriiiutfnrmeln der Triffimnmrtrie ele.
der der eingeschlossene oder die beiden anliegenden Fliiclimiwinkel
iiherntumpf.
•1) Verbindet man endlich je zwei der drei Linien auf den
weitesten Wegen, so werden alle drei Kanten winke! iibersturupf,
und entweder bei einer Ansicht alle drei Flächenwinkel ebenfalls
oder bei der anderen diese Winkel hohl.
Durch die Fülle 3) und 4) ist die In v. Mflnchow's Trigo-
nnmetrie ausgesprochene Behauptung, dass eine Ecke nicht zwei
fiberstumpfe Kaulen winke! enthalten ktinne, thatsachlich widerlegt.
Der Irrthum rührt davon her, dass die doppelten Zeichen, womit
in den Gausslschen Gleichungen all« Functionen von Summen
oder Differenzen von Winkeln behaftet werden müssen, bei der
Formel
AA-C)
siii;&"
nicht beachtet sind, und daher angegeben ist, dass, weil wegen
sinosinc= sin ,-ls'm C der Quotient rechts positiv, diess auch aul
der linken Seite der Fall sein müsse, diess jedoch nicht sein könne,
nenn sowohl n als c>2rt waren. Allein gerade in diesem Falle
ist das doppelte Zeichen und namentlich d ■..< untere noth« endig,
indem dadurch die Bedingung des Positivseins vollkommen erfüllt
wird. Gegen die vielleicht vorzubringende Behauptung, dass die
Falle 3) und 4) überhaupt nicht zu den dreikantigen Ecken ge-
hörten, ist zu erwidern, dass in dem Begriffe dieser Ecken als
eines Gebildes aus dreien in einem Punkte sich durchschneiden-
den Ebenen es gar nicht ausgeschlossen ist, dass zwei derselben
zwischen ihrem gegenseitigen und dem Durchschnitt einer jeden
mit der dritten sich noch einmal schneiden. Wenn auch Ecken
mit mehreren uberstumpfen Kanten« inkeln in der Anwendung sel-
ten vorkommen, so erscheinen dagegen die mit ihnen besonder«
durch die Hüllsecken nahe verwandten mit mehreren übersturuplea
Fliehen« iakeln in der Astronomie und Geodäsie desto häufiger,
und ganz abgesehen davon fordert doch die Wissenschaft
Allgemeinheit in der Lüsutig ihrer Aufgaben.
M «f «4^ : iMter tfnm «fttf* w* §**%** Zfki**- IM
_ i
i
r ■.•. \ . . . • . • - ;
XIX.
Ueber* eisen Säte von ganzen Zahlen«
* \ <• üJAiipr* nimm Mfttft von rfim^n ; ~JMilil#ni» o«/
! f ., •• ! V°" .-•'.■.-»»
Herrn Doctor Durkqe
in Zürich.
In Legendre's Theorie des Nombres. Part 2de. §. I. Art
130. findet sich folgender Satz : Bedeutet n eine ganze Zahl, so ist
«« n(n 1^. w(w""1)/B1_JaNn »(n-l)(tt-2) «. ' _i 9V L
n* — y(w— 1)"+ — i— h — (w~* tsjF1«^- — i — rp-Tj — («— o;B-f-...=l.2.«l..tt.
Man kann diesen Satz auf eine Art beweisen, bei welcher sieb
zugleich die Werthe der: Reihe, wenn der Exponent der Grössen
n9 n — 1, n — % u. s. w. von n verschieden ist, mit ergeben.
i.
Bezeichnet man mit (n)x den Coefficienten von x*- in der Ent-
•mkerahg .TM.^L-f-^iV so dass ' " ■' '■■■■>>\
W_~ 1.2.3....* ~— ' i
t ■ ■ v
so kann man obige Reiße folgendermaßen 'schreiben: '
1a(— l)k(n)i(n — X)*, - --"& •>• - * I-«»
wobei es gleichgültig ist, ob man die Summe för A;bis n oder ^is
w j-1 ninait,, weil das Glied ftr X =x « verseil windet Setzt ma* jet*t
« — X = k9
t- rf ' >■ ■■=:> ■ ii-» -^
so bleiben die Gränzen unverändert, und da
ist* a»;g*fcl 4efr tu beeftfcnlnende Ausdrtotk <tiber In • '< i • >
■164 ff-ttriper Vtter einem Sat* wo» fernen Zmkiem.
(-l)«li(-l)*(n)*JK (1)
o
Setzt man
F(x) = x(x— 1)(ät— 2) .... (ar- n)
nnd zerlegt den Bruch -^1 in Partialbrüche, so erhält man be-
kanntlich
T{x) — f* x—kFt'
wo Fk den Werth des Differentialquotienten der Function F(x)
nach x genommen für x~k bedeutet. Nun ist aber:
Fk = k(k-\)(k— 2).... (Ä~(Ä:-.l))(it-(Ä: + l))(A-(*+2)) ....(*- n)
oder» wenn man 1 .2.3 .... 2 = 2! setzt:
F'k = (— 1)—* AI (»— A)f
Es ist aber:
■ »
folglich wird
n\
(n)* = k\(n-k)r
* n!
und
1 _<-!)■ ^ (-1)*«*
F(:r) w! 0 x — k
Entwickelt man jetzt den ßruch , nach fallenden Potenzen
von x, so kann man schreiben :
1 11 1 k k* kn
x~^k=x ^I==:ill+i + J» + i»+ •••',
x
und erhält dadurch:
(2)
worin die Summen sä mm t lieh für k von 0 bis n zu nehmen sind.
In diesem Ausdrucke sind nun die Coefficienten der negativen
Potenzen von x von der Form des Ausdrucks (1), indem nur statt
der Potenz k* alle möglichen ganzen Zahlen als Exponenten Von
Dnriyß? Akte* *i*em Sml% von §**ßum Z*hl*n» -A ;)0$
k vorkommen. Die Bestimmung dieser CoefBcienten geschieht
aber leicht durch die directe Entwicklung von ff\ nach fallen-
den Potenzen von x. Setzt man nämlich . ,
V ■ > ■ ■ . ■ 1 •
... .! .1
\ ■ >R • .
Nun ist aber ersichtlich, dass diese Entwickelung erst mit der
(w + l)ten Potenz von — anhebt, und dass diese Potenz den Fac-
x
tor 1 hat. Es werden daher die n ersten Glieder des Ausdrucks
(2) verschwinden müssen, wodurch man erhält:
-£*(— 1)* (n)k = 0, h(- 1)* (n)kk = 0, 1*(- l)* (n*) A* = 0,
*> O O
1*(—I)* (*)**» = 0 u.s.f. .... bis i*(— 1)* (n)**«-1 = 0.
o o
Der Coefficient des (« -|- l)ten Gliedes aber wird = 1 , also :
t=^i*(-l)*(n)^»=:l oder (- 1)«J*(-1 )*(»)* *n = *f> .
welches der Legendre'sche Satz ist.
Cm die Werthe der Summe für die höheren Potenzen1 von A
zu erhalten, muss man aqfdie Bedeutung der Grosse» a zurück-
gehen. Es ist aber
— 0|=:der Summe der Zahlen von 1 bis n = - ■ €| — »
+ fla = der Summe der Combinationen 2ter Classe der Zahlen
von 1 bis n ohne Wiederholungen.,
— cf3 = der Summe der Combinationen 3ter Classe von den-
selben Zahlen,
u. s. f.- • . . i
Nun " l
>'.• ■ ,>
ist der /Coefficient von —^ gleich — ^ ;dab*r *r*>Ält>m*hV
18Ö Ctausen: Bevefsdes ton schlömtleh Arek. ßtt. XII. JVa. XXXV.
Der Coeflicient \
die Rechnnng aus, so findet man Ihn glci
binationen .'ter Classe der Zahlen 1 bis
ist gleich (— fla + a,2). und fuhrt man
ich der Summe der Coin-
: mit Wiederholungen,
daher wird (— l}"2k(— l)*(nJ*An+a= nlmal der Summe der Co m-
binalionen 2ter Classe mit Wiederholungen.
Für die höheren Potenzen von k aber lässt sich der Werth der
Summe, wenn er auch immer ermittelt »erden kann, doch nicht
so einfach aussprechen.
■
XX.
Beweis des von Schlömilch Archiv Bd. XII. No.XXXV.
aufgestellten Lehssatzes; — über dieAbleitung desDif-
ferentials von logFx; und — über eine allgenn
gäbe über die Functionen von Abel
Betm Hofrath Dr. T.
« Dorpat.
Der in Rede stehende merkwürdige Lehrsah, der einr Ver-
gleicbung sehr hober, noch nicht bearbeiteter Transcendenten
enthält, durch dessen Auffindung Schlömilch grossen Scharf-
sinn gezeigt bat, scheint mir den Wee zu einer sehr ergie-
e Auf-
1
bigeu Siffdtfrärf die«etoF«We «i öffnen «Lange habe ich fer-
nere ai^gedehnte Untersuchuogeo dieser Art. vergebens erwartet.
Dm die XuFriierksamkeit des mathematischen Publikums aufs'Neue
und mehr auf diesen Gegenstand zu lenken, gebe tch-JUgeftd*
Auflösung* , . . , . ■ . .
Nach Minding's Integraltafeln p. 157. ist:
/od t Ity)sin(warctang— )
o : ;, i («* + 02)5
/od ' 1 HWsin(narctang-) ( .
e-3«^»-1 sin (3/?x) 3^=1, jp^.""'" °* '"'
■ • ' S ' '
od ! • . rfw)sin(«arctang-)
in. .^r$4*m)**~*-- — • — riM,-^
■ ■ -V*: -■* ' :•■•■ . ;■ ß ;-.'•
.: :■!//, r-Ä«^««n(^?F=jB---^^ 1T~ > «^ ...,■■"
also r
* • '*.* "■» ••;.'■«■■. ".j . .- i
/QQ t i
.''■.''<.. * ■ *» . ■ * • * » .
— <r-r«"sin ^7^j + . . m -jyaP-Afa
■"v :f ■"■ - "■ ! JF(n) 'S •
= n sin (narctang -)/(it),
i : •
weqn man /(w) = l -5= +«s — Äz + etc. tn iufinitum setzt.
Sei
S=«n«sin(#r)-- <?-»«* sin (30a?) +6-««* sin (5/fcr)— etc.,
T =ir-«* cos (&)-«w*^o#^
. ( • . ^ « ■ • •
V
Hieraus folgt sogleich:
Scos(2ßa:) + Tß\n(jißx)
= r-«* sin (3/&r) - !r*» sin (Sßaf) -$ e~*** sin (7ßx) - etc. ,
== e-«* cos (3/frr) - e-»«*cos (6/fcr) + e-*"*cos (7/3*) - etc.;
1S6 Ctauaeat Baeetittes rwiiSc/Hömitc/t ArcA.Bd..\/I.Xo.AX.<V.
bt"9 »in (M mBm ***•« (2£r) & I <-2or--in (2#r) T .
«-«co9(jJ*)-7'=t-««ci»(2p*)r - .-*" sin(-^x)S;
und hieraus:
«-«sin (p*) = 11 + c-2«*co8(2|S;r) ! Ä + e~*"ß\n (-Ißx) T,
e-"cos(ßx) = — e-*'Iti\n(?ß.T)S+\l-\-e--*"™a(-tßx)iT;
woraus durch Elimination von T folgt:
S~
Also wird
» (I - e-«") sin (ftz) a:*-* dx Tfw)
«-"(1 — g"*"?«'" (fa)_
1 + 2^-2« Cüs p/j^) + e-*"'
P* c—
| --v-
.s(2£r) + e
— sinCnarütang^/tn).
Setzt man « = 0, (3 = 1, so wird der Zähler unter dem Inte-
gralzeichen = 0, und der Nenner nicht verschwindend, ausser in
den Fällen &r = Jt, 3rc, 5jt, etc. Der Werth des Integrals be-
steht also in diesem Falle aus mehreren einzelnen Theilen, deren
Siinimirung mit der ("auchy'schen Residü- Rechnung Aehnlich-
keit hat.
Es sei ß—l und a=ß eine sehr kleine Grösse, deren Qua-
drat und höhere Potenzen vernachlässigt werden , 2jr = (^i-J-l) w+£,
sn dass man die Integration auf sehr kleine VVerthe von ^be-
schranken kann; dann wird:
l+2e-a«cns(2a:) +e-*°*=(1 ■+*-*«)» cw *» + (! — «-*«)• sin*».
Es ist nun, wenn man sich auf die niedrigsten Potenzen von 9
und f beschränkt:
I + e-a«=2, CO*X*=jjt\, I - «-a"* = (2i + l)«fl, sin«=(- ])*;
demnach fiir einen bestimmten Werth von A das obige Integral:
/
r( + i(2A + i)7C.ei3 '
Sei ^(SA + ljit.ötangj, so wird das Integral:
(— i^/iCi+i)"-1«^-1»*.
welches man von i= — ^ bis +^ nehmen kann, da wegen der
i ....
\
#
mtfgesteitt. Lehr sattes über die Abteil des W/Ter ent. *. togTx etc. Jßfr
Kleinheit von ß ein kleiner Werft von £ schon einem Winkel von
5- nahezu entspricht. Das Integral wird also:
und" also für alle ganze Werthe von X von 0 an bis oo :
(f )" ^-"> = r(w,8in (t) nn)>
welches die von Seh 15 milch gefundene Formel ist.
V
Das Differential von Log I\x) lässt sich auf folgende sehr ein-
fache Weise ableiten. Es ist (Minding's Integraltafeln p. 151.):
/
o
1 1/1 xa-1* r(a)T(b)
Differentiirt man nach 6, so ergiebt sieb, 'wenn man nach La*
g ränge 's Bezeichnung — g-1=r/(z) setzt und -=rry durch y(x)
• • ■ A.
bezeichnet :
fl Log(l-*)^-ia-*)»-l^ = :^^)(lP(&)-V(a+*)).
O
Sei (a-|-9) = t, 6=1, also a = J — 1, so wird
r(a) r(b) _ r(t-i) i__
r(a+b) - rw - *-!'
also
oder durch theil weise Integration:
1 \ P1 n*—1 1
^—^-i-DLogd-*) + 1=1 J -i=rd*''
0
und da der erste Theil an beiden Grenzen verschwindet:
o
Th«u x^ 12
17Ö C lausen: Beweis d. v. Schlßmilch im Areh. mifgeiu Le Urs. etc.
Im »weiten Bande voo Crelle's Journal für Mathematik
findet sich eine Abhandlung von Abel über die Functionen, welche
der Gleichung
q>(x) + <p(y) = y{xf(y) + yf(x))
Genfige leisten. Die Auflosung dieser Aufgabe ergiebt sich ziem-
lich einfach auf folgende Weise. Es sei, wenn ip(z) = «, z = ty\(u)9
g>(a:) = g, # = F(|), <p(y)=*v, y = F(c):
A*) = *i (|) , also auch Ay) = *!(•) J
so wird
^,(i+») = F(ö Fj(«) + F(c) F,(|).
Dlftetentiirt man zweimal in Beziehung auf |, so ergiebt sich:
*i"(S + •) = F"(|) F&) + Fi»© F(t>).
Setzt man nun
!=A, "F(Ö = J, F'(|) = ^', F*(ö = J"f
F,(Ö = ».- Fl>a)=B', F!"a) = Ä";
so geben die obigen drei Gleichungen, nach Elimination von F(o)
und F](o):
0 = (A'B"-A"B')fi>l (k+v) + (A"B - Jfi")ft'(* + v)
+ (AB'-A'B)yl"(k + v),
deren Integration bekannterweise sehr leicht ist.
f* ob sin JIM
Minding: üeber den Werth de* Integral* i ■■ — -4te, $tc. \7\
J ,
x*
Ueber den Werth *des Integrals / — ^ Ar, wenn m
o
• 1 •
und n positive ganze Zahlen sind und m>n oder m=n ist.
Von
Herrn Professor Dr. F. Min ding
an der Universität zu Dorpat.
Wenn n = ] und m eine gerade Zahl ist, so wird das vor«
gelegte Integral =ce>. Denn es ist für ein gerades tn
y «5^,1«=^ * sin^^ ji+-i_+5-L-+.... inin£j.
o o
die Summe der eingeklammerten Reihe ist aber, wie bekannt, un-
endlich gross. Dieser Fall bleibt daher im Folgenden unbeachtet
1 1 /*»
Die Gleichung — = -fr / e-xyyn"1dy giebt
o
/»sina?» , 1 /»• . . /» •
~ä^~ =TnJ «n*"1«** / e-'v^^dy
0 O 0
== F~ / yn~Xdy I e~*y &mxmdx-
0 o '
Für ein gerades m ist:
sin x1* = e (cos mx — m1 cos m — 2a?-f H^cosm — 4a? — .... -f (— l^^m**)
und für ein ungerades m:
siox«=e(^inwj:— Wiöinm— 2o:+m2sinm— 4a:— ....+(— l)m'.mm'8ina:),
12*
— — dx, wenn
o
m
wo m' überall für die grösste in ^ enthaltene ganze Zahl und e
(— 1)OT'
für 'Qm_A gesetzt ist.
Da ferner
/" V Px a
e~*v cos axdx=: g2 * a , # e-*y sin axdx = nTT""! »
o o
so folgt für ein gerades m:
J -x^dx=T-nJ rdy>
o o
m + y m — 2a + y* m — 4a + ya
und für ein ungerades m:
/• sina*» . € /*• _ ,
—x—dx=lrnj Mjf.
m . #n-1 mi . m — 2 .ffn~x ma.wi— 4.yn-1 (— l)m'.m„
71
Bezeichnet wiederum n' die grösste in -> enthaltene ganze Zahl,
so ist
-^~i=»— * - aV"4 + «V-6— •••• + (— ,)n'_1- a«»'-».y»-2»'
(— l)"'.aa"'.y"-2"'
wo n — 2n' = 0 oder =1, je nachdem w gerade oder ungerade;
trennt man mit Hülfe dieser Formel in Y den ungebrochenen Theil
vom gebrochenen, und bemerkt dabei sogleich, dass dfe (n—2)te
Potenz von y aus dem ersteren wegfällt, weil für gerade m
1 — wii +m2 — ...-+( — l)m' . 4»»m' =0
ist, so folgt:
fr=2
.... + (— l)»»'-i.mm^i.2a*-ai
• , 1 w»2n' m,.m-22»' a m2.m— 4*»'
■ ( 1 \n' m,n—2n' { * — 1 £ — — — - -
+( l> '* J j» + «* ya+^Z2a + 3,a + r7T=4a '"'•
'- + y2 + 2a J *
m und n pasiiite ganze ZaJUen sind und »>» oder m=n ist. 173
^A-Hl'-l
Yx= 2 (-l)*-i.««-i-2* {m«*-!-,». .m^-Hw.,!»-^-1-,.
+(-l)»/.W!m':|
+ (— l)n-»'-l.««ll'-«+l j —^ 1
y
(-~1)OT/. mm- {
• •••+" -.2 + 1 ( '
(Der in Yx vorkommende Grenzwerth w — »' — 1 von k drückt die
«— 1 A w — 1
grösste in — g— enthaltene ganze Zahl aus, nämlich — ^— för
ein ungerades n, ö^I für ein gerades n.) Werden obige Reihen
für sina;** bei geradem tn 2Amal, bei ungeradem m (2A— l)roal dif-
ferentürt, so kommt:
— a ^ = ( — l^sOw^coswu: — mx . m— 2**. cos m— 2a: + . .. .
.... + (— l)'»'-1 . mm>-i . 2** cos 2x)9
8**— ^sinj?*1
a gjpi — =(— l)*""1 «(wi2*""1 cos mar— w^ .?/i— 2**-1 . cosm— 2a?+....
.... + ( — l)m' . mm' cos x)>y
jenes für gerade, dieses für ungerade m. So lange nun die An-
zahl der Differentiationen kleiner ist als m, sind die Ableitungen
ltnkerhand mit dem Factor sina: behaftet und verschwinden also
für x=0. Wird daher die im Folgenden mehrmals wiederkeh-
rende Summe
m
*— .
in, . m— 2* + ma . m— 4*— .... + (— I)»1'-1 . wim'-i . 2*
zur Abkürzung mit f(m, k) bezeichnet, so dass m in f(m, k) immer
eine gerade Zahl bedeutet, hingegen für ungerade m die ent-
sprechende Summe
m* — wii-m— 2* + ni2.m— 44 — .... +( — l)m'.mm/ = /i(m^ k)
gesetzt; so ist /(m, 2£) = 0, wenn 2A eine Zahl aus der Reihe
2, 4, 6,8, .... m — 4, m — 2 ist, und fi(m, 2k — 1)=0, wenn 2k— 1
eine der Zahlen 1, 3, 5, 7, ....m — 2 ist.
Für 2* = m erhält f(m,m) und für 2A — l=m /i(m, m) den
Werth 2«-1.m!
m und n positive gansu Za&i** sind und «>a oder mxzn ist.yjfr
/OD 5
Yxdy=z(— l^jm*-1 logm — wij .m— 2*-1 . logm— 2
o
+ ma . ro— 4"-1 . log wi—4— .... + (— I)»'-1 m*-i . S"^1 . log 3JL
Für ungerade n wird:
/
* Frfy = (-l)»".4{m»-Mog(l + ^)-....
.... + (— i)*-t.nw-i.a^»iog(i+J)i.
Wird hier wieder mit den logarith mischen Faktoren dieselbe
Verwandlung vorgenommen wie vorhin und bemerkt, dass für
gerade m und ungerade «, wenn zugleich n — ]<m and # we-
nigstens = 3, f(m, n — 1) = 0 ist, so verschwindet auch hier das
im Integrale auftretende Glied f\m9 n — I).Jogy; ferner, werden
die übrigen Logarithmen in dem Integrale =0 für y = oo, und
man erhält:
■ ' ■■• ■'•i\
/OD "+*
Fdy=(— 1) a {m*~1login— ml.m— 2n-1.logm— 2 + ....
.... + (— I)«'-1 . mmt-i . 2»1» log 2 1
Endlich ist fllr ungerade n:
o
Bezeichnen wir der Kürze wegen auch noch die Summen
m*logm — mx . m— 2*. log m — 2 + m* . »i— 4* . log m— 4—» . . ;.
?-i
.... + (— I)2 . Wm .2* log 2 durch /*(?», A, logm),
a .
m*logm — wii . m — 2*. log m— 2 + . . . .
m— s
.... + (— 1) » .m»_a.3Mog3
"TT
. •>
durch /i(m, £, logm), wo immer m in /"gerade, in fx ungerade istr
so lassen ffab die den unterschiedenen Füllen zugehörigen Werfte
de* gesuchten. Wrtegrals nunmehr wie folgt schreibe«: '■ «•.
/OD ainMI
dxf wenn
o
xn
0
(— 1) 2 ,n
= — ^.r» ^(m» n~*) (m und w ul,gerade) 2-
(— 1) *
= 2m-i pn Km' w—1, logm^ ^m ger* ' n ODSer0 3-
m-fw— 1,
(— 1) a '/
= 2"*-i.r» M™* n~*> ,ogm^ . (mun3er-> wser-) 4-
Hier ist, wie ich zu grosserer Deutlichkeit noch hervorheben will :
?-i
/(m, n-l)=m^1-m1.m--2«-1+»W2Wi--4»-1--...+(--l)a .m» ^.S*-1,
a
ro-1
a
f(m9 n — 1, logm) = m*-l\ogm — mx .m — 2"-1.logm+ ... .
....+(-l)2 .m« .2*-*.log2,
fx (zu, n— 1, logm)=mn-1logm— »i! .m— ^^.logm + . .. .
m — 3
....+(— l)"2""" . Wlm-3 . 3«"1. l0g3.
Insbesondere wird für m = l :
/• /sinarV» , ä „ ,
^— — ^ a^=2^j^Aw, w-1) wenn n gerade,
o
TT
= an i-r fi(n> »— 1) wenn w ungerade.
Beispiele.
. /^/sinarV, rc /** sin:*4 , rc /»» sin*« ,
0 O 0
3» P^/smxY J * Pcr>smx^J n / »/sinarY^ H.«
m und n potittve game Zmkten Hnd und «>* oder m=n Ut. ]77
oo o
Z% P*> sina:* . 5?r Z*00 /sinaA* 115.«
=Tt/ ~ifi-dx=wj \ir) ^^IBC9
o o
0 /^sinar* . . /*»sin*« 3, 256 /•»sinar«
3- J "!?-*'= '"■V "^■rfa?=16l0«l7't/ l?"*
0 0 0
1 . 3»
— 16l0855ä'
/ /*»sin*» 3, „ /»»sin:«:* 5, 27 /»»sinx»
4- y -£>-<**=4iosv -^«-rfj:=i6io8 5 y ^-^
0 0 0
5 . 5«»
= 96,0g3»#
Ich benatze die gegenwärtige Gelegenheit, um über den Zu-
sammenhang zwischen den Integralen / dx und / ( J dx
eine Bemerkung einzuschalten, welche, wie ich mich erinnere«
vor mehreren Jahren einer meiner damaligen Zuhörer, Herr 8. N.
Zwett, mir mittheilte.
Es ist
daher
oder
„ sin a?a sin 2a? , /sin x\ * ,
d = „. dx — I j dx;
x x \ x /
0 O
o o
Aus dieser Bemerkung folgt für a = oo wieder, wie oben gefun-
den ward,
/• /sinar\» _ n
o
Auch möchte noch die Folgerung der Erwähnung wertb sein, dass
ftir sin 0 = 0, also a-=wt,
178 Minding: Ueber dtnWtrth de$ lnU§ral$ C ~ ^fü^wun
o
o o
wird.
«
In einem an mich gerichteten Schreiben aus Tschern igow
vom 17. Mai d. J. stellte mein schon genannter Freund Herr Zwett
über bestimmte Integrale, welche eine periodische Function ent-
halten, folgende Betrachtungen an, auf die ich schon dessbalb
gern näher eingehe,' weil sie mir zu der gegenwärtigen Unter-
suchung den ersten Anlass gaben.
Es ist
fx . <p(sin x) dx = / Fx . q> (s'mx) dx 9
0 o
wo Fx eine sogleich anzugebende Function ist und statt sin 4:
auch eine andere periodische Function gesetzt werden kann. Da
nämlich
4x
*^* » • • •
o ö *>*
fx . <p(sin x)dx— I f(x + 2n7c) . <p(si n x) dx,
Irin 0
so folgt:
Fx = fx + f{x +2tt) + f{x + An) + ... .
Die angegebene Umformung gilt unter der Voraussetzung, dass
Fx zu einer endlich auszudrückenden Function convergirt. Es sei
fx-=.—n> <p(sin x) = sin xn , so wird
x
Fxz=zx^ + ix+2n)n + ""
oder
I i I 1 1 )
Nun ist aber
x +x~Ti +i72 + ;/
tx p+i ii+* p t tx-i ^
o
m und n positive &in%e Zahlen *fnd tmd *>* oder m±sn f«/. 179
*o o
allgemein :
** ■ f *** — r% *± c%dt ridt rtv*~xdi
*»+(*+l)» + J tj t~~J TJ T=T*
daher
. * . „ v„P/) x r*dt f*dt f*dt P*t*-*dt
0 0 o ©
und weil nach obigem Satze
/kqp (sin x) dx = 2?r / F(2nx) q> (sin 2jfcr) da: >
o o
so folgt:
rm<*
o
l p*dt p*dt p*dtp* dt />* —-^i
^V^J TJ T-j TJ W=$J *"****•**'
0 0 0 0 0
wo die Anzahl der Integrationen nach t gleich n ist.
So weit ging die Mittheilung des Herrn Zwett; es schien
mir der Mühe werth, den darin angefangenen, aber freilich wegen
der vielfachen Integrationen einige Schwierigkeiten darbietenden
Gang der Rechnung weiter zu verfolgen. Setzt man allgemeiner
q>(elux)z=zBmxm, so ergiebt sich auf demselben Wege:
/■*
0
sina:m _
dx
/x dt Pl dt pt dt Pt dt P*
55 J 55 -V 55 J W^J <x*",n2**m**-
0 0 0 0 0
Nach Einführung der Reihen flir sin2rarm und mittels der Integrale
/ t*(\ -cos1mnx)dx=:(\ - t) { °g* --J—J ,
4m27t2 + log <*
/ t* sin 2m7Kr . dx =
•/ 4wta7ra +log **
0
%m% (I - 1)
/3D m\nj>m
~-dx, wem
x*
ÜyZt)J ** (* — cos 2mna) «*r = i log (1 + 'fo-£p)>
O 0
/ 77i — ^ / <jrsin2m*a? = arctg f — =A
wird nun folgender Werth in Gestalt eines (n — l)fachen Integrals
gefunden, nämlich:
/»sin*™ 1_ P1 dt^ Pl dt_ Px M_ T
xn ^-2»»-V 2%tJ 2nt~'J 2nrM'
0 0 0 0
wo für gerade m:
T== Ulm'-l . »log(l + |— ^) — m»u2. ÜOg(l+ ==j)
,. ,, . 122.*** . , ,v , - ,, ,, a 4.m2w*
+ m^-8.Uog(l + T==^)~.... + (-l)«'-^ilog(l+T==^r),
logt* log<*
und für ungerade m:
T= Z\ = mm' arctg r — mm'-i arctg j+rom'-2 arctg y— ....
log-£ log^ log-
. . . . + ( — l)m arctg j-.
log7
2?r
Durch Einführung einer neuen Veränderlichen v = = werden
diese Integrale auf folgende Gestalt gebracht :
log-.
/*sin£™ 1_ /•» dv / v do Pv dv
0 0 0 0
wo die Anzahl der Integrationen rechterhand stets n — 1 ist, und
für gerade m:
T = m^_i.Jlog(l + 22ü2) — /wm'_2.ilog(t+4*t>2) + ....
....+(-l)«,-1.ilog(l + m«»*)f
für ungerade m :
m und n positive gante Zahlen sind und m>n oder m=n ist. 181
T = ,2| = mm' arctgt? — mra-i arctg 3© + .... + (— l)m' arctg mt?.
Die Ausfährung der gesonderten Integrationen stösst sogleich auf
die Schwierigkeit, dass schon die ersten oder doch die zweiten
Integrale der Glieder von T und Tx , in so fern sie von Null anfan-
gen sollen , unendlich gross werden; wesshalb dieser Gang der
Rechnung auf den ersten Blick überhaupt nicht zum Ziele zu füh-
ren, sondern sich in Unbestimmtheit zu verlieren scheint. Bei
näherer Prüfung zeigt sich jedoch, dass dieser Cebelstand geho-
ben wird, wenn man von jedem Logarithmus oder arctg in T die
ersten Glieder der dafür geltenden Reihe, bis zu der zunächst der
wten vorangehenden Potenz von t>, abzieht, indem vermöge der
Eigenschaften von T alle so hinzugefügten Glieder sich fär jeden
Werth von v zu Null aufheben. Setzt man nämlich
«2n — 2n'— 2
t>»-^ + ip«-....-t-(-i)»-">.w_w<_1 = y(p)>
wobei zu bemerken ist, dass 2» — In' — 2 die der n zunächst vor-
hergehende gerade Zahl ausdrückt, nämlich n — 2, wenn n gerade,
und Ti — 1, wenn n ungerade ist; so ist stets
Wm'-i. q>(2v) — 99im'-2 . q>(4v) + mm'-3 . 9(6»—. .. . +(— I)1»'—1 . <p(mv)=Q,
weil jede linkerhand vorkommende Potenz von v , sie sei v2k, die
Summe f(m,2k) zum Factor bekommt, welche hier wieder =0
ist, weil rn gerade und grösser als 2, 2k wenigstens gleich 2 und
kleiner als m ist Demnach ist also T folgendermaassen zu
schreiben :
2 T = 99W-1 1 log (1 +2*t>a) - <p(2t>) } - mm'-2 1 log (l+4«t>*)-g>(4t>) !+....
....+(-] )»'-* ( log (1 + I9t*t>a) - 9>(l9lt>) 1.
Wird auf ähnliche Weise gesetzt:
«2a'-l
wo 2w' — 1 die der n zunächst vorangehende ungerade Zahl dar-
stellt, so ist wiederum
tttm' q>\ (v) — rrim'-i . q>x$v) + mm'-2.9>i(5t?) — .... + (— l)m>1(mt?)=0,
daher
7j == mm' { arctgt) — q>xv } — mm -1 l arctg 3c— q>t (3©) ! + ....
.*... + ( — l)m' { arctg iftt) —-9(1919)}.
182 Min diu*: Ueöerden Wert* de* Integrals C *^~-dx, wenn
o
In dieser Form lassen sich nun die gesonderten Integrationen
alle vollstehen; ich setze einige als Beispiele hierher:
o
/9dv P9de. ,. . ., 9t 3 2arctgt? 1„ lvl /la-v
0 0
0 0 0
u. s. f.
^ |arctge-t>i = l ^ ^logO-f-«9),
o
P'dvP'dv. t , 11-1.. . log (! + «»)
0 o
y £/" jt/"ä',arcts,,-c+jt'si
0 0 0
1 11 1 arctgc /l INI
U. 8. f.
Um allgemein die (w — I) fachen Integrale
/»dv r*dv P* dv.
0 0 *T>
und
j ^J""J iS{arct8|,""9,iW=:^iW
0 0 0
in Hinsicht auf ihr Verhatten für ü = oo zu untersuchen, hat man
nur nöthig, die vorgeschriebenen Integrationen für sehr grosse v
m und n positive pan%e Zmkien sind und tt>* oder wt=m igt. 189
an der höchsten in q>(v) und q>i(v) vorkommenden Potenz von v
zu vollziehen ; man findet durch die wiederholte Integration dieses
höchsten Gliedes in <p(v) bei geradem n: „, jv • >
2(— 1) *
bei ungeradem n: p logt?;
(—1)*
in <f>i(v) bei geradem n: - — p log»»
bei ungeradem n : ^ lv • P—.
Im ersten und vierten Falle nähern sich diese Werthe mit wach-
sendem n der Null» woraus sich der Schluss ziehen lässt, dass
if/(f>) und ipi(v) für t?=.ao dann endliche Werthe erhalten, wenn
m und n beide gerade oder beide ungerade sind, oder kurzer,
wenn m + n gerade ist. Dagegen werden bei ungeradem m-f-n
die Werthe von iK*>) und tyi(v) für t?=oo unendlich gross, aber,
wie aus vorstehenden Integralen im zweiten und dritten Falle her-
vorgeht, in der Art, dass
^(») — d\ogv = 8(v) und ^(t?)— ^log(t?) =z$i(v),
wo
2 (-1/4- _(-l)*
für o=oo endliche Werthe erlangen.
Um nun auf dem gegenwärtigen Wege das gesuchte Integral
zu finden, hat man die Werthe folgender Ausdrücke für t? = oo zu
bestimmen, nämlich:
5^{mm'-.i.2n-1i{/(20) — mm'-».4n-1.^(4t>) + ....
....+(-l)"»'-i.m»-1.^(«w)J för gerade m,
.... + (— l)m' . m"-1 . Vi (»"Ol für ungerade m.
Ist m+n gerade, so erhalten ^(2p), tf/(4»), tf;(6©), .... für t?=<x
alle denselben endlichen Werth V(oe), und ebenso ^(e), ^<3e),
184 Minding: l'eöer den Wereh des Integrals / — — dx, etc.
J x«
it>,(5v) , . . . . alle den Werth V-fcr). Die Bestimmung dieser Werthe
würde jetzt noch eine besondere Untersuchung fordern; vergleicht
man aber die oben gefundenen Ergebnisse, so folgt sofort, nenn
m + n gerade ist.
_(-!)»"
(— l) a .
und ^.(gc) = v Jrn
und damit
beiden ein
rhält i
geraden
Für ein ungerades
folgende übergeben:
^ivw-i.2»-.
i + « entsprechenden Fallen.
m + n setze man ip(v) = fl(r>) + 8 logt
wjihirr-fi die beiden vorigen Ausdrücke ii
+ äi^T(-l)wl/;(m
-I)Iori. + ftm,n-l, logm)!,
'.Ö1(3e)f....+{-l)'«'.m-'fl1(mp))
In dem ersten dieser Ausdrücke ist m gerade, n ungerade, und
n — I < m, jedoch n— 1 » enigstens =2, daher ftm.n— 1)=0;
in dem zweiten ist vi ungerade, n gerade, n — 1 < m und n— 1
wenigstens =1, daher /j(m, n — I)— 0; hiermit verschwinden die
den Factor logt enthaltenden Glieder. Für v=<x erhalten ferner
»(Sc). ö(4e) alle denselben endlichen Werth 0(oc) = 9 und
eben so ö,(ii). 0,(3t>).-->- denselben endlichen Werth 01(oo) = flI.
Daher verwandeln sich für v = » die ersten Glieder der beiden
vorstehenden Ausdrücke in
£. (-!)"•-'. «»,■-!) »nd Ä.(-l)».fi(«
-1).
und "erden also gleich Null. Es bleiben also als Werthe des
gesuchten Integrals
(_l)»'-i.J
-flm, n— ', logwi) für ein gerades m und ungerades «,
-/ifui.n — 1, logm) für ein ungerades m und gerades »;
'ibereinstimmend mit den vorher gefundenen.
<-l)"' -*■ ,
Dontor: Mitkod* mouveüe de dtscussjon des Ugnes et surfaces etc. 18ß
t f
*
Methode nouvelle de discussion des lignes et surfaces
da second ordre.
. (Methode des sections planes,) '
Psr
Monsieur Georges Dostor,
Docteur es seiendes mathämatiques , Membre de la Sor.ie'tä, de« Sciences
et Arts de Hie de la Rennion (Mer des lndrs).
1. Cette m&hode consiste ä ramener l'etude de la surface a
ce^e des sections qu'y determinent certains plans. Elle fournit
des' caracteres analytiques, qui permettent de reconnaitre imrae»
diatement la nature geomötrique de la surface.
L'equation du second degre*
fij*,y,t)=:Aa?+A'y1+A''z*+'},Byz+'lBzx+'lB"xy .
+2Gr +2C'y+2Cj + F= 0 (1)
peut representer trois especes de surfaces, auxquelles röpondent
des caracteres analytiques bien destinets, que Ton obtient
immediatement par la translation de l'origine au centre meme de
la surface, supposä reel ou imaginaire , unique ou multiple, ä une
distance finie ou ä l'infini.
ees dun centre.
§• 1. Surfaces
2. Supposnns que la surface (1) soit rapportöe ä son centre;
l'equation (1) se cbange en
<p(x,y, z)==Ao:*+A'y*+A''2*+Wyz+2B'zx+2B»xy+H=:0, (2)
oü Ton a (
NC+N'C' + NnC"
#=F+
D
(I)
en meme temps qae
Theil XXX.
, 13
MO Dosrar: nterrrrxlr rrmrrefrr de ttfseusrdon
1>=AB> + A'ß'*+A"B"*—AA'A"—'}BB'B",
= /Hm— A'A")— B(£'B-A'B')— B\BB'-A'BT), '
=A'(B"-A"A)—B"(BB'-A'B") — B(B'B'-AB). I
= A"(B™-AA')-B(B,B"~AB)-B'(B"B-A'B); )
-N=C(B'—AIA") + C'(A"&'—BB')+C"(A'B'-BB"),
=B(BC-B'C'-B"C")-CA'J"+C'A'B'+C'A'B';
-W= C(B" - A'A) + C"(AB- B'B') + C(AB- B'B).
=B'(B'C'—B"C"-BC)—C'A"A+C"AB+CA'B';
-X'= C"(B"—AA') + C(A'B'-ß'ß) + C'(A'B'-BB'),
= ß"(ß"C— BC— B'C')—C"AA'\CA'B' + C'AB
Le« egaliles (II) dormeiit :
AJDr=t,AB—BlB"F - {B'' - A"A)(B" — AA'), \
A'D=(A'B'-B"B)'>-(B™—AA')(B>—A'A'), >
A"D=(A'B' — BB')' — (B»-A'A")(B"— A'A); I
BD=t,B*-A'A")(AB—B'B")-(A'ß'-B"B)(A'B"-BB'),
B'D=(B"-A"A)(A'B'-B"B)-t,A'B"-BB,)(AB-B'B'),U\)
B"D=iB"*-AA')(A"B"-BB')-(AB-B'B")(A'B'-B"B).)
Las squalions (III) fnurnissent aussi t
(VI)
-JVC" = »C'C"(Jfi— B'B')— C'(B'-A'A')
-A'A)
NC-N'C
+ C"(B"-A'A)+ C"»(ß""- AA'),
tf'C'— iV"C— iV C=W C(.A'B'— B'B) — C"a(B'
+ C"»(B"* — AA') + Ct.B'—A'A"),
rf'C" — SC-X'C'=1CC'l,A'B"—BB')-'C"(B"*—AA')
+ C'(B'-A'A") + C"(B"— A'A);
tirf
(VII)
ÄC+ff'C'+iV"C"=C»(Bi-^'^") + C'»(ß'"-J"^)+C*"(B"'-^J')
-2C,C"(Jß-B'fl")-2C"'C(<('B'-B"B)-2CC'(j<',B"-B«'),
4m Hgne* & **rfkee$ du täcond #rdr#> 1W
et, paranite, •■■,•-
(VIII)
(NC+N'C f N" C'XB*—A'A")±z-N*+D(.A' C*+A"C*—2BC'C),
(NB+N'C+N"Cn)(B*~A''A)^-r-JN'*+D(A"C*+AC'*~l&€f'Cy,
(NC+N'C'+ltaC')tA'*^AA*f=^ll'niXAC*4A«C**#B'*CCl).
Dans le cas particulier, ou Ion a
A=0, A' = 0, A" = 0,
les relations pröcedentes se r&Liisent ä:
D =— WB'B",
N =sB{B'C +B*C'—BC}, [
N'z^B'iB'C + BC-B'C), l
N"=*B"(BC+B'C'-B''C")i /
-• ',
(K) •
N'C +2V*C - 2VC=£aC9— (ß'C- B"C")*,
N"C"+NC—N'C'z=B'*C'*—(Bae'—BVy»>i y (*)
NC+ N'C'—N"C=B"*C*—(BC- B'C')*;
NC+N'C'+l!("C'=3(ßB'CC'+B,B"CrC"+B"ßC'rC)
— (ß2C* + &*€'* + B"*C"*). (XI)
3. Les trois plans de coordonn^es coupent ta surface sui-
vant trois lignes representees respectivement par les 4quations
Ax* + A'y* + 2Ä'Vy + H = 0,
Ax2 + A"z* + 2B'xz + H = 0, } (8)
A'y* + A"z* + 2Byz + N=z 0;
et le plan y=ßz y d&ermine une sectiori, qui se projette sur le
plan xz suirant la courbe
Ax* + 2(B"ß+B')xz + (A'ß2 + 'ZBß + A,')z*+Hi=z0, (4)'
qui sera une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que
rexpressfon
(B"ß + B)*-A (A'ß* + 2Bß + A")
== (Ä"*~ AA')fP— 2(AB~ B,Bfiyp+iB*+~AA"f>
ia*
Methode nmieelle de dizamton
qni, en vertu de la premierc
i relational (IV), neut s'ecrire
[(B-*-AA')P — (AB-B'll^Y— AD
!!■"
-AA'
(S)
! ä zero.
est inferieure, egale ou superieui
4. Caracteres analytiques de V ellipsoide. Supposuns
que l'equatioi] {i) represeute un ellipsoide. Les trois seclions (3) par
■es plana coordonnes seront des ellipses ; par consequent, les troi
differences
B*~A'A", £"—A"A, B"*-AA'
i les trois cnellicients
sont loutes negatives, ce qui
(ige qu.
A, .<*',
; zero ,
de inemesigne,
mis que le pre-
is
ar
:
des carres des variables soient dirTerents de
et, parauite, positifs; puisqu'il est torjjni
mier terrae de l'equation (2) a ete rendn pot
II faudra de plus que la seclion (!) snit une ellipse, quel que
soit ß; ou, cn d'aulres termes, que l'expression (5) soit negative,
pour toute valeur du pariunetre variable ß du plan secant. Comme
le denominateur B"*- — AA' de la quanfite (5) est negatif, le nu-
merateur devra toujours etre pnsilif. II est donc d'une neeessite"
absnlue que le polynome /' solt negatif.
II est du reste Evident que notre ellipsoide sera reel et fini,
se reilulra ä un point ou sera imaginaire, seien que les sections
elliptiqnes (3) seront reelles et finies, se re'duiront ä leur ccntre,
ou seront iiuaginaires, condilious qui sont exiirimees par les trois
relations
fl<0, H = 0, H->0.
Puisque !> est negatif, ces trois relations peuvent etre r
cees par les suivantes:
TfC + N'C + N'C'+ FD >0, NC+ A"C +iV"C'+ Fß = 0,
NC+N'C + NfC". + F O < 0.
Si nous rapproclions toutes ces condilious et que nous teniom
eompte des nbservations faites au uuniero precedent, nous pou-
viiiis en deduire le tbeorenie suivan
Pour que l'equation du second degre ä trois variables re-
pre'sente un ellipsoide, il faul et il suffit
\J que les carres des variables se trovrent dans l'equation
et soient affecles du meme signe;
des iignes et surfitces du second ordre. 18V
2« que le$ differenees B* - A'A", £'» - A"A, B"* - AA'
eoient negatives;
3° que le polynome D sait inferieur ä %ero.
Cet ellipsoide est reel et flni, se reduit ä son centre au est
imaginaire, suivant que Pexpression
NC+ N'C + N"C" + FD
est superieure, egale ou inferieur e ä %ero.
5. Caracteres analytiques des Hyperboloides; Lorsqoe
Destdifferefitdeze>o, I equation (2) represente ndcessairement an«
surface ä centre; donc, dans ce cas, Tun des deux Hyperboloide«,
ou le cooe, chaque fois qu'elle n'exprime pas l'ellipsoTde. Ce»
circenstances se- presentent donc pour
Z><0, B«*-AA'>0;
et, pour
Z>>0.
H reste ä se'parer ces trois surfaces.
II est d'abord evident qu'on a le cone, si //==0. l>
Supposons que le coefficient A de x* ne soit pas nul. Eu
resolvant l'equation (2) par rapport ä x, nous trouvons
Ax+B"y + B'z
= ± V (Bt'*-AA')y*-2(AB-B'B'')y2+(B,*-A''A)z^AH. (ß)
Si B"* — AA' n'est pas nul, cette equation peut encore se mettre
sous la forme
Ax + B"y + B'z
~±Y B«*-AA* ■*' #f
Pour le cone asymptote, nous trouvons
L'iospection de ces deux dernieres öquations fait voir que
1° si Z><0, £"* — AA">0, le cdne asymptote admet les
deux gäoeratrices rectilignes
(B"*-AA')y - (AB~B'B")z=0, Ax+B'y+B'zJ^g~f^^i
190 Bastor: Meihtitte uuurelle de discusslon
'2° si ß>0. il adiuettra tes gcneratriws re^tiligries
(ß"9 - AA')y - (AB - B'B")i = ± : V^ö, Ax + B"y +
Or, ai la surface (L2) est un Hyperboloide ä une nappe, eile ad-
mettra des generatrices rectilignes paralleles ä Celles du cnne.
Mais, d'apres l'equatiun (7), cette circonstanue ne ponrra se prä-
senter, dans le premier cas, que si II est pnsitil' ou
NC + Pf'C- -f N"C" + *7><0,
pnisque D est negatlt ; et, dans le eecond eae, que si // est
negatif ou encore AT f N'C + N"C" + Fß<0, attendu que E
est positlf.
Les generatrices reclili^nes de l'hyperboloi'de, qui correspon-
dent ä celles du cöne, s^roiit alors respectivement
(B"*-AA-)y — (AB-B,B")z+*fA~H = 0,
Ax + b v + ^±* V^^3-=0;
et
Ax + fi-'j + ß'! + \T~AH=Q.
Si le coeilicicnt de .-1 est uul, ''equiit'ton du cöne
AY + ^"i2 + IByx + 2B.r; + Wzy = 0
est satisfaile \
Taxe des .t un
DaNS
valeurs #=0, i = 0; le cöne admet doi
■atrice reetil' gne.
on a en nieine tenips ^4 — 0, A'=90, les
sont les dem des generatrices rectilignes
II en serait :
= 0. A' = f),
isi des tro'is axes,
Or une discussion analotgue ä la precedente ferait voir que
dos conclusions sulisistent encore dans ces cas re'duits. Nous
pourniNs dorn: dire que
L'egualion du secoad degre d trete variables repre'sente un
hyperboloide ä une nappe, un cöne, ou un Hyperboloide a deux
nappes, aui&ant que ton a
;
lo /><©» B"*-AA'>0; ou Z>>0; et ffC+ff'C'+ff''C,''+F/><0;
20 /><0, £"»-^'>0; ou Z>>0; et iVC+2V'C'+^C"+f,/>=0;
3° D<fi, B"*—AA>Q-y aal^O; et NC+N'C'+N"C'+FD<0.
g. 11. Snrfaco» privees de cctntre.
6. L'equation (1) repreeentera l'un ou l'autre des detix para-
boloTdes, si le polynome ö est nul, et que les quantites N, N\ iV"
ne sont pas toutes egales ä ze>o. Dans ce cas, 1'une au moios
des trois quantites
B* — AA*i B*—A"A, B'v-AA'
oi'eet pas nulle: car l/es trois- plans coordonnes ne peuvent pas
ötre tous les trois paraüfeles a^'axe du paraboloide. Admettons
donc que B'a — AA4 *qit ditfa/ent de zero.
7. Cependant, avant d'aitar plus loin, ötablissons quelques
identites qui conviennent au cas oü D est e'gal ä zero et l'une
au moins des trois quantftfo jJV, iV', ISU differente de zero. Ces
identites s'obtiennent aisempt; nous nous contenterons de les
ecrire, sans les demontrer:
N if* N"
Ä2 - A'A" "~ A"&"-r-BB* — AB1 - B"B '
B* — A'A ~ AB— B'B" ~"~ A"Bft^ BB ' l (XH)
N" _ N n* .
B"*~ AA1 ~ ~A*W^B"B "AB — B'B" ;
• '-Vi
N(AB— B'B") ^N'{A'Bf— B"B)=N"(A"B"— BB)-, (XIII)
AN + B"N' + BN" bs 0,
ß"ff+4'ff'+Äff",=0, \ (XIV)
B'N + BN* + A"N» ss 0 ;
ff» _ ff" ff"a _ ff'ff" ff"ff
B%-A'AU~ S«=^i ~" B"*— A A' ~~ ÄS^WB7' ^WIF^B-B
NN'
A"B"—BB', ^^
* ., •■
Dotter: mko<U nonwtllt dt dttcvtrtm
ß"* — AA' =
— ff*
ÄC+iV'C"+Ä"C"'
— ff"»
jVc+jv'C'+A"(;"
(XVI)
- ff'ff-
"iVfl A'-f+iV"*."'
Ä'R-','B-!iViK'C-ili"C
TAr- 'xv'"
A"B~-BB' - A,;+ff.<;. f ff
■<"=-^(ff+l>
_ A'N* hA-'N-V-AK1
fi - " -iN'jy"
— 2AT"ff
' JA'H ^'IV*- A'-N"* .
JJV* + ^'A*'1 + .-f "A"2 = i(BN'N" + ß'A'A + B'TfN'). (\X_
8. Caracteres unalyliques du parabolotde ellipii
que. Si ß"2 — J.-f est negatlf, la sectiun
Ax* + 2ß"xg + ^y + $Cx + 2C'i/ + F= 0
de la surface (1) par le plan zr/ sera une ellipse. Ainsi cette
surfade est un paraltoloide elliptique. Nous feroris observer que,
dans ce cas, les deux autres difKrences B* — A'A", B'2 — A"A
sont nu negatives ou egales ä zero, ce qui exige que les trois
coeflicieuls A, A', A" soient differents de zito, de meine eigne,
et, parsuite, positifs.
Si cependant l'un de ces trois coefticients etail nul, ce qui ne
pourrait avoir lieu que pnui .1", il faudrait que B et ff fussent
uiissi nb,
De ce qui precede, >1 neue est permis de cnnclure que
de$ tfgm$ ei smrfirees du second mrdre. 198
L'equatton du second degre ä trois variables repräsente un
pmrabQloide elhptique, lorsque, le polynome 1) dtant *»/, fvH
au moins des trois numerateurs N, Ä'f N" est differenJt de
%ero, et que l'une des trois differences B*—A*A4\ B^ — A'A,
B"* — AA' est negative, les deux autres etant negatives au nulles.
9. Caracteres analytiques du paraboloide. hyper-
bolique. Par des considerations analogues aux präc£dentes ou
troave qae
Vequation du second degre' ä trois variables represente un
paraboloide hyperbolique , si le denominateur D est nul, que
tun au moins des trois numerateurs 2V> N', X" est different de
%ero, et que l'une des trois quantites B*—ÄA", B^ — A'A,
B^t—AA' est positiv*, les deux autres etant nulles ou positives.
S« III. Surfaces do^aiem d'une i »finita de centre« es*
ligne droite.
10. Ces surfaces sont caracterisäes par les trois öquations*
Ax+ B"y + B'z + C= 0,
B"x+A'y+Bz+C'=:0, \ (?) t
&x+By+ A"z + C" =0 ,
supposees distinctes deux ä deux, roais telles que l'une quelconque
d'entre elles soit une consequence des deux autres. L/equation (1),
dans ce cas, peut representer un cylindre elliptique ou un cylin-
dre hyperbolique. Si les trois droites representees par la combi-
naison deux ä deux des equations (9) sont paralleles, saus se con-
fondre, le cylindre est parabolique.
,. 11. Cylindres elliptiques. Les sections planes de ces
cylindres sont des ellipses ou des g4ne>airices rectilignes. Si
aucun des plans (9) n'est parallele ä Tun des axes de coordon-
n4es, les traces du cylindre sur les trois plans de coordonnees
sont des ellipses. II faudra donc que nous ayons
£*— A'A"<0, B*—A"A<0, B'v—AA'KO,
en meine tenips que
D = 0, iV = 0, A'=ö, #" = 0.
194 Oeater: Methode nouvelle de disatssion
Si le cylindre etait parallele au plan des yz, sa trace snr ce
plan serait deux droües paralleles, ce qui exigerait que l'uu eüt
Ä>— A'A" = 0, B'*—A"A<Q, B'*—AA'<Q.
Enfin si le cylindre etait parallele ä Taxe des i, on aurait
B»— J'A'=0, B*—A"A=0, B^—AA'^O.
Sapposons donc que Z?"a— AA' soil celle de ces trois quantites.
qui n'est pas nulle. La section
ellipse representee par l'equation
par le plan
des .ii) ser
Ax*-\-2B"xi/-{-A'gil +
2O+26"y + F=0;
or cette ellipse est reelle et fiuie,
imaginaire, suivant qu'on a
se räduit &
son ceufre,
Cn + C'n
+ Fd
positif,
nul oh ne'gatir, ou
d
= B"*~ AA', n = A'C~
B-C, »' =
AC—B'C.
Donc
-
L'e'quation (1) repre'sentera un cylindre elliptique re'el et /Inf,
un cylindre elliptique inflniment mince ou une droits, ou un
cylindre elliptique imaginaire, suivant que
1° 0=0, N=0, Bv — AA'^O,
2" 0=0, N—0, B"*-AA'<Q,
3° D=0, N=0, B"*—AA'<,0,
Ch + CV + Fd<0;
Cn+C'n,+ Fd=Q;
Cn + CV + Frf>0.
12. Cylindre» hyperbolique», La discussion du nume'ro
prec^dent nows inontre de suite que
L'e'quation (1) repre'sente un cylindre kyperbeHque ou deux
plan» qui se coupent, selon que
1" 0=0, iV=0, B"a— AA'>Q, CH + CV+Frf=/=0,*)
2° D=0, 2f=Q, B"* — AA'>0, Cn + C'n' + Fd = 0.
Noub ferons observer qu'on a
*j Le «igne =/— «igntfis diffirent de.
an U§nes et tmrfiues dm $econd ordre. 105
€*+**•' +##== B^—'AÄr +*m
13. Cylindres paraboliques. Ces cylindres peuvent
^tre regardls corame issus de cylindres elliptiques ou hyperboli-
ques, dont les axes se sont transportäs ä l'iofini. On peut donc
dire aussi que les cylindres paraboliques sopt doues d'une infinite
de centres, dispos^s sur une droite releguee ä l'infini.
Les caracteres analytiques 'de ces cylindres sQn$ evidenjment
Z)=0, ZV=0, B*-A'A"=zQ, B*-A"A=0, B"*—AA'=0.
8« IT, Surfaces doofes d'une inflnitä de centres aitnes
dans an mihne plan»
J4r C^s surfeoe* se presentent dans l'^quation (1), chaque
fois que les Iquations (9) rentrent dans une seule , qui est Te'qua-
tion du plan central. Elles comprennent deux plans paralleles,
re*els m iniaginaires, ou bien un seul plan, et de>ivent du cylin-
dre parabolique.
Dans ce cas, les premiers menbres des equations
Ax* + 2B"#y + ^y+2Cr+2C'y + F=0,
A& + 2B'xz + A"z* f 2Gr +2C"r+F=0,
A'tf+Wyz + A"z* + Wy + 2C"z+ F= 0
devront ätre decomposables en un carre* dune fonction du premier
degre, augmente d'une quantfte constante. Or G4& Equations
peuvent s'ecrire, en nous bornant aux deux premieres,
(Ax+B"y+C)*- (B"*^-AA')y*-2(B"C-AC')y-~{C*~AF) ^ Q,
(Ax + B'z + C)a— (B'*--A"A)z*— 2(B'C- 4C")z — (Ca-^F) =0.
H fandra donc que Ton ait, outre D=0 et N=09
B'*-AA'=0, B*-AA' = 0, g = ^ = ^.
Les deux pians sont reels, imaginaires ou se confondent, suivant
que Ton a
C*-^ AF>0, C*-AF<0, c»— ^f=o.
IÖÖ üintlnr: Methode uou teile de discustslon
g. V. Tableau general de In discusalon de
15. Representation ge'ome'triqve de l'equation.
1
' Ellipsoide reel et fini;
Genre ellipsoide
■■ Ud point;
Sitrlaces ayant an
\
i Ellipsoide itnaginaire.
centre unique a une
clislance finie.
' Hyperboloide a une
i nappe;
' Genre
Hyperboloide
(! Cöneduseconddegrä;
J Hyperboloi'de ä deux
Surfaees privees de
centre ä distance finie
et ayant un seul cen-
jGenre paraboloide
\ nappes.
. Paraboloide elliptique ;
J Paraboloide hyperbo-
tre ä l'inßni.
( boliuue.
/ Cylindre elliptique;
Cytindre genre
1 Une dmite;
elliptique
[ Cylindre elliptique ima-
V ginaire.
Q/lfadre genre
i Cylindre hyperbolique;
•Surfac.es douees
hyperbolique
(Deux plana secants.
d'une infinite de cen-
tres situös sur une
dmite ä distance Gnie,
(in sur une droit? ä
Cylindre parabolique;
1'inÜni ou dans un plan.
Cylindre genre
l Deuxplans parallele«;
parabolique
\
] Un seul plan;
1 Deux plans paralleles
\ imagioaires.
* [l'oynt Ict «»In
de* Hgmts ei **rfaces dm aecond ordre. 19f
Viquativn du «econtt degr£ k treis variable«.
Caracterea analytiques de la surface.
D<0,
B"*—AA'<.0,
NC+WC
D<0,
B"*-AA'<0,
NC+19'C
+N"C'+FD=0;
D<,0,
B"*—AA'<0,
NC+N'C
-
■
/><0et
B"*— AA">0,ou
/»o,
iVC+2V'C'
■
+2V"C+fZ)<0;
2><0et
B"*— AA">Q, ou
i»0,
+ZV"C"+FZ*=0;
Z><Oet
B"*-AA>0, ou
*>>o,
iVC+iV'C
+iV"(>'+FZ)>(K
D = 0,
JV=/=0, w
B"*-AA'<fi, W
Z> = 0,
iV=/=0, <»)
B"»— ^'>0, (»)
•
Z>=0,
N=0,
ß"«-^^'<;0, <4>
^C*— 2BMCC+A'C*
•
+ F(B"%~AA')>Q;
Z> = 0,
iV=0,
Ä"*— 2^'<0, <4)
AO*-1B"CC\A,C*x
+ F(B§*-AAt)=n\
D=0,
iV=0,
Ä"a— AA'<Q9 (*>
AC*-2B"C&4A'C*
+ FWV—AA'Xfl.
Z>=0,
iv=o,
&*-AA'>0, (*)
AC*-2B"C(HA'C*
-
+F(B"*-AA') =/=0;
Z>=0,
N=zO,
Ä"*— ^>0, (»)
AC*-2B"CC+A'C*
+ F(B"*—AA)=Q.
Z>=0,
iV=0,
Jff"2— ^'=0, (6)
/< Ä" B-
C ~'~ C ~/~ 6'" '
Z>=0,
iV=0,
. ■ ■ ■ . . .i
- 1 - « •. ah . ■# *« _«»■ A. ^ "
-4 B" B?
C - C'-JF"
•
C*—AF>0;
0=0,
iv=o,
fi"*— ^L4'=0, (6)
A B" B*
C~~ C «" C" (8)
Ca— AF=0;
Z>=0,
JV=0,
B"*— /44'=0, (ß)
A B< B*
C - C ~ C" '
1
C»-4F<0.
188 Dotter: MHh*de uomveUe de dt*msi<m
*
» »
(1) II »uffit qae l'*n des trois n«n>e>itenrs N, X1 , N" stfit difieraat de
«ere».
(2) Aucim* des trofis differences B*~A'A"y B'* — A"a\ B"*—AA! otasft
positive, et Puhe ri'elles, an moins^est negative.
(3) Aacnne des trois differences /*« — AA' , B'*~A"A9 B"* — AA' n'eft
negative, et l'üne d'elles, an moins, est positive.
(4) et (5) Si ranedestroiedifltereoceeÄ* — A'A", B'*—A"A, B"»—AA'
llait nnlle, le cylindre eerait parallele an plan corrvspondant des
coordunnles ( et, si dem d'entre elles ötaient nnlles, le cylindre
serait parallele a Taxe, interseciion des denx plan« de coordenne'ee
correspondant k ces differences; roais, dans ce cas, les autres dif-
ferences sont tbujour* negatives (4) on positives (5), suivant qae
le cylindre est elliptiqoe oa hyperboltque.
(6) Les trois differences fl*— A'A", B'*—A"A9 B"* — AA' sont toujonr*
nqlles dans toub ces cas.
A B" ß'
(7) Si les trois rapports -, ^y-, —77 £taient eganx , il fandrait qae les
kl ß all All Dl D
trois rapports —„ -^n — ou les rapports ^77, -^, ^ne fassen*
pas egaux tons , les trois*
(8) Tods ces rapports sont necessairement 6gaux. II en est de meine de
A' B B" ^ A A^ B' B_
7?' C77' TT C" T' CT
ttra ttgnet et surfitees du seeimd ordre. 19Ü
■ Tl. Readme generaJ de la dla Clinton de* Bnrta,ceB
da aecond ordre.
I. Lcs trois carres des variables se trouvent dans
l'equation (Jj de la surface.
16. 1° Si ces trois carre's sont de meme signe, et que les
trois rectang les se trouvent dans t'equalion (I), celle-ci poui
representer toute espece de surface du second degre.
Pour reconnaltre l'espece de surface expriniee par l'equation
(I), on calcule lcs trois differences -
ß»— A'A", B* — A"A, B"* — AA'. (11)
A. Si ces trois differences sont nnlles, l'equation (1)
representera im cylindre parabnlique ou t'im de ses derives. (Deux
plans paralleles, un seul plan, deux plans paralleles imaginaires).
B. Si nur seule ou deux des differences (II) sont
nulles, la surlace {1} ne pourra pas etre d'ellipsoide. Pour deter-
uiiiici la njture de la surface, on calcule II.
a. Si-Dest^galäzero, la surface fl)ne sera ni an hyper-
boloide, ni un cöne. — On calcule ensuite IV, IV', AT".
a, S'ils sont nuls tous les trois, la surface (1) ne pourra
pas etre de paraholoide; eile est un cylindre elliptique ou Tun
ses derives (Une droite ou un cylindre elliptique imaginaire),
cylindre hyperbolique ou deux plans secants, que celle des diffe-
rences (11), qui n'est pas nulle est infeneure ou supe>ieure ä z<
ß. Si tun ou l'autre, ou tous les trois numerateurs IV, IV', TV"
sont differents rle zero, la surface sera Celle de Tun des deux
paraboloi'des. Le paraboloTde sera elliptique ou hyperbolique,
suivant que la difference (11) qui n'est pas nulle, est inlerieure ou
superieure k zero.
b. Si li est different de zero, la surface (1) sera l'hyper-
boloi'de a une nappe, le cöne du second degre ou l'hyperboloide
ä deux nappes.
C. Aucune des trois differences (11) n'est egale ä
zero. L'equation (1) pourra representer toutes les surface» du
second degre, a l'exception des cylindres genre parabolique.
a. Si le denominateur l) est nul, en meme temp»
que les trois nume>ateurs JV, N' , N" ', la surface sera un
cylindre elliptique ou hyperbolique, suivant que le» differences (11)
sont Interieure« ou superieures ä zero.
200
Methode noutelie de ditcussitm
b. Si D est iiul et que l'un des numerateurs JS , JV, H"
est il i fferent de zero, la surface sera un paraboloide elliptiqtie
ou hyperbolique, suivant que les differences (11) sont inferieures
du sup*rieures a stfro.
c. Si D est different de zero, la surface est äcentreunique.
a. Elle sera 1'ellipsoYde , pourß<0, ß"2 — AA' <^Q.
ß. Elle sera l'hyperboloi'de ä une nappe, le cnne ou l' Hyper-
boloide ä deux nappes, pour Z><0 et ß"a— AA'>0. ou poor
ß>0, et cela suivant que iVC + NC + N"C" + FD est infe-
rieur, egal ou superieur ä zero.
17. 2° Le trois carres sont de me'me signe et tous les
rectangles ne sont pas dans l'equation (1). Dans ce cas la sur-
face n'est ni un paraboloide hyperbolique, ni uti cylindre hyper-
bolique, ni un cylindre parabolique; eile ne pourra etre Tun des
deux Hyperboloides ou le cnne que si Ton a ß>0\
Si les trois rectangles manquent daiis l'equation (1), la sur-
face est un elüpsoi'de ou Tun de ses derivees.
18. 3° Les trois carres ne sont nas de meine signe. L'equa-
tion (1) ne pnurra reprcsenter aucune des surfaces suivantes :
l'ellipsoi'de et ses derivees, le paraboloide elliptiquc, le cylindre
elliptiqite et ses derivees, le cylindre parabolique et ses derivees.
A. Pour J) — Q, eile expriniera le cylindre hyperbolique ou
deux plans aecants, ou le paraboloide hyperbolique, suivant que
les trois numerateurs iV, IV', N" sont nuls, ou qne Tun d'eux an
moius est different de zero.
11. Lorsque l) est different de zero, oii a Tun des deux
hyperboloi'des ou le cöne.
II. L'un des trois carres manque dans lequation (1).
(La surface ne pourra pas etre d'elltj/soide.)
19. 1° Les deux autres carres sont de metne signe. L'equa-
tion (1) pourra representer toutes les surfaces du second ordre,
autres que l'ellipsoi'de. Cependant eile ne donnera le paraboloide
elliptiquc, le cylindre elliptique ou ses derivees, le cylindre para-
bolique ou ses derivees, qu'autant que les rectangles, qui reufer-
inent les variables du carre abseilt, nianquent dans l'equation.
20. 2° Les deux autres carres sont de signes contraires,
La surface ne sera que l'un des deux hyperboloi'des, le parabo-
loide hyperbolique, le cylindre hyperbolique ou son derive.
des ttgnes et »ttrfnce» du second ordrr.
II Dem des trois carre.i manquent (laus 1 'equati o n ())■
21. La nur face ne poorra pas etre l'ellipsoYde, iii
«es deriies, ni le paraboloYde elltptique, m le cylindre
du Tun de «es derices, ni le cylindre paraboüqne ou l'un de ses
derives. L'equation ne represeutera que Tun nu lautre dea dem
hyperholoYdes. le eine , le paraboloYde hyperbolique, le cylindre
hyperbolique ou aon derivd.
1° La surface sera un cylindre hyperbolique, nu se i
de deux plan» secants, si Ion a Z>=0, JV=0, JV' = 0, K" = 0.
2" Elle sera un paraboloYde hyperbolique potir I> = 0. et Tun
ata moins des niimerateurs iV, iV', N" differents de kern.
3n Elle situ Tun nu lautre des deux hyperboloYdea ou le cÄne,
pnur D diSereiit de zito.
IV. L'equation (1) ne renferme aueun des trois carre>,
mais contient les trois rectangles.
22. Dans ce cas, eile ne pourra representer que Tun ou
l'autre des deux fayperboloYdes ou le cone.
V. Les trois carres et un rectangle manquent dam
l'equation (1).
23. L'equation ne representera que le paraboloYde hyperbo-
lique, ou le cylindre hyperbolique ou son ddrive (deux plana secants).
1" Elle ne dnnne la premiere de cea surfaces qu'autanl quelle
renferme an moins l'une des premieres paiissances des dem va-
riables du rectangle abseilt.
Si ces deux variables se trouvent a la premiere puissance
dans l'equatinn, il faudra e» outre que les coefucients de ces ter-
rae» du premier degre ne eoient pas proporliounels am coeffi-
cients des deux rectangles presents.
2° Elle exprime le cylindre hyperbolique ou son denvd dans
tous les autres cas.
ectangles manquent
VI. Les trois carres et den
dans l'equation.
24. Dans ee cas eile exprimera ou 1° le paraboloYde hyper-
bolique, si le terme dn premier' degre, qul renferme la variable
commune aux rectangles abxents, se trouve dans l'equation; ou
2° le cylindre hyperbolique, si ce terme manque dans l'equation.
Tk.il 3
902 Potior: Jfer/mde rvpiit* ptmr tcrtrt fts eqhuliims
XXIII.
Methode rapide pour ecrire les ifquairons aux axei
des ligaes et surfaces du second ordre.
Monsieur Geonjes Itostor,
Docteur ci «cieiirei ntathümaliqiiet , Menibre de in Smicli" dtt Scienrr«
et Art* do 1'lle de I» Riiunin» (Her dei lnden).
_
1. Lm metbork, que nous publioua ilaus rot artkle, e<t
simple et elemeritaire; eile etat ind^penrlante de la tiansforniatioii
des coordoiinees. Elle perniet d'ecrire imiuediatemerit, :'i l'aidr
des deirlveea, l'^qitation aux axes de l'ellipse et ilc l'byperbok.
I'^quation de Taxe de 1a parabole, ainsi que les eqnations aus
axes de l'ellipsoide , des hyperbolnfrles et des parabolni'des, Cw
rlsulfats s'obtienncnt de suite, tjuelque compliquees que soient les
üquations de ces courhes et de tes surfaces, et quelijue snient.
d'ailleur«, les anales des axes de coordnnnle*.
. ■
/. Etjiuitioii aux axes 4e Petfipse et de rhypeiiolt:
■
2. Supposons que l'equatiun
/^ y)=4"+ Ä^y + Cr1 + % + £^ + f- ü (1)
soit eelle d'une conique ä centre; admetlnns qu'elk ffoll rapporlee
a des axes de coordonnee* IncHnes entre eux d'un angle 6. Soient
&, y' les coordoiinees dun sommet; p, y Celles du centre de la
conrlie. Laxe, <|iti passe par co somniet, es) repregeirte' par unje
tfquation doiit k coeflicieut angulaire est
****** rito ilfeiN» *Mpi9QNi» A»MMm/ wlfc*.<\ 20*
La tangente, qui passe par le meine point, a un co^f fielest
d'incl'maison äjpd 4 i > „ . . x .. ,',* rt„ ,* \L ^
Ce#' «tax : tfrbit«* sdnt ^rpendfcuhfi^e^ >*ntr^e!W$r %& Wlfl
*fljuerrtf, letir* co^Wctetrts "attgtilWrÄ AVH^iit1 a»*r»h^fcU* ^^
tion de coudition cowiue : ^ . * i. • *! -.!■ *«• «- nr.i n.-ilisupVI
^ ^Wi1!!»^' v?™ T iuf ^A ;mo* ™*
(Tz—cimefr) ^«)^(/;Vi-«w^) (*'-/>)> (2)
qu'on peut encore 4crirqi . v^hw*\ vA tmt *.i.uv,vAW\i\w>-t k*w ^ «u
/V . _ »■ y /V,
* ' — p + (#'— 9) cos.ö JV«-? + W — p) cos 0 *
,:: .{/>:rce^ .(I)
que l'ou obtient en reniplac.aut dans l'une de ces trois dernieres'
rela^Qns les coordonn^ftr d^y 3^7 du 00&iib61rpar les variables coor
rantes x9 y9 est präcistimett il'Öquaflfoll' au* tixes de la cooique (1).
En effet j» »k'ligMi eeptfsenttffeifpar itäqnatlän <1) ftaslfei'pai"
chacun des points x'9 y*,et /j,vj, puisgu,e, ^>&r (2),scette 4quation-
est gatisfaite par les c&rdbni»&s:;de ce& Points; de plus, si Ton
reroplace dans cette öquatiön f'y, fx paf leurs valeurs respectives
VAy+Bx+D^Ay+Bx— 2Aq— Bp=2A(y-q) + B(x— p)9
By4-2tx+E = By+Wx~Bq^2Cp==ß(y--q)+2C(x--p)
et la transforme en
..t»-i|t V. T , '. "l\l 1 Mi i Vrt H'i^MIhI .\\
(B-24cos«; (y-9)*~ 2(J- C) (yy-q) (x~p)
et que Ton resolve cette derniere, on trouvera qu'eile se däconi-
pos* dans la* .^o>iiitioiMiich^\)rfeniieKdefr^ V ~ > \ > \
v XJ^ZA^fy(y^fy^tA'~*€)>{£^f) -•>« *»*» i*>t'
dfc(*-p) V (^-C)^<ü^*A*s«MÄ-2Ccos6)=0,
Pmttar: tielhodt rapide pour ecrlre tri equotiitns
(B-SCt**Q (.r-p) - (C- ,1) <3-7>
i (y ~ V) VJC— J)a+(Ä— 2Pcri«fl){ß-'.Mei>stf) = 0.
Donc icquation (1), qui est du seqond des1"«- rcjirewwite dem
droites passaiit par le centre et per le* siwuiieU; ilnne eile t
l'equation am axv* de la conique ä centre.
De ce qui precede, nötig dedutsnns cette regle bien simple:
Pour avoir tequalion au.r axes d'une conique ä centre,
tufftt de remplacer, dans l'equation de condtlion
de la rectangularite de deux droites
y = vix \-n, g — w-x + v,
m et m' respectivement par le* rapports
s-i __A
ou p et q deitgnenl les coordonnees du centre de la conique.
3. Si la conique est rapportee ä min centre, l'equation au
lAy+Bx ^W.r + By
y+XvQBQ j;+jcosfl'
e|, dans le cas d'axes de coordonnees rectangnlairei* ,
(II)
•^-yA-o.
//. Et/uation de Faxe de In parabole.
4. Admettons maintenaot que l'equation (1) repre'sente nne
parabole; dana ce cas eile pourra se mettre sous la forme
f(x, $) = (?, VA + xVC)*±D#+Ex+F=:Q, (3)
qui feit voir, qae toutes les droites paralleles a la ligne
yVA + xVC=Ü
ne rencontrent la courbe (3) qa'eb>iril aeol poiot; donc
v VC
■. • .. .} -".'*> * t • jr ■>.i:»is» ki ;■»■'. i««i|j lir/iii'.'fi'l ■» *»h<:j; i,«< «1 1)1»
est le coäfficient angulaire de Taxe de la parabole, Lp ^ptocfopt
d'inclinaiaon de la tangeote au sotnraet rf, y* est
^.# /V . . . > jirp'i -*t
m — — -77- 9
et, comme ces deox droitea sont perpendicnlaires entre elles, od
a la relation de condition
'+va-?v-(va+^)r*=0;:.,,: (4>
on, en aupprimant les appgnjts 4* <?'» #>': . * * ?*
(V^-wöVC)/,V + (V.C^foa«yf^)A=Ö» (V)
qqe je dis etre.Vtfqtialion, d$,fy*ß de ,1* pataboip. . .i(;w
En effet, <&t» «qtfatioii tfi prähMt» ifegrtf est Batfoßfctff,pifr
leg tcoprdonole«. x'+ g! ,da /lojninetr eVftttpflliente chfnQ.tintfdroite
PMfafft w* te #owwt!dP Jft^pii*^ n»ta fto»; *mm*w..miioiQ
l • . * r *
: ■ ;
«
»
£)le peMt Yecrife ...^ . ■.»•. ,:. ■.■*•
+ /»(v^ — cpf ÖVC)+ JBCvCr- cos0Vi4) = 0,
■«.■. -.i . ^ • . , ■ • .■ \'m • ,. ^
011
\) .-.« •. , ;■■/:■■■ k 1 l> ' . \. !•■- : v ": ! ■ V1:' :'■ !
eile repreaente donc tone droite parftlMte bv faxe ; donc eile repre*.
sente faxe meine de la parabole 63). . ;
Nous voyona ainsi^fr^ • u .. ^f.'.l'.-r j-.i •■ ., .-». :•:..,- '; %
Pour avoir l'axe de la paraöole; il suffll de remplacer dans
lä Maiion
l+mm' + (m+mOcos0==O
ii. »■ 1 i ■ . • 1 . i ■ 1 • . 1 ■ ■ 1 . • i • • 1 ■ «j, » ■}
m ^/ mf weepeeHeemewd pm ■ ±
t
Dottor: lleltode rapide peur tcrtre tn »m/nlkmi
.Si le coefficient /( du rectangle xy etait negatif dans l'equatiou
de I» parabole, il faudralt chatiger le signe de VC dans tuut CO
qui pr*cede.
5. Si les axea de cootdonneea sont rectangulaire*, lequatidtk
de Taxe sera
V*TW \VCf', = Q. (VII)
III. Equation* aux axes de Pellipsoide et des deux Ityperholoidcs.
6. Supposone quc l'equation
fbt,Stt)=A&+jty*4A^+§ti$z \ -ib'-.x i -wxg
+ 2Cr + 2C.I/H- 26": |- F= 0 (5)
represente une aurface ä centre (FeHIpsoTde, Tun ou l'autre des
ileui byperboloi'des , ou le cöne du secoud degre).
Avant de calcuter l'e'quation aux axes de cetfe surface,
proposons-nnus de deferraincr l'equation du plan langen t au point
a'i y' , i' de la surface.
L'equation de ce plan seta de la forme
B(£-W + biy-H1) + r(;-:')=0. (6)
l'ar le point x', y' , i' menona un plan parallele an plan dee
xi; il coupe la suoface (5) suivant une courbe, donl la projection
sur te plan des xi est
/\x,y',z)~ Ax* + A"t*+2B'ix ■
+Ü(ßY+'r-')^+2(%'+C")i + ^yit + 2Cy + F=0; (7)n
et le plan (6) suivant une droite, qui sc projette nur le plan des
*(x — x')-\-c(t— 1') = 0.
(8)
La droite (8) devant etre tangente i la courbe (7), au point
x' . *', noua avons la relalion de conditio»
(8)
Ln conpant
parallelen) ei
t la surface par un plan, mene pat le point x', y', it,
:s vi, nous trouverons de meine
I
9
Substiroant dans (8) les valeurs de o et i tlrdea de (9) et
(IQ), neue obtenonV » * f .
[fear l'lquation du plan tangeni a la surface (5) aa point x4, y\ z*.
Cela pose, supposons qtre i'i g', & soient \ei coordonnees
d'uo sommet de la siirface (5); p, q^n ce||es da centre de la
surface. L'axe, qui passe par ce sommet, est represente par deux
equationa, dont les codflicients angulaires $ont ' ' ••
- _ . y - SS — J 9
y i'-r , y% if^r
er cette droite fest pctpendiculait* au glan tartgent (Jl); par con-
slqnent, nous avoos les egalitär de condttion
/V 7V :
dr-p+iy4 — 9)cosv+(«' — r)cQSft («'— j*)cosv+(y— q)+(i4 — r)cosil
(*'— p)cosp-f» (y*— <7)<?osi+(i'— r)*
daos lesquelles la suppression des accents aux coordonnees
**> g4$ *4 donne les >equations
(x— p) + (y — 9)cosv "|-(z— r)cosf* (a:— »)cos v+(y— ?)+(*— r)cosA
• »
~(:r-p)cos^+(yr-0)cos4+ (z^r)* , \\M" ,.
que jfr dis 4tre tesdquatieasiaut'afte* de lä sarface (5).
IX'aberd la llgne' representde par les Iquatious (Till) passe
par le/pqijit at* yW, eins! qua par le centre pijtj'xi car les
eqoattbns sont satisfaites par les coordonnees de ces points. Je
die der plus qee bette« Iig»e.»a1s eonpos e de trois droites.
u
'#». '
Lee eodfSeieDts angqlatms de la droit», qal pa^ae p«r leei
'' a ß
peiils -#*.* j^W;' ypvf** '^Want repr^sente^ fnt -v ^/«otarydü^
Ed efet» oous avons
• : . • «■• •
20« Dattor: MilhoAt rapide ptur ecrlre tet eqxmlmn
f',. = Ax' + B»s' + B'i'+C,
f'y- =B"x' + A's' + Bi' | C,
/'.•=«V + «}' + .<"= T€'\
Mi nteme teiuud que
/f;> + «".-/+ fi'r +(.'=!).
B'piB, + A«rr (?"=«;
il vienl, pur suile
/>,. = il(i'-rt + B"(,j'-f,) + «'<;' - »,
f,. = B"W-'p) +.)'(j'-,) f «<:'-r).
/V = B'(x'-p) +«(,'-,) + *'(.' - ')
Substituuut dun» les equatifiux qui |>rc< .■■It-ut (VIII), puis
ulacuut tes ra|>p«irU
*' — V t.TjL
nnus triiuvoTisle« eguliles ile rafiporU
(1-2)
< + fl"ff + g'y _ B"u\-A'ß fgy _ _fiVf Bß+A"y
a -|-jJc08V + 5'COSft i;(.-(isv-|-(3 -f- ycosA ucosfi-f (JmsA f y
Nasa representonH par £ chaciin de ces rapports egaux. Onlm
mint par rappurt mix iticonnues a, ß, y. nous en dediiisin* k
trois equations du premier degre
(B"-Scosv)c< +(A'-S)ß + (ti-S™*l)Y = Q, / (*$
■
l'es Iroia equations du premier degre duivent avuir lieu, entre
lex. <leux rapports — . , il faut ilonc que- l'une d dies s.-.ii une.
cunsequeoce, du eysteme des dem autres; cette restriction exigo
que leur resolution simultan ee fou misse des valeurs a, ß, y, dont
le deuominateur commuii aoit nul. On trouve aiosi l'equation de
eondition
-**&>**»» - JtVflUMrw ****** wMkmdw**. 000
(J-Ä) (A'-S) (^"-S) + 3(Ä— ScosX) (Ä^Sco8fi)(J5f^-' S eo* v)
..*i
qui, ^tant developpee, devient
S* (1 — co«*i— coe'fi — eossv^2cosilco8f( cos*)
— S* [A*m*X + A'*\tt*fi'+ /i"i*»^ + 2»(eo#pe»M^coM)-
+ 2fi*(cosvcos 1 — cogft) + 2fi"(co« jlcosp — cosv)]
— 2(^tf-.ß'£") cos 1— 2(^'B'-* Ä"£) cm ft — HJPB"-BB,)cm v]
1
C#tte ^qoation est du troisieoie degr4 en Ä; eile (purpit ppur cqffe
inconnue aujiliaire trois raci*es, qui touteslqs; trois sont.r^ejle*.
Eu. .snbatityaot ces trois valeprs .suceessivement daos 1e^ äqiif-
a ß
tions (12), od trouve pour les rapports :-> ^'ttois Systeme* de
raleure reelles; donc les äquations (VIII) represeiUent trois droi-
tes, qui sorit les axes de la surfaee (5). Ob en de*d«it la regle
suivante:
Lorsqtfune surfaee du secend degre a csrtire est rappor-
tee ä des coordonnees obliques, pour avoir les equcdions aux
axes de cette surfaee, prenez les dertvees fx> ff'^p%')par^rajf
port a x, y, % du pr emier membre de tiquation de la surfaee;
divise% ses derivees respeeiivement par
ar-f-ycosv + icosp, arcosv+y-f zcosk, xeosp -\-y cos l+z;
. 9
egalen enlre eux les trois quotients obtenus; puis, dans les
equations resultantes, des variables x, y, % retraneke% les coor-
donnees respeetives p, 4, r du cetUre de la surfaee.
,7. Si les axes de coprdonhe*es soat rectangulaires et passest
par le centre de la suriace, il suflit d'^gaier entre eux les rapports
Daus le eas oü 1'origfM «'est pais le ceetre de la surfaee, il
:2W Ütttor: iltlHwte rapide pour ecrire /c» e^uatlma
faudra encore, dansces equatlorrs, diminuer x, y, i des coordonnees
Sp q, r du cenlre.
On voit donc que
St f(x,y,t) = Q est lequation ffvne surface du second
ordre ä centre, rapporlee d des axes reclangutaire* menes par
le centre, let egalite»
ts-h-.£±
Mtftont les eeuatioru mix u.ree de tu turface.
ir.
EijuatioH de, Cuxe des sitrfti
degre ä venire.
8. L'equation (5) rcpresentera une surface de reVolution,
Ir« trois plans princ'tpaux que fou missen t les trois valeura de 5
tirtfes dt? (IS) et substituees dans (Ii>), sc reduisent a im 8«il
plan perpefulicutaire ä t'ase de revolutioii. Celle cnmlitioii Sera
retuplie dans le cas, oü les coeTucients des equations (13) sont
prnportioniteU, c'est-ä-dire oü Ton a
A-S B"-Sc<>sv B'-S™*n
-Seasi
A — S
B'-Scos
A'—S
B-' — Scnsv
~~ B-*Sws\
B'-Sr.wii
- A"-S'
Suppo^pna, pour plus tte stmpticite, que les axes de roof.
iees siilciil reclangulaires j uos egalittis de cond'ilion deviemienl
A—S B" _B'
J" —A'-S~ B'
A-S B"
el donnetit les relatious »«cessaires ei süffisantes
B'B" .. B"B ... BB>
--ß-=^'--Sr=^'--£,r=-S
(10)
pour que la surface (5) seit de rävolution.
Or, dans ce cas particulier, les equations (13) devicnneut
B'B'a+B''Bß + BB'y~Ö.
'» ■ c4»
-m€'mm\4m\fl0m*i4l\ ßmft^^MsmAwAfr,. .\ $&
s4N§aiJ*»ii 1> ttni^'fli|jn^ (*>/j; ,(1/ i Mlioitiiif)»'» >»^1 *>!ip -tili '»[ :*►
qai est I'^quatlon du plan mene par le centre perpendici^fetywt
ä Taxe. Les equations de Taxe seront donc
ß{x-P)=B'(!l'-fl)?=B"(xnT): ....... .scsa.fi
Nous avons ainsi la r^ele suivante:
LorsqtSune surfaee de revolulion du secönd degre a centre
est rapporlee ä des coordonne'es rectangulmres menees Pß^.ff
centre (p9 g,r), on obtient les equations des axes en multipH-
imt i&"&ffaenceä?)e^pf $ B,
'Ä^»^ «T€* dffahmt les prötoH* 'mr&vu*^ ■■■■*" v.vv- ■*<>*
9. Supp<wötis que r<^o*ti<^(5) f^pi*sent<> tHiti - oft 1'*trtr6 riefe
deux paraboloYdes. Dans ce cas, on sait que les trois Equations
QU
se r^duisent ä deux Equations compatibles et distinctes , et reprl-
sentent deux plans, dont l'intersection est preci seinen t Taxe du
paraboloide. La drohe, men<£e par l'origine parallelement ä Taxe»
est d^terminee par les äqnatinna—
(<4Ä— &B")x — (J'Ä'-Ä"Ä)y = (4"Ä"— BBl)x. (18) '
Mai6 cet axe est aussi perpendiculaire au plan tangent (II) mene*
par le sommet; par cons<£quent, nous avons les relations
(XI)
1 COSV COSft
(AB-B'B'')fs>— (A'B' - B" B) f'r —{£'&"- BB')p*
__ 1 cosil C08V
— (A'B'- BB")fy + (A"B"-BB?)P* + (Ab - WB"jf$
1 cogf* coai
~ (A"B" — BB')fw + (AB-B'B")f'? + (A'B'-B^B)^'
Or je dis que ces 4quatioos (XI) , avec suppression d'aceettt«
aux.coordonn^es, sont prtfcbtmqtit qelleajle faxe du paraboloTde:
ca^ll est aise de vofr qa&la'drdife, (fu'eftas representent, passe
par le. ^oinmet x49 y* x', et se trouve Ätre f perpendiculaire au
■^•jI' :-;i»;'t-
Ar '<i'- ',\i'.
!>■; ' *•«
10. Lorsque les axes des coordonuees sont rectangülaires,
le/dquations de Taxe *fe r*düisent a :' ■ - • > <)
(4 J3- Ä'Ä")/1', = W'Ä*- £"i*)A( = XA»B»-BB*) /'.. (XII)
-\\i\V." ■'.» ■/•n.-. v > .'. "i> ■■ ,", ".am\'iÖ.i\ i- .■ .1 - ; • * *\.\ *
A Pour **rtr Tax* du parabolo'ide y U sufßt de wqJMpfter »ft*
trois derive'es du Premier mmbx* de l^ßUon por te?xdfglf-
rences respectives AB—B'B"* A'B'—B"B, Ai,Bii—BB'y
et <? egaler entre eux les prodmls obtenus.
12.' Si le paraboloTde est die r^voluflön, 'tei dquations de
p» sbnplifieoti cat .tos 4gajitep de condjtiaa,
, B'B» Al B"B ... SB'
i~B^?s4,--rBT
//
MJ
les ehangent en
>.
Bf,= B'f'y-B"f't.
(XIII,
• • . ' ■ i )
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•V*:-..l
Crmntrt: Sevt NetAfiile tHe Bittpsr tu rectfflciren.
■ '
Neue Methode die Ellipse zu rectificiren.
dem Herausgeber.
Die bekannten Methoden zur Rectification der Ellipse sind,
namentlich wenn es um die Ueelilication , einzelner Bogen der
Ellipse sich handelt, immer beschwerlich, und selbst, insbeson-
dere der Gebrauch der zu diesem Zwecke gegebenen unendlichen
Reihen, etwas misslich. Ich babe daher schon vor längere*
Zeit darauf gedacht, eine Methode zu finden, welche, nicht sehr
beschwerlich in der Anwendung, zugleich vüllige Sicherheit dar-
böte, und namentlich auch ein Mittel an die Hand gäbe, in
jedem Stadium der Annäherung die (jrüase des begangenen
Fehlers sicher beurtheilen zu können. Was sich mir aus meinen I
desfallsigen Untersuchungen als das Zw eck massigste ergebe» hat,
will ich jetzt mittheileu.
Die beiden Endpunkte des z
Ellipse seien .-(„ und .1, , und die
die Anomalien «„ und «, bestimmt. Den zwischen den beiden
Punkten A„ und At liegenden elliptischen Bogen denken wir uns,
indem wir voraussetzen, dass u, grösser als u0 sei, ,von A0 an
nach .(, hin immer nach der Richtung hin durchlaufen, nach wel-
cher die Anomalien von 0 bis 360° gezählt werden. Die Sehne
der Ellipse, welche die beiden Punkte A0 und A, mit einander
verbindet, sei j0.,, und rn>t sei der mit dieser Sehne parallele
Halbmesser der Ellipse, welchen letzteren wir uns immer von dem
Mittelpunkte der Ellipse aus so gezogen denken wollen, dass er
mit der, als von A„ aus nach A, hin gehend gedachten Sehne
j0;1 gleich gerichtet ist. Alte im Folgenden vorkommenden Kreis-
rectificirenden Bogens der
; beiden Punkte seien durch
ürvntri: Ntttc MM»0* <tft BMpt« %» recff/Mren.
bogen nehmen wir in T heilen des der Einheit gleichen Halbrae*-
niers ausgedrückt an.
Nach TW. XXIV. S. 374. S. 37a ist
,ntl* = 4sin'(Ho - Wl)«[a«sinJ(tf0 + «,)■ + 6*c.
nnd die Gleichung der Sehne
von bestimmter Lage, aber u
ii(«o + «i)"l.
V, ■ dieselbe als eine gerade Linie
inbestimmter Länge gedacht, iet:
Also i§t die Gleichung des Halbmessers ru,t, welcher der Sehne
in,, parallel ist: , .,
6
y = — - ««>ti(»n + Mi)i
und bezeichnen »ir nun die Coordinaten des Punktes, in welch em
von diesem, nach der oben gegebenen Bestimmung gezogenen
Halbmesser die Ellipse geschnitten wird, durch a\>,i, JHuti »o
haben ivir zu deren Bestimmung die beiden Gleichungen:
('«')" + C°s")"=1- »■■=-;*.-.'»»«■*>+ i)s
ans denen »ich mit Beziehung der uberen und
auf einander leicht ergiebt :
= ±osinl(H0 + «,),
= TAcoSJ(,
wo es sich mm fragt, welche Zeichen man zu nehmen hat.
diese Fuge zu beantworten, bezeichne man die Coordinaten der1
Punkte A0 und At respektive durch x0, tjn und xl , g\ ; so ist
bekanntlich.:
s»o. y0=bs\nv0
«i- Si =
Mittelst einer einfachen Betrachtung erhellet auf der Stelle, dasa
y^,, positiv! oder negativ ist, jenacfidem Si>Sn "der g, <^j/9 ist,
wobei man immer die oben rücksichtlieh des Halbmessers rart
gegebene Bestimmung festzuhalten hat. Also ist #„,, positiv oder
negativ, je nachdem ,, ; i
frrftlp» JttMB mler *4llA, < MINrlft
d. i. jenachdeni
m-.li n. p isina, — sinwo > 0 oder ein «, — sinw0 < 0
ist. Folglich hat y0,, immer gleiches Vorzeichen mit
■ ■
sinu, -BinÄo=2ftiiii(wf — ^)cosi(w,+an),
*J»«^weil siaJMMiu) of«tibitr •wfcipoÄtlf 4#t*, felf Mtoii^^4jf:(
Daher piuss man im Obigen die unteren Zeichen nehmen und
demzufolge
*oa ä — asinJCtto+tii), y0* = 6co«J(«b+ •*),! .1M|§ ,m,
setzen*
■■■■» • ■ • «£' . * „ lv ■ i-
Well
M, *6 lei naMi^vonctehenlo^fi'Foi'inelnr 7 ,f.i-..
r0,i*^a*sini(««o + «i)*+**co8 i(*o +«i)f, : ,,iJi!
rfxrf '■"•'• ■ ' ' '■?•■■•
also nach dem Obigen :
■ i l % ■ ■ J •''*,! • '■ : ■ *
i0tl* = 4r0,i*s.ih i(«o - "ir »
* • ■ ?
und folglich, weil sin {(ux — tr0) stets positiv ist:
-■ : '■ ■.'• i :'• : : ■
: *on.= 2r«««wi("i7-«o)-
> i I- f ■ i .■ : f •■'»»'• ' l
Denkt map sich, dass die Sehne #0»i entweder In4 Äie Berüh-
rende der EUtpse in dem Punkte Au oder in deren Berührende in
dem Punkte Ax übergehe, so gehen die vorj^dpeden.CofpdtnatgJt;.
offenbar respective in
— asintio, b cos Uq und — fisinaj, beosui
über; und b.f zeichnet man nqp die Anomalien'' der* Punkte, in
denen die Ellipse von den mit den beiden in Rede stehenden
Berührenden parallel gezogene1^ Htflbfttesserh • gescffinftfftii'' wlrtt*
durch v0 und vlf so sind die CoorcUirnJeD dieser. Durchschnitts-
punkte bekanntlich acosv09 b's\nv0 und ocosci, £sint| ; folglich
ist nach dem Vorhergehenden:
cosr0=— sib«u» sin i?0 =005110! und cosi?i = -ifHF«1,»s^nri = rns/f1;
npittelat weichet .Bpnwjtedie zwis*l*n<Q!,u*d:t3$0r? Iwgflnd«» Ano-
malien v0 undi^i -Jimncr lelph| und .abngfaileifa^^siitigk^iibaft!
stimmt werden können, worüber hier nichts weiter zu sagen ist.
Die Differenz t^ — Mq der Anotnahen «q und U| wollen wir
jetst in eis« beliebige Anzahl Hgleichfcr Thelk itlleite*» triefe»,
jeder t sein mag» so dass :--,!■ ;• . i, > ,; ■..:.. ü ;/. ,.,j,
ist- Die de» Anomalien : .. • , ,; ^, li. ' ,.,-■■ .1-»- . i !:i, ;
ei^edve^e SeM^^^ dar J^B«.*«ohr,d«w*
!-fiii JriUi'i4!-' •).*, O'X ir>7'.!i. ■ »il> :i.»'»D #■ : i :-'i:i ..■-!!.■ \ J.'J
*0> *J » *«* Igt ••*•*■— 1 , ,
mi: \« ■.■» i
und die diesen Sehneo parallelen Halbmesser der Ellipse respec
tire durch «* * ■'■■ - " -*
-\ -l • I * :*. „.- r.,
rO » Tl » . rS f T9 » • • • • r«— *
i ,* r
bezeichnet werden. Dann is^ nacl^ den Qbigen :
4o=%2r0sin \i9 s% =2r, sin vif *,— ßrg*ia4*>.u^f f^f*=?2r*-*sin ü;
'Älsp: • ■ ; v
= 2(*o +Ti + r% +r, + .... + Tn-i) sin y,
und folglich ...
*o + *i + H + H + .... + #«-1
r
_ ■ • f • ■
/ % ro "fr ri + **■ + r» + • • • • + y»-i «inj»
1 1 i
t> ♦
also nacfcr dem Obigen r
• #
*6 + *i +*» + *3 +•••• + *»-i
•■» • ■
, v r0+n+ivfr3+- • + *'n-i sin \i
oder, wenn wir der Kurze wegen
Sn = *0 + *1 + *2 + 53 "^ • # • • "J" *n""1
setzen :
c / \ r0 + ^ + r2 -fivf. . . . + r»_i sin ji
»«=(«i — «o; • ~ • ""jj- •
Bezeichnen wir nun den durch die beiden Anomalien «©, *t
bestimmten elliptisehen Bogen durch JE»0, Bl, so ist
imd1 offonbWr ^filr ein ins Unendliche wachsendes w, also für ein
der Mull sich näherndes i:
Eu0, », = Lim Äo ,
folglich nach dem Vorhergehenden:
£•., ii, = («i — «o). Lijm — .Lim-rj- ,
Gr*n*r+; //tue Mettoä* die EMp* «* recHM**** %Vt
also , weil bekanntlich ...
■ ' ::: * .
* 1 *
•** ... :::.i . -i.nl
.i>
: t>> .r
r . ., \ I ;«. ro+ri + r2 + r3 + ••-• + fW»i-i:iiii*ii/.
A«0,i«1=(i«i — «oJ.Liim
Geht die Ellipse in einen mit dem Halbmesser r beschriebe-
nen Kreis über, so i«t s i"° °
r — r0 — ff — f^j — r3 -r- . . . . — r«— i , -
also . .. . ..;, .. \.l> ,\ ^»-üi ;M -■ •■}•
rO 4* f| +<ra + r3 + . . . . f fTn^L «•
— — =r,
ii
und folglich
wie es bekanntlich sein muss.
Aus 'der Gleichung k ■•• i V-1 ' i;v>
aL',. = (%-^).Li«^n-|"by;--'>:^-:,!'^:"
71
ergiebt sich unmittelbar der folgende sehr bemerkenswerthe Satz:
Die Länge eines elliptischen Bogeos ist gleich dein,
die Differenz der Anomalien seiner. Endpupkte mes-
senden, in Theilen der Einheit ausgedruckten Kreis-
bogen, multiplicirt mit dem arithmetischen Mittel allej,
der Halbmesser der Ellipse, welche den Berührenden
der Ellipse in allen, in stetiger Folge gedacbtenPunJc-
ten des zu messenden Bogens parallel sind.
« ■
1 V i ''; ■
Durch alle, durch die Anomalien l'- VO
ei. • t»
n09 «o+i, *b+2t, tr0 + 3t, ...., tto + m
t 9
bestimmten Punkte der Ellipse wollen "wir jetzt an dieselbe Be-
rührende ziehen, wodurch ein ausserhalb der Ellipse liegender
Polygon - Theil entsteht, wie durch Taf. IV. Fig. 8. naher erläu-
tert wird, aus welcher Figur zugleich auch von selbst die Be-
deutung der' Zeichen
; , ,. .".. ■ . i r(;,|i. ■ ■ ■ 7 ■ ". ■ " ^. 'r. .'i :> f1.Mli
erhellet Die den in Rede stehenden Berffhtend&n4 parallelen
Halbmesser f dej Ellipse mögen durch
Theil XXX« 15
0o» 01» Q2» Q*$ ••••» ff*"
bezeichnet werden. Dann haben wir, Aach einer in der Abhand-
lung Tbl. XXX. Nr. II. S. 26., aufweiche uns der Kurze wegen zu
▼erweisen erlaubt sein mag, bewiesenen Formel die folgenden
Ausdrücke r ; ' ' -r*
i.ii. 5
tfo = fc>tangl*>
Uli i- .!•■!■■■ ; . t ivni» *
s ■
tf, ssfctanglf, ox' ss frtangt?; , ..sVl/
<f»=0atangii\ oy = o*tangii;
^s = ft»tangit, V = eatangi»;
U. S. W. U« 8. *W.
<f«-i = 0n-itangit, 0V-i'= 0n-itangji;
<fa'=0jitangji*);
«»(.
also:
=(>0tangi»+2^tangU'+^2tangJ/+— + c^«~itangit + ^«tangU'
oder
. ^o+(^i' + ^)+(<+tfa) + (tf8'+^) + -- + (^-i'+tf«-i) + ^
= 2(0o + 0i + 02 + 0s + • • • • + 0»)tangji - (^0 + Qn) tang Ji,
- : ) •
• l
lind folglich:
, __ v 0o + 0i+02 + 03 +--+0» tang^t
2* n
0 2n t Mi-«0
4 n
älqo njach dem Obigen:
*>' : '>.i
*) Ich mache hierbei aufmerksam auf die jedenfalls beachtenswer-
then und eine Analogie zu einer bekannten Eigenschaft des Kreises dar-
bietenden Gleichungen 4
Grnntrtr «tut mttkoä« Ol» «Mftrar «* retcM/MnaL 33ft
«o + (<*i ' Mi) + («*»'+ ««) + (V + »s) +.-•• + (tf»-i' + *.-lW*«'
» ,„ ^ fc> + e» tangj* «■■ •- .»«
> •
■ • i
I.. !.
oder, wenn wir" der Kurse Wegen
setzen :
H^fa — u\/to + Qi + Q* + Q3+ --• +gn tangjt'
1* ■. . i ' !. r-i'vf 1>*J «i* ..toi
Bezeichnet nun wieder EUo, ttl den durch die Anomalien u9ftß^)
bestimmten elliptischen Bogen, so ist
und offenbar für ein in's Unendliche wachsendes n, also ein der
Mull sich näherndes i: ■ ' , ■ ; . ,, ..
jB»0> «l == Lim ^» >
folglich nach dem Vorhergehenden:
•) In Taf. IV. Flgi * i«* i"«
*'+y ><; + '',
<*'+«>« + «',
also, wenn man auf# beiden Seiten addirt, aufhebt, was sich aufhebe},
lässt , und
, « + /*+?+?+* + £==/?
setzt: ■•• ■ '•*-*'• — «l" : ■ •«
A + B > a+ö+c+d+e+fi
Die Anwendang hieryiMi ittf htatia** Linien su machen, bleibt dein
Leser überlasten.
15»
Efll Orniieri: Nene Methode rite Ellipse %u nt
:Hffclren.
Wrfl
gl ;i ' COS Jt
ist, so ist
Lim'™6*' Lim""" ' 1
fei,
ii .'. z Lim cos !,i
und «eil ferner offenbar
2»
ist, so ist nach dem Vorhergehenden:
....+»
oder
■+(.. «+Ti
r #•...* i;,,, JPo+Ci + 0a + ft) + --
*■«„, ii, — («i ti<i) ■ ,J,m | n + 1
(ii, •%) LilBPo + P>+P« + ea + -- + *B ,
Um(l + ;),
»Isoj weil
Lim(l + -) = 1
£«„ U| ^(t(|— Uo).Lira
» + 1
woraus sieh ganz derselbe Satz wie oben ergisbt.
Weil nach dem Obigen
&,<£*„,.,..<■£.
ist, so sind
S. = («.-«o)-
■"o +ri +*a +*■+■■ ■ +*■*-
^. = («,-«0);
» • * 1 . • > « • / Li
Grunfirii Sien* JEMtaAr Oft.EUfpse *u reettflcirt*. 221
jederzeit zwei Gränzen, zwischen denen der elliptische' fiogeu
Eu0,Ul liegt, und der Fehler, welchen man begeht, wenn man
eine dieser beiden Grannen als einen Näherung» werth des Bogens
EUo, «, betrachtet , ist nicht grösser als die Differenz 2n — <S«.
Ein noch genauerer Näherungswerth des Bogens Eu%, u% . a^,(e'ne
der beiden Gränzen SHf 2n ist das arithmetische Mittel
■
Sn + 2n
2 " :i
zwischen beiden, wo der Fehler offenbar nicht grosser als
2n — Sn
2
ist.
Um sich dieser Methode bei der Berechnung t&r Länge ellip-
tischer Bogen bedienen zu können, kommt es hauptsächlich dar-
auf an, dass wir zeigen, wie die Halbmesser
Co» Qi f Qt> &» •••• 0»
und *
ro» ri» *"a> *a,.... r*— 1
mit Leichtigkeit berechnet werden können^
Nach der Abhandlung in Tbl. XXX. Nr. II. 8. 26. Ist aber:
0O = Va'sin «6* -f 6a cos t*0a , v
p, = V^sin («0 + t)a + 6*cos («o + £)*,
pa = V^sin (t«o + 2i)2 + 6acos (u» + 2i)*,
p3 = W sin («o + 3t)a + 6* co« (% + 3i)* ,
U. 8. W.
p„ = V a2sin («o + ni)2 + b* ccjs («o + ni}2 ;
t - i "■
.-
und nach derselben Abhandlung S. 14., oder auch nach dem Obi-
gen, ist: , \ *
r0 = \Ta* sin (*0 + Wa + 6* cos («oV $* ,
n = V agsin(iio+|Q»+6gcos(i£^t)g,
ra = V a2 sin (u«, + |t)2 + 62 cos («0 + !^* ,
ri=Va* sin (t/0 + it)2+ 6*cos (*0 +yj» , ,
u. s. w.
Mi
>— I ... .. I I .
t trauert: Nene Vttt/iode die Ellipte au recti/tctren.
Setzen wir aber
so können die zur Bestimmung der Halbmesser
t»o- ?i> «i> Ca-
errorderlichen Formeln im Zusammenhange mit einander auf
gen de Art dargestellt werden:
r0 = l y 1 ^eac<«(Uo+ 1-5)"'
(., = ay l-t;acos(K0 + 2.|-)»,
r, = fly l-^cwK+S.g-)»,
Pa=:«y l-fi'co^tto+^.g)2.
u. £ *. •'"
j.-i = «y l-e*co»(»„+(2»-2)j)",
r,-, = ay l-«»».(n> + (2»-l)i)«.
l-e»co8(«o+2«5)»-
Berechnet man dl« HflhWInkel ' '
°?oi ""lf "'»i wa '
mittelst Iftm ff orWeltf:' ' ' "" l
fol-
»\ . . . Ä t
sin a>a=ecos («o +2 . jr), sin w8=ecos (üq + 3.») ;
. .. i ,,-> .
«. . : : - i
8ina)4=ecos(tt0 + 4.^), sin «0=6008(1*0 + 5. ~);
•u. s*-> w: ;■•' v " \v
•iDa>tfl_a^:eco8(t/()+(2n— 2)j), siD<ötn^i=«co8(tio + (2n— 1)^);
«ip maespftm (t*> + (&*£};
so ist:
Qq = aC080>0> FqISOCOSOO!^
r
Qi = aco8g>a> rt = acoso99;
< ■ i ■ » * ■
•'•■.- . o ■■ :
(fa = acosa>4, ra = aco8co6;
q9 = acos w6 , r8 == a cos a>;
a. 8. w.
Vi-««t
ü
o,»_i = acos4»2n-s? rwi = a cos <o%n-\ > x
^n=aC08Q)2n;
: . Ai
wobei vorausgesetzt worden ist, dass die Winke!
00o, C01, CÖj, W3, C04, .... 092«
absolut sämmtlich kleififlr #|? J)©0» _gonojpmep forden sind, was
offenbar immer verstattet ist.
Wenn man die Differenz u^ — w0, nachdem' man sie in n gleiche
Theile getheilt hatte, um zu einer ferneren Näherung überzu-
gehen, in 2n gleiche. Tkef\fy ÜKÜt > so dM die, Formeln zur Be-
rechnung der Halbmesser, die wir jetzt mit oberen Accenten ver-
sehen wollen, die folgenden: . . ,
Po' = a Vi — c2 cos Mo2 = a Vi — c*costio2,
r0'=za\ 1— e^cosCtio+l.j)2,
9l'=a\ l-.«^s(|*o4ft^^d\rk^^*08^+1-^
r/scV 1 — eacos(t*o+3.-r)a,
,..'i . ■ v .i
r^^ay 1— eacos(tio+5.j)*,
Pj'zraY l-e*cos(tio+&f jft =r»\ ! " «*cos(«o+3.^)»,
'«•V"l-
eacos(M0+(4n-3)j)2
• . ' « 4« 4
\
l-e^cos(Mo+(4»^-l)j)a,
1 — c2cos(tio + 4nr)2 =oV l-eacos(M0 + 2»«)»;
also :
»* > *. \< » V • .
* « •
• • ♦: t
\l»»>«» J> I » t * I«»» y ■* r I 1 1 I ■
"SI I!!-.- iL .. V=:«V 1"""^*C*8(tt0 + ä-I^'
4 - ■ '4'"
r*' = ay l-«*cos(oo + 5.j)«,
fi» — rl» *
• i
*■ o 14 -..* V,= aY 1— ^co^^4-7,j^,
Q4f = Q%>
*
£\
i
II. 8. W.
•'. -f ,; v.-..»'«1'<\ I MTT^'t
ran-2' = a V. I.j— e*cos (ti^ + (4n — 3) j)*,
r«n-i' = a Y 1 — «2co8(uo + (4n - 1) j)*,
Hieraus ergiebt sich der für diese Rechnungen wichtige Umstand,
dass man bei jeder neuen Näherung die ganze bei der vorher-
gehenden Näherung gemachte Rechnung wieder benutzen kann,
was natürlich für die Abkürzung dieser Rechnungen von sehr
grosser Wichtigkeit ist. Besonders bemerke man auch/ dass
nach dem Vorhergehenden immer
Qo' + ei' + Pa-' + ßs' + •••• + eaa-a' + osM-i' + oa*'
= (»O + rl +»•*+•••• + rn-l) + (Qo + 01 + Q* + • • • + f»-l + Q*)
tot.
Um ein Beispiel zu der vorhergehenden Rectification der Ellipse
zu geben, wollen wir
a = l, b = i, c» = {, logc = 0,9375307 — 1
und
110=17°, i*1=29°, ti1-tt0=12°
setzen. Nehmen wir nun im Obigen » = 6 an, so ist t = 2° und
\i = 1° ; also :
. „ t
«„ = 17°,
«o + l.i = 18»,
«, + 2.| = 190,
i •
«0 + 3.1 = 5»ö,
«o+4.J = 21o,
«0 + 5.5- = 22°'i
«o+6.j = 23o,
•■ ! I»" SJ
. i
»■ ■ • • •
%
I * • T • ' '•■ \ »
ermnrri; Kt«i MäMotie sVe Slllpit im rtcüßcirtK.
«„ + 7.j=.24°,
«„ + 8.| = 25».
«„+ 9.£ = 26»,
„„■fio.! = -n».
K. + 12.j = 29°.
K-«l>
Mittelst der im Obigen entwickelten Formeln findet man
fl»
luerst :
J0 = 55». 54'. 45",6 ™">
o>, = 55. 27. 2,8
vim.
m, = 54. 58. 9,0
oo, = 54. 28. 7,2
o, = 53. 57. 0,3
löi
«., = 53. 24. 51,1
o>, = 62. 91. 42,2
>, =92: 17. 30*
», =61. 42. 36,4 '
co, = 51. 6. 44JS
'
" »,„ '= 60. 30. ■' 33
i '.i ...... Ü,j ;='.».: 192;» >4,8 <
»„='49. 14. 21,5 "*''
'vi
und hieraus ferner: ,
ro = 0^«7114».i 1 « = 0,660496»
r,= 0,9811483 ' »,=0,5740171
r, = 0,5960260 : ' «1 = 0,9884897
r, =0,6116171 0,-0,6037406
r4=0,627799] », = 0,6196406 .
r, = 0,6444396, «, = 0,6360661
3,6281401 - ' »,=0,6629010
9) 0,804690*.': =. i"..i. 1 ,..- 4.2353109
." * 0.7058892
.»» = x..-> 1 „» —0,1011131
0,6047721
j..j .r-., ■,.:■» Wbe 41,3604606 ' :
Q6 «S&6529Q10
, UJ3356S
12) 0,1011131
Es ist also :
., ■ i \ ■ ■ • ' . •
ro + n+r*+rs + U+S* ^Q.6046900
o
P0+Pl+g2 + g3 + P4+P6+g6 Po + fo 3l0fi047721
f
und die Logarithmen dieser beiden Grfissen sind respective
. 0,7815328-1 und 0,7815917-1.
Nttn ist in Theiien der Einheit ausgedrückt:.
4*= 0,0174*329.
log ki= 0,2418773 -2,
also:
log^;-0,9999780-l, lQg^g^»OiW00442;
folglich :
0,7815328—1 0,7815917—1
0,9999780-1 0,0000442
ii.iui i m," H
$7815108 -I 0,7816359
und zu diesen beiden Logarithmen sind die Zahlen:
0,6046594 und 0,6048336.
Weil nun in Tfottcm der Einheit ausgedrückt
t^— 1^=0,20943951
ist, so sind
; 0,80943951,0,604^04
und 0,20943981.0,6848336,
« %'
oder, wie man leicht mit Hälfe der JUigaritbiiN^.fiedet;
•i
1 1
■ t
0;1286396 wä O,136W80
zwei Gränzen, zwischen denen der elliptische ^efft»>,&t»^. im
vorliegenden Falle liegt
* « •« ■
Grnneri: Neue Meiltode die Ellipse au rectfflc/re*.
Uns Mittel zwischen diesen beiden GräDzen ist
0,1206878,
n nun näherungsweise
EBo,u, =0,1266578,
si> ist der Fehler, welchen man begeht, jedenfalls nicht grösser als
0,1266760 — Q,J 266396 _ 0,0000362
nicht grosser als
0,0000182.
Die numerischen Rechnungen, welche bei dieser Methode der
Berechnung der Längen elliptischer Bogen nöthig sind, sind im
Ganzen leicht auszuführen, ivie Jeder selbst finden wird, der ein-
mal ein Beispiel nach dieser Methode rechnet. Vor der gewöhn-
lichen Methode durch Eutnukelung in Reihen hat dieselbe den
grossen und wesentlichen Vorzug, dass wie bei grossen und klei-
nen Ex cen tri ci täten ziemlich mit gleicher Leichtigkeit anwendbar
ist, wogegen die Entwickelung in Reihen nur hei kleinen Exceu-
tri ei täten einige Bequemlichkeit darbietet. Als den Haupfvorzug
meiner nbigen Methode vor den sonst bekannten Methoden be-
trachte ich aber die Sicherheit, niit welcher sich bei derselben in
jedem Stadium der Näherung ein Urtheil über den Grad der er-
reichten Genauigkeit oder über den in dem erhaltenen annähern-
den Resultat noch steckenden Fehler lallen lässt. Endlich kommt
in methodischer Rücksicht hierzu nun noch, dass die obige Me-
thode in der That ganz elementar, und, wie es mir scheint,
völlig geeignet ist, in den elementar -Unterricht filier die Lehre
von den Kegelschnitten oder von den Linien des zweiten Grades
aufgenommen zu werden.
In
si Gleichung
gen. Hier wollte icl
nieutc hinausgehen.
oben ausgesprochenen merkwfirdi-
- («i — «o) -Li'»
rg + Ti +rs + r3 j .... + r„-
wobei ii als in's Um
Satze Anwendungen
durch Constructinn n
Verbindung
idliehe wachsend gedacht wird, enthaltenen
ur Bestimmung der Länge elliptischer Bögen
ichen rissen, und in welcher Beziehung und
it der eigentlichen Integralrechnung derselbe
lebt, werde ich späterhin vielleicht in einem besonderen Aufsatze zei-
Hier wollte ich nicht filier den Kreis der gewöhnlichen Ele-
MitCeiitlL £4$
•• • ;/
i ■ :
■i .
M i 8 c e I I e n,
_ w
Ein neues mathematisches Paradoxon.
Von Herrn Dr. G. Zehfuss, provisorischem Lehrer an der höheren
Gewerbeschule zu Darm st ad t. »
Will man sich die Entstehung einer. Linie durch Fortbewegung
eines Punktes klar machen, so bieten sich bei näherer Betrach-
tung dieser Bewegung folgende zwei Fälle dar:
1) Es ist zwischen den aufeinanderfolgenden Lagen des sich
bewegenden Punktes kein Zwischenraum. In diesem Falle würdity
da jedes Element der Linie = 0 wäre , und aus noch so vielen,
selbst unendlich vielen wirklichen Nullen (welche man von un-
endlich kleinen Grossen wohl zu unterscheiden hat) keine endliche
Grösse zusammengesetzt werden kann, überhaupt gar keine. Linie
entstehen können.
2) Es ist zwischen den aufeinanderfolgenden Lagen des sieb.
bewegenden Punktes ein Zwischenraum. In diesem Falle wäre
keine stetige Bewegung, welche doch stillschweigend vorausge-
setzt wird, vorhanden.
Es bietet sich also hier ein wirkliebes Paradoxon dar, weil
beide Fälle, die einzig möglichen, auf Widerspruche führen. Die
Auflösung desselben werde ich 'später in einem besonderen phi-
losophischen Artikel zeigen.
Sehr einfache Bestimmung eines bekannten Integrals.
Von Herrn Friedrich Gaus«, Kandidaten der Mathem. zu Greifswald.
Das Integral:- ■ ■*:> i ■« ■ o
dx
/
( -
££■ :;,;,v . . -Mm*tm*- '■ -V ,.-: •^■W'j.-fi
wo e fleh** gTflasa» *der, Mefnofr,*le JfaU ^ggto kann, Uset skfr
leicht durch folgende bemerken« werthe Substitution allgemein auf-
lösen. Man setze den Difterentialquotientea der Worzelgrösae
»gleich eher neuen Variabein, a&ialich
>
Dann findet man .WjKJ^, %
* ■ * *
WW*w*d».iol li n^^iiÄjto.Mi^^^to^^a^ >JH ucef für'/-
Bfe^ IsVuWa** Aötgabw ^»^r^l1^ laWgnü ^', ,, .: „,„i
-tu* «.-r ,-..:.. «.' .... . ,t .;?;/* t,fe,„;y-. * .-!«!■■/ <rv;\t<>, t,.a>. „
wo nur die drei Fälle , dass c gleich , grösser oder kleiner als
Null ist, unterschieden werden müssen, bekanntlich ohne alle
Schwierigkeit aufgelöst werden kann»
f.- .
Von den Hers na geh er.
I. .
Aufgabt;
Zwei ganze Zahlen zu finden, deren Quotient oder
Verhältnis* ihrer Differenz gleich ist.
t,! ''■■''-' A all D rti b g,
Die Aufgabe verlangt die Erfüllung der Gleichung ! ~.x.<\
in ganzen {Zahlen*; Aus dieser Gleichung erJijUt man leicht
i ■ ; > >
-..■'., ■.. ■ '..„»-1 ., »— 1 . ...f,T irrl.
. ; »tu.
■..Ii
. t
*■•.!< \ t ■ • i ■ .. i ■ ■!!•... V. *
I! ■■; = *: - •«' \ «■• i . • ' : :si:-#
m mm • ft * *
und es muss also ? eine ganze Zahl sei»;, was, .-nur dam dfl?,
y— 1
Fall sein kann* wenn y,-r 1 =s ± 1 , also y = 2 oder y = 0 ist;
dann ist aber, wen y = Ö 'offenbar «iebt Zulässig tat,
.V2
'*•• • •-.-.. Ä? = ■" J =^ 4. . . .; .8l ■■{,,..»■«.
.•lj ■ . ■ ^ ■ •
Die beiden, gesuchten ganzen Zahlen sind also # = 4 und ^==2.
Anmerkung. Wollte man 'zwei ganze Zahlen suchen, deren
Quotient ihrer Summe gleich wäre, so hätte man die Gleichung
in ganzen Zahlen zti erfüllen. Ans dieser Gleichung folgt M
g.-JL' « V-(1~y^ — -L— .fl4l,V
Also muss | eine ganze Zahl sein, was nur dann der Fall
ist, wenn 1— yrs'+l, also y = 0 oder #y«2 ist« Das» ist aber,-
weil # = 0 wieder offenbar nicht zulässig ist,
a? == t-^ — = — 4.
l— y
Die beiden gesuchten Zahlen sind also x = — 4 und y = 2, so
dass also diese Aufgabe ohne Zulassung negativer ganzer Zahlen
nicht gelost werden kann.
tili — fcJH
II.
Berichtigung.
Weil ich den in der Abhandlung Tbl. VI, Mr. L von mir em-
pfohlenen Vortrag der Lehre von der Auflösung der Gleichungen
des dritten Grades immer noch für bemerkens- und berücksichtig
gungswexth halte, so erlaube ich mir darauf aufmerksam zu machen,
dass in dieser Abhandlung gegen das Ende eine Auslassung .Statt
gefunden1 bat, die leicht Mfssversrähdnisse herbeiführen kann und
daher ein* Berfcntfgfrffg' trünsdienswertb macht
Bei der Betrachtung iles Falls,
•27
^fi» ist, aufS. 5.,
ist nämlich stillschweigend angenommen oder vorausgesetzt wor-
den, dass, so nie «, welches in diesem Falle nothwendig posi-
tiv sein ums*, auch b positiv sei. Dies erhellet daraus, weil a
derselben Seite weiter unten
-«in?*— 3 t
gesetzt norden i*
tiven b zulässig i
wendig positiv st
urpcosep-
ter
Ctrl
27P
unter Voraussetzung eines posi-
latürlich, weit n jedenfalls r
i negatives b keineswegs
setzen darf.
Daher gilt auch auf S. 7. die Behauptung:
4
„3. Wenn tT=nB> 63 ist, so hat die gegebene Gleichui
drei sämmtlich unter einander ungleiche reelle Wurzeln,
zwei negative und eine positive."
natürlich nur unter Voraussetzung ein
zu bemerken unterlassen worden ist.
i positiven b,
. a. O.
Wenn man aber in der in jenem Aufsatze betrachteten Gleichung
x* := ax 4- b
die (»rosse x = — (— x) setzt, so geht diese Gleichung offenbar in
(-x)* = a(-x)-b
über, woraus also erhellet, dass die Gleichungen
x*=ax + b und x3 = ax — b
jederzeit absolut gleiche, rücksichtlich der Zeichen aber entgegen-
gesetzte Wurzeln haben.
Man würde also auf S, 7. noeb hinzuzusetzen oder zu bemer-
ken haben,
'
> 6a und Ö negativ ist, die gegebene
4
„dass, wenn ^
Gleichung drei sämmtlich unter einander ungleiche reel
Wurzeln, zwei positive und eine negative habe."
Mxcetlen.
23»
Um allen milgllchen MlssveretSndhissen vtfrzuhengen , habe
ich dies hier bemerkt, wenn auch der in Rede stehende Aufsatz
schon vor einer ziemlichen Reihe von Jahren erschienen ist, in-
dem ich aber, wie schon oben erinnert, die darin vorgetragene
Methode immer noch der Berücksichtigung nicht ganz unwerth
halte. G.
Ich bin einigemal brieflich aufgefordert worden, eine recht
deutliche Erläuterung der Einrichtung der Gausa'schen Tafeln
zur Berechnung der Logarithmen der Summe oder Differenz zweier
Zahlen zu geben, die nicht seitat, Randern nur durch ihre Loga-
rithmen gegeben sind, und bähe solchen Aufforderungen aucti
einigemal brieflich entsprochen. Um inde»s dergleichen Aufforde-
rungen ein für alle Mal zu genügen, möge die nachstehende Er-
läiiternng der an sieh zwar ganz einfachen Sache, die mir aber
doch nicht überall mit der gehürigeii Deutlichkeit, Strenge und
Allgemeinheit gegeben zu werden scheint, aus welchem Umstände
wohl auch die erwähnten Aufforderungen hauptsächlich hervorge-
gangen sind, hier folgen.
Wenn x und y zwei beb'ebige positive Zahlen bezeichnen und
die Basis des l»garitli mischen Systems b genannt wird, so ist,
vorausgesetzt, dass im Falle der Subtraction y die kleinere der
beiden Zahlen x und y ist:
t = 6'°*";
y 3crV°fS, x ■fcyclo'"**1*-»);
Bringt man diese Gleichung auf die Form
b'°s<*± y> = b>»*'. (I ± T7^r) = *'<**. (I + bbts —
und nimmt auf beiden Seiten die Logarithmen, so
weil log'. _- I ist, die Gleichung:
log (,x±y) = log<r + log(l ±«bcy-*w«)
kg(3:iff) = loga f logl 1 ± (jf)"«« " "**l;
und weil nun, wenn wir überhaupt die Zahl, deren Logarithmus
TluUXXX. 16
234 Kttcettm,
die Grösse Jf ist, durch Num log X *), eigentlich durch Numlog(=
bezeichnen,
bi-gy-'os* = Numlc-gflogy — loga:)
Ut, so ist;
l°g(#±j)=loga: + logt 1 ±Numlog(logj-loga;)l.
Ferner ist nach dem Obigen auch:
Aio«(«±jrt = 6*'«vY|^ + l) = 4'»*».(6*'^-/«jf;|.l)1
also, nenn man nieder auf beiden Seiten die Logarithmen nimm
log(x + y) = logy4-log(fiI(,**-to** + I)
log(a;J:y) = togy+log!iNumIog(loga; — logy) ± I].
Wir wollen nun, die Differenz loga> — , log»/ jetzt immer posi-
tiv annehmend,
,
A= log# — logy,
B = log<l + fi*>«9 -'»«») = log ( 1 +Numlog(logy — foga-)},
C = log{l + 6'»**-'»*!/) =)og|l + Numlog(log3r — Iogi,)i
setzen.
Das Argument der Gauss'schen Tafel **} ist die Grösse A,
und schreitet in derselben fort von A^ 0,000 bis A = 5,0. Für
diese Argumente enthält die Tafel in zwei mit B und C bezeich,
neten Spalten, nebet den nüthigen Differenzen, die Werthe der
obigen Grössen
C = Jog(l + *'»**-'««!<).
B schreiten abnehmend fort
*) Man denke an die in der Analjeia allgemein gebräuchlichen Bi
Zeichnungen Ai-rsin:f, ArcUn^Z, u. B.w.
**) Ich lege absichtlich in Grunde: Lngnri th m i« ch -trigont
metritchet II ;hhI 1mic.1i. Herausgegeben von H. Q. Köhler.
Fünfte revidirte S lere o l j p- A usgahe. Leipzig bei Tauch-
Kits, 1857., wnrin «ich 9. 207. hie S. 221. die Gauii'ache Tafel ia
ihrar ursprünglichen (ieaiait befindet.
mumm. 2tö
B =0,30103 bis B = 0,00000; • ' *^
die Werthe von C gehen wachsend von
C = 0,30103 bis C = 5,00000;
so dass also 0.30103, nämlich log 2, in der Tafel für B die
grösste, in der Tafei für C die kleinste Zahl ist.
Nach den oben bewiesenen Formeln ist, was zuerst den
Logarithmus der Summe betrifft,
log(ar + 3/) = loga; + B und io%(x + y) = logy+C,
woraus sich zwei Methoden zur Berechnung von iog(x + y) mit
telst der Tafeln ergeben, wenn bloss Iog.r und \ogyf nicht x und
y selbst, gegeben ist. Durch Subtraction der gegebenen Loga-
rithmen berechne man, unter der Voraussetzung, dass loga^cröa-
ser als log« ist, das Argument '' ,:" *
i ■ *■. v. villi 1
A = log;r — logy,
gehe mit demselben in die erste mit A bezeichnete Spalte der
Tafel, ein, und nehme aus der zweiten ,,und dritten mit B{u<nd C
bezeichneten Spalte derselben die dem in Rede stehenden 4*Vff7
mftnt A entsprechenden Werthe von B. und C ; :d$mn findet man
logfcr+jf) leicht, mittelst einer der beiden obigen Formeln, näm-
lich mittelst einer der beideq f ormeku
log(a? + y) = loga?f B, log(a?+y) = logy + C.
Was ferner den Logarithmus der Differenz betrifft, so bat
man in dieser Beziehung zuerst Folgendes zu merken.
Weil nach dierrTheorie der Logarithmen
■
ist, so ist in den obigen Bezeichnungen:
* i <
vm -'.'.
:- V.
1 + 6~A = &B, I+*A==*C; !J :f
also
r^&^t, A^U^-I,
'.•.»..' t
und folglich, wenn man multiplicirt :
(*B— l)(»C-l)==i.
m
Nach dem Obigen ist nun :
logts-y^logy + IogfÖ*-!);
also nach den vorhergehenden Formeln auch:
l"8(?-ff) = V»g# + |Qg(2-6B),
logO-ff) = logy + log(6 —2)
logta;— y) <c leg* + In-fn*«*» — 6 ),
log(jr— <y) = logy +»og(4 — 6'««*>.
.Bei dem Gebrauche der Tafejn sind nun die zwei folgenden
Fälle zu unl -ersehe-! den.
I. I
ig# — loga ^ 0,30103, d.i. log^ — logy^log?.
in diesem Falle suche man die Differenz !og:c — logy in der
dritten Spalte I'iir C auf, deren kleinste Zahl nach dem Obigen
0,36103 ist, und nehme ans der ersten und zweiten Spalte das
entsprechende A und R. Dann hat man nacb dem Vorhergehen-
den die beiden folgenden Gleichungen :
6* = o<°«*-to«s< — 1,
(6B-«],}<6^»-«**-l):S5*.
Aus der zweiten dieser beiden Gleichaugen ergiebt sich leicht:
und folglich i
Daher haben wir die beiden folgenden Ausdrücke :
alSO l i -i't; F » firfl- Vm;ü «Min h\> /♦' hui!
und weil nun nach dem Obigen
-I».'. «!^'-'. ■■•••*:• ji«>I ; ><; ; »;■ ..•* • .,■•• • y. -. . :«tc,| :.!i ' o-. ,»-j
log(a?— y) = log# + log(l— WtH*^*),1 « *>H i(;
'.'■.
Ist, t» *tMfc *ög^r— y) .«dlleist eine« der beiden feige« den* Ans»
dHfelie'kleM befjeohnelii * v <>:
II. log« - logy ^O^MfP,' & i^ Ä-Tl!;0?«?^*^ - h !
"»5
1» dfefgnfr Halb suche tanA die DiffereM^I%<*i»*Iq§y>Jti der
«weiten Spalte für B auf, deren gross te Zahl nach itacOtfigpn
0,30103 ist, qnd, nehme &ue djer ersten un<} dritten Spalte das
entsprechende A und C. Dann hat man nach dem' Vorhergehen-
1 den die beiden Teiganden ^QtgifhUfge»* ...
. ■ i *
\
. .... r.;< ■',.».•: : \i"..: • i-*' -*.*' I .! .t:i '■ ■ ' .u, \ • • .■ : 1 1 * 3 1 1 '.".(> ')i!')!*s7/
■ . ■ . . . * i s
Aus der zweiten dieser beiden Gleichungen ergieß ..fl*k IJtichjUr
b^fix-logy —
*|ge>' i-'i" •,'».-'■»! ,■..'■! ■■ 7* •: "' '1M.IF
- * • i • f » : Jf \ ' t • ' i « i • • f | i
.' ... 1 1 .»■•■'■ .■ ' > • .. • I ■ ■
|::>l'» f
1 .?'*!
w4< WgRcb $
Daher haben, wir die beiden fönenden ^Ausdrücket
l-^f-^^'C0, .'■,,.;.- .■|l.lfco
.. > i i . •
Bf**5 .1 : . . • . ,. :■.■".. ...i, . -. i: iii i ,1,
. . .' i]..-. ir- : l«lgft7n<iMmir"*?<r*j|!]F=h^»iCwl': .i;it ;: : r -•'/it::*>'iii
m
und weil nun nacb dem Obigen
l°g(*-S) = log;r + log<l-6'W!'-''«*),
\og(x-!,)=\oSy + log(l>>°€*-'<>K9— I)
ist, so wird logfo: — ■;/) mittelst eines der beiden folgen Jen Aub-
drücke leicht gefunden :
x — C, 1og(ai— j) = logy— A.
Die« dient zur vollständigen Erläuterung der Einrichtung und
* des Gebrauchs der G a u ss 'sehen Tafeln in ihrer ursprünglichen Form.
Eine andere Einrichtung ist der Tafel gegeben in: Voll-
ständige logarithmische und trigonometrische Tafeln
von E. F. August. Berlin. 1846., welche allgemeiner gekannt
zu sein verdient, als sie zu sein scheint.
t dem Obigen fiekann-
Dieser Einrichtung liegen die beiden s
ten Formeln
log(a:-y) = logy+logffi'««*-"«»- 1)
zu Grunde, wo es in der ersten Gleichung ganz gleichgültig ist,
welche der beiden Zahlen x, y die grössere und welche die klei-
nere ist, in der zweiten Gleichung aber y als die kleinere der
beiden Zahlen x, y angenommen wird. Als Argument ist in der
Tafel die Grösse
A= loga:— logj
angenommen, welches nun aber nicht, wie in der ursprünglichen
Gauss'schen Tafel stets positiv ist, sondern positiv und nega-
tiv sein kann, und nach einer der Einrichtung der gewöhnlichen
Logarithmentafeln ganz conformen, daher durch sich selbst leicht
verständlichen Einrichtung von A= — 4,0 bis A=+5,9 fortschrei-
tet. Für diese Argumente sind in der Tafel die Werthe der Grösse
log (6"«*
J + l) oder log (1+6'°** -'*«»)
berechnet. Für positive Argumente sind die Zahlen dieser Tafel
offenbar einerlei mit den Zahlen
C = log (1 + 6'»**-*>*t)
der dritten Spalte der ursprünglichen Gauss'schen Tafel. Für
negative Argumente sind die Zahlen einerlei mit den Zahlen
B = 1og(l+6'<'«:<-'<'*')
Mmetim. «000
oder
B = log (1 + 6- <*t «-***>)
der zweiten Spalte der ursprünglichen Gauss' sehen Tafel, wie
augenblicklich erhellen wird, wenn man nur überlegt, dass die
Gauss'sche Tafel das stets positive Argument logo? — Jogjf
bat. t Die August'sche Tafel konnte daher aus der Gauis-
seben Tafel, bei verschiedener Anordnung der Zahlen, unmittel-
bar abgeschrieben werden. Der Gebrauch dieser Tafel ist., nun
aber folgender, wobei wir jetzt die den positiven , oder negativen
Argumenten
A = loga: — lojgjr
entsprechenden Zahlen der Tafel durch B bezeichnen wollen*, -wo
also
B = log(okf*- *>** + !)
Um log(a? + y) zu finden, berechne man durch' einfache Soft»
traction der gegebenen Logarithmen \ogx und tag y, abgesehen
davon, welche? der grossere oder der kleinere ist, das Argument
A = loga?— logy,
■
und nehme das dazu gehörende B aus der Tafel. Weil nun nach
dem Obigen
log (*+y) = Iogy + log(««*f »-«•«» + 1)
ist, so ist
iog(#+y) = iogy+B,
mittelst welcher Formel der gesuchte Logarithmus der Summe
durch eine blosse Addition leicht gefunden wird.
Um Iög(#— y) zu finden, wobei y kleiner ajs a vorausgesetzt
wird, berechne man die Differenz logar — Iogy, such« dieselbe
unter den Zahlen B der Tafel auf, und nehme aus derselben das
entsprechende positive oder negative A. Weil nun Allgemein
nach' dem Obigen »" '
• •' b =108^+1), '/■;;";v"; ;;:: . .
also jetzt
loga? — Iogy =s log(*A + 1)
ist, so. ist
-.ii
■ i
also
1 * » • • ■ * ' ■ «■•<*.•.-■. i !> i i ) i » ; ' j , i i • » ; .
und folglich, wenn man auf beiden Seiten die Logarithmen nimmt:
A^ltifoct-totv— 1).
Nach dem Obigen ist aber
Ugfcr— y)s=l*gy + tag<K**-fr«i-|),
foTglitn
mittelst welcher Formel log(a: — y) sehr leicht gefunden wird, in-
dem nur A immer gehörig mit seinem durch die Tafel gegebenen
Vorzeichen in Rechnung gebracht wird.
Ich stehe nicht an, zu bemerken, dass es mir selbst atti
zw eck massigsten scheinen möchte, für das stets positive Argument
-logy eine Tafel für B =log(6'u«*-'°*!' + I) und w*i*
zweite Tafel für C== log(6'°* '-'"KU — l) neu zu berechnen. Dann
wäre, weil nach dem Obigen
i°gf>+y)-i°g3 + i°R(ab**-'°*» + Jh
logO-y) =. logy + log^««- to«»_l)
ist,
log(:z+y) = !ogy + B, log(.x--y) = logy+C;
wo immer y als die kleinere der beiden Zahlen x, y angenommen
wird. In diese Tafel würde man immer mit dem positiven Argu-
ment A — In« x — logy eingehen, und unmittelbar aus der Tafel
das entsprechende LS oder C entnehmen, jenachdem es sich am
die Berechnung von \og(x + j/) oder log(# — y) handelte, welche
Logarithmen dann leicht mittelst der obigen Formeln gefunden
würden. Eine solche Tafel wötde nach meiner Meinung die durch
dieselben dargebotenen Vortheile sehr erhüben, da doch immer
der umgekehrte Gebrauch der jetzigen Tafeln manche Nacbtheile
mit sieh führt. Man hat ja bekanntlieh aus diesem Gründe jetzt
auch schon den Gebrauch der gBwühnlicben Logarithmen durch
die Berechnung sogenannter Anti- Logarithmen zu erhöhen gesucht
Wie die verdienstlich« Zech'sehe Tafel eingerichtet ist, kann
icb jetzt nicht mit Bestimmtheit sagen, da mir dieselbe gerade
nicht zur Hand ist. Auch werden von Lehrern auf Schulen wühl
nur die Küb I er 'sehen oder August '«ehe« Tafeln gehraucht wer-
den, nnd dem Schulunterrichte zu dienen, war der Hauptzweck
der obigen Erläuterungen; die trefflichen Urem ik er scheu Tafeln
enthalten die GausVscrien Logarithmen nicht. G.
Duregt: leb, die Helai. , die wisch . den Abschnitten d. Seilen etc, 241
■ ■
..(
Ueber die Relation, die zwischen den Abschnitten der
Seiten eines Dreiecks besteht, welche durch sich in
einem Punkte schneidende Gerade gebildet werden.
v„„
Herrn Doctor Ditregc
Zieht man durch einen beliebigen Punkt aus den Betten eines
Dreiecks gerade Linien, so besteht zwischen den Abschnitten,
welche diese Linien auF den sregen üb erliegenden Seiten bilden,
wenn man diese Abschnitte ordnungsniiisstg mit m, n, p und
in', «', p' bezeichnet, die bekannte Relation:
^^7 = 1.
m'.n'.p'
Wir wollen mit dem Reweise dieses Satzes zugleich den des
reeiproken verbinden, und daran dann noch einige Bemerkungen
knüpfen.
Die Bezeichnungen sollen so eingerichtet werden, dass in
der reeiprnken Figur die Geraden mit denselben Buchstaben be-
zeichnet werden, wie in der ursprünglichen Figur die entsprechen'
den Punkte, und umgekehrt. (Taf. V. Fig. L und 2.)
Drei Punkte (Gerade) a, b, c bilden ein Dreieck, die Ver-
bindungslinien (Durchschnittspunkte) derselben seien a, ß, y. Ich
nehme beliebig einen vierten Punkt (eine vierte Gerade) IM an
und bezeichne die Verbind ungslini«n (Durchschnittspunkte) der-
selben mit a, li, e durch A, B, C. Bezeichne ich ferner noch
TheilXXX. 17
ÜM2 OttriTf": l>*t>. 4le Retal. , tttt wl*ch. dm Mischntl'en il.Sstten
die Durchschnittspunkte (Verbindungslinien) dieser drei Geradi
(Punkte) mit et, ß, y durch I, 2, 3, so lautet der zu ueiveiseni
Satz:
61.c2.n3 = cl.a2.63,
sin(61).siu(c2).sin(a3) = 8in(cl).sm(a2).sin{63).
Im Dreiecke 61a oder uy.-i und den ;
.
c2.8inOJa) — ö2.sin(ßa)
a3.sin(y/3) = c3.sin(C|3)
= al.si
rf
ogen Dreiecken ist
(41) = /lr.8m(al)
,(c2) = B...sin(02)
sin(«3) = C'3.sin(c3)
cl.sin(Pa) = ol.sin(^) fl«.sin(cl) = .*ß.sin(al)
o2.sinW) = W..in(ßr) ^..in(o2) = By..in(42)
«3.sin(»y) = c3.sin(C«) «y.sin(fi3) = C«.sin(c3)
Daraus ergiebt sich :
[ 61 - c2. n3 sin (^y) sin (gnjsm f Cp)
cl.a2.63 — sin(^) sir1(ßj.)8in(CK)'
(1)
n(6l)8in(c2).in(o3)_^,..Bo.C(!
n(cl)sfu(ffl2)sin{63) — Jß.By.Ca'
Nun ist ferner im Dreiecke 61.1/ oder ß.fr. i
Dreiecken :
61.sin(ß«) = Ml.sin(,]ß)
c2.ein(CS) = fl/2.sin(ßC)
«3.sin(J/) = Jtf3 sin(C^)
cl.sin(C«) = iWl..in(tM)
o2.sin(J|J)=«2.sin(^£)
43.sin(ßy)=M3.Bin<ßC)
Hieraus folgt:
( 6l.c2.n3 _ sinU|))sin(lty)5in(tV)
(2)
den analogei
.sin (MI)
ß«.sin(61)
QJ.sin (c2) = ßC.sin (jW2)
^.sin(a3) = C/).sin(J»3)
t».1m(el)= CA.
4S.sin(«2)=ylS.
ßj-.sio(63) = ßr.
in(M)
i„<«2)
in(«3)
sin(.l)sin(c2),
My).in(««)sin|Cß'
Jff.ßy.Cr.
= -lj.ßt..CfT
I sm(ct)sin(a2)
Ans den Gleichungen (1) und (2) fo>gt dann unmittelbar
:n(61)sin(c2)6in(g3)
cl.n2.<
ia(cl)sin(o2)sin(63) —
ein. Dreieck* Am/., Teiche ihirrli rieh in ein. Punkte schneid. Ger. etc. 244 -
gm{Aß)Sin(By)sin(Ca)
Aß.By^Ca
Ay . Sa. Cß~
Dies war der zu beweisende Satz. Allein es bat sieb dabei ,
noch mehr ergeben. Die Gleichung (4 II.) sagt nämlich von den
Punkten A, B, C dasselbe aus, wie die Gleichung (3 I.) von den
Punkten 1. 2, 3. Die Relation zwischen den Abschnitten findet
also nicht bloss dann statt, wenn die Verbindungslinien der Punkte,
welche die Anschnitt« hilden, mit den Ecken des Dreiecks »ich
in einem Punkte schneiden, sondern auch dann, wenn die Punkte
selbst in einer geraden Linie liegen.
leh will non
möglichen Fälle s
stattfindet. Zu diesem linde nehme ich au, es seien a
Seiten eines Dreiecks abc (Tat. V. Fig. 1.) drei Punkte sc
ben, dass /.wischen den gehörig bezeichneten Abschnitten i
Seiten des Dreiecks, m, n,f> und m', n',p' , die Relation
achweisen , <l
welchen die i
■ s dies die beiden ein/.i;
Rede stehende Relatloi
U
in .ii .[i
stattfindet, und steifte zugleich die Bedingung, dass die Verbin-
dungslinien der gegebenen Punkte mit den gegenüberliegenden
Ecken des Dreiecks sich nicht in einem Punkte schneiden sollen.
Ich werde dann nachweisen, dass die drei gegebenen Punkte in
einer geraden Linie liegen müssen.
Es seien t , '2, 4 die gegebenen Punkte. Ziehe ich tri und 62
und durch den Durchschnittspunkt M beider die Gerade <-3, so
ist, wenn ich die neuen Abschnitte auf itli mit ™ und n' bezeichne.
Da aber auch
n:i?=p:p-
sein, d.h. die Punkte 3 und 4 müssen zugeordnete harmonische
Punkte bu a, » sein. Betrachtet man nun \M2c als ein vollstän-
diges Vierseit und erinnert sich, dass die drei Diagonalen eines
vollständigen Vierseits sich in zu dr-n Ecken desselben zugeord-
neten harmonischen Punkten schneiden, so erhellet, dass die Dia-
gonale 12 die Diagonale ab im Punkte 4 schneiden wird , dass
also: 1, 2,. 4 iji gerader Linie liegen müssen.
Auch die Gleichungen (3 1t.) und (4 1.) ,
i dasselbe' aas.
244 0 '"■<-■ .'/<*■■ IM. die Hein/., die. vtriach. den Atixchnllten d. Selten
Es wird also die Relation zwischen den Sinussen sowohl dai
stattfinden, wenn die drei Strahlen diu gegenüberliegenden Seiten
des Dreiecks in solchen Punkten schneiden, Hie in gerader Linie
liegen , als auch, wenn die drei Strahlen sich in einem Punkte
schneiden. Auch hier liissl sich ebenso zeigen, dass nur
diesen beiden Fällen allein die in Rede stehende Relation sta
finden kann.
Es seien nämlich durch, die Ecken eines Dreiecks aßy (Tat V.
Fig. "2.) drei Strahlen 1,2, 4 so gezogen, dass zwischen den ge-
hörig bezeichneten Winkeln mit den Seiten des Dreiecks, m,n,p
und m', "','•', die Relation
(OJ
stattfindet.
len 1, '2,
einer gf
sin m . sin n . si up =: sin in
Nehmen»
, die Durchschnittsniinkte der Strah-
■ Di
it den gegenüberliegenden Selten lieic
Linie, so kann man einen Strahl 3 durch y
rchschnittspunkte in gerader Linie liegen.
Winkel von 3 mit a und b durch n und %' , i
sin m.ain n. sin %= sin wi' . sinn', sinn',
sin Ji: 81« ■» ■
»mpu
\:
B-
P
i
ch-
;
:
cht i
io ziehen,
Bezeich-
ohatmat
Die Strahlen 3 und 4 sind also zugeordnete harmonische Strah-
len zu den Seiten a und b; es sind also auch ß, C , u, C har-
nioniscli^ Punkte. Nach dein Vorhergehenden nniss daher der
Strahl 3 durch den DurchschnUtspuukt von 1 und 2 hindurchgehen.
Wir haben nun also gesehen,
1) wenn auf den Seiten eines Dreiecks drei Punkte gegeben sind,
so dass zwischen den dadurch gebildeten Abschnitten die Relation
(5) stattfindet, allemal entweder diese drei Punkte in gerader
Linie liegen oder die Verbindungslinien der Punkte mit den
gegenüberliegenden Ecken sieb in einem Punkte schneiden.
2) 'Wenn durch die Ecken eines Dreiecks Strahlen gezogen
werden dergestalt, dass zwischen den dadurch gebildeten Win-
kelubschuitten die Relation (ö) stattfindet, so schneiden sich die
Strahlen entweder in einem Punkte oder ihre Du rchschnitts-
punkte mit den gegenüberliegenden Seiten liegen in gerader Linie.
Wir wollen nun diese Satze in ihrer ganzen Vollständigkeit
betrachten. Sind die drei Verhältnisse —7. — ; , *—„ . deren Pro-
di' n p'
dnet der Einheit gleich ist, gegebei
1 wird durch jedes Ver-
ein. Dreiecht 6enL. reiche ilnrch sich in ein. Punkte schneid. Ger. etc. 245
hältniss auf der zugehörigen Seite des Dreiecks nicht ein Punkt.
sondern vielmehr zwei Punkte bestimmt, die zu den zugehörigen
Ecken des Dreiecks zugeordnete harmonische Punkte sind. Man
erhält also sechs Punkte, von denen je drei, auf verschiedenen
Seiten des Dreiecks Hegende, beliebig mit einander comhinirt
werden können. Wir wollen diejenigen Punkte, welche zwischen
die Ecken des Dreiecks fallen, innere nennen und mit A, B, C
(Taf.V. Fig. 3.) bezeichnen, dagegen diejenigen Punkte, welch»
auf die Verlangerungen der Seiten fallen, Süssere nennen und
roil ...(', B', C bezeichnen. Dann linden folgende Combtnatiouen
der Punkte statt:
.1. B, C; Durchschnitts» unkt der drei Verbindungslinien IV,
A, B', C'\ „ „ „ „ Nfr
B, C, A'; „ „ „ „ jv„
C, A', B'; „ „ „ „ Ari
und ferner folgende Comhinntionen, wo die drei Punkte in gera-
der Linie liegen:
C A B.
Combiuirt man also entweder die drei inneren Punkte oder einen
inneren mit zwei äusseren, so schneiden sieh die drei Verbin-
dungslinien mit den Ecken des Dreiecks in einem Punkte. Com-
hinirt mau dagegen entweder die drei äusseren Punkte, oder zwei
innere mit einem äusseren, so liegen je drei Punkte auf einer
Geraden.
Sind ferner die drei Verhaltnisse - — -, ■ — — - \ , -.-■-,. deren
Product der Einheit gleich ist, gegeben, so wird durch jedes
Verhältnis« in der ihm zugehörigen Ecke des Dreiecks nicht ein
Strahl, sondern zwei Strahlen bestimmt, welche zu den zugehö-
rigen Seiten des Dreiecks zugeordnete harmonische Strahlen sind.
Man erhält also sechs Strahlen, von denen je drei, durch ver-
schiedene Ecken des Dreiecks gehende, beliebig mit einander
comhinirt werden können. Nennen wir wiederum die Strahlen,
welche innerhalb des Dreiecks liegen, innere, und bezeichnen
sie mit 1, 2, 3, so wie die, welche ausserhalb des Dreiecke lie-
gen, äussere, und bezeichnen sie mit I, II, III (Tai'. V. Fig. 3.),
so haben wir folgende Combinationeo ;
iet F er mn riehen l
Strahlen, die sich in einem Punkte schneiden:
1 -1 3 Durch. -chnittspunkt A; 2 I1T 1 Durchschnittspunkt I
1 Hill ., A,| 3 1 II
Strahlen, deren Durcriachnitlsuuukte mit de» gegenüberlieg«
den Seiten in einer Geraden liegen:
I 11 Ul Durc-hscbmltypiinkte 4', B' , C;
I % :j „ A', B, C;
II 3' I „ ß1, C, A;
III 1 2 „ C, A, B.
Combinirt nrnn also drei innere oder einen inneren und -zwei
Süssere Strahlen, so si-hneiden sie sich in einem Punkte. Com-
binirt man dagegen drei äussere oder einen äusseren und zwei
innere Strahlen, so liegen die Durchschnitts punkte mit den gej
überliegendeu Seiten in einer Geradei
Es erhellt, d;iss hier die rociproke Betrachtung eigentlich nichts
Neues ergiebt, denn die Grundbedingung wird mit der Grundbe-
dingung der ursprünglichen Betrachtung zugleich erfüllt.
*
Einige Beweise des F er ma fachen Lehrsatzes.
(Archiv Theil XXVLI. Heft 1.)
Herrp Doctor Heinen,
Di/cilor <kr KcaWchule iu Düsseldorf.
" Beschreibt man über dem Durchmesser AB (Taf. V. Fig. 4.)
eines Halbkreises AEB als Grundlinie ein Rechteck ABCB , do-
sen Höhe AC oder BD d«r Sehne des Quadranten des Kfetaea,
Hei**»* Einigt Beweist 4et Kermarsc*m£etoxU%#k, 34RL
zu wefcfam de* Htribtiri», ABB gtfbfrf, gteiofrittv ti^iiebt^k
den beiden Punkten C und D nach dem beliebigen Punkte E des
HdbkMsbs $e tinien CA \ind JWET, weFche dfen r Dü^iii^jUer
AB in F und G schneiden, so ist:
< : AG* + BF* = AB*. ";\
A) I. Es ist '
■ ■ • ■ • • *• • • « • « \ * : " '.*.,■
; 1, . ' - v - 1 ^* < - ' S *• ■ » • ' » ' ■ ■ ~* ' ' *
AG=AB-BG, BF = AB-AF; ,„ ,„.,K
folglich
\*G»+ BF*=AB*+AB*-%AB.(BG+ÄF)+B&+X*+. "(lf
Fällt man nun auf AB die Senkrechte JSAT, so ist &BGD<>o&EGMx<
und A£££<SsaA.^FC»>miU4n, wenn man BD=AC=r\/2 setzt,
„,;•_ BJC rV2 ^r^
,.... Äfc-£/£+rV?' ^-«f-fcrVaV t>.u. .,K|
Hieraus ergibt sich, da BK+AK~AB=tr- und BEP-pÄftP-
= AB* — WK.AK = 4t*r%EK* ist,.
••■- <t.iirntni-AM*\; .A*-**V*^ 4**-2rv2 ;f
ßl1 +"f — (£Jf+rV2)9 ~ £/f+rV2 '
folglich
— 2;1B.(2?G + ;IF) + BG»+^F*=: — 4r« = — ^Ä»,
und nach (1)
AG* + BF* = AB*. '
II. Man verbinde A und B mit £, so ist
AE* = AG*%GE*-2AG.GK, »'>•'>»•
£Ä»= FE» + F£*- 2FB . FÄ;
also: ' ■' vnir.T
^£»+FB^=i4i5«=^««^JJF«^«JS»+F£«-2^ G. GI^-2F*s>Fir.
■•■•*'. '" ■ • "" * V.I
Aber
FEt+GE* = 2ElP+FK*^KGt ' ! : *
und
1AG i GK^lFB ifFa 2^X: KG+tKGi+tBK. MPtyiKF*,
A • „
."l
ako ,,,,; .;.,..; ,i>. j . .-. .. .. . ,'■ .^ ...... \,-sy
248 Uetnen: Einige Betreise dei Fe rmu eschen Lelirmites.
AB*=AG* + BF* + 2EÄ>— KG» - FK*-1AK. KG-WK. KF.
Wegen Aelmlichkeit der Dreiecke EKG and GBO, FEK und
AFC über ist
folglich , iv
setzt wird ,
" — EK+BI>'
BD = AC=rVl
r"-EK+AC'
KB* + KA*=it*-llEK* ge-
K^ + FK^UiE^^-^-^^ = K^^-(-rV2-KE)
•2AK.KG + '2BK.KF=:
4KE.KB ILA IK&.IKE
Die negative Summe
~2£tf», folglich ist
B) Nimmt n
KE+rVZ ~ KE+tV%'
der beiden letzten Gleichungen aber gibt
AB* = AG* + BF*.
;n Satz als richtig an, also AB*^AG*+ BF*,
(AF+ FG + Gfi)a = (AF+ FG}* + (BG + FG)*,
folglieh:
%4F.BG=FG*
Die Richtigkeit dieser Formel aber ergibt »ich auf folgende Weise
I) Zieht man (Tat. V. Fig. 4.) EH und £./, so ist (\ ACh.
CVJ £\BDJ (»eil die Schenkel senkrecht sieben), Also
CD»
'iAF.BG'
2AF.BG = FG*.
2) Verlängert man (Taf. V. Fig. 5.) AE voA BE, bis AE der
Seite BD in J, BE der Seite .4Cin //begegnet, so ist \ABff
no .i ißJ (weil die Schenkel senkrecht stehen). Also
AC-.CH
^DJ
IUI
>,ler
JC. ßß
= DJ.CH
Bö»
= 2CÖ.
DJ.
Ferner ist
CD
FG —
Cll
ff
DJ
T l:<:
al«
cm
" FG>~
CH.DJ
so
ff einen} Btmjre ficwetse des Per mar sehen Lehrsatzes, 249
AB:AÜ=tö:ABr
oder
AB*=AH.BJ. (1)
■ ■ f •
I
Für da« Dreieck ACF ist:
CE FB AH ,_BA FB AB _ ,
EF"SÄ'HC^l~FGB~Ä'HC~ '
also
FB_Ag+AC . FB-FG _ AC, BG
FG— AH oder TG~~ ~ A~H — FG' (i),
Für das Dreieck ßOG findet man ebenso:
BD_AF_AC m
B~J-TG — B~3' w
Aus (2) und (3) folgt:
BG.AF AC* AB*
1
FG* ~AH.BJ — -2AH.BJ9
oder nach (1):
Bp£F= i. also FG*=WG.AF.
3) Errichtet man (Taf. V. Fig. 6.) in F und & auf ^Ä Senk-
rechte, so ist äkAFHoc^BGJ, also AF:HF= JG-.BG oler
^F.»G = ffF./G.
Nun ist:
„„ __ . EF HF JG
HF=nJG, denn E^ = ÄC:sB~D
folglich
^F.Ä6' = ÄF».
Aber:
ff/* FG* FG* FG*
A~C* - CD* = älC1 ' fo,glich HF =_2~ '
also
2JF.BG=FG«
« ■ •
;. Ein. directep Beweis, bei welchem obige Formel nicht in ßer
traeta kommt, i»t folgender:
Maü t*rMnd* (Taf. V.Flg.0.) A mit 4/, 9 mit JSP und H mft
.7, so Wir " w rr" ■ » " ;'' " ' "" '' ''"
BF*=(BE? + EH*) — HF',
4f+fiF«=/IB'+S7» — J& — BF*.
K., )S| < :»l 'i^K linbiU «.I. .»'I
HP- WJ> *"* '4* ■ »*> ««, ao ' ;
2C'=S" *l8° ■><i=Hr «wi HJ = FG;
Aber
folglich
*:
4P ~ Jfi> -fr AF>.
4)*M&<6a* #-) «n*
''CR.\j<'.KB'Wi*l.#"T,«Sf<
:(I) ibsftvbo
Ak-.dttftei'Q* )mm .(«=^^T
XXVIII.
Uebpfr eiajge bestimmte Iirtegrttfe.
ToM,
Herrn Professor Dr. /. Dienger
au flor jiolytecbnücheii Scbflta ■" .Ca$l«ran.*,
In ilon bekannten „Vor Icaungen über die Integralrech-
ntdf WftMol^o tiiidfin sich im Anfange fler 19. Vortesün^ meh-
rere interessante Üraformungon bestimmter Itttiegralo, VJereir AMcf- ;
Im Nach iteben den einen Theil derselben genauer erneU^n;,, die,
f/teitger: Veber einige btaititnmte iultgraie. ibl
>ri;;i-'ii wäfden sieb ganz ebenso erweisen, beziehungsweise bv-
ichtigen lassen.
Wir wollen uns das bestimmte Integra)
(1)
/faitf+öiy + c,!, a%x+ö,y\-c±x, aBa:+6By+c8i)&i%3:
vorlegen, in welchem o, , lit cB bestimmte Konstanten sind,
und voii welchem wir voraussetzen, dass die Grosse unter den
Integralzeichen innerhalb der Grämten der Integration nicht unend-
lich werde — eine Voraussetzung, die wir stillschweigend hei
allen folgenden bestimmten Integralen machen. Behufs der Um-
formung führen wir drei neue Veränderliche £, v, J ein, die mit
den früheVen zusammenhängen durch die Gleichungen:
«i*+Äiy+Ci*=S, anp+bjy+ctf^v, aa^+^+Ca^Ei f.2)
woraus folgen möge:
(3)
wo bekanntlich I) die Determinante des Systems der Koeßi/ien-
ten in (2) ist; A, ist ferner der Koeffizient von at in derselben.
Bj der Koeffizient von a^, (\ der von as> As der von c,.
B, von ca, Ca von er.,. (Vergl. Baltzer: Theorie und An-
wendung der Determinanten, §■ 9-) Formt man nun das
bestimmte Integral (1} nach den in meiner Differential und
Integralrechnung §.52. IV. gegebenen Formeln um, so ist die
dortige Griisse M gleich
A»(B\C*— CiB^ + B^Ay— Ct^,) + CsiAiBg—A^B,) _
fP
wenn man
Die Gleicl
a. a. O. $. 7. hiermit vergleicht. Dabei ist
X>=o,6tc3— 0|fis(V( + <iAci— aBOiCB + flg/i,ca— ffaVi.)
gen zur Bestimmung der G ranzen der neuen Ver-
Die Gleichi
an der lieh
o,a?+*,y+c9i^=S; für \, («aC8— «s "*)#+(*« Ca ~ *s«s)y=^j*— CjEftipO,
0*=^!+ *,«+£,£ für |;
aus welchen nun für die Grämen folgt (wobei die unlere G ranze
immer zuerst geschrieben ist) :
„ V-
+ 00
» — «;
„ «:
,. +=°.
„'S;
+ »
>• — »;
-
.. i=
— OB
.. +00,
1
+ ob
.. |:
„ — ob.
D.J,
cs beschaffen sind, wer-
ere se
1', Ulli
da in
dieser Be-
Utenger: lieber einige bestimmte Integrale.
wenn Cj >0, so sind die Gränzen von t; —ob und + ob,
., cj <0, „ „
^>, ., ,.
\<o
'>o
Je nachdem also die Zeit
den die Gränzen von |, i
ziehung acht Kombinationen niftnlich sind , so wird man die folgende
Tabelle haben, in der je die Zeichen von D, Ax, c3 zuerst an-
gegeben sind, und nebenan die Gränzen von £, v, £:
/>>0)-oc+oc D>0j-oc+oe D>0l-f=c-QD ß>0j + oB-o=
Ax>0}-x+& J,>l)>+Qc-oo J, <0> + ob- oo ^,<0|-oc+oe
cs>o'-a+oe cB<o'+a>-oo cs>0l-ae+Qc cs <0' + oe- »
i> <0i + »- oo O^Oi+oe-OD O«h-oc+(x ü<0)-ot+a>
4,>0>-Qc+oe ^,>0> + o:-oe ^,<0>+oo-ob ^«tt-OB+a
e, >q) - cc+ oo ca <0' + ob- » ca >0' -<*+«> cB <fl' + *- *
Hieraus geht hervor, dass , wenn man überall als Gränzen — ob
und + oe setzt, dabei den Satz beachtet, dass bei Uiukehrung der
Gränzen das bestimmte Integral sein Zeichen wechselt, man für
D>Q den Werth nicht ändert, für ö<0 aber das Zeichen sich
umkehrt. Ist also I; der absolute (positiv genommene) Werth von
D, so ist endlich:
j/r
rt«i*+»ij+ei
m
•* + *>»+ V)8*B),8i
•w:m*
DtMWtr: Debet einige betUmmte /«ftprafo %fö
t
Sei die Funktion / so beschaffen, dass
so ergiebt also die (5):
— OD
wo zur Abkürzung
* = (ß\X + ftiy + cx%)* + («aar + % + c^)* + fax + 6»y + <?**)*.
Angenommen nun , die Koefficienten ax , . . . . , c$ genfigen folgen-
den Bedingungen:
(6)
«i"+«»* + <*8a = «"» *i* + *«* + &s* = P» q"+ ««" + c«* =7";
was immer möglich, ist, da, wenn
coswj, cos7t|, cosp, .... ; cosm3, cosw3, cosjPj
die bekannten neun Cosinus sind , die bei der Umformung rechtwink«"
licher Koordinaten auftreten, man nur zu setzen braucht:
ö1 = acosm1, o2=acoswi£, o8=acosm8; }
61=j?cosn1, 6a = j?cosna, 63 = j3cos?i8; > (6)
c1=ycosp1, ca=ycos/ia, c3=ycos/?fe; 7
alsdann ist t = <As* + /Sy + y**a und die (5') wird:
(7)
wo nun aber, wie man aus Baltzer a. a. O. §. 15. 5. leicht schiiesst,
A*:=«*/3y, k = aßy ist.
IHen/rer- Vtber einige bestimmte iniegrate.
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Vfenger: Heiter tinia* bestimmte Integrale.
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Ditnjtr: Veätr rinigt äettfwmte InusraU. J&7
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v^elcbe Formel übrigens auch aus (8) hervorgebt. Setzt man neeb
spezieller a=6, nimmt a und c positiv an, so ist:
P*nS^ f+*, cog* f(. e8in+ Srf*
J **J [a«cos«*+c»sinV|l ' V[a*cos** + cVm*V>/ V
TT
nr
= -5- / 2 co«t?/(sint?)dt>9
TT
2"
oder, wenn man die Integration nach q> vollzieht:
/+£ cos"» / csinif; _\flli>
[a*cos*^+c*sin>JI ' V[afcosV+cfsin*V/]l/ ^
TT
7T
= We f + * C08 t'/P(81" r) * • <W>-
71
a
worin a and c positiv sind. Als Spezialisirangen ergeben sieh
hieraus :
/+f ;cos»8v> 1_ /»+| - _ 2 .
[a«cos»*+c*sinty]J ~ «*««/ C08w,c — ^'
3T 7T
s %
4
/ + | sin^cos^ 1 P\\ fitn#,^ftfl^_0 *
r~* *r* * — « * ^. ig = "szs / sine cos rot) = u.
71 X
/ + | lsin«»cos»3» 1 r+%. . a 2
Das bestimmte Integral
a*—6* 6* — c*
worin <** = — ~5~» tf* = — aT~» ausgedehnt anf alle positiven
Thtil XXX« is
a*
l>ir»,j<-r: Vthrr einf/te ttulmmt luleffrnle.
»
r*rrbe viiii .r ii
»n achten Theil
iü y, für n
der OUerfli
l-l.'llc
iche
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des dreiaxige
drückt
n Elfi",
beka
nutlicl
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>-«iii!s
. des
-(■ii <;ki
dilHia.
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1. n«.
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«>»>c.
In.
nun das
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(14)
xt
zu ermitteln.
setzen
wir
ilng (i ^ 1 ist, woraus folgt:
_].'/
^1
Lässt i
deren Halhaien sich
o gelien von 1 bis cc,
ii x uml g die Werthe im In-
i «ine Reihe Ellipsen ans (15)
d, dass je eine nachfolgende
ohne sie zu durchschneiden,
se ir^+y* = 1 enthalten sind, dem .sie
je grosser o wird. Das Integral in (14),
den Bedingungen der Aufgabe gemhas,
a, die innerhalb de« genannten Kreises,
e-lJ
Die GlelcbttDg (15) stellt ei
ändern , wenn q sich ändei
welche Werthe q haben kann, w
te^i-ile (14) annehmen, so wird n
erhalten, welche so beschaffen i
die vorhergehenden unisclilicssl
wahrend alle in dem Kreise ;r'M
sich um so mehr nähern
nämlich ffVQdxhy, ist,
ausgedehnt auf alle Punk
und zwar in seinem positiven Quadranten liegen, d. h. wenn OA,
OB die positiven Koordinntenaxen sind, MM ein Kreisquadrant
vom Halbmesser I , so bat man in dem Integrale (14) x und y
alle Werthe beizulegen, die als zusammengehörige Koordinaten
irgend eines Punktes in OV-\ angesehen werden können. Den
ki-n wir uns nun die durch (151 ausgedruckten Ellipsen (von £= I .
bis p — cc) knnstruirt, und seien CD, CD' zwei zu o und p + <rfn
gehörige, so liegt zwischen ihnen der Streifen CDD'C, für wel-
chen q immer denselben Werth haben wird, wenn 4$ unendlich
klein ist; das Integral in (14), ausgedehnt auf die Punkte io
CDC'D', wird also =VQjjfdxdy sein, wo letzteres Integral
auf die Punkte des fraglichen Streifens auszudehnen ist.
dann stellt dasselbe aber bekanntlich den Inhalt des Streifens
dar, der als die Differena OC'D'— OCD
,11 1
_ « . I Q f Aq— I . ; Q-f-Jo— 1 7t .1 $—1^ ./ f— 1
- 4 V P + ^p-«a'\ j>^-(J* 4\ 9-«*\ 9-ß*
ist, d. h. 1
JMAAQtek-' Wter e(n&? T>e*tkhtott fotetftfi. ftfc
■i: v-tt'.r;-.-r — , „- .
Also ist der Theil des Integrals in (14), der>aaf *e Ptenkte.iHi
CDC'jy ausgedehnt wird,
■■'•■■• ■ •*'•»'/' •>— i • "* ; ■; ' "" >
Lasst marf q gehen von 1 bis od und summlft die erhaltenen Re-
MÜate* so hat man das ganze Integral ia (M), das demaaek - »
ist AI*» ist die' ganze .Oberfläehe de* dretaxlgen ßlttpsoids s /;
-.■*:i!
Vp • 5" I r '■ ■T-trilt=b I ßo,r iO
welche Grosse in meinem oben angefahrten Boche §. 108. 1. auf»
elliptische Integrale reduzirt ist r-
*.'. — »
III.
Sei
/» /» * :'i ,-. ,.|r;
x"-le-*e\naxdx9 z = j x*— le-sco8axdx(n^0)»
O u
so ergiebt sich lefebt :
^1 + aa)|S + 2(w + 1)li|i + ,l<w+,^==0; \ n,,,,M
wpbei übrigens , = —-.^ fet, Indern^ f"«-*™8^
and ■»' ■ ■'■ - • -■*.:■ . ■.••/.-,' i ■.■ i^
y* **-'«***&*= ^<r'tfyjyri8Wf)
v ■
n /» ... ■ ^ ■»
18*
| Dltna'r: Urtrr tlnlgt beitlmmlc Integral*.
fc=-Tfl?J *~**— («»in»« -coso*)8i=-j:ii(oji— ■).
Aue den Gleichungen
/" . i a JTn)eo«in" /"^ . . IT")»™!»»
•"«"■^»- ? J «■ '■■»«B^= 5
in denen man « = a±i setzt, wird man die Vermuthung schupfen,
es genüge j—y „B der ersten Gleichung (16), so dass also etwa
*=(i-Hr-+(^oi ,"''" *"'' »=<HFn"ir+(i^«ir-
wäre, ho f und C von o unabhängig sind. (Man vergl. meine
Differential- und Integralrechnung £. 92. 4.) Wirklich genügt
diese Form, und dann ist
Ci C'i
*— (l+«)» + (l-nO-'
Um C und C zu bestimmen, beachte man, das« für a = 0:
, = 0, * = n»), «ImO=CK. I\*) = -Ci + C'i-,
__ n«>l,<«-,w.
c_~ 2{ , v — 2- ,
also endlich :
■ rfi ■■ . - ■ .... -., ■
/■ ITn>l" 1 ■ ' I T -TT«)
*-«-«i»«e»=T'L(i=ar"-<TMö.l=-?r •>«»,
r= Vi + o* , coaa>=-, sinqps--
I)ab«< mnu übrigens x> 0 sein, da airch ohnehin sonst Jt») nicht
endlich wäre. Dass man daraus sofort ' n..
findet, ist bekannt.
«•^»'«-««Hjayp^.
. öavmtartner: Bat mtrc/lan. le</ui*alent der Wärme ttr 261
Das mechanische Aequivalent der Wärme und seine
Bedeutung in den Naturwissenschaften. Ein Vortrag
gebalten bei der feierlichen Sitzung der kaiserL Aka-
demie der Wissenschaften am 30. Mai 1856
Präsidenten der Akademie
Herrn Dr. Andreas Freih. v. Baumt/artner.
(11 ine treffliche Hede
entlehnt aus drui Aliuanach der kaiierl. Aka-
»eaachaften für ihn Jalir 1B57.)
gibt in den Naturwissenschaften wie im Lehen der Stak'
teil and Völker Begebenheiten, Hie in ihrer Geschichte Epoche
machen und besondere Abschnitte derselben begründen. Einige
machen sich gleich bei ihrem ersten Erscheinen geltend, ähnlich
der göttlichen Minerva, die mit Schild und Speer aus dem Haupte
ihres Vaters gesprungen ; andere treten wie gewöhnliche Menschen-
kinder in die Welt, welche die allgemeine Aufmerksamkeit erst
dadurch auf sich ziehen, dass sie frühzeitig grosse Talente ent-
wickeln und durch überwiegende geistige Kräfte in das Getriebe
der Welt mächtig eingreifen. Von der letzteren Art ist die Ent-
deckung des mechanischen Aequivalentes der Wärme. Dieses
ist zwar schon vor mehr als -30 Jahren nicht ganz unbekannt ge-
wesen, wurde sogar einem im Jahre 1824 erschienenen , von Car-
not verfassten Werke zum Grunde gelegt und als Stütze mehrerer
wichtigen Folgerungen betrachtet; jedoch eine beschränkte Ansicht
fiber die Natur der Wärme hemmte seinen weiteren Einfluss auf
die Wissenschaft. Erst im Jahre 1842 hat Dr. Meyer in Heil-
bronn das Gesetz, das es Involvirt, klar und bestimmt ausge-
sprochen und der Sache einen passenden Namen gegeben. Seit
dieser Zeit wurde es besonders von deutschen und englischen
Gelehrten sorgsam gepflegt urrd insbesondere von eruieren «i«-
r.UttwHttartuer; Uus mecUamu^t Aetjuivaiutl 4v W&me
senschaftlieh und gründlich behandelt, von letzteren aber experi-
mental nachgewiesen und seine ungeheure Tragweite erörtert.
Ich will es nun versuchen, diesen Gegenstand zur Feier des
heutigen Tilgt?.* in I asslicher Wulst; und mil seinen vielfachen
Beziehungen, so weit als es die Kürze der mir. zugemessenen
Zeit gestattet, darzustellen. Er gehört der strengen Wissenschaft
an und lässt sich nur mit Widerstreben der mathematischen Form
entkleiden ; zugleich sieht er mit anderen, nicht im gemeinen Leben
wurzelnden Beziehungen in Verbindung, und Uli llieik- hui mei-
nem Unternehmen, ihn populär zu mactieu, da.* Loos eines Gärt-
ners, der es unternimmt, ehien schon ziemlich erwachsenen Uaum
/• verplanten iiikI LH-niithis-t ist, ihn saiiaiit dem WurzelUaJIen
auszuheben, somit nicht vermeiden kann, wh anderes mit dem
Ballen verwachsenes Gesftiiucli zu übertragen. Dabei können
einige Trockenbeiten nicht vermieden werden und ich muss schon
im Vorhinein diesfalls Ihre gütige Nachsicht in Anspruch nehmen.
Ich will mich, um dafür eiuigermassen zu entschädigen, beson-
ders der 'Deutlichkeit und Klarheit hefleissen und verzichte gerne
auf jede Elugan/, des Vortrages, überzeugt von der Richtigkeit
eines Ausspruches des berühmten Chemikers Humphry Davy's,
dass hei derlei Erilrterungen Metaphern den Kornblumen gleichen,
die wohl recht schön für das Auge sind, aber oft dein Getreu
schaden.
Die Naturkräfte äussern ihre Thatigkeit bekanntlich auf
fache Weise und zwar entweder dadurch, dass sie Bewegung her-
vorbringen, oder dadurch, dass sie einer andern Kraft das Gleich-
gewicht halten. Im zweiten Falle wird Ihr Streben, Bewegung
hervorzubringen, durch eine andere Krall aufgehoben. Im letzte-
ren Zustande nennt man eine Kraft Spannkraft, im erstehe»
Bewegungskraft oder auch Arbeitskraft.
Die wichtig*-!«? Arbeitskraft ist die Schwerkraft, iu so, ferne
sie de« Fidl der Körper zur Folge hat. Da uns das Wesen der
Nafrarkrüfte gänzlich unbekannt ist, so müssen, wü.- uns hei ihrer
Vergleich uns* damit begnügen, ihre Grosse nach jenen VVijkun-
ü-i.'ti ZV §ehät«»*n, van denen wir anzunehmen berechtigt sind, dass.
sie den Krälten pmportioflal seien. Da wir nun unter allen die.
Wirkungen der Schwere am genauesten kennen, so vergleichen,
wir diese mit den Wirkungen anderer Kräfte und schliesseu daraus
auf das Grösseji Verhältnis.* der Kräfte selbst. In Bezug auf Arbeits-
kräfte wissen wir, dass ihre Wirkung, die Arbeit, so maunigföl-
Ü« sie sein mag, immer als äquivalent mit dem Heben einer Last
aus»«* «heu und sonach ausgedrückt werden, kann durch ein Geviicht,
iv-jfli lies auf eine bestimmte Höbe, oder durch eine Höhe, auf
en,
ide
ml
und seine Bedeutung tu den SalunttuensfkafttH.
welcbe ein bestimmtes Gewicht gehoben wird. Es findet darum
die Arbeits grosse und dadurch mittelbar auch die Arbeit« kraft m
dem Producte aus dem gehobenen Gewichte in die Huhhühe einen
ur&cisen numerischen Ausdruck. Wild das Gewicht in Pfunden,
die Hubbiihe in Fussmass ausgedrückt, so stellt das Produet bei-
der Zahlen Fussjifunde vor. Wenn man daher sogt: Die Arbeita-
grüsse eine« Menschen sei SO Fusspfnnde, so heisst dieses: der-
selbe hebe 80 Pfund einen Fuss hoch. Es wäre dasselbe, wenn
gesagt würde, es werden 40 Pfund 2 Fuss hoch, oder 20 Pfund
4 Fuss hoch etc. gehoben, weil da» Produet jeder dieser zwei
Zahlen dasselbe, nämlich =80 ist. Die Arbeit, durch welche
1 Pfund I Fuss hoch gehoben wird, ist demnach die. Einheit der
Arbeit oder das Mass, mit dem man Arbeiten niisst, gleichwie
man mit der Klafter Längen, mit dem Pfunde Gewichte und mit
der Secunde Zeilen zu messen pllegi Die Arbeitskraft, welche
die Arbeit =1 verrichtet, ist darum zugleich die Einheit rTtrr
Arbeitskräfte, und die im vorigen Beispiele angeführte Zahl von
80 FiMMp fluiden bedeutet sonach 80 Arbeitseinheiten.
Wenn eine Arbeitskraft wirksam wird, d. h. wenn sie wirkllcli
Arbeit verrichtet und ein Gewicht bebt, .so wird ein dieser Arbeit
entsprechender Theil der Kraft verbraucht, er lindet sieb aber im
gehobenen Gewichte wieder, denn dieses hat ja dann die Kraft,
durch seinen Fall dieselbe Arbeit, wenn auch in entgegengesetz-
ter Richtung, zu verrichten. Der Kraftverbrauch bei der Arbeit
besteht daher nicht in einer Vernichtung der Arbeitskraft, sondern
in deren Uebertragung auf die bewegte Masse.
So lange demnach die Arbeitskräfte diese Wukungsforni bei-
behalten, d. h. so lauge sie Arbeitskräfte bleiben, wird auch ihre
arithmetische Summe unverändert erhalten.
Allein die Arbeitskräfte bleiben nicht immer in dieser Wir-
HTiingsfurm, sondern gehen in andere Formen über. Es rat nftm-
licli bekannt, dass mechanische Kräfte häutig Wärme hervorbringe».'
Radschuhe, Bohrer, Sägen erhitzen sich heim Gebrauche, *'nv
Stack Eisen kann durch blosses Hämmern auf einem Ambras
glfihend gemacht werden. Man weiss, dass sich die Wilden in
den amerikanischen Wäldern durch Reihen zweier Stücke find
auf einander Feuer machen, ja es ist nicht lange her, so haben
auch die europäischen Zahmen das sogenannte Feuerschlagen als
eines der bequemsten Mittel angesehen, Schwamm oder Zunder
anzuzünden. Die alten Gewehrschlösser mit Stein und Hahn waren
nur bequemere Vorrichtungen, um diesen Act zu vollziehen. Man
hat sogar in wasserreichen und holzarmen Gegenden die Bewe-
gung als Mittel angewendet, grossere Wärmemenge hei vorzubringen.
s
Die-
I e«
dem
das
*?
ehrt
264 p- Haumgariittr: Da» mechanische M|MfcfllMf tter lfdr»<«
uml nocb in jüngster Zeit haben ßeaumool und Meyei
Frankreich einen Apparat construirt, mittelst welchem durch schnel-
les Drehen eines hölzernen Kegels in einer von Wasser umge-
benen passenden Metall hüls« Wasserdampf von 2j Atmosphäre
Druck mit der Kraft eines Pferdes erzeugt wird.
Bei allen diesen Vorgängen wird nun Arbeit i
und dafür Wärme erzeugt. Durch V erbraucb von
aber umgekehrt wieder Arbeit hervorgebracht werden. Die
■es geschieht unter auderm bei <\et Dampfmaschine. Da ist es
nämlich eigentlich die Wärme der glühenden Kohlen unter dem
Kessel, die den Kolben der Maschine in Bewegung setzt,
Wasser aber und der Dampf sind nur die materiellen Mittel, dtircl
welche die Wärme zum Kolben gelangt.
Bei dieser Umwandlung der Arbeit in Wärme, und umgekehrt
der Wärme in Arbeit, dringt sich von selbst die Frage auf, ob
dem Verbrauche eines gegebenen Arbeitsquantums die Urzeugung
einer numerisch bestimmten Wärmemenge und umgekehrt ent-
spreche, und in welchem Verhältnisse diese beiden Mengen zu
einander stehen. Um diese Frage beantworten zu können, muss
man Wärmemengen wie* andere Grössen zu messen im Stande
•ein. Um dieses möglich zu machen, ist mau übereingekommen,
die Wärmemengen durch die Anzahl Pfunde Wasser von der
Temperatur des Eispunktes (0° C.) auszudrücken, welche dureb
sie um 1° C. erwärmt werden. Di* Einheit der Wärmemengen,
der Wärmemassstab, ist sonach jenes Wärmequantum, welche«
I Pfd. Wasser von 0U auf l^C. zu bringen vermag. Dieses vor-
ausgesetzt, lautet die Antwort auf die vorher erwähnte Frage
folgen der masseu : Durch V er brauch eines bestimmten
Wärmequantums wird auch eine bestimmte Arbeits-
grösse erzeugt und es entsprechen nach den Ergebnissen
sablreicher. mit allen Vorsichten angestellter Versuche, bei denen
theils Arbeit in Warme, theils Wärme in Arbeit umgesetzt wurde
und wo man es mit Wärme von dem mnnniglaltig.-ten Ursprünge
xu tliuii hatte, dem Verbrauche einer Wärmeeinheit 1:167
Arbeitseinheiten und umgekehrt. Hiebei sind österreichische
I Bewicbjte zu Grunde gelegt.
In die Sprache des gemeinen Lebens übersetzt, beisst die-
ne«: Die Wärme, welche 1 Pfund Wasser von 0° um ln erwärmt,
übt dieselbe mechanische Krall aus, wie ein Gewicht von 1367 Pfund,
I Fuss hoch herabfallt.
> Zahl I.W druckt i
mechanische Aequivalent <
könnte chensn die Zahl
I
umi seine Bedeutung In den Saturwtiteiuekaflen. 265
Aequivalent der Arbeit nennen. Hätte man den Mass#Ub für die
Arbeit 1367 Mal grösser angenommen, so würde einer Wärme-
einheit auch eine Arbeitseinheit äquivalent sein.
Die Umsetzung der Wärme in Arbeit und umgekehrt erfolgt
nicht nach Laune oder Zufall, sondern nach bestimmten Regeln,
welche die Bedingungen ausdrücken, unter »eichen der Wechsel
Statt hat. Es kann nämlich Wärme nur in so ferne in Arbeit
umgesetzt werden, als sie einem Körper zugeführt wird. Dieses
geschieht aber bei geleiteter Wärme nur in der Richtung vom
wärmeren Körper zum kälteren und nur in so ferne als Tempera-
tur-Differenzen bestehen. Die zugeführte Wärme zerfällt aber
dabei in zwei Tbeile. Einer davon dient zur Erhöhung der Tem-
peratur bei constantem Volumen, der andere aber verrichtet Ar-
beit, indem er z. \i. eine Last vor «ich hinschiebt. Wo es eine
solche nicht gibt, da findet auch kein Kräftewechsel Statt. Hieraus
erklärt es sich, warum eine Luftcnussc erkaltet, wenn sie sich
ausdehnt und dabei einen Druck überwindet, während ibre Tem-
peratur unverändert bleibt, wenn die Ausdehnung ohne Ueber-
windung eines Widerstandes erfolgt, nie dieses der Fall ist, wenn
sie in einen leeren Raum überströmt,
Dieser Kräftewechsel wird viel vorstelliger, wenn man von
dem nun gewonnenen Standpunkte aus In eine nähere Untersu-
chung über das Wesen der Wärme eingeht. Das eben erwähnte
Gesetz des Kraftwechsels ist nämlich unvereinbarlich mit der An-
nahme eines Warniestoffes als einer Substanz, die durch keinen
Act erzeugt, nicht in eine andere umgewandelt werden kann und
die dem Quantum nach unveränderlich sein muss; dasselbe deutet
vielmehr darauf hin, dass die geleitete Wärme, verschieden von
der gleich dem Lichte auf Aelherschwingungen beruhenden strah-
lenden Wärme, in einer vibrirenden Bewegung der kleinsten Kür-
pertheile bestehe, wie dieses schon längst aus der Unerschöpf-
lichkeit der Körperwarme, die sich hei Keiliungsversuchen kund-
gegeben hat, und insbesondere aus dem Umstände gefolgert wurde,
dass zwei Eisstücke im luftleeren Räume durch hiosses Reiben
«um Schmelzen gebracht werden können. Dieser Ansicht nach
ist der Unterschied zwischen Arbeit und Wärme kein anderer, als
zwischen Bewegung einer Masse und Bewegung von Moleculen,
und die Umsetzung dar Arbeit in Wärme besteht blos in einer
Mittheilung der Bewegung nach de» Gesetzen der Mechanik, wo-
bei Umwandlungen der Massenbewegung in Molecularbewegung
und umgekehrt eintreten.
Wir sehen ähnliche Umwandlungen der Rewegnngen vor unseren
Augen vor sich gehen. Die Töne einer Violine oder eines Claviers
Das mechanische Aequttaient der Wdrme
*M bekanntlich das Resultat der schwingenden Bewegung *on
Darm- oder Metallsaiten; wir erzeugen aber erstere durch Strei-
chen mit einem Bogen, letztere durch Schlagen mit einem Hammer,
mithin durch Massenbewegung. Wenn die oscillireude Bewegung
der Luft beim Knall einer Kanone unsere Fetistertafeln zerschlagt
so hat sie Massenbewegung hervorgebracht.
Arbeitskräfte und Wärme sind bekanntlich nicht die einzigen
Kräfte, welche in der Natur eine grosse Rolle spielen; Licht,
Elektneität , Magnetismus und chemische Kräfte stehen ihnen an
Wichtigkeit gar nicht nach. Jedes dieser Ageutien bringt eigen-
thiimliche, sein Wesen charakterisirende Wirkungen hervor, und
eben diese sind es, die den Naturforscher niitbigen, die Eiisten»
s» vieler Agentien zu supponiren; allein ausser diesen Wirkungen
treten bei jeder der genannten Na turthätig keilen auch noch andere
ein, die eigentlich nicht zum Weseo dieses, sondern eines ändert*
Agens gehiiren, wie z. B. Wärme und Licht bei chemischen Pro-
cessen, bei elektrischen und magnetischen Vorgängen etc., elek-
trische Phänomene bei Wanne und Licht, chemische Zersetzungen
■md Zusammensetzungen bei Licht und Elektricität etc. Nach
dem jetzigen Standpunkte der Naturwissenschaft dürfen wir derlei
scheinbar fremdartige «der seeundäre Wirkungen nicht mehr als
solche ansehen, sondern müssen sie als Resultat einer nach einem
bestimmten Aequivalenten- Verhültniss vor sich gehenden Um-
setzung einer Naturkraft in eine andere betrachten. Wir wollen
diesem Gegenstände eine kurze Betrachtung widmen:
Lieht und strahlende Wärme sind von gleicher Natur, beiden
liegen Aetherscbwingnugen zum Grunde. Lichtschwirigungen hrhv
gen Wärme iiervor, insoferne sie Kraft an Kiirpertheile übertragen.
Dieses können auch solche, welche die Augetiflüssigkeiten nicht .
zn durchdringen vermögen und darnm nicht als Licht empfunden
werden. Statische ElektricitSt kennen wir nur als Arbeitskraft,
denn sie gibt sich nur durch Bewegung kund, die sie an ihren
Trägern durch Anziehung und Abstossung hervorbringt. Strömende
Elektrkität besitzt arbeitende Kraft, erzeugt Wärme und chemische
Zersetzung. Vermöge ihrer Arbeitskraft wird sie im Stromleiter
fortgeführt , jedoch durch den Widerstand verbraucht, den sie in
diesem Leiter Ihndet, ond dadurch in Wärme umgesetzt. Im Strom-
leiter tritt in dem Maasse Wä-rme auf, als Hie Elektrizität daseibat
Widerstand erfährt: denn es ist die dabei erzeugte Wärmemenge
bei übrigens gleichen Verhältnissen dem Leitung« wider stände pro*
portionirt. Was sie zur chemischen Zersetzung und zur Bewe-
gung einer Maschine an Arbeitskraft benöthigt, wird aus ihn
Wärmevonathe. nach dem Aequivalente der Wärme entmint
und itiue Bedeuimtff in am NaturieisseitfJvifun. MX
Mau deute sich drei Elektromotoren von gleicher Stärke, z.B.
drei galvanische Batterie»; die eine sei durch eine« Eeituugsdrath
geschlossen, in die Kette der zweiten »ei eine elektromaguetisciie
Maschine, z. B. ein Barlow'sches Ilad eingeschaltet und in die
Kette der dritten ein Wasserzersetzungsapparat. Durch Aende-
rtiüg der Lauge desSchliessungsdrathes de« ersten Elektromotors
und durch Mitdiücatton der Geschwindigkeit des Barlow'scbea
Rades mittelst eines Magnetes kann man es leicht, dabin bringen,
dass der Strom in allen dreien von derselben Stärke ist. Da wird
nun im Schliessungsdrathe der erstereo, wo der Strom keine ehe-
uiUclie Wirkung hervorzubringen und keine Maschine zu bewegen
bat, die grösete Würmemenge erzeugt; im zweiten, wo chemische
Arbeit zu verrichten ist, ist die gewonnene Wärmemenge gerade,
um so viel geringer, als mau wieder erhalt, wenn man die durch
Zersetzung des Wassers erhaltenen Gase verbrennt und sie da-
durch wieder zu Wasser vereinigt; eine ähnliche Verminderung
der Wurme wird man am Schliessungsdrathe des dritten Elektro-
motors bemerken, sie beträgt aber gerade so viel, als nach dem
mechanischen Aeiiuivalente der Warme an bewegender Kraft ffir
die eingeschaltete Maschine verwendet werden muss. Hier ilndet
also Umsetzung der ElektricitHt in Wärme, dieser in Arbeitskraft
oder In elektrolytische Kraft Statt nnd allenthalben herrscht das
Gesetz der Aequivalente. Die strömende Elektrizität in einem
galvanischen Elektromotor scheint selbst auf Kosten der Warme
hervorgebracht zu sein , die bei der Oxydation des Zinkes
erzeugt wird; denn die Stromstärke ist bei sonst gleichet! Um-
standen dem Gewichte des oxy Hirten Zinkes proportionirt und es
tritt an der Stelle, wo die Oxydation vor sich geht, nicht die
Wärme auf, welche sonst diesen chemischen Process hegleitet.
Ob Aehnliches bei der Elektricita* andern Ursprungs vor sieb
gebe, ist weder erwiesen noch widerlegt.
Diese Betrachtungen führen den Naturforscher auf einen Stand-
punkt, von dem aus ihm die Elektrizität wie ei» ganz anderes
Wesen erscheinen muss, als dieses bisher der Fall war. Sie ist
so wenig feuriger Natur als der Hammer* durch dessen Schlüge ein
Stück Eisen glühend wird, wiewohl sie unsere» Sinnen last immer
nur in dieser Begleitung erscheint; der Blitz fahrt nur darum als
leuchtender Strahl vom Himmel, weil ein grosser Theil seiner Ar-
beitskraft durch den Lei tungs widerstand der Luft in Wärme um-
gesetzt wird; er zündet daher nur selche Gegenstände an, dt*
sieb seinem schnellen Fortsc breiten entgegensetzen, und Iäs«t jene
unbeschädigt, die ihn nicht *uf»uh»lten suchen. Eben darin be-
steht ja die Wirkung der metallenen Blitaableiter. Auch aber den
2&Hr. Battmgmrtner : Das mechanische Atqtilraleni 'der Wärme
Innern Oruml der Elektrizität geben uns die vorher erörterten
Gesetze wenigsten« negative Aulschlüsse. Man kann nämlich nicht
mehr, wie bisher, eine specirische elektrische Materie annehmen ;
denn eine solche ist, da ihr Quantum keiner Veränderung unter-
liegen kann, mit dem Princip der Umwandlung' der Elektricitfft in
Wärme und Arbeitskraft unverträglich. Mit der elektrischen Materie
fallt zugleich die magnetische, da die Ansicht, die magnetischen
Erscheinungen rühren von elektrischen Strömen her, mit Recht
immer mehr Boden gewinnt. Somit ist das Reich der Imponde-
rabilien in der Naturlehre seinem Ende nahe und die Zeit vorüber,
wo unwägbare Stoffe als eben so viele wissenschaftliche Kobolde
in jedem Zweige der Naturwissenschaft ihren unheimlichen Spuk
getrieben haben.
Auch die chemischen h rufte folgen den Gesetzen der Um-
setzung der Kräfte nach bestimmten Aequivalentenverhältnissen.
Es ist nämlich erwiesen, das« hei jeder chemischen Vereinigung
r Stoffe zu einem stabilen Produkte Wärme entwickelt wird
und zwar in derselben Menge, die Verbindung mag schnell oder
langsam, auf einmal oder sueeessive aus ihren Bestandteilen
gebildet werden. Bei einiger sulcheu Bildungen, z. ß. bei der
Vereinigung von Sauerstoff und Wasserstoff zu Wasser, ist zu-
gleich, wie schon erwähnt worden, experimentell nachgewiesen,
dass das bei der Vereinigung der Stoffe gewounene Wärmequan-
tum genau dem Aequivalente der bei der chemischen Zerlegung
dieser Verbindung verbrauchten Arbeitskraft entspreche. Man kann
daher annehmen, dass die durch eine chemische Wirkung erzeugte
Wärmemenge ein Mass dir die bei dem Processe in Wirksamkeit
getretene chemische Kraft ist. Unter solchen Umständen kann die
Behauptung, dass durch chemische Krälte Arbeit erzeugt werde,
nicht befremden. Doch kennen wir keinen bestimmt nachgewie-
senen Fall, durch welchen unwidersprechlich dargethan wäre, dass
aus chemischen Kräften unmittelbar Arbeitskraft hervorgehe. In
allen bisher zur genügenden Klarheit gediehenen Vorkommnissen
erfolgt die Umsetzung der chemischen Kräfte in Arbeitskraft ent-
weder mittelst der Wärme oder der Elektricität. Ein Beispiel
des ersteren Vorganges liefern die Dampf- und Luftmaschinen,
einen Beleg für letzteren die elektro - magnetischen Bewegungs-
apparate.
Der Vorgang bei der Dampfmaschine und diesem analog auch
bei der Luftmascbine ist schon früher berührt worden. Jeder
Gran Kohle, der unter dem Kessel der Maschine vollkommen
verbrennt, liefert in Folge dies chemischen Proeesses der Ver-
brennung 0008 Wärmeeinheiten oder 1241 Fusspfund Arbeit,
"
und teine Bedeutung in dtn Natuntlssexschaften.
alle Wärme zur Erzeugung von Dampf oder zur Erhöhung der
Spannkraft der Luft verwendet und vollständig in Arbeit umge-
setzt wird. In dem Masse als diese Voraussetzungen nicht ein-
treffen, bleibt auch der Effect der Maschine hinter dieser Grösse
zurfick. Im Allgemeinen geschieht dieses in desto höherem Masse,
je weniger die Temperatur des Condensators von der des Kessels
abweicht. Der wirkliche Effect beträgt oft kaum 20 pCL des nach
der früheren Voraussetzung berechneten.
Eine andere Vorrichtung, welche auf der aus chemischen Kräf-
ten entspringenden, durch Wärme ^ermittelten Arbeitskraft beruht,
ist das Schiessgewehr. Bei jedem Schusse soll diu Wärme,
welche aus der Vereinigung der Kohle mit Sauerstoff zu Kohlen
sSure und des Kali aus dem Salpeter mit Schwefel zu Scbwe-
felkalium entsteht, vermindert um die Vereinigungswärrne des
Stickstoffes und des Kaliums mit Sauerstoff, vollständig in Ar-
beitskraft umgesetzt werden. Ein Gran Scbiesspu.lv er sollte so-
nach beim Abbrennen 0291 Wärmeeinheiten oder 3^8 Fusspfund
Arbeit liefern. Allein nicht alle Wärme wird in Arbeitskraft um-
gesetzt, wie schon die Erhitzung des Gewehrlaufes ersehen lässt,
• und nicht die ganze Arbeitskraft wird zum Forttreiben der Kugel
verwendet, indem ein Theil davon den Knall erzeugt, der den
Schuss begleitet.
Wird eine elektro- magnetische Maschine, z.B. ein Barlow
sches Rad , in Bewegung gesetzt, so geht in der Regel die bewe-
gende Kraft ursprünglich von der Oxydation des Zinkes einer
galvanischen Batterie aus, und zwar in der Art, dass zuerst die
Verbmdungswfirme des Sauerstoffes mit Zink als elektrischer Strom
auftritt, der in Folge des im Stromleiter herrschenden Leitungs-
widerstandes wieder in Wärme und dann in Arbeitskraft umgesetzt
wird. Je mehr Kraft die Maschine zu ihrer Bewegung in Au-
sspruch nimmt, desto weniger Wärme bleibt übrig. Es ist schon
früher gezeigt worden, dass dieser Abfall an Wärme gerade so
gross sei, als dem mechanischen Aequivalente der verwendeten
Arbeit gemäss ist. Die Wärmemenge, welche aus der Oxydation
von einem Gran Zink einer Daniell'schen Batterie hervorgebt
und vom elektrischen Strom in den Leitungsdrath überführt wird,
beträgt, wenn keine mechanische Arbeit zu verrichten ist, 0157
Wärmeeinheiten, und diese entspricht, ganz in Arbeit umgesetzt,
einer Leistung von 214J Fusspfund. Da auch hier nur ein Theil
der Wärme zu Arbeitskraft wird, so muss in demselben Verhält-
nis« das Ergebniss für die Maschine geringer ausfallen.
Wir wissen wohl, dass jene bewunderungswürdigen Maschi-
, die wir lebende Körper nennen, aus chemischen Kräften ihre
Batntitiirrnrr: Uns mechmihche UMfafenHnl rlfr Wärme
Arbeitskraft s-o.h<Snfen. Ob aber WBrme oder Etektricitüt Hie Ver-
mittler seien, oder ob die chemischen Processi! unmittelbar ans
sich Arbeitskraft hervorbringen, l>at bisher noch nlriht in's Klare
gebr.'icht werden kennen. Vor der Hand WM die Vermittlung
eines elektrischen Stroms für das Wahrscheinlichere gehalten.
Dass hei dieser Unentschledenheit der Sache Beredt turnten über
den mechanischen Effect dieser organischen Trtebrtierke nur auf
sehr unsicherer Grundlage beruhen, ist (Vir sich Mar.' Mrssmi<;e-
achtet ah«r unterliegt es keinem Zueile! , dass der thierische
Organismus, abgesehen von den zahlreichen Zwecken eigener
Art, die bu realwir«« er bestimmt Ist, schon iu lih.--.-c Rücksicht
auf die ökonomische Verwendung Von Arbeitskraft eine Maschine
vo« viel grösserer Vollkommenheit sei, als bis jetzt die mcnscti
liehe Erfind ungskraJt eh liefern im Stande war.
Den chemischen Kräften ist sowohl in der Weltökonomie als
im Hanshalte der Menschen eine sehr bedeutende Rolle zugewie-
sen. Sie sind wirksam beim Keimen und Wachsen der Pflanzen,
he! der Ausbildung und beim Keifen der Früchte, die Leiber dW
Ttiiere werden durch solche Kräfte fortgebildet, ihre Kraft wächst
und schwindet mit diesen. Die Macht eines Staates beruht gros-
sen Theils auf der Menge und Stärke der chemischen Kräfte,
ober die er zu disponiren hat, und die materielle Macht im Kriege
ist die, welche die chemische Kraft des ScbieSspulvers und der
Nahrungsmittel für Mann und Pferd liefert.
Die Gesetze, zu deren Kenntnis» man zumeist durch den
Kräften Wechsel nach bestimmten Aequivalenten gelangt ist, lassen
uns die Natur als einen wohlgeordneten Haushalt mit einer gege-
benen Summe von unzerstörbaren Kräften erkennen, von Kräften,
die in verschiedenen Formen ihre Wirksamkeit äussern und von
denen eine ihre Macht von der andern borgt. Wenn beim Wech-
sel der Kräfte von einer etwas vetteren zu gehen scheint, so
können wir das Aequivalent des Abgängigen sicher in einer andern
Form zu finden hoffen. Stossen zwei Körper zusammen, und
scheint nach dem Stosse eine geringere Summ« von Arbeitskräften
vorhanden zu sein, als vor demselben; so ist ein Theii der Be-
wegung dazu verwendet worden, den Stoss hörbar zu machen,
die Körpertheile einander bleibend näher zu bringen oder Wärme
iu erzeugen. Wenn die Zugtlaere an unseren Fuhrwerken, die
Loceraotive an den Elsen bahn Zügen ungeachtet ihrer steten Wirk-
samkeit doch nicht eine stets wachsende Geschwindigkeit der
Last hervorbringen, so findet sich das, was an fortschreitender
Bewegung verloren gegangen ist, in der oft mrr zitternden Bewe-
gung riet Equipage, in dem Geräusche, dos der Zog verursacht,
4 seine Bedeutung In den \atvrtcUsenscftnften. 271
und als Wärme* an den erhitzten Ax«n und Zapfenlagern wieder.
Die Reibung vermindert zwar die Bewegung der Massen, über-
trägt sie aber au ihre Moleeule. Davon machen selbst tropfbare
Körper keine Ausnahme, und jedes Wasserrad, jeder auf steini-
gem Boden dahin rieselnde Bach ist in so ferne der Sitz von t'ni-
setzung, nenn auch nur eines klein«» Theils der bewegenden
Kraft in Wärme. Der Widerstand, den die Bewegung des Blu-
tos im thierischen Körper, besonders beim Uebergange in die
häufigen Anastomosen und endlich in die hüehst fein verzweigte»
Wundernetze, erfahren muss, heeintriichtigt wohl die Circulation,
kann aber nicht ermangeln, etwas zur Erhilbung der Temperatur
des Körpers beizutragen.
So lange eine Bewegung im luftleeren Räume vor sich geht,
bleiht die ganze Arbeitskraft auf die bewegte Masse übertragen,
der Eintritt in ein widerstehendes Mittel hat aber alsobald einen
scheinbaren Verlust an Arbeitskraft zur Folge, die jedoch in der
frei gewordenen Wärme den entsprechenden Ersatz findet. Ein
grosser Widerstand, wie er bei sehr schnellen Bewegungen ein-
tritt, kann selbst eine Erhitzung der bewegten Masse bis zum
Glühend werden zur Folge haben. Das Erglühen der aus dem
Weltraum in die Erdatmosphäre eintretenden Meteormassen erklärt
sich hieraus genügend. Der Rechnung gemäss reicht schon eine
Geschwindigkeit von 1000 F. in der Secunde hin, um eine Tem-
peraturerhöhung bis zu 1000° C, also bis zum starken Glühen,
hervorzubringen. Massen, die wie die Sternschnuppen gar eine
Geschwindigkeit von 18—36000 Kl. besitzen, können leicht bis
zum Schmelzen erhitzt und In unsichtbare Partikelcben zerstiebt
werden. Daher mag es auch kommen, dass Meteorsteinfalle oft
von trockenem Meteorstaub oder gar von einem ausgedehnten
Feuerschein wie von einer glühenden Wolke begleitet sind. Die
grosse Häufigkeit von Sternsciinuppeiifiillen, deren zu gewissen
Zeiten nach J. Schmidt 13 — 15 in einer Stunde innerhalb des
Gesichtskreises einer einzigen Person vorkommen, würde sogar
die Behauptung nicht als widersinnig erscheinen lassen, dass die
dabei entwickelte Wärme den thermischen Zustand der Atmo-
sphäre merklich allieiren kann.
Nach diesen Betrachtungen zeigen sich uns die sogenannten
Hindernisse der Bewegung, Reibung und Widerstund des Mittels,
von einer andern Seite, als man sie anzusehen gewohnt ist. Sie
vernichten keine Kraft, sondern setzen sie nur in einander um.
Besonders werden durch ihren Einfluss Bewegungsk rufte in Wärme
umgewandelt. Aber gerade diese Wirkung ist für das Leben in
der Natur nicht ohne grosse Bedeutung. Di» Warme kann näm-
nrtntr; Bai mechnntithe Aequiratent der Wärmt
■r vollständig zur Arbeitskraft werden, wie dies«
;ezeigl norden ist. Dazu kommt noch, dass aud
i Kräfte in dem Maasse, als sie Verbindungen be-
die Form der Wärme annehmen, die wieder nur
zum Theile in Arbeitskraft umgewandelt werden kann, und somit
mi'isste der Vorrath an Arbeitskraft immer geringer werden und
der Quell de« Leben» miisste nach und nach ganz versiegen, wenn
nicht von anderer Seite für Abhilfe gesorgt wäre. Diese schaß
die Natur selbst hauptsächlich dadurch, erstens dass uns von der
Sonne fortwährend Strahlen zugesendet werden, welche bewegende
Kraft und die Bedingungen des Lebens mit sich führen, und zwei-
tens durch die dem Erdkörper und den Planeten vom Anbeginn
her eingepflanzten Bewegungen. Versuche, welche schon im
i Pouillet in Paris angestellt wurden, lehren, da»
in der Voraussetzung einer gleichförmigen Vertheilung des Ein-
flusses der Sonne auf die ganze Erdoberfläche- in einer Minute
einer Fläche von 1 Quadratcentimeler 04408 Wärmeeinheiten zu-
strömen, wonach auf I Wiener Quadratznll in 1 Minute 54 Wär-
meeinheilen oder an Arbeitskraft 7518 Fusspfond entfallen. In
einem Jahre belauft sieb dieser Zufluss auf 2871804 Wärmeein-
heiten oder 3926 Millionen Einheiten von Arbeitskräften. Er wäre
im Stande, eine die ganze Erde umhüllende Eisrinde von 97j Pnss
Dicke zu schmelzen. Man könnte mit Sonnenstrahlen an einem
heiteren Sommerlage einen Dampfkessel heizen und, wenn die
Einwirkung ausgesetzte Kesselfläche gross genug
wäre, die Kraft mehrerer Pferdekr.'iftc erzielen. Thomson be-
rechnet, dass für eine Pferdekraft eine soluhe Fläche von 1800
Quailratfuss erforderlich wäre.
Die Sonne bewirkt nicht blos eine Anhäufung der Wärme auf
der Erde, sondern vermittelt seihst die Umsetzung derselben in
Arbeitskraft. Indem sie die Federkraft der Luft stärkt, erzeugt
sie die Lufthewegungen, welche unsere Windmühlen treiben, die
Segel der Schiffe schwellen und schwimmende Lasten in ferne
Länder tragen ; indem sie den Fluthen des Meeres Federkraft
verleiht, bewirkt sie ihr Emporsteigen in die Regionen der Wol-
ken, wo sie Luftströme fassen und in entfernte Gegenden der
Erde treiben, damit sie daselbst als Regen herabfallen, die Quel-
len und Flüsse nähren und an diesen ein reiches Magazin von
mechanischer Kraft eröffnen, aus welchen der Mensch entnimmt,
was er zur Bewegung von Wasserrädern und zum Fortschaffen
von Lasten aus höheren Gegenden in tiefer gelegene henütbigt.
Endlich führt uns die Sonne einen reichen Segen chemischer
Kräfte zu, denen wir das Entstehen der für unsere Zwecke wich-
und ttine Bedeutung in den Xaturviatentchaftm.
27S
tigsten Producte verdanken. Durch den Einfluss ihrer Strahlen
auf die grünen Pflanzentheile wird die Kohlensäure zersetzt, der
Sauerstoff als Gas* ausgeschieden und der Kohlenstoff angesam-
melt. Dieser Stoff ist nun selbst wieder die Quelle von Licht und
Wärme, wie die Sonne, und zugleich der mächtigste Motor für
menschliche Zwecke. Nach Liebig wachsen in einer der frucht-
bareren Gegenden Deutschlands auf einer Bodenfläche von '2500
Quadratmeter oder nicht ganz einem halben iisterr. Joch in einem
Jahr, wenn es Waldboden ist 2650 Pfund lufttrockenes Brennholz,
wenn es Wiesengrand ist 2500 Ct. Heu und wenn es Ackerland
ist 800 Pf. Roggen und 1780 Pf. Stroh. Das 'besagte Quantum
Brennstoff enthält 1007 Pf., das Heu 1018 Pf., der Roggen und
das Stroh 1044 Pf. Kohlenstoff, demnach im Durchschnitte aus
allen drei Erzeugnissen 1023 Pf. oder für 1 iisterr. Quadratklafter
in runder Zahl H Pf. Da l Pf. Kohle beim Verbrennen 5230
Wärmeeinheiten liefert, so entfallen für die Kraft erzeugende
Wirkung des Sonnenlichtes für 1 «sterr. Quadratklafter des mit
Vegetation bedeckten Bodens in einem Jahre 7845 Wärmeeinhei-
ten oder eine Arbeitskraft von I0j Millionen Fusspfund.
Alle diese mächtigen Wirkungen sind aber nur ein höchst
kleiner Theil des gesammten Kraft au sflusses der Sonne, denn
diese bestrahlt einen kugelförmigen Raum, der weit über die Erde
hroausreicht, und in welchem der Erdkürper nur als kleines
Sternchen erscheint. Die erwärmende Kraft der Sonne, die blos
von einem Quadratzoll ihrer Oberfläche in 1 Minute ausgeht, be-
lauft sich nach Pouillet auf 1052257 Wärmeeinheiten, ist also
nur im Verhältniss von 10:27 kleiner als die Erwärmung, die
einem gleichen Stück der Erdoberfläche in einem ganzen Jahre
von der Sonne zu Theil wird.
Nach diesen Ergebnissen ist die Sonne nicht mehr btos die
Herrin des Tages, ihr Strahl nicht blos der Herold von Millionen
Sternen und ihrer tausendjährigen Geschichte; sie hat ihre hohe
Bestimmung nicht schon erreicht, indem sie dem Krystall seinen
Glanz., dem Diamant sein Feuer verleiht, das Grün der Blätter
schafft und den bunten Schmelz der Blumen. Nehst Licht und
Wärme auch Kraft auszuspenden, ist ihre grosse Aufgabe. Jede
Linie, die wir von der Erde nach irgend einem Punkte der Sonni
ziehen können, bezeichnet die Strasse, auf welcher Segen zu um
kommt, der auf der Erde angelangt in Stoffen eigener Art depo-
mrt wird, um daraus entnommen werden zu können, wenn es für
die grosse Welt-Oekonomie oder für menschliche Zwecke n<
wendig ist. Aber wird denn die Sonne stets mit derselben Kraft
wirken können und wird sie immerfort im Stande Hein, zu ersetzen,
TTftp. Baumgttrtntr: t)iism»crta>iische Aet/uitaltnt der Wärme etc.
was durch den steten Wechsel der Kräfte für die Erhaltung dsa
Lebens verloren geht oder wird durch ihren Einfluss der Zeitpunkt
nur weiter hinausgerückt, wo das grosse Uhrwerk in Stillstand
geräth, weil das Gewicht, durch .las es im Gange erhalten wird,
abgeladen ist? Nach unserer gegenwärtigen Einsicht dürfte wohl
letzteres für dus Wahrscheinlichere gelten, da alle Mittel, durch
welche der Sonne für ihren steten Verlust Ersatz werden soll,
selbst als der Ersehn (»fang unterliegend angesehen werden müssen.
Eine, jedoch verliülfnis.siiiiis&ig nur geringe Unterstützung in
dem Geschälte, der Erde Kraft zuzuführen, findet die Sonne in
dem Kraftvorrathe, welchen der Erdkörper iu Folge seiner Axen-
drehung und der Bewegung des Mondes um ihn besitzt. Diese
Kraft ist reine Arbeitskraft uud ihre Verrichtungen bestehen zu-
nächst in der Unterhaltung jener Bewegung des Meeres, die unter
dem Namen Ebbe und Kluth bekannt ist, aus der aber mehrfache
grosse Strömungen im Weltmeere und in der Atmosphäre hervor-
gehen, die seihst zu menschlichen Zwecken vielfach angewendet
werden. Sie erscheint klein gegen die Macht der Sonne, jedoch
sehr bedeutend gegen das, was menschliche Kräfte zu leisten
vermögen, klein in ersterer Beziehung, da sie nach Thomson
nur ein Aequivalent bietet für eine dreistündige Bestrahlung der
Erde durch die Sonne, bedeutend in der letztern, weil sie nach
Bessel eine Wassermenge von 200 Knbikmeilen in 6j Stunden
Ton einem Quadranten der Erde zum andern überführt, eine Masse,
die einen grösseren Raum einnimmt, als 200 Millionen Bauwerke,
deren jedes der grlissten der egyptischen Pyramiden gleichkäme
und gewiss 200 Mal grösser ist als alles, was die Kräfte der
Menschen und die ihnen zu Gebote stehenden Mittel von der Sund-
uuth an bis jetzt beträchtlich von der Stelle gebracht haben.
Nimmt man die Kräfte, welche wir vom irdischen Standpunkte
ans mit menschlichem Erkenntnissvermögen zu erforschen ver-
mochten, als allgemein im Weltall herrschend an; so erscheint
die Behauptung gerechtfertigt, dass die Auslagen zur Erhaltung
der grossen Welt-Oekonomie in dem Ertrage der chemischen
Kräfte der Nahrungsmittel und Brennstoffe, der Gravitation der
Materie und der natürlichen Wärme die Bedeckung linden. Alle
diese Kräfte sind zu einem einheitlichen Ganzen verbunden, und
erscheinen nur als verschiedene Wirkungslosen einer und der-
selben Potenz. Was die Naturphilosnphen lange gesucht aber nickt
gefunden haben, hat uns das Princip des Kräftewechsels nach
Äquivalenten Verhältnissen aulgedeckt und uns dadurch in den
Bau der Welten und in den Plan der Vorsehung einen Blick zu
thnn gestattet, wie man seit Newton'» Zeiten keinen zu thun
Grüner t: Ve*.i&>M betond.Meth.der Auz%ieh.d.Quadratwurz., etc.%t&
verrttbfchte. Et kauft nteht verfehlen, den Naturwtegentttfaliften Iti
vieler Beziehung eine neue Gestalt zu geben urtd die k. Akade-
mie der Wissenschaften wird nicht ermangelt), zu dieser tteform
ihr Sch&rflein beizutragen.
Ueber zwei besondere Methoden der Ausziehung der
Quadratwurzel , mit besonderer Rucksicht auf die Ver-
dienste des italienischen Mathematikers Pietro An-
■ ^^^
tonio Cataldi, wahrscheinlich des ersten Erfinden
der Kettenbruche.
Von
dem Herausgeber.
In seiner Histoire des sciences mathö matiques en
Italie. T. IV. p. 87. macht Herr Libri auf einen wenig bekann-
ten italienischen Mathematiker aufmerksam, der selbst weder von
Montucla, noch von Chasles in ihren bekannten Werken er-
wähnt wird. Dieser durch scharfsinnige Erfindungen ausgezeich-
nete Mann , welcher in würdigster Weise sich den vielen trefflichen
italienischen Matheroatikern anschließt, welche durch die haupt-
sächlich von ihnen ausgegangene weitere Ausbildung der Algebra
ihren Namen eine so grosse Berühmtheit auf ewige Zeiten ge-
sichert haben, ist Pietro Antonio Cataldi, schon im Jahre
1563 Professor zu Florenz, 1572 Professor zu Perugia, und seit
1584, wahrscheinlich ohne Unterbrechung drei und vierzig Jahre
19#
I7ft
Heber \teet besondere Methoden
lang bis zu seinem Tode, Professor an der Universität zu Bologna.
Unter verschiedenen anderen bemerkenswerthen Arbeiten dieses
jedenfalls sehr ausgezeichneten Mathematikers macht Libri haupt-
sächlich auf zwei von demselben angegebene eigentümliche Me-
thoden der Ausziehuni; der Quadratwurzel aufmerksam, über die
er sich in folgender Weise ausspricht: „Sbn Traite de la ma-
niere expe^ditive de trouver la racine carree des nora-
bres renferme deux idees Tondamentales, qu'i auraient du lui
assurer une place distingtipc dans l'histoire des mathe'matiques :
ce sont l'emploi des. suites indefinies pour approdier indefiuiment
des racines carrees, ä l'aide d'un procede uniforme qui donne
snccessivement lous les termes de la seVie, et l'emploi des fractions
continues que l'on attribue comniuneiuent ä Brouncker. II est
vrai que les numerateurs des diverses fractions ne sont pas tou-
jours i'unitä, niais ccla est sans importance : l'idee est la meine,
et l'on ne peut reTuser ä Cataldi le merite de cette decouverte,
qui a joue plus tard im si grand röle dans la theorie des nombres.
II faut meme ajouter que dans l'emploi des series indefinies, il a
eu sniu de determiner les limites des erreurs et les restes des
series. II a reeonnu, dans certains cas, qu'en prenant successi-
venient un terme de plus dans la serie, on avait toujouis alter-
nativ-erneut des resullats plus grands ou plus petits que la valeur
demandee. Ces rechercbes sont fort interessantes, et tous les
genmetres y reconnaitront les premiers germes des plus remar-
qunbles decouvertes analytiques. On recotmalt la certainemeut
l'emploi des se'ries des l'annäe 1613, c'est a dire avant meme la
naissance de Wallis, ä qui on attribue ordinairement cette decou-
verte."
Herr Libri hat Catalrli's zwei Methoden der Ausziehung
der Quadratwurzel in einer Note kurz angegeben, ohne alle Er-
läuterung der Gründe, auf denen dieselben beruhen; die erste
jedoch, wie es mir scheint, nicht ganz richtig, wenigstens nicht
allgemein genug, und die zweite, welche den Gebrauch der Ket-
tenbn'iche in Anspruch nimmt, nur durch ein numerisches Beispiel
anschaulich gemacht. Da mir beide Methoden sehr- bemerkens-
werth scheinen, und dieselben einige Berücksichtigung bei dem
mathematischen Unterrichte wohl verdienen dürften, so will ich
mir erlauben, in dem vorliegenden Aufsatze eine vollständige theo
retische Erläuterung derselben zu geben, in der Weise, wie ich
reihst mir wenigstens vorstelle, dass ihr Erfinder sie gebraucht
and dargestellt hat
Indem ich ein für alle Mal bemerke, dass alle im Folgenden
der A*9%tekun§ der Quadratwurzel, etc. 277
vorkommenden Bachataben positive ganze Zahlen bezeichnen , s#i
Gx eine beliebige Grösse» welche grosser als VN ist, so das«
also •
G1>VN, GS>N
ist.
Man setze:
2Gt " »^""SCt — Clf
d — Ci = iGt + j^r = Ga;
so ist
Man setze ferner:
N
G% — ^a = l<*% +2ST = ^,;
so ist
G8« = C2»-2GaCt+ Ca»=2V+ (V-
Auf ähnliche Art setze man weiter:
G,*-N JS
• 2G8 -»«'»-^Eg-1'«'
G8 — C8 = 4G8 + 2g"^^4»
's
•o ist
G4« = €?,*- 2C8C, + C,»=iV + C,«.
Wie man auf diese Art weiter gehen kann, ist klar.
Wenn also
Gt>VN, <?,*>#
ist» so setze man:
— 2g — = Ci* V! — ti=Cjra; —^ = £*. &!— C*sCrt;
— |g — = £»> <?8— Q = Cr4; — 2g — =C4, G4 — C^s:^;
u. s. w.;
$78 O'runert: Heber %wei besondere Methoden
dann ist, indem ma» zu den obigen Gleich
uogen die Gleichung
G,» = iV + C,
wo C weiter zu bestimmen ist, hinzunimmt
G," = JV + C,
GJ = N+C,*,
G,' = N + C %*
G»« = W+C,"
G5» = iV+ C4»
u. .. w.
Nun ist nach dem Vorhergehenden :
2G,C,= G,»-iV=C»,
c,=
= 2G1'
2G,C,= Ga»-JV=C»,
Ct:
G,s
-2G,'
2G,C, = Gs»-ff=Cas,
c,
~2G,'
2G4C4=G,»— jv = q,!1,
C, -
f."
"aC."
^•-•FGt'GSG,'
r C»
t-'--2»G1«G,«G,'G,' .f..;.--
. .» ... ■, •_ W. ». w.
und weil nun nach dem Obigen
■v1 e, > vlv. c,> vff , G,:>vi». o,'>v*,...|=
: der Austfc&ung der Quadratu>ur%ei, etc. S7t^
G, > VN,
Gt*G%>NVN.
GSGSG^NWN.
G,°Ga4G3»G4>iVV^
G1uGt*Ga*G4*Gi>W*vN,
U. 8. W.
ist; so ist nach dem Vorhergehenden:
Cl<2v2V' oder: Cl<C(,2WV •
** < VNyN* C%<€\Wn) '
C* ' ■ „ / C V1-1
1 . <.» : J>
U. 8. W. U. 8. W.
«
wo das Gesetz deutlich vor 'Augen liegt. Quadrirt man» so fin-
det man :
ci*<*(2v*T'^- oder: ^<c%(m)v~1' V*
u. s. w. u. s. w.
Man denke ajch jetzt a*o Bestimm^» olass
... v*#<fc+w? ...■: .\ „...
ist«
Wenn du» !AT—a*'<«,'' UT<*a2 + «r ist, so><set£e man
2V = a2 + 6; t
>*f
•• • v
setzen. Wo offenbar im ersten Falle b = a, im zweiten Falle
o, = a + T> *Uo'
a a + 1
/
«.JV— o*<a ist, so setze man
(' if = oS+o, G, = o + ^!
Wo» iV — a*>a Ist, so setze man
< Jf-(«+D»-A„ ^ = -+1-5^;
4er Am%*htmn? der Qnmdrmwurtel, He.
«Ol
Cm-*.
2(o+l)
, C<i.
Wenn N~a*=a ist, so setse man
<?i=« + 2i »der Gt = * + l-%(Z+Ty
dann ist respectlve
oder
Hieraus sieht man, das« man die VN übersteigende Grösse
GY immer so bestimmen kann« dass
ist.
c-i, c*<i
Unter dieser Voraussetzung ist
C = 1 C^ä 1 m
2VJS < WN' 42V < ISN9
und folglich nach dem Obigen:
(1 V1-1
WH) -
(1 X**-1
Wn) *
(l \»'-*
rar) «;
c,<c
\tyNJ '
Q»<C«
(1 \»*-* / 1 \s«-i
u. s. w.
oder:
«.'"•. - w;
*, •
j .
■ j .
Geber %wet
Mit Rücksicht auf die aus dem Obigen bekannten Gleichungen
Gj«=iV+C*, Gi*=W+C,*, GB*=N+C**, G4a=^+Cs»
sieht man hieraus, dass die mitteist der im Ostgen gegebenen
Formeln zu berechnenden Grössen
Sa, G4, G5,....
sich der VN immer mehr und mehr nähern, je weiter man in
dieser Reihe fortschreitet, und, wenn man nur weit genug in der-
selben fortschreitet, der yN auch beliebig nahe gebracht werden
können, wobei nach dem Obigen die in Rede stehenden Grössen
zugleich immer grösser als ViV sind.
Im Altgemeinen iet nach dem Obigen:
if+ft-l":
■*•<&*'
vn) '
G1=yi?.ii+(^)'1'.
Nun ist bekanntlich.
(i6iv)
Nach dem binomischen Lehrsätze, dessen, Anwendung hier offen-
bar verstilltet ist, ist aber :
ä*r 4«fsfe*tt*# der Quadrttouml , etc. 283t
&=v*.|i + *.(^)'-^-(w)
, 1.3 /Ot-A»
1.3.5 /C*-iV
~076Trwtf/
oder
„ l 1.3.5 /Ct-iV 1.35.7 /C*_iV°j
- V^- j 2X678 AW/ "2.4.6.8.W \VNj \
■ S 1.3.5.7.9 /Gk-iV« 1.3.5.7.9.11 /ft-iV'f
— v^- j 2.4.6.8.1012 XvNj "2.4.6.8.10.12.14 \ViV7 I
it. -■
u*-.
woraus steh mittetet einer ganz einfachen Betrachtung auf der
Stelle ergiebt, dass de* Fe Wer» welchen man begeht, wenn man
setzt, jederzeit kleiner als
also nach dem Obigen jederzeit kleiner als
1 / 1 x**"1-1
folglicIvMlt jflfen. Fa» iwM»r, klflun» aja
•W)*
Am einfachsten berechnet man, nachdem 6t mittelst der oben
angegebenen Regeln bestimm^ weiden ist, die Grössen
■ *■ ■
G%. G$9 Ga? %» Göi'fi* i •
miffeAffe dftfv^Igejfttei in» »OMge» ■ »e wtefrenori > Rmneltf* i * - imi ra
Grunert: Ueoer %itel besondere Methoden
2d'
m+M
G»=iG.+ 57r=«c. + zr).
C= IC. + 5,5=1«?.+ gr).
G, = S6',+
'«'Y
>!(».+ Zr>.
Um ein Beispiet zu geben, »ollen wir iV = 19 setzen. Wei
i diesem Falle a = 4 und folglich N— oa = 19 — 16 = 3, also
f — a«<a ist, so rauss man
ia + 6 = I6 + 3, A = 3;
folglich
setzen. Rechnet man nun nur bis auf sieben Decim als teilen ge-
nau, und geht bloss bis G3, so erhält man folgende Rechnung:
Gt =4,3750000
iG,=2,1875000
iV:2G, =2,1714286
Ga=4,3!
;Ga=2,1794643
JV:2Ga=2,1794346
G,= 4,3588989
Wenn man Vi9= Gs setzt, so ist nach dem Obigen der Feh-
let bleiner als
HieW '
woraus sich ergiebt, das* der obige Wertb von Gt die Vlfl
mindestens auf dl» oben berechneten sieben Decimalstelien
dir Amntekim§ der QuadrBtmur%elt ete. 886
richtig liefert; und durch die gewöhnliche Methode der Ausliefe»
uug der Quadratwurzel erhält mau auch in der That
V19 = 4,3588989.
Wäre man bis G4 gegangen und hätte Vl9=G4 gesetzt, , so
wäre nach dem Obigen der Fehler jedenfalls kleiner als
*V16.19/ ""'AW.I9J f
woraus man sieht, eine wie ungemein schnelle Näherung die von
Cataldi angegebene Methode in der That gewährt, und es ist daher
unser obiges Urtheil über dieselbe, dass sie die Aufnahme in den
mathematischen Unterricht wohl verdiene, gewiss gerechtfertigt«
Der Logarithmus der obigen Feblergränze für G4 = Vl9 ist
0,7167948—19,
woraus man sieht, auf eine wie grosse Anzahl von Decimalstel-
len schon G4 die \/19 richtig liefert, weshalb die Methode des
genannten, bisher fast gar nicht bekannten italienischen Mathema-
tikers gewiss alle Beachtung verdient, und von Neuem einen sehr
erfreulichen Beweis von den grossen Fortschritten liefert, welche
die Algebra in Italien schon im löten Jahrhunderte gemacht hatte«
Ich will jetzt zuerst eine streng theoretische Begründung der
gewöhnlichen Methode der Ausziehung der Quadratwurzel geben,
weil in den Lehrbüchern darüber häufig nur wenig Genügendes
beigebracht wird, und weil damit die Anwendung der Ketten-
brüche auf die Quadratwurzel- Ausziehung in der Weise, wie ich
dieselbe nachher machen werde, nahe zusammenhängt.
Wir wollen annehmen, dass man mittelst irgend einer Methode
eine ganze Zahl G von solcher Beschaffenheit gefunden habe,
dass, indem k eine positive oder negative ganze Zahl bezeichnet,
G». 10** ^ N < (G + 1)». 10»*
oder
G.10*^v;V<(G+l).10*
ist. Setzt man dann
Vtf=G.10*,
286
Crunert; Vtier »wri desondere Mtlhodtn
kleiner als
so ist, weil y/N zwischen
G.10* und (G + l)10*
liegt, der Fehler, welchen man begeht, offenbar I
(G + I).10* — G.I0*=IO*.
Unter dieser Voraussetzung, dass man nämlich G auf die ange-
gebene Weise bestimmt hat, kommt es nun ferner darauf an, die
ganze Zahl '■', so zu bestimmen, das*
(G. IO*+ G,.10*-l)*< N< | G.10* + (G, + D-IO*-1!'
oder
G.10* + GJ.10*-»^vflr<G.]0* + (G, +1J.10*-'
ist, indem dann, wenn mau
ViV=G10*+G1.10*-1
setzt, der Fehler, welchen man begeht, offenbar kleiner
| G. 10* + (G, + 1) . I0*-H - (G. 10' + G, . 10*-1) = 10"
ist. Zuerst erhellet nun, tlass immer (<t < 10 ist. Denn
TM,
G.W + G^lO^^tG + I).
i G oben ge-
und folglich, wegen der über die Bestimmung •
machten Voraussetzung,
G.I0*+G, 10*->> VN,
da doch
G.IOH^.IO*-1^ VN
sein soll. Weil nun ferner aus der Bedingung
(G.10* + G,.I0*-l)a^iV<iG.10l + (G1 + l).10*-1|a
sich unmittelbar die Bedingung
2GGI.10a*-1 + G,«.lO*-a
<iV-Ga.10«
<2G(G, + I). 10e*-I + (G, + l)a.10"-a
ergiebt, so hat man zur Bestimmung von G, offenbar die folgende
allgemeine Regel t
t.
*»* AtaAHtaN* *& 9ua&atour%H9 «r. 287
Man setze filr Gx die ganze Zahl unter 10, für welche M*
nSchst
■ ■ .
ist. ' ■
Dass dies in der That ganz dieselbe Regel ist, welche man
bei der gewöhnlichen Methode der Ausziehung der Quadratwur-
zel stets in Anwendung bringt, erhellet auf der Stelle. Die Feh-
ler, welche man bei Anwendung dieser Methode nach und nach
begeht, sind nach dem Obigen kleiner als
10*, IO*-1, 10*-», io*-8,....
und werden also immer kleiner und kleiner, können auch beliebig
klein gemacht werden, da ja die Exponenten der. vorstehenden
Potenzen auch negativ werden und, absolut genommen, in's Un-
endliche wachsen können.
V
Eine andere, als eine zur Abkürzung der Rechnung dienende
Hütfsregel, welche bei der gewöhnlichen Ausziehung der Qua-
dratwurzel in Anwendung gebracht wird, kann auf folgende Art
bewieset werden.
Wir wollen annehmen» dass
2V-G* .10**= tfJO^ + a.lO**-* + 6.10**-»+cl0**-4 + ....
sei, wo a, 6, c9 d, — sämmtlich kleiner als 10 sein sollen.
Dann ist nach dem Obigen
2GGt . IO**-1 + Gj*. 10**-*
^0.1O**-1 + a.lO**-» + 6.lO**-3 + c.lO**-* + ,...,
und ich behaupte nun, dass immer
26?C?,^e, also G.^^j
ist. Denn wäre dies nicht der Fall, so müsste mindestens
2GG1=0 + 1, also
26'«! . io**-1 = e . 10**-* + 10**-* ,
und folglich nach dem Obigen offenbar
IO**-1 + G,* .10**-* ^a.l0**-* + 6.W**-» + c.l0**-*+...
H
280 Grmnert: V*ber %mei iesomdere Mtttoäen
sein. Nan ist alier.
™ 9 . (10«*-» + 10»*-« + 10»*-* + 10»-» + . . . . )
s
^ 9 . (10»*-* + 10«*-» + 10"-« + . . . . + 10 + 1)
+9, (iö+ 19» +iö» +W+ lö»+"7
_ io»-i_i /\ l i J_ J_ \
<9, lö-i +9Aiö+iö»+io»+io*+io»+ "")
^ 10«*-1— 1 +9. ^jg + j^jä + |Q3 + JQ4 + jgj + ....}>
und folglich, weil für jedes positive ganze n
i _i_
1 . * J.J-J. . 1 _ 10~ !(*+'_ 10»- 1_ 1 _J_
10+IO»+10»+,"+10"~ . 1 ~"T0T«~~9 10». tt'
J-TO
also
i-l-Lx * 4- 4.J- 1
9* (jö+ h* +ioi + io* + W+" v < *
ist :
i
u.lV*-* + b.lV*-*+c.WP-* + . ...<lOat-1-l + l<10«*-1.
Daher wäre nach dem Obigen
10**-1 + Gi*. 10»-» < 10**-1,
also 6,,*. 10**— *<0, was offenbar ungereimt ist. Folglich kann
nicht 2GGi > <0> sein, und es muss also
sein, eine Hülfsregel, durch welche, wie Jeder aus den ersten
Elementen weis», die Rechnung bei der gewöhnlichen Methode
der Ausziehung der Quadratwurzel abgekürzt wird.
x^um**'hm>4*r\99P+*t*»r**<» **• * Wt
Es kommt nun
von welcher Grosse irian Wi 'tief Rfeehniiiig ausgeh«
k\fy% öocii darauf an^ zu zeigen, wie man G,
i man Wi 'clef Rfeshnuiig ausgehen niuss, so
bestimmt« das*
C« . 1(P* ^ TV < (G + 1)». 10«*
we «', 6', c', d',.... simmtlich kleiner als 10 sein sollen. Dann
braucht man G bloss so zu bestimmen, dass
&^ G!<LG+\y • , . \ .
ist, welches wieder eine aus den ISfenienten alfgeiheiH' belÖtntf*
Rechnungsregel giebt, ttesefc^RtahtigtoÜ auf folgende Art bewie-
sen werden kann. Wenn
ist, so ist :t i i
^•.lO^^^Q^^CG+l^.lO«*,
«ad folglich nach dem Obigen offenbar auch4
ist, H ilt •• >ii ■! •.;« v.:!i '. !••• ,
.,_v '
.v. ! (G+1)«.10»>GM0»+10**.
10»»>a'.10«*-1 + 6'.10«*-« + c,.10**-» + ....,
«nd folglich nach den; Vorstehenden
Ta«tt XXX. »•
286 Brnnerl: lieber %teel beiandere Methoden
sein. Nun ist aber
o.lO"-' + 6.10"-' + c.lO»-«+....
™ 9. (10"-' + 10"»-'+ 10"-«+ 10**-" + ....)
*Z 9.(10"-' + 10"-> + 10"-' + ....+ 10 + 1)
+ 9(lo+iöi+Iö! + iö3+io'+ •■ -)
<"• 10-
■(■
10 T 10* T 10" T 10* T 106 ^
•a
lö T iu2TioaTio4Tioa
und folglich, weil für jedes positive ganz«
10+.0*"MOS
also
_^ _ 10 10-+1 _ 10"- 1 __ 1 1
■+10"- , 1 ~TDTy _9 10". ö'
h10*N9'
•■(;
lOMO1^ lO'^lO'TlO»"
...)<
«.10^-MA-lO"-1
l + c.lO«-* + .
...<to**-:
'— 1 + K10"-'.
Daher wäre nach de
m Obigen
10«->+ G,*.1Ü«
-» < 10«-
also G,«. 10"-* < 0,
Dicht 2GG, > © eeii
was offenbar
i, und es niue
nngereimt
k also
ist. Folglich kam
26'G, "" ©, l
J' <2G
sein, eine Hülfsregel, durch welche, wie Jeder aus den ersten
Elementen weiss, die Rechnung bei der gewöhnlichen Methode
der Ausziehung der Quadratwurzel abgekürzt wird.
Es kommt nun fr!p*% noch .darauf an«, zu, zeigen, wie man G,
▼ob welcher Grösse man Wi der Reshni&g ausgehen muss, ao
bestimmt, dasa
ist; ''JM'aW Ende '*a:--:-'' ■• ■• . : r •»'•'■-!■■■•'■' •■■•:"■««•
2V= G'.10»+a'.10»»-1+6'.10l^-» + c'.lÖ«-«+ '..'.'.T
wo •' , b', c' , d',.... slmmtlich kleiner als 10 sein sollen. Dann
braucht man G bloss so zu bestimmen» dass
*»/ -.i-»:*.,-!.".,, ,,-i. <'& = '£,-■.£. tf ■■<■■ ■ ■■:■.;!>,..
ist» welches wieder eine aus den Efenienten allgemein^ bfeläuitttb
Rechnungsregel giebt, de^ft; Richtigkeit auf folgende Art bewie-
sen werden kann. Wenn
ist» so ist .. ... .
G». 10« ^G'Jfr* « («+ 1)» . 10**,
and folglich nach dem Obigen öne'tfbar auch
Weil aun aj>er ieritör ■-> '♦ - - A { . k f -u. ..«:
.. ■!•■■■' ' ' (G + !)*><?'
•Ist, SO ist :■■. V» i '.;■ v ;ff "■
• <* •.
i . <
<£+}$>■? +l>:
also ..-/; '.-».w.
« I
T ' -
.v (G + 1)M0*>G\10»*+10»
:e*M:wle'oben'Ut''aber':i>i,>;,-">- '■''■ -!|: '»■iI--; ä ■•'• «V*
10» > a' . 10»*-1 + b' . 10"*-« + e' . 10«-» + . . . . ,
.1
also
>n, ■ ■ .: ••--->«•'
und folglich nach deni Vorstehenden
Gmnert: Peber twtt betmdere Metlwdtn
wie verlangt wurde.
Auf diese Weise sind alle Regeln, welche bei der gewöhn-
lichen Methode der Ausziehtiug der Quadratwurzel in Anwendm
kommen, vollständig beniesen.
Nehmen wir nun an, dass man durch die gewöhnliche Ma-
thode der Ausziehung der Quadratwurzel für ein beliebiges k die
ganze Zahl G so bestimmt habe, dass
ist, wo C eine positive Grösse bezeichnet; so ist
und folglich
JV=G*.10«+(2G,10*+C)C,
y— g*. IQ»
6' =
~ 2G.]Q*+C'
8C'"' + t»Ttot,,-p""
'26MÖ*+.
und daher nach dem Obigen:
Fär JV= 18 kann b
2G.10*+..
, wie sogleich erbellet, G'=4 und A= 0
i dass also in diesem Falle
N— G*.10"=:l«— 16=2, 2f;.10* = 8;
folglich
* «-*oi st 2 ■-,•» <«oi i "oi -a
V/18 = 4 +
5+I+?
****•
welches ganz der Kettenhmch int, den Lihri als von Ca-
ll i angegeben anführt.
m» .s* i m **m**m**mn *»«*. ..»„.„im
Für iV = 34789» giabt die gewSbnllehe Auiiiebung der Qua-
dratwurzel, wenn man' dieselbe bla »r drlttaa Ziffer der Wurzel
lerteetat. Folgendes:
I_
2) 24?
324
2196
TB?"
AMUkeVbV«a:lB«il«|;iit»s taW., .eod MTlstih ,>„/
.',.'.AJ. ■-,'., ...-. -J-.i^iiiij^--..- ■. »;•„:,.»- „.«,, i
Ä — 6". 10" = 34799*5 - 3499900 .
■t«.l»s=»H.l»=W»i|.''
daher nach den uUgBa.
,",t"*S+"*«
Jedenfalls ist es in historischer Beziehung sehr bemerken* -
werth, daas, wie Libri überzeugend nachgewiesen zu haben
schwillt, die Form der Kette ubrücbe , deren Erfindung sonst all-
gemein dem Lord Brouncker beigelegt wird, voh''C4t«ldi
scflon, frflher als von diesem in Anwendung gebracht worden ftt,
rmtl daher auch dieser jedenfalls sehr ausgezeichnete iufMi.tte'fcfe
.^tflthsinatikfir als eigentlicher Erfinder der in Rede" stt***drt
wichtigen analytischen Grösseniorm zu nennen sein dürft«». Sota
Andenke^ zu erneuern und ihm die verdiente Beachtung A"»er-
Wppfßft, war mit ein Zweck dieses Aufsatzes. ■■'•■■!.-> «i:..
202 li/AalC; Not» ntr tlnlifrottan dt <rurt<tntt ^nmt. tffftrmtirtltt.
Note mir ('Integration des equations differentiellea
I. x*(a~bx)dty-%x('la-bx)dxdy+'l$a-bx)ydx*=%a*dx%.
II
<Py + },**' = ».
III.
*, + *<&* + f**£=o.
IV.
x'dh/—2*dzd!i + 2!idx' = ^l^-
Par
Monsieur It. Lobatto,
Hrofetieur de mathvmaliquea a l'Acadrniie Rnjalc
■
M. le Profesaeur Wolfers ä Berlin s'esl ilpja occupe t
ce Journal *) de .'Integration de cbacune des equations precedentes.
Quoiqne la marche suivie dans ce Iravail ne puisse donner lieii
ä aucuoe Observation, j'ai cru neanmoins qu'il ne serait peut-etre
pas inutile d'indiquer ici d'autres procedes pour obtenir les inte-
grales de ces equations, et qui m'ont parn plus simples et
plus directs que ceux employes par l'habile geometre que je viens
de citer. On va voir qull est meine postdble d'y parvenir saus
rechercher prealablement le facteur propre ä rcndre integrable
l'equation proposee. C'est ce que Tonne i'objet de la preaente
note, oü je trailerai auccesei vement ce* equations de la man irre
auiv&nte.
») Vnir Tum. WHII. pag-. 171.
Ecrtven* d'abord la propoarfe ae«s la .forme
(a — bx){xtd*y~<lxdxdy + 2yc&r*)
— *2a\xdy^ydx\dx + 2«y<fe* = fa'c&r*. (1)
Fabooa maioteiiant yssxz, ou: = *; on cn dtfduira
> . - • -,* . .
« /
w- x*dPv—2jcdxdit -f- %ydx* •
ee'qui cbange IVquation (1) eo celie.ci:
(a— bx)xhPz — 2a£9<fc<&r + 2axxdx*zz &d*dx*,
■ • ' - ■■■■■•■.:■ • ? ■.:-.:•'
qu'on poorra präsenter encore aous la forme
{x*d*z — Ixdidx + 2«ir*) aa? — bx*d*z ss 6aa<fcr* (2)
Ör, tu comparant Ja quantitl trinäme* qui forme It.facteur de *x
i la valeur prtfetfdante d$ x*4h* qd remarqueca d«i «uite, qu'on
potirra la remplaeer par 16 «produit x*(P(-), de «orte que f *qaa-
tion (2) ae i^doit actneltontent a la forme aimplifiee:
a**P (-} — 6x*dh = 6a*<&t*
©-
:i..i»"
on bien». apr&a avöir divisä par x*, onaura
La dif^reotielle dx 4tant auppoeta, coDstaute, .cbpqii? iiiembre
dt i^qa^tion prec^deute devient imm^i^tomeDt. (nttjgralile, et
Tor obtient ponr int^gra)? premtere:
('» \ 2a*
lntegrant de nouveae, II viendra
• i-,ftr■Ä^■+C4r+l^ff,■■,!•|,■ • '•■*
t9A Lektine : Note t*r rtnleyratlon de Qmelgvet e>/tiat. dtyeren$feU*t.
C et C elunt den* constantes arlntraires. 8i Ion *crU riuinl«
nant p«ur t aa valeur ™ . an trouvera
«(a — tx) «• _ .. I „,
h«t+ c.
I liien
_aP-t-(Cg+C0g»
y— a—bx
resultal qui, apres y avoir change la conatante C en C -
cnineide exactement avec cell» obtenu par Mr. le Professeur
Wolfer«.
II. Integration de l'equation
Bii fjrivaiil la proposee sous la forme
d*, + s(d log *)»=(),
(1).
on est conduit ä introduire utie nouvelle variable : — log.r. ce qui
revient ä faire x= e*. Changeons en m6me temps l'equation (I)
en nne autre, oü dz an Heu de d.r soit la differen Helle suppose«
Konstante. Pour operer ce changement de variable independante,
il faudra, comme Ion aalt, remplacer d'abord tt-y par
rfV
on a e&r = e*(£z, d*x = e'rfi*, donc l'equation (1) se chu
l par ces substitutions en
d*y dy
= 0.
II est evident maintenant, qu'en posant y^Ae"1, >on obtiendra
une integrale particulifere de l'equation prece*dente, pourvu quo le
coeTliuient a satisfasse ä l'etjuatioa du second degre
« + 1=0,
I + V-
d'oü Ion tire pour a les deux valeurs
On en conclut que si a , a' designenl ces deux meines, lin
tegtale comp]* tu de la proposee pourra s'exprlmer par
Lorano: Nmm^lm^mKmm^m^^m^^^^^^'Wi
A et A' repreaeptftfrti denx eonetantee arbitrairee.
Apree avoir Mbsttiut & a et ar leiira valeora namtfriquea* om
ebtiendrai aacceeaivemeot
'in* ,|. *|. --.'.•, -. J -.''0« •. I .. -U, U.:.- '' II. I
' 5 »V— 3 •.. — «V- a
.•:.«u.# !.! j.i ^yp^tife ». +ij'a « ,}... :•»;„. -,'ji| m
= e« |^(Coa^+ V^Sin^)+^(Coa^ - V^Sin^?)|
• ■ ■ ■ . - ■
tfquation doot le aeeond membr* poorra facileraent, k l'aide d'un
ebangement de conatantee arbitraires, £tre räduit ä la forme
1 i.t>
C^SMi(a-lV3^
et d'oü Too tire finalemeot* eo ayant tfgard ä la valeur de x:
y = cVx Sin (a+ 1 V3 log x).
III. Integration1 de l'^quation
Soit - = 2, la proposäe ae cbangera eo ,
x
Präoons'z au heu de x pour 'variable* incUpendante, iY iktidra
alora remplacer iPy par «Py dST~' Or, puiaqu'on a dla?= — *>
d1*?— — j-, la noqvelle valeur de<2% deviendra VPy-f 2 -, ce
* ■ -i .^ ........ . 2
qui r<£duit l'equation (I) ä celle ci:
dont l'intägt *le compiit« , » ,-pavr v«|ear
»tri: LimtM'f
IV. Integration ilt« ]*«?*juation
r»vrfr»
^-fc^ + W»^-.
I'» faisant y = .Ti oa '— =*, od a dejii vu ci dessus (1) qite
le premier membre de la propbsee exprime preeisement la valeur
du uroduit x3d?i, ce (jui reduit cette equalion ;'l
gflJH = -^- ou hien £g = ^.
•quatinn d»n( i int? jrrfrfe cowplete a pour valeur
zts^e/*'**"7/;
Jy a^»rl^'s Coa^truqLjrtn des Krüin.aiuQgskreises dj^r
11 _(. Kegelschnitte.
dem Herausgeber.
' ■■«.*> - - -
, Herr Lamarle in Brüssel hat in einer kürzlich in den
Bulletina de !" AcadtfttMe TtWyftle' ■»*«* sc-i«iJ«»tJ, ' den
lettre» et des, beaux-arta de Bejglque. 1857. No. 6. p. 33.
erschienenen Abharldlnngi JThBö fie^e'iJnWfrfque des rayons
et centre» de courbur,«.; pir M. E. Lajnarle, aasocie' de
rAc«4emie" eine neue geijiaetrifac.be Theorie «WKrtlmnWnfca-
drt tiritmmmtgslirtmt dtr iefftttthtitlte.
i der Curven geliefert, welche noch unserer Meinung jetleri-
9 grosse Aufmerksamkeit verdient. Die Hauptgrund tage dieser
Theorie bildet eine neue Definition der Cnrve, welche Herr La-
marle In einem Früheren Aufsätze (Bulletins de I' Academie
Royale de Belgique. 1866. Tome XXIII. — II«* Partie.
p. 642.) mit besonderer Deutlichkeit auf folgende Art ausdrückt:
„La courbe est la trace dun point qui se meut sur une droite
mobile, le point glissant sur la droite, et la droite tournant autour
du point;"
und es ist in der Thal überraschend, mit wie grosser Einfach-
heit, Kürze und Leichtigkeit Herr Lamarle au« dieser Definition,
verbunden mit einigen ganz einfachen Sätzen der allgemeinen Be-
wegungslehre, eine grosse Anzahl sehr merkwürdiger t'onslruc-
tionen der Krümmungskreise der wichtigsten Curven ableitet, nach-
dem er schon in früheren Aufsätzen (Bulletins de l'Academie
Royale de Belgique. 1856. Tome XXIII. — II»« Partie.
p. 408. und p. 637.) dieselbe Definition zur strengen Begründung
der Theorie der Parallellinien benutzt hatte. Herrn Lamarle's
neue Theorie des Krümmungskreises in einer Uebersetzung hier
mitzutheilen, hielt ich wegen der völligen Neuheit des Gegenstan-
des nicht für angemessen, indem ich es aus diesem Grunde, um
ganz sicher zu sein, ganz den Sinn des Verfassers zu treffen,
für zweckmässiger halte, die Abhandlung vollständig im Ori-
ginal in das Archiv aufzunehmen, was ich zu thun hoffe, sobald
Herr Lamarle seine Einwilligung dazu ertheilt haben wird, ohne
welche dies natürlich nicht geschehen kann. Auch ist es viel-
leicht gut, mit dieser Mittheilung noch einigen Anstand zu neh-
men, da Herr Lamarle selbst (p. !>4. und p. 95.) seine vorlie-
gende Abhandlung nur für das erste und unmittelbarste Ergebnis«
seiner bisherigen Studien erklärt, und auch nach unserer Meinung
die Sache jedenfalls noch weiterer Ausbildung nicht bloss bedarf,
sondern auch fähig ist, wobei es uns zugleich scheinen will, dass
sich die unmittelbare Anwendung der Principien der allgemeinen
llewegungslehre wohl ganz unigehen, und Alles sich auf blosse
geometrische Betrachtungen zurückführen lassen müsste. Für
jetzt haben wir unseren Zweck erreicht, wenn durch die vorste-
henden Bemerkungen die Aufmerksamkeit der Leser des Archivs
auf die von Herrn Lamarle entwickelte neue sinnreiche Theorie
der Krümmung der Curven gelenkt wird, die jedenfalls noch zu
weiteren bemerkenswerten Ergebnissen führen wird, woran nach
dem bisher schon Geleisteten nicht zu zweifeln ist.
Ausser diesem nächsten Zwecke, die allgemeine Aufmerk-
samkeit auf die sinnreichen Untersuchungen Herrn Lamarle's
Grunert: Lamarte't
zu lenken, werde ich In dem vorliegenden Aufsätze noch die »«
diesem ausgezeichneten Mathematiker gefundene Coosbmction des
Krflmiuungskrci^es der Kegelschnitte mittelst der allgemeinen Prin-
cipien der analytischen Geometrie ableiten und entwickeln, um
somit «ins der bemerkenswert hegten der von Herrn Lamarle
erhaltenen Resultate den Lesern des Archivs m Uz u (heilen, freilich
auf ganz anderem Wege, als Herr Lamarle zu demselben ge-
langt ist, wobei leb zugleich einige, bisher noch nicht bekannte
Ausdrücke für den Halbmesser des Krütnmungsbreises der Kegel-
schnitte entwickeln werde, die dem Wesentlichen nach auch Herrn
Lamarle angehören. Einige Constrnctionen der Krümmung»
kreise anderer Gurven hoffe ich diesen Mittheilungen Ober <
Kegelschnitte noch folgen zu lassen.
Die Gleichung der Ellipse und Hyperbel ist
G)"*(ö"='
nn man für die Hyperbel in dieser Gleichung 6 V— 1 für
2t-
Aus dieser Gleichung erhält man leicht durch Differentiation:
§8.
«y
Sind nun x,g die Coordinaten eines beliebigen, aber bestimm-
ten Punktes der durch die obige Gleichung charakterisirten Cbt-
ven, und bezeichnen wir die veränderlichen oder lautenden Coor-
dinaten durch X, ) ; so ist
>■-.» =
hbZrrt
die Gleichung der Normale in dem Punkte (.ri/J. Setzen wir wie
gewöhnlich
f— Vn»— 6",
wo immer bei der Hyperbel b>f — I für o
" -AXTc)
dieGlaithungender beiden dem Punkte (^'/) entsprechenden Vci
Nun «ei (W) ein beliebiger Paukt {er Normale, so dass also
nach dem ObigM w' , r "lii . * fl
ist Fällt man tob diesem Pookte Perpendikel auf die betflJi
Vectoren, «4 Mnd die Gleichungen dieser beiden Perpendikel nack
dem Vorhergehenden:
Für die oberen und unteren Zeichen sollen die Coordinaten der
PApAsckbiftspihikte der Perpendikel mit den Victoren , auf weldty
sie geteilt worden; respecttrfc *, e und Ug, Vy sein, und ditfent-
spf echfenden Vectoren seJbetvW.oJlen wir im Folgenden jdnrch r und
yj beteichnin* Zur Bestimmung von tt, e.Wid «4, rt haben wo-
nach dem Obigen die Gleichungen:
und
. ..«.r.:.»
Legen wir durch die Punkte (tft>) un^ (*i*i) «ine Gerade, so
Ut deren Gleichung: f .
K^^^Z^*-,,) oder F_r =^r^i(^_^)#
Der Durchschnittst>unkt dieser Geraden mit der Hauptaxe der
Ellipse oder Hyperbel sei (u%v^), so bat man zur Bestimmung der
Coordinaten dieses Durchschnittspunktes die Gleichungen:
* " m
ra— e=^^(ttt— «) oder tfc-^ss^^ (•%--•*) und t>1==0,
woraus
j. = __ 5 1 t?* = 0
folgt.
Es kommt nun zunächst darauf an, die Coordinaten tt, v und
Mi, vg zu bestimmen. Au* den obigen, zur Bestimmung dieser
Coordinaten gefundenen Gleichungen erhält man durch Subtraction :
» — *■";£; (»—«) + -j-(»— fl.
•-»»ift.i-^+^f»!-«;
»-»=
ia.ilKt!
(*+e)Hy*.
und hieraus ferner:
.(j^l+s«
.Wtf,
„=<!=£+*„
(ar+-e)if
folglich, weil
r»=(*-*)» + S«, i-,« = (.f+«)f iy*.;
-■**■■
o^tpicii
,11. ,,!,„. ji J^,W»:7»>»fe-<)fr-'?)ICi!-'>.'
!»(»-») -K«+«)(t-»)l(»t«).
und diher fenicr nach "dem Ofclgon"
!»(■—»)+(«— «)»—*)!»
!,.,.. - .., 1,1 ■. "_*-,. . «"wTfTj: ., ..,.; '..,.
*•-»'■ .":'"'.'..;> .i- ljijÄj)+(*+«((r-»K, ' ,.
:.i..ii.1..H<i*'..l...-..T»--Jf~^. ..*.- 'rl*:.: «... ..;,.. .,
folgt. Nun ist aber bekanntlich m:»/.
also: ~,v
3f(9
y(9
x . , x, x <!*** + 6**0—«),
i \i - j ...
Nlberefent,
folglich, wie man sogleich übersteht, weil
ist:
. ■-;. ■" : ^+.***sff . ■:-i, -v
oder:
i,i'-'\
' e*
yfo-y)+(*-«)(*-*)= *- — —}■"■ -■' - ■»
•17
- \ . -." ? i - ? . - -•■ V ■'.!■'. -♦.- - |> # "■* "* \ t
jK*-jf)+(* + a)(r--*)== x . ... .1- i .,,.. i,.|
folglich nach dem Obigen :
«(«— -f)(*— «)(r— *)
tf — *=- : ■ — s ,
• . . ( T*X ,-.
«0+ — )(*+,*)#~*>,i- - ■ ■ w-
«t — #=
and:
■ t • ^ -■■■_.
c,-y=
r|%fc.;'- M."«o;. rt l:Vt ?— /A
a' — b'
= 5f-2.* + «»
-(■—;■*—>■•
,,'=(*+»)* + .»=*■+ 2«»:+«' + j|C#-««)
= ^ + 2« + ..
Ea Ml aber
. />*Y ••-•>>• a«-(o»-S»)*« o'(««— *•) + 6»*>
"*-W f,Tir^i=. •• = *~
IM der Ellipse i»l " "''■' ' T ! W" " '■
und 6" poiitiv, alw» auch a»— f * posjtJT, folglich ofeobftr
—(?)'>»■"
»Iso, wie .»gleich w>HI«H,^,'
IM der Hyp«rtiei Ut, Ire«, wir 4»/3[ fär o ahn:
' ■ »*=-„,<«•-*■>.
ab» «"-*• DeptW, ««*«» itli" d.4i Obi«n, » irkriet
*♦/=• «r 4 «eeefat wH!,> * '''
x. •*
ist SO ist % ■ : -i !*M!*»«f;l> :*tli'f;/fl .•»?» i*»rt
bt. mm * po«Uiv, «o Urt!v; -\ ,.
< ;.• -7-H..
: lullt
ist dagegen tfi#Arf «ist , _ - , ■- .. .,
.l-i vitr. •»•)•' "*ji»ii /i}i»4»<j '
Nach dem Obigen ist folglich bei der Ellipse immer
ex ex
Bei der Hyperbel dagegen ist
I ■■ ".- 0m ex ' v *
oder :)*>!mit vmnidj*?!! io)ii >!'♦! M-»JJi.»i .-r-nn ?ti« , oftfc
jenacnaem » positiv oder negativ ist Also ist bei der Ellipse
fthnertU^V
^'^ ea? . ex
bei der Hyperbel dägeg
tatfcenMst J
«a? mmm >*ff^i4tt mo!» it*>r»? !i*»v . rfiifsfi-t
,«■* -- i'tM
wenn man die oberen frier Wffmm Zetehtfti nimmt, jenachdem
x positiv oder negativ ist AÜso ist nach dem Vorhergehenden
bei der Ellipse: :1 r
<* -«»»%« «fr— «rar*)
»•C"9^
TVX
nnd Thrill founH^oil i^ht »•*♦! l.»*ii.tu Acu&idiri iu.hi 9**9 ,i»H«>
lerbel dagegen ist:
a(x + eHt-s)
rtx
II -
»1— *«»:fc-
4
-»=T
id mau ■ obere
jltiv oder ■
Für die
13(1— x)
, fttfytih
Seichen nimmt, jenachdem
I. i>
nllt anA i
ftlio. wie man mitteist leichter Rechnung findet:
I ' -t 1
I nun den Obigen >
.,. i -. _ T» ■ ■< t ■ „
»4er , wie nun bVerui* mitteUt leichter RathMDg ladet:
fn*a Kmhcmae. üo&
.-•»:
Ist nun der in der Normale bis Jefet DeHeVig angenommene
Punkt (TV) der Mittelpunkt des dem Punkte (xy) der Ellipse ent-
sprechenden Krümmungskreises, so ist, wie man mittelst der ans
der allgemeinen Theorie des Krümmungskreises bekannten For*.
mein leicht findet :
und folglich, wenn p den J^mpun^hallqpesser bezeichnet, weil
Nach idem Obigen tot also,:
folglich, weil
* ■ •
v : a
und daher
ri+r=:2a, ri— r=s —
ist:
Setzt 'man nun hierin
. 1'l.r.» M- i* iii ift tl "> //
6*
1 m
so erhält man:
(af — 6*)ar e*x Ä
**"' ' «,« a7> *aaa
Die Gleichung der Normale ist nach' dem Obigen:'
*/ —■■" o*r *x. « • ' *■■♦■■' h»i..i jr.f. .-! .(;.j,^
Tlitil XXX. fl
IHMJ Grwnert: Lamarlt's CmntructUm
und sind also ;/a' , c,' die Coordinaten dps, Durchschnittspunkl
derselben mit der Hauptaxe der Ellipse, so hat man zu dere
Bestimmung die Gleichungen:
«»'= ^-=-^, V=0
ergielit. Also ist nach dem Obigen :
und die beiden Punkte (»■.;■-) und (uj'ea') fallen also zusammei
Aus allem Vorhergehenden ergiebt sich der folgende meri
würdige Satz:
Wenn man von dem Mittelpunkte des einem gewis-
sen Punkte der Ellipse entsprechenden KrHmmungs-
k reis es au I' die beide u, demselben Punkte entsprechen-
den Vectoren Senkrechte fällt, und durch deren Puss-
punkte eine Gerade zieht; so schneiden diese Gerade,
die dem in Kede stehenden Punkte entsprechende Nor-
male und die Hauptaxe der Ellipse sich in einem und
selben Punkte.
Für die Hyperbel ist:
i ni.iii die oberen oder unteren Zeichei
positiv oder negativ ist. Als» ist:
mpj — c«! = ± ay (r — x)
yfr-*Y'.
£♦#
ichdem x
w
(h®<
eil nach dem Obigen
ist: ^
-. ~~r~" 1> r, .v-,\ »2W<r— ar)
oder, wie man hieraus mittelst Jefchter Rechnung findet:
>fJl1il«Kl)i:>i'j-:)!^l;idC]fyI«|.|i'^l^.^f)dP'-'H ^Ti!« '»*.■■■ i*--n
frtH*>J* HS i.'üsm J*«' «•* . i;f!7'-T ;l| yf.- «r/M«|M? *I •***. *.\t.; '[viI-.vt.I
Ist nuo wieder der in der Normale. bis jfltzM^U^g.WgfWOJfVr;
mene Punkt (jrn) der Mittelpunkt des dem Punkte (oy) der Hyper-
bel entsprechende^ ifru^mupgskrei&ir ;sq ist« »w,ie man mittelst
der aus der allgemeinen Theorie dW'&r&mm'ungskreises bekann-
ten Formeln leicht findet: thir. *-it- < •
(afy* + b*ai*Sx • v > ' («Af* + 64a?*)y
und folglich, wenn o den KrümmutogsMbmesser beseiehnetiy:weil
)*■;■■■■■ -(q^4-'ft^)*' ^ v.-:".-k::= .: ■ ,...:,■»
Nach dem Obigen -ist also» • ■■■* •**:••. u*'i .t-=*.
I t
folglich / warf , fthnrtr mit derselben Bestimmung wegötf der Ver-
ztftHen' wfc oberi,
« ■ * • ■ ■ . .
6X ex
1 •»•!'•■» : ■'■• •'■' ■:'l .■ ■■ . ■■ -,,■/: ••
f •
'Iilf •><• .'iS.'*..!- . • -Vi i f. . 0 ... v 7 . ....■.;.. .'; •
ii am !.?«•* vt«ei> «*ri »^t s^4^2il^ ^ +r?=Jrrr*trj . ■ ■■■■ A- . . '»
* I '
21*
■*-«/
» - > = jf; («i - «) + ~Z (% -') :
"-»- (X-.JJ,
(»+«)Hy'
| -. * »- (» + «)„
.•-■-.' ,?*■ t, .■ ■■..~.(**-.*)(r— j* -. .*..
■ ■"-»-(ir5i<— * > f
?.., s.i......,ii ^ir*P.(,4^ft*T"*? ~ .-- - *$ , ; . ;T*,:... ■:..
woraus *mglt?ich
Hr(»-jr)-»(»+«)(t-«)l(« + «).
"■-*- .., Sf
(I .- ... . ' ; . .
und daher ferner nach 'dem OMgBD'
!»(»->)+(»-«) (»— ')>)
, .,, •,,..»• '.""IT..:" "im-.II»..!. ■■■1 .".;"'..• f
ii |.liw5.I»i:.T*-r»
UrtBJÜ+f'+JÖt^'f "
de$ Krimmuiigskrelae* dtr KegeUchnUle.
unmittelbar zu der folgenden , äusserst merkwürdigen und ein fache»,
von Herrn Lamarle auf ganz anderem Wege gefundenen Co»-
struction des Krümmnngsmittelpunkts hei der Ellipse und Hyper-
bel führt:
In Taf. VI. Fig. 1. sei P ehi beliebiger Punkt der Ellipse oder
Hyperbel, und F, I'\ seieu die beiden Brennpunkte, so dass also
FF, die Hauptaxe ist. Bei der Ellipse balbire mau den Winket
FPFt, hei der Hyperbel den Nebenwinkel von FIT, durch die
Linie PN, welche die Hauptaxe FF, in dem Punkte N schnei-
det. Durch den Punkt N errichte man auf PN ein Perpendikel,
welches die beiden Vectoren PF und PF, oder deren Verlänge-
rungen respective in ,V und ,U, schneidet. In M und .)/, errichte
man auf die Vectoren PF und PF, Perpendikel, welche die ge-
hiirig verlängerte Linie PN in dem gemeinschaftlichen Punkte O
schneiden. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des dem Punkte P
der Ellipse oder Hyperbel entsprechenden Krümmungskreises der
betreffenden Curve, und also OP der Krümmungshalbmesser.
Dass man, um den Mittelpunkt O des Kriimmuna'-kreises zu
erhalten, eigentlich in N auf PN bloss das Perpendikel MN, und
in M auf PF das Perpendikel MO zu errichten braucht, versteht
sich von selbst; das obige Verfahren bei Ausführung der :iCob-
struction bietet aber in dem genauen Zusammentreffen Her beiden
in M und M, auf die Vectoren errichteten Perpendikel in dem-
selben Punkte O der Linie PN zugleich ein Kriterium für die
Richtigkeit und Genauigkeit der ausgeführten Zeichnung dar.
Dass diese Construction auch ein leichtes Mittel an die Hand
giebt, den geometrischen Ort aller Krümmnngsmittelpuukte mit
beliebiger Genauigkeit zu zeichnen, versteht sich von selbst.
Aus den von mir im Obigen entwickelten Formeln und Glei-
chungen, welche zu der vorstehenden einfachen Construction des
Krümmungsmittelpunkts geführt haben, lassen sich noch verschie-
dene bemerkensiverthe Folgerungen ziehen; um jedoch diesem
Aufsatze nicht eine zu grosse Ausdehnung zu geben, will ich aus
denselben nur noch einige Ausdrücke für den Krümmungshalb-
messer p ableiten, die zum Theil auch schon von Herrn Lamarle
gefunden worden sind.
Bekanntlich ist bei der Ellipse and Hyperbel:
e = " «»&•
Mimrot man aber im Folgende* die oberen Zeichen für die Ellipse,
die unteren für die Hyperbel, so ist
I
tili ut iMlbttirn"!
S, wie man leicht findet:
nifer
1 Ar«
■ ■ .
Für die Ellipse ist nach dem Obigen:
t .' i ■ ■ ■
ex
00
q*.T- --*-■?= rr, i.!'.r.'J N
und für die Hyperbel is*: htm .wo'l «»Iwt-lai
ex L> Kg * »«fU
'. Um V. .-.
yiena man die oberen oder unteren Zeichen nUnmt, jenac^em *
positiv »der negativ ist, also allgemein : .,,
..-.:■ .-.: .:■:■:'. .■...i.v; ....". i* : ..Vm»..«..' !>,.» ,;-j».t.t.
Fojdicb. ist nachdem Obiges für die Ellipse und Hyperbel:
tiiü -.^;.L«-|ljii;,<i*v.'i>ii-^+AW*=Ji'%^rj>*h>''Mi->Niii-.-' imli .ci
und 4t*«r ,. -. ,-:^. \.\ \.. -., ,,-:■ ni..;.,- „, tltulViirtfi-ft-t vigM-i:
.f.-|J- :. ■ i :- . :,■;>■..:;. . ,1 rtl») !; ■> 1 .■-WrT^lofl IJ.VIlM'l» ,lf|V|.;.
W. ., ■....; „ ■« »-vi ..«kil hihWiU '
m'~.-»i:. ■-:.- ; . ■>■; fafatr.myAftrttt
.II:.!»
.■iww-.W.ad ■:. ,
-m- iil.ia » :■/.
•On"'MiS:SW»M'K j'.«'. l"-"':- ,':,™'»ir!'™ii'!!;./"Vw"™
2a = T + rlt o» — Ba^jl ■ <i»li'i-v" n-l.mpli. :
also i9ih-j']/ll fcii'i aa<[i;:H nli iat! 1>.i ifiil)u"'J-i;i
4J» = 4«'-«f«il(mf, *S').('","'', -a,)'
and folglich:
::.!! Jlll
>+'i)V"(7!
JMS* JHNRMMSf A(0MPwflMNP *Wfr Jf60¥M9mftn€, 9Xt
Bei der Hyperbel ist: j ; ■ ■ . . -
* .' •■ — - «
2a = ±(rl~-th a* + 6* = e»,
wenu man das obere oder untere Zeiche* bi«tfct* Jehochde»i»
positiv oder negativ ist; also ist:
46»===4e*— 4a*ttf t2«±(ri -V)}{2e=F(ri--r)|
= (2eTr±rl)(2e±rTr1).
und folglich?*
► i v ■ ■
fl = ± m +* Vni, ■ , ■ ..... „,7/
(ri-r)V(2uTr±r1)(2e±r+r1)
immer die oberen \ oder unteren Zeichen genommen, jenachdem
x positiv oder negativ ist, wobei man sich stets zu .erinnern
hat, dass oben dem Brennpunkte F die positive Abscisse e bei-
gelegt worden ist.
Bezeichnen wir den von der Normale mit den beiden Vecto-
ren eingeschlossen^ fcpHseto Winke! durch #, so lötiTacfe dorn
jQbig/ip TOr : die Ellipse : . , .-
'" t ^_t V&"*ke _a-li»^Te)-6^'i!l4;' "'
1
also :
.«•-.In
und hieraus:
1 *4
: -:M»o
folglich, weil
6a
i i« ■;'■ i; '•■.:' 'fiiii J"'»/f i>u:r
ist: ,i. -> ,w'";
ö=-?=l, A = cosöVr»v.
Vit,
Weil ddd nach dem Obigen
und 'ia = r + r,
_ 2rr,
e~(r + rl)co8Ö'
welche Formel schon Herr Lam&rle gefunden hat.
Bezeichnen wir die Normale, d. h. das zwischen dem Punkt
(Xy) und der Hauptaxe liegende Stück der als eine Linie v
bestimmter Länge gedachten Normale, durch iV; so ist, weil
nach dem Obigen —5-, 0 die Coordinaten des Durch seh uittspunkta
der Normale mit der Hauptaxe sind;
also, wie man leicht findet:
■dV-ft*^'-' 4«
•-■^■■■■■»-}V5p'
nnd weil nun nach dem Obigen:
J3_
.«Vir,. , - ^
Ut; nhj-.
•' ■'!." . ''' ' »=»<»■«■.'
Aehnliche Relationen werden eich noch mehrere finden laesek
Für die-Myperbel ist eben so wie vorher:
»■ -.'.:# i.. \\
• . «*
und folglich, weil
ist: -
also:
• '
r>»=- • cestr» ^5^,
ces6*» —
6»
op-
a»
oder, weil bei der Hyperbel» wenn man, jenachdem x positiv oder
negativ ist, die oberen oder unteren Zeicheu nimmt,
II^_==Tr> 0 + _=±ri
und folglich immer
. e*x*
ist:
6* 6 . ■ r
cosd1^ — > cos0:=77=, össcosÖVrr,.
ITi VlTi
. I I I
Weil nun nach dem Obigen
• i.
= ab UPd 2a = T(r-rl)
* =
Ist, so ist
« *■
2iTx 2ny
^=:*:(r— rjcosö^*^— r)cos«'
• ■ ■. »
immer mit derselben Besthnihung wegen der. Voraeich#n wie vorher.
Ganz wie .vorher bei der Ellipse erhält man
«r 4 a/"— :l--: **' -Wh» ip »** -i-'iMi^
_ ■' ■ *t _ ,
und weil nun nach vorstehenden iFÄiheTn
ist , so ist auch bei der Hyperbel :
Wir wollen nun zur Betrachtung der Parabel Übergehen, derer
Gleichung
<>?L _ P. , &9 _
folgt. Also ist die Gleichung der dem Punkte f.tyi der Parabel
entsprechenden Normale derselben:
und die Gleichung des demselben Punkte entsprechenden Vectors
ist: <
•'- » = 3T-;P(j; —' = Ä?«»w>i
Nun Bei wieder (rn) ein beliebiger Punkt der Normale, so
dass also .
int. Fällt man von diesem 'Punkte auf den Vector ein Perpen-
dikel, so Ist dessen Gleichung: i-._i>Hf < il ,. n itim \Wft
o die Coordinaten des Durchs
mit dem Vector, so bat man
ladniY #fnairR^ßd^Öt-rr)*»w SimrSrrrftWtlTEjTRlI^lShr »nnui
is von den Punkts («v) auf a
und sind also u, v die Coordinaten des Dnrchschnittsgunktw djsr
ses Perpendikels mit dem Vector, so bat man zu deren Bestim-
mung die GleichungÖö: | __ . ■""- v.
uiiui ilfsdiu (Mrji[i.J ■.).'. iid i ulioi -iLo miiÜ)
Die Gleichung des von den Punkts (tn>) auf die Honaaw ge-
fällten Perpendikels ist: ■/—-/'
^vfftomw»*rt4*ft<44r AH<ft#We. £}£
und siod t^-s^t^e; CogrdinateA de$ DurcJ^hnittspunkts dieses
Perpendikels mit ^er Aze der Färate^, so ist:
— w
woraus ,,,„,
folgt.
Es Kommt nun zunächst darauf an , mittelst der vorher zu die-
sem 25 weck gefundenen GieteffUitgeiH die Koordinaten tf, v zu be-
stimmen. Durch Subtraction der obigen Gfeicntingen NerEätt tuan:
\4a? — p ..7" .Ay . /: r-terr-p Ay »
• ^«;- "H ■'v^ •■■4(4»-i-f^y- f)ttT .-f:4s?.-t-|s T f 't% -.!.J,M '•«■> .
. ,A • Vü i v-nTi»Ysgt — jp)H— ,»■■ ■ ' iV ■ ■■■ ■•■"■>■ !i,. i.!.
4(4ar— j»)y ^ ' 4^ ,"...'.
Nun ist aber, wie man leicht 'findest» crem, man y*=px setzt:
(4*-»)»+%* = 16.te + i;>)*=Mr», \
wenn r den, dem Punkte (xy) entsprechenden Vector der Para-
bel bezeichnet; also:
'"' ''v ' ' '{' ':<"' *' 4r* ' ' "'!': ' (ix— p\{t— x) ' :" ,:>
woraus
-^ (4*^p)U4g~Pyfr-g) +4y(P-y)\
u-x- fg-5 -
folgt. Nach dem »Obigen ist .
"•? »■'•■ ■'■■ - i : .■■:,•! r -.j;.\ *?P' ■!.:■."■. .ir<j .-' ., , ;. tf .At
also, wie man leicht findet: : ,,,mv' *,ß* r : ; f *' 7 ' ' ' "
I * ■ ■ •
MAifeiglicbr"!" * •tofd-.-'l ,? ••■ («!i
» *i
316
u — x = —
Crunert: Lamarle't ConttrucUim
{4x-p)(t—x)_ (x-\p}j?—x)
Also ist, wie man leicht findet, nenn man ya = p;r setzt:
pu — "2i/v = p(X— 2x) ,
und folglich nach dem Obigen:
«! = » — &r, ea = 0.
Ist mm der bis jetzt willkührfich in der Normale angenom-
mene Punkt (rn) der Mittelpunkt des dem Punkte (xy) entspre-
chenden Krümmungskreises der Parabel, so ist, nie man mittelst
der allgemeinen Formeln der Theorie des Krfimimingski
leicht findet:
= 3^ + ip,
ixm
eist
:
also nach dem Obigen unter dieser Voraussetzung:
na = x -f \p, va = 0.
Sind nun «*', ca' die Coordinaten des Durehschnittspunfctn
der Normale mit der Axe der Parabel, so hat man nach dem
Obigen zu deren Bestimmung die (Gleichungen:
kte
IUI)
also «2= m^', r,= t,' ergiebt, so dass also die beiden Punl
(Ujt>g) und (uj'e/) mit einander zusammenfallen, und sich n
wieder der folgende Satz ergiebt:
Wenn, man von dem Mittelpunkte des einem gewie-
sen Punkte der Parah'el entsprechenden Krümmungs-
kreises auf den, demselben Punkte entsprechenden
Ich habe in dieser Abhandlung die vorhergetowuli» meHrir*!**
die oben näher bezeichnete Abhandlung dieses .«charfeinpigen Ma-
tbemti^frs.aufvnerkfKafii zumachen. ftceuic^ J^hrt Ae a<(alrtisch&
^WeV W *** *?*' «*ff *a?* W A^l*11 . W ^>Sllpn
«ei
diq
wie aiis deip Obigem ersichtlich ist4:: -namentlich ayob bei diesem,
Gcj^nsiande der Sali ist. Jedenfalls hoffe icji 1897(1 auf denselben.
zurücluulcommen. , ' ,
— '.• *' » ! ! fi '> n // " •• '•■ , ♦• * • !üi '»» :• »»• .■' • • . i u ■ .,111 n/
. »■ » j
:»»i
- ••»! '.ill • .1'. ' >»
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' . ' I , ' • • J \ • • ■ •' ' . . « I ■ ■ * I
•• *h )i ■ >-•...!•-• .» !.:). IKXXlfMr "'* ' ' " '''■•' '*"
ni"// ii)ii| iiiiV ir» ", » . .•.#■!•. -■ ' i*ii •'. 1 •• ? .r n. r.M|
Untersuchung der Evoluten der Cykloiden. ' '"'
(Ohne Anwendung der DifferentiaL-Rechnung.)
> •»
, ( Herrn Rudalph Lang,
.. . Ilocer 0er Technik in ürnnn. .
.v«»«!-1 > . / «• .•*.•-». , '.i..if
, '/ fl ' •■ • * • *« ''« r , ,. i .11- * i.. .«i »' .1 .}■»'?!,-"■; F- )|t(,
E«rtti 67i> (Taf. VI. Pigi».) 'die LeitKhieV O^ dir ftrtlbme»«er
dtn» Wälzung*-, OJ0 der 4e* erzeugenden Kreises. Es lege det!
mmizniilrtMott nnendXeh klfcioen'Weg OOt zurffck, se besehrerbt1
;U* Grünen: Larnnri,-^ C<ms(r.<tnKrilmmvng*krtis.d.KcgeltclM.
-tu* A* Ix
P 7
erhalt; «nd weil nun
ist. so Ut:
■
1
I + tangö*
SWs
p
'""" 4* + ,) 4(i + ;/)) lr'
Also ist
i/ - = s-1— ,
V P 2cosfl
und daher lisch dem Obigen :
p = — — = = 2rsecfl>
folglich
ncos0=2r.
1 Satz« führt:
Hll zu dem folgende!
In der Parallel ist die Protection des Krümmung«-
halbmessers auf dem Vector dem doppelten Vecto
gleich.
Also ist in Taf. VI. Fig. 2. immer MF — PF, und bei der
tjnnstruction des Knimmungsniitteipurikts kann man sich daher
auch auf folgende sehr einfache Weise verhalten:
Man verlängere den Vector PF Aber den Brennpunkt F hin-
aus, mache die Verlängerung FM gleich dem Vector PF und
errichte in M auf den Vector ein Perpendikel MO; so ist der
Durchschnittspunkt O dieses Perpendikels mit der gehörig verlänger-
ten Normale PN der gesuchte Mittelpunkt des Krümmungskrelses.
BVHfrttinTOi \Ai die Normale wie früher durch ff. #rj Ist nar.
dein Obigen :
ff* = |f> + » -V? r t = 'J* + tf ^f(*+ip>.
also _
W = pr, N=Vpr.
Nach dem Gfcigl
n:
fM*#: VnttrsmckHng der Evoluten 4tr CykloUien. <32J
wollen wir aber im Folgenden die Leitlinie immer als gerade
Linie voraussetzen.
- •
• *
§. 2. Fortsetzung.
Es sei B (Taf. VI. Fig. 3.) derjenige Punkt der Cykfoide, wet
eher dem Wälzungswinkel <p, und Bl derjenige, welcher dttrh
Wälzungswinkel cp + s*) entspricht; so sind BF und BtFt die zu
diesen Punkten gehörigen Normalen, welche sich verlängert jw
Punkte T schneiden.
im Dreiecke TFFt ist:
oas«=suiÄFO-^^,
n
^a/^¥ fl- . 9 rt— rcosy
. ». * n
COSp=— 910 Bit i^ = — g-|p j
*in/5*= ^^pj*- Ä^'.sin^+O^ ?iZ:r^?— -
«hayq=sin(a + (3)i=8inacos^ + cos«sin|S
[ri — rcos(y-|-c)jrsiny — (rt— -rcosgOrsinfqp-H)- ■■ ..
""— n.BxFx
FT=6==ir E^ = «ri . [r,— rcos(y + €)]6 ., ,
1 siny r " [ri— rcos(qp+£)]siii9— (ri-rcos^^ln^+t)'
nTi [ri — rcos(<p-f f)]f "- ' * l
r rsme + r1[sin<p — »in (9+ t)]
Wollen wir blos noch die Glieder mit £* als Summanden hei be-
halten, so haben uir im Zähler zu setzen:
€*
co8(qp+e) = cosqpcose — sing>sin£ = cosp.(l — j-ö) — 6inqp.'* r
COSO) „
=cosqp — sinqp.t; ^— £*,
/
und im Nenner: A
sin(g>-M) = sinqpcos$ + co8<psine=sin<p.(l — |-ö)+cosa>f(e — f^p
sinqp _ cosqp .
-»-**-
*) D«rckgeh*ftd« verstehe ich nnter 1 eine unendlich kleine Grösse.
. TJieilXXX. M
i.
BB5 latiff: l'nrtrmc/tvng rfrr Fmhitrn ihr n,kMden.
Dadurch prliHtt man:
6(rt — rcosgi) |-6rsina>.t + 3rcns(p.sa
Entwickeln wir diesen Quozrenten bis zu Oem Gl'rede mit s*.
-r.cosip ■ 2(r— r,*»^)* "6,n,P-£
-r1(r1«+2r»Jeoa*5» + rr(»co«V]^j- - . (2)
Dabei bedeutet streng nach unserer Figur o dasjenige (unter-
halb der Abscissenaxe liegende) Stück der dem Wälzungewinlce) y
entsprechenden Normallinie, welches zwischen dem Durchschnitts-
punkte F derselben mit der Abairissenaxe . und dem T mit einer
zweiten Normallinie, welche einem Punkte B, entspricht, dessen
Witlzungs winket von dem i\es zu untersuchenden ((ixe») Punkte)
unendlich wenig verschieden, aber grosser istals dieser, liegt Dab<
wurde die oberhalb der Abscissenaxe liegende Normale pdf
vorausgesetzt.
Bezeichnen wir BT mit d, so ist in unserer Figur a=
Da t> unendlich wenig vom Krümmungshalbmesser (p) des Punk-
tes B ■verschieden ist (und für ( = 0 in 0 selbst übergeht), so M
klnr. dass der Kriimmungsmitrelnunkt gleichzeitig mit dei
T ober- oder unterhalb der Abscis
Auf das Zeichen von (....) übt blas das erste Glied einen
Einflusa aus. da die übrigen unendlich klein sind. Da dieses ne-
gativ
ird ffir
welche Bedingung übrigens i
hei
der verkürzten Cykloide erfüllt »erden kann (wo nämlich — < I
ist), da ferner, wie wir unter §. 1. gesehen haben, bei der ver-
kürzten Cykloide die Normale immer positiv ist, so »ird in die-
sem Falle a negativ. IjB liegt also bei der verkürzten Cykloide
für (p<arccos- der Krümmungsmittelpunkt oberhalb der Abscis-
Bei der verschlungenen Cykloide wird J.... I für (p<arccos —
negativ. Da aber in diesem Falle auch n negativ ist, so bleibt
Inrtuj: VntäMUtkmnft der £mi*te* War 6pk?qUtA- )M
6 positiv. Somit -liegt 4\e Evolute ihrer goroen Ausdehnung nach
unterhalb der Abseissenaxe.
Für s = 0 wird , ■.-.■ v,
r«1 — iTtCosop ^v
tf«=g-»°«*»-rr,W- Ä
Daraus folgt:
n*
' ^^r«— n»tcos<p "'
*Bei der verkürzten Cykloide wird, wie wir gesehen halben, ü}j
fifa <jr<aveeo8— negativ. Da aber dabei c^ .absolut pmowmmu
gWlch tst o-f n, so folgt:
*o =— fo + *)=»^ ! ~ • • • • (3*)
Daraus ergibt sich:
" — n* '
^~~~~r*— JT|Qos9>' * * ' >
jflfeo derselbe absolute Wefth fttr den KrfimrnuffgshäHmmfter wie'
frfeber.
i
T
Ebenso ist für g> <arccos — : c = — (» + n).
Der Gleichung (3) oder (3*) kann man auch die Form geben :
rx cos q>
r,a
r
tf0= n
r — Tx 005» cp
mitteilst welcher sich leicht der Krämrmvngshaibiiieciser fttr jeden
beliebigen Punkt der Cykloide konstruiren Ifisst.
§. 3. Die Gleichungen der Evolute.
Wir beteachten die Leitlinie AX (Tat VI. Fig. 4.) als Abseid
sepa^ce ihm) »lägen die Ordkiatenaze A¥ durch «denjenigen rPtyjst
der Cykloidt« weicher .dem Wälzungswinkel 0 -entspricht Es sfii;
B ein Punkt der Cykloide und BM der1 zu demselben gehftrige
Kifcnmiimgshalbniesser. Bezeichnen wir mit et und ß die Coordi-
naten des Punktes M der Evolute, so ist:
Nun Ut ab*r<
22*
lang: Untersuchung tl.-r Evoluten der CyktoiiUn.
t diese Werthe
der Bvolut
einzige
Diene beiden Gleichungen Milien die Gleichungei
Wollle muri daraus den Winkel q> eliminiren, um so eil
GK-ichuug zwischen den laufenden Coord baten der Cur'
hatten, so würde diese sehr 1, ;>Ji/ii r ausfallen und wäre zur
weiteren Untersuchung absolut unbrauchbar.
§. 4. Ein Stück The
E* sei t7r(Taf.VI."FiS.5.,6.,7.,8.) ein Stück einer steti:
Curve, AM der Krümmungshalbmesser im Punkte A, und es
in untersuchen, ob die Evolute des Curvenelemenles, in welchem
A liegt, auf der rechten oder linken Seite der Normal linie i\7V,
liest- Es sei A, ein zweiter Punkt der VV, dessen Ahscigse
unendlich wenig von der des Punktes A verschieden, aber grös-
ser ist als diese, und T der Durchschnittspunkt der durch diesen
Punkt gezogenen Normallinie mit der Nßi,. Setzen wir AT = e
und AM — f), so kann man aus der Anschauung der Figuren fol-
gende» Gesetz altleiten:
Ist e — o negativ, so ist die Evolute auf der rechten (Taf. VI.
Fig. 5. .6.). ist c — q positiv, auf der linken Seite der Normal-
linie (Taf. VI. Fig. 7., 8.). Ist die Abscisse des Nachbarn unkl es \
kleiner als die des Punktes A, so gelten hinsichtlich des Zeichens
der Differenz t> — o die entgegengesetzten Regeln.
Ist das Zeichen von p — o unabhängig vom Zeichen der Aen-
derung der Abscisse des Punktes, so hat die Evolute eine Spitze
(Taf VI. Fig. 9., 10.), welche von der Evolvente abgewendet oder
ihr zugekehrt ist, je nachdem c — q negativ oder positiv ist,
Liegt die Evolute rechts von der Normallinie, so gelten fer-
ner folgende Regeln :
Ist der Winkel a, den die Normallinie mit der positiven Rieh-
B bildet, kleiner als | (Taf VI. Fig. 11., 12.),
tung der Abscisscna
Lang: Unttr*uckun§ der Evoiutm der CuMoiä*»* 385*
v
so ist die Evolute concav oder convex gegen die Abscissenaxe,
je nachdem sie ober- oder unterhalb derselben liegt. Ist hinge-
gen der besagte Winkel grösser als 5- (Taf. VI. Fig. 13. , 14.), so
ist die Evolute convex oder concav gegen die Ahscissenaxe , je
nachdem sie ober- oder unterhalh derselben liegt.
Liegt die Evolute links von der Normallinie , so gelteu 'die
entgegengesetzten Regeln.
.{. ?. Die Evolute der verkanten CykTolde.
Nach (6) ist die dem Wälzungswinkel q> entsprechende Ordi-
nate der Evolute ; * <
ß=_ri (ri—roosy)» '
" r r — r|Cos9>
f* * • c
Wie man sieht, ist diese positiv für cosqp> — , also für g><arc cos — •
1*1 rj
T T
und negativ fär <p>arccos — . Für g>==?arccos— wird 0= oo._ Da
fÖr diesen Werth des WTäIzungswinkels nach (4*) auch o=od wird,
also der Krümmungsmittelpunkt, in welchem die Normallinie der
Evolvente die Evolute berührt, in unendlicher Entfernung Hegt,
so muss hier noth wendig die Normallinie eine Asymptote der
1 Evolute bilden. Es ist dieses nämlich jener Winkel, «reicher dem
Wendungspunkte der Cykloide entspricht. Für diesen Punkt wird-
n=VVia— r2, woraus ersichtlich ist, dass die Normallinie auf
dem erzeugenden Halbmesser senkrecht steht, also Tangente ist
an den erzeugenden Kreis.
'Wir wollen nun die Gestalt der Evolute näher untersuchen,
und dabei blos die Werthe des Wälzungswinkels zwischen 0 und
it in's Auge fassen.
Da unter dieser Bedingung bei der verkürztet» Zykloide die
Abscissen ihrer einzelnen Punkte mit dem Zu- oder Abnehmen des
Wälzungswinkels gleichzeitig zu - oder abnehmen, so gilt das, was
unter §. 4. vom Grösser- oder Kleinerwerden der Abscisse gesagt
wurde, in unserm Falle auch unbeschränkt von dem des. Wäl-
zungswinkels.
i»
Demnaeh haben wir für w < arc cos — :
/ . x / . x . r1(2ra—ri1— rrxco8<p) t
l0mf : JMtr»c*MV ätr tmtnten 4tr CfUeidm-
l-'uj fQr <p > urccott- =
• -p i= (b— b) - {9~ n) = «— ff„
r, (2t*— i"i*— rr,eo»^)
2r(r* — n^cosy)*
AU", wenn wir diese beiden Fälle zusammenfassen:
• — 9 =
, +"
2r(ra— rrjcosq))9
rt (2r*— rt*— n^ CQBrp) .
, für <p<arccos— !
0)
, für n>>arccos — •
liirfr1— rT|Cos<p)a
Da es drei Werthe gibt, welche, statt rp suhstitnjrt, diese
Ausdrucke auf 0 bringen, nämlich 0. arccos und 7t, so
bann die Evolute drei verschiedene Arten um Spitzen haben.
Man ist aber
?
Es wird aUn die Spitze für #=arccos- — — — , we
ITt
Hfttef«fMtte> nennen wollen, dort, w» sie »wkommt, Immer ontcT-
IfftW der Assciaaenaxe liegen. Ebenso die Spitze ftr tp^sn,
wKRteKtf dte> Spitze für y=ö oberhalb- der Abseissensore lieft.
Itsmiafolgev ist für g>^(atccoB -=-, «)-.
»-»=(»-«l^»-^-«-c|.=-t-lit(,_no,<,).».<'.
and für tp — 0:
ItabeJ bedeutet i den hei (2) In der eckigen Kkmuev eiegewMt»
Mm* Anaimck. Umnt fa%t?
'Flt'esO wird
* ■Whf»if^pwfteo*;
2r«- r,*
Iß**:, Vntomvtom fc» &&#**. de^C^kiafäen^ J&h
\ Q 4^^^^-^:. .#\ ~:. "...
Dabefr i«t die Quadratwurzel V"3(nf-r^)f weil sie % » fleht,
positiv su nehmen, also:
Für g> = ft wird:
i ■ *• . * ■
i
Man sieht hieraus, dass die Spitze für e? es 0 für jqd*n> WertQif
des Quozienten — der Evolvente zugekehrt ist Ebenso ist die
Mittelspitze dort, wo sie existhrt, der Evolvente zugekehrt. Soll
sie aber wirklich existiren, so muss — so beschaffen sein, dass
r
2ra— -r»*
1> — > — 1 ist; da nämlich +1 und —1 die Grenzen sind,
TT\ 'f. I ■
fo welchen, der Cosinus: eines Winkels immer eingeschlogn^» \\pjj.[
2r* — r,2 r gyJL-ä*1 ' ''
pgp ^ — „ ■■■■sal erbalten wir aber -3=1, und fär — r-r^^-tli
fr» r fTf
ist -i^=SL Und nur innerhalb dieser. (*refz#jk (1 ui>42). cfcs Quo*ieüle,n,
r
- kann eine Wttelspitae vorkosjujw&ifc; q\enn, ist; a ein* positive
GTOsse, und setzen wir — = 1 — a, so erhaben wi* :
r .* • ■
=lt-|-fl:j >l,
i ■ ■
mm
und für — =2 + a wird
r
2r»-,»,» . 3 + a .
Für cos<p = — ■ — *- wird
»==V"^r, *—"»*) und 0=3:3^3^^-^.
Es ist also für die Mrttelspitze der Krümmungshalbmesser gleich
ö>j: dreifachem Nppaale.
328* Lang: Lntervichinig der Evoluten der Cgktolden.
Was <!ie Spitze für q> = n anbelangt, so sieht man,
dieselbe für — >2 der Evolute »ugekehrt, fflr Tl < 2 hingegei
von derselben abgewendet ist, ond es bleib! noch der Fall ~="-
untersnehen.
Setzen wir so diesei
Zwecke r.:±2i
i n .
erhaltei
-* i _a-Jl •
Für p = ,T wird (J, = — fic Für qj =
^-ä*
30-l2t*~+r
-8r— Iw*<pY
Man sieht als», dass für diesen Punkt die Ordinate der Evolute
ein Maximum wird. Da aber diese Ordinate negativ, die der
Evolvente hingegen positiv ist, so folgt, dass die Spitze, welche
die Evolute in diesem Punkte besitzt, der Evolvente zugekehrt
ist- Dass aber überhaupt die Evolute hier eine Spitze haben innss
ist schon daraus klar, dass sonst, wenn ein Maximum der Ordi-
nate Statt finden soll, die Tangente an die Evolute im betreffet!
den Punkte parallel zur Abscissenaxe sein müsste, nährend s
doch, wie wir wissen, auf derselben senkrecht steht.
Es bleibt nun noch mittelst der Formeln (?) zu untersuch«
übrig, wann die Curve convex oder concav gegen die Abscissen-
axe sein wird. Dabei haben wir den schon unter ij. I. erwäh
r instand zu berücksichtigen, dass in unserm Falle die Nor
ünie mit der positiven Richtung der Abscissenaxe immer einei
stumpfen Winkel bildet.
Ist ?<a
, :,!.-■
2r'-
-Tt,(
so, <r<
also negativ, somit v — q positiv. Es liegt also die Kvolu
o><arccos - links von der Normallinie. Da ferner (nur) in die
sera Falle die Ordinaten dir Evolute positiv sind, so folgt daraui
dass das oberhalb der Abscissenaxe liegende Stßck der Evolute ' t
immer concav gegen [die Auscissenaxe ist.
: , r- - v 2ra — r,2
■ l*t. arc cos — < to < arc cos : , so i$tf-i negativ. Es
liegt also die Evolute rechts von der Normallinie, und da sie zu-
gleich unterhalb der Abscissenaxe liegt, so ist sie gegen dieselbq
ebenfalls concav.
' ': %£— 'n*
Ist m> arc cos- — , so ist t> — ? positiv; somit liegt die.
Curve link» von der. Normallinie, and ist daher aas demselben*
n '!
Grunde Vie frfibe* .gegen diese convex. — * lst.~>2»*o wird» ^fift
wir gesehen haben/ der einzige Werth, den man aus der GlelJ
chung 2r^ — i'i^—rri cos9 = 0 för cos a> erhält, ' kleiner ahs — 1.
Daraus folgt, dass das Zeichen des Subst i tu tlöns -'Resultates,
welches man erhall,' wenn man in obigem Ausdrücke statt coso>
Werthe grosser als — 1 setzt, immer dasselbe ist. Setzt mit! aber
z. B. coso)==0, so'geht2r*— rj*— rrjcosqp in 2r*— r^ üher, welcher"
Ausdruck aber, da na>4r*>2r* ist, immer negativ ist" Batate
• ».
folgt, dass auch ©— -p für jeden Werth «von 9>> at c cos. — . negativ istl
Somit ist der ganze unterhalb der Abscissenaxe Hegendfe Thefr
der Evolute gegen dieselbe concav. Dasselbe gilt för — = 2.
' • /
§«. 6. Die ßvolute der verschlungenen Cyklöide.
»
Bei dieser Untersuchung wollen wir wieder- voraussetzen*
«•«■■. : ' ' ' :. • •■ i)
Für q> < arc cos — ist o* absolut genommen =5 »rü* papber
dabei n negativ ist, so ist
0*= — (v+n) und tf0= — (p + n),
daher :
t> — p = (t> + n) — ß'+ n) = o*0 — o\
Dabei ist aber, da hier mit dem Wachsen des Wälzungswinkels
die Abscisse abnimmt, für unsere Untersuchung — * statt f zu
setzen. Es ist also:
nr% 2ra— ri2— rricos© . • v
* r 2(r — ricosg?)* ^ v ^
S3ft Lang: V„ttr*i,cm**a der Statuten tler CyHioidtn.
Für ip^arccos- ist a = p — n und ö0 = p -
.... nr, 2ra— r,' — rr.cosm
r ,j(r
Für 9><arceos— ist n negativ.
Ferner ist, wie wir gesehen haben, der Wertb, den man für
ensai aus der Gleichung 2r* — r,1 — rr, cosqn = 0 erhält, f.'ir
1 s' ("a* eDen «*te verschlungene Zykloide charakterisirt), gros-
ser als I; sonach bleibt das Zeichen des Substitution»- Resulta-
te« von 2r' — T]* — rr, cosqi, wenn man für cosy Wertbe >.l substi-
tuirt, umgeändert. Setzen wir wieder cos<p = 0, so übergeht
'2r9 — rt* — iTiCosoj in 2ra — rt9, welcher Ausdruck offenbar posi-
tiv ist. Demnach ist obiger Ausdruck für alle Werthe von costp < 1,
also für alle möglichen Werthe von <p, positiv, und daher in
unterm Falle v — s> negativ. Die Curve liegt also rechts von der
Ciormalliuie. Da diese ferner oberhalb der Abscissenaxe mit der
positiven Richtung derselben einen spitzigen Winkel einschliesst
und die Ordinalen der Curve negativ sind, so ist diese gegen dl»
Abacisseitaxe eonvex.
Für a>> arccos— ist v — p positiv. Die Curve liegt also links
von der Normallinie. Da diese ferner mit der positiven Richtung
der Abscissenaxe einen stumpfen Winkel bildet und die Ordinalen
der Curve ebenfalls negativ sind, so ist auch dieser Theil der
Cnrve eonvex gegen die Ab&cissenaxe.
Die Figuren I., 2. und 3. auf Taf. VII. zeigen die beiläufige Form
der Evolute für verschiedene Fälle.
spit%tr: »witttk tiäw mmUt. KUtntf wilw »r»nwtfrir. f**m 881
Darstellung des unendlichen Kettenbruches
I
2*+l +
2* + 3 +
I
in geschlossener Form.
Von
Herrn Simon Spitzer y
Profetsnr- an der Bandet*- Akademie au Wien.
Ich habe im 25sten Bande dieses Archivs (8. 141.) Dir den
unendlichen Kettenbruch
1 +
2 +
3 +
4+....
den Wertb
/"
e*oo*«<fa
7
cos*.e*aaudw
angegeben; im 30sten Bande des Archivs (&8ft) findfefefc fbrtfen
Keltenbruch
1
x+ -
1 ■ ■ i i
■ »• ■
*+! +
*+2+
T
^ -ITtr-lr •* • •
den WertK
i :
IVrf
(woselbst nach verrichteter Differentiation ras] gesetzt werden
muss), welcher sich auch, nie leicht einzusehen, so darstellen lässl :
rfr*-> LJ
:'<tu
\.r
richteter Differentiation r durch 1
und woselbst ebenfalls na
ersetzt werden muss.
Hier will ich mir ertauben, den VVerth des folgenden Ket
tenhruches :
Sei derselbe ip(x), so ist offenbar
und setzt man :
«*-i&h-
■o erhält man die Gleichung? t
w«Mlß gqonlnet ' sfch. so stellt;
/(.r+2)+(2^ + I)Ax + l)-/'(*)=0, :-;(iy:-
wid deren Auflösung uns jetzt obliegt.
Ich setze, geleitet durch die .Ergebnisse meiner früheren Un-
tersuchungen, f{x) voran« in Form eines Differential- Quotienten
mit variablem Differentiatione - Indexe; ich setze nämlich: , , ,
• , . .
woselbst <p(r) eine, einstweilen noch unbestimmte Function ton r
bedeutet, und X eine constante Zahl ist, die nach verrichteter
ormaliger Differentiation von qp(r) in dem so erhaltenen Resultate
statt r gesetzt werden rauss *).
Nun hat man:
**HÄ
und werden diese Werthe in die Gleichung (1) eingeführt, so
erhält man :
Nun ist:
. ■ / » tili
denn, differenzirt man das Produkt (r — X)g>"(r) xv\sl\ bezüglich^
nach der gewöhnlichen Regel, wie man ein Produkt differenzirt»
so erhält man: *
« ■
was sich für r = A auf } a? , x u reducirt, wenn nur — r-j—
für r = X nicht unendlich wird. '
Die Gleichung (2) lässt sich nunmehr so schreiben:
I £ Wto+*r-W<r) + V(r)- Vir)] \ x = 0,
und man genügt derselben für jene Werthe vori <p(r), welche die
Gleichung
*) Ich habe dieselbe Methode angewendet zur Integration der line-
aren Differenzen- Gleichungen, deren Coefficienten ganze algebraische
Functionen , der anabhängig, Variablen «ind und .tieJn.jeiner der kajierft*
Akademie der Wissenschaften zu Wien am 4 Februar ,d..J;. jQj>flrr£if&(eji
Abhandlung auseinandergesetzt.
r. ■ -■- • '*» t**i_
XHSpitser; DameU.-einn unfndl.kttlenbruehetinftttMott.f^fm.
(l+2r-2i)v»+v'(r)-'P(r) = 0
identisch machen.
Dieselbe vereinfacht sich für
i = i,
denn man hat dann:
eine Gleichung , der genügt wird für
tp(r) = Qi+V* -(- (V-V».
Es rat somit das Integral der Gleichung (I):
und zwar ganz unzweifelhaft, weil <p"{r), armal dirTerenzirt, für
r=! nicht unendlich wird. Wir bähen somit:
ein Ausdruck, welcher als mit einer willLilhrlichen Constanten
TT »ersehen betrachtet werden kann. Die Bestimmung dieser
Constanten ist leicht; denn es ist für x = Q
3 + V jQ^+ftr^ , Q^-cv-*
Derselbe Kettenbruch ist aber (ni. s. Grunert's Supplemente
iu Klügers mathematischem Würterbuehe. 1. Band.
Seite 0851) #<**
.«+■+«-'
•I e+i^e-»'
Eofajtiith ist Q — Cm, und daher :
J»+l+ ' 1
«cT^T- — . - -— | =* jjxj = ,
;,.,,.: „...*f*'*4.4Ü ^fj[«*^+«-^i
et« Änsdrock, tri 'wetchem <n«cfa verrichteter Dfflmntislfe* t»J
gwhl' #ercew nttiss.
mte§r>im* töivM^ifäfmmfacii** ^^=***S=-M6
/
/
Integration der parttetfeen ÄififißMÄtia^gleichöqg
- ». .
kii "^W" • ~4mOC
T
*
Voll
Herrn "Simon Spitxer,
tprrfhäim ün Her BtrtiJMfl ~*AIUfdfcftäe Eli Wta*.
Ich setze
und erhalte hierdurch
timam*atf(a:) = x2m e^fl^t)
-oddr
Das Integral dieser Gleichung ist aber (siehe Sitzungsberichte
der Wiener Akademie der Wissenschaften. 26. Band.
Seite 489,):
woselbst C\, £a.... Cm willkuhrliche Constanten sind und (i eine
primitive Wurzel der Gleichung f**1 = l ist ; man hat daher :
oder, wie leicht einzusehen:
unter ipi, ?«...- 9>« willkfihriidM Funetfonon verstanden.
330 Brnueri: Leichte f/int* elementare Svmiitimng einiger Reihen
XXXVI.
Leichte ganz elementare Summirung einiger Reihen
und daraus abgeleiteter einfacher Beweis des binomi-
schen Lehrsatzes für negative ganze Exponenten, zur
Aufnahme in den mathematischen Schalunterricht, oder
wenigstens zur Benutzung bei demselben.
(Mit Rücksicht auf Resumes analytiquea par M. A. Cauchy.
Turin 1833.")
dem Herausgeber.
Jedenfalls ist sehr 711 wünschen, dass dii
sehaftlichen Reihen -F.ntwickelungen, die man in 1
Unterricht bestimmten Lehrbüchern immer leid
noch antrifft, namentlich aber die der streng im Wissenschaft bei
ihrem jetzigen Standpunkte ganz unwürdige sogen an rite Methode
der unbestimmten Coeflicienten, aus dem Schulunterrichte ganz
verschwinden und aus demselben verbannt »erden, und dass auch
dieser Unterricht sich immer mehr und mehr der wissenschaft-
lichen Strenge niihere und befleissige, welche hauptsächlich
Cauchy in die algebraische und in die transcendente Analysis
eingeführt, und dadurch, wie durch so vieles Andere, seinen Namen
unsterblich gemacht hat. Denn dass von dieser völligen Umge-
staltung der Analysis der Schulunterricht sich etwas angeeignet
und daraus die Früchte gezogen habe, welche er daraus gewiss
zum grossen Vortbeil der Schüler hatte ziehen können, lässt sich
wahrlich nicht sagen, wenn man nur einen Blick in die Masse mathe-
matischer Lehrbücher thut, mit denen namentlich jetzt der Bücher-
*) Nur Kr, IV, unten ist um Cauithv entlohnt. "'■ Reihen»
rangen gehören gan» mir an.
nintmi-
und daraus abgeleit. einfacher Beterin des Mnam» Lehrsatzes etc. 337:
markt überschwemmt wird; ja es erregt wahrhaftes Bedauern, wenn
man sieht, wie ganz spurlos jene grossartige Umgestaltung der wis-
senschaftlichen Darstellung und Entwicklung der Analysis bei Wei-
tem an den meisten Verfassern dieser Lehrbücher vorübergegangen
ist» Die folgenden elementaren Betrachtungen haben den Zweck,
eiu kleines Scherflein zur Herbeiführung eines besseren Zustande« in
dieser Beziehung beizutragen, und werden hoffentlich noch einige
Aufsatze von gleicher Tendenz in ihrem Gefolge haben. Mögen
dieselben das warme Interesse von Neuem bethätigen, welches wir
von jeher an dem Gedeihen und der besseren Gestaltung des
mathematischen Schulunterrichts genommen haben! denn nur die-
sem Interesse verdanken sie ihre Entstehung.
I.
Die für viele Untersuchungen wichtige Reihe der figurirten
Zahlen, nämlich die Reihe
1 .... k 2 ....(£+!) 3.... (£+2) n....(k + n — 1)
lässt sich wohl am Einfachsten auf folgende Art summiren.
Offenbar ist:
m ..*• K l .... t€ K "| »
1 • ••»/£ I f»tm> K | M.
Also ist:
1....& 2....QE J-1)_2....QH 1) 1..-* k + l
2....(A+1) 1
2....(Afrl) A+2
1 •••• K* f K "|" 1
fr
Hieraus ergiebt sich ferner:
1 ....* 2. ...(* + 1) 3....QE+2) _ 3.... (£+2) 2.... (k + l) k + 1
3....(A + 2) 2
- l...jT~u + * + l' '
_ 3 .... (A- + 2) Jfc+3
~ 1....Ä A+l'
Th«il XXX 33
$38 Gm* er*: Leichte §an% elementare Summimng einiger Reihen
führt ferner zu:
1-.* 2....(k+l) 3....QE + 2) 4....(*+3)
M • ••• K M •• • • K
m. •••• K
x •••• IC
_ 4 ....(* + 3) 3...,(H2) * + 3
4 ....(* + 3),
4....(* + 3) 1 + 4
I....* F+T
I
Also ist:
1....A . 2....(A + I) , 3....(* + 2) _ 4....(* + 3) , 5.... (Jfc + 4)
1
— r+ — j T""+~T
•••■ JE Ä •••• fl » ••••
X •••• K
JL • ••• #»
^S....(ifc + 4) 4....(A+3) * + 4
1 •••• K l *>» • m fC fC ~J" 1
S..~(iH-4)„ . 4
8.„(A + 4) A + 5
,Wie man ganz in derselben Weise immer weiter geben kann,
unterliegt nicht dem geringsten Zweifel, und man abstrahirt aus.
dem Vorhergehenden auf der Stelle das folgende altgemeine Gesetz:
1....* . 2....(*+I) . 3....(A + 2)
m
x •••• K
- +
M. •••• K
+...+
n....(A + w — 1)
J • • •• /*
w»»(H» — 1) A + ft
oder
1 .... k 1....(k+\) 3....(& + 2) w....(* + w -i J)
Jl •••• K X •••• JY J • •••!£ M • »••#£ #
n.... (Ä + n)
— !....(* + !) *
die bekannte Summirung der figurirten Zahlen.
För * = 1 ist:
1 J 3 4 n n(n+l)
tmd dorm* #4p*Ma «üttofor ^« <it$MnWh Wrsptw tfc, ^
Fui Ä*=« ist: < i
K2 2^3 ' JM 4JS ■ . "n(»+1)_ n(n + i)(»42) ' !
1.2 + 1.2 + 1.2 + 1.2+," + 1.2 — 1.2.3 " t)l>l(.
Ffir £ = 3 ist:
1.2.3,2.^4-3.4^5 .n(w+i)(>t+.2) «<**l){n+3)(i»+3) :
u.* ä. ta», " .•»
I
Wenn man die Reihe
«
mit 1 — x multiplicirt, sq erhält mamals Product die Grosse 1— x*;
also ist ' ■ . ♦
1 + x + a?a + pfi +•...*&-* = J3^-
oder
a*
1) . . l+ar + arafar8 + .... + a?«-1==j:::^ — j^
x
wie auch aus der Lehre von den geometrischen Reihen sogleich
geschlossen wird. , .
Aus dieser Gleichung 6Tfpfc?+*tiwh pw uqmjU^lba^ <ttq fol-
genden Gleichungen:
1 +x + x*+x* + .... + x»-^= Yzn - frb'
\ u. s. w.
Atfirt «an jttft die*» Gteiobungqtt z.U. einander und wendet d»-
i wieder die GUtohtmi 1) an, sq ethält man:
,Wie man ganz in derselBen Weis« immer weiter geben kann,
unterließt nicht dem geringsten Zweifel, und man abstrahirt au»,
dem Vorhergehenden auf der Stelle das folgende altgemeine Gesetz:
l-,t , 2....(i + l)
■■■■(* + 2). ."
1....* +-+-
■■(*+*- 1)
B„,(tfll- 1) *+»
= 1....4 '4+1
l-t.t-(t-Hl.i-(H!),
..(4 + »^l)
_ !....(* + !) '
dl« lickannte Snmrairnng der figurirten Zahlen.
Für * = 1 ist:
1 .»' 3 4 »_»<«+!)
I+1-+1 + I+-+1--1X-
Füi &*=Ä ist: . ,
1L2 2^3 3^4 4L5 . n(» + 1)_ n(n + l)(n42) '
l.2 + 1.2 + 1.2+1.2+""+ 1.2 — 1.2.3
• t
i.j>i i*
Für £ = 3 ist:
1.2.3. MJ.4.-3.4J*. .n(w+l)(rt+2) n(»+J)<n+2)(n+3)
u. &. w.
Wenn man die Reihe
mit 1 — ar multiplicirt, so erhält man- als Product die Grosse 1
also ist
— *■;
1 + x + ara + **+-..*B-1 = 1
i — — x
oder
wie auch aus der Lehre von den geometrischen Reihen sogleich
geschlossen, wird. m . .
Aus dieser Gleichung Qrg*b*+.Mwh wu uumiUolbw 4V? fol-
genden Gleichungen:
"i
1 + * + **+*' + ... . + *»-* = j^ - j^,
1-^ar
u. s. w.
1 — 4P
* **! — *
tf«
•— a:
a?"
Addiri «an jtfet die*» Gleiohungejft 2y einander und wendet d»<
bei wieder die (Ufttcfaunf 1) au. so, erijftlt mau:
12 3.4. n
; + ?* + -, x*+-.x> + ..„ + ,- *—
"(1-37)» (1-*)*
Ana dieser Gleichung ergiebt sieb, dass die Summe der folgen-
den Grössen :
12 3 „ 4 , n
|^ + :a:a + j X* + ....+ — j— a"-1
jÄ^ + j «■ + ..-+ ^=- J— >
gleich der Summe der folgenden Grössen ist, welche nach 2)
offenbar die Summen der vorstehenden Reihen sind;
g g*
x* x*
n x*
"I 'l— x
j--* x* 2 x»
(fzr^-jr±^-rr=x
Bildet man nun die belderseHIfjen Summen mittelst I
•bigen Gleichung 1), so erMlf man die Gleichung:
tmädartmeebfeieiL einfacher Bewei* des Mnem. Lehr smtiue HC. 341
1.2 + 1.2* + 1.2* +w + 1.2 **~
1 } 1 a?" f n a* n(n + l) x*
~ (1-*)» fT^« ■"'!=«( ~ 1 "(T^ar)* 172 T^i'
also:
3) . .
i.a+i.a*+i.2* +,*+ 1.2 *
*
X* n xn n(n-fl) _£"_
= (T^a:)* — (I^aö* ~~ T ' (!—*)» "" 1.2 1-x
Aus dieser Gleichung folgt femer, dass die Summe der folgen-
den Grossen:
1.2
1.2
hl
1.2
, z^_ , 3.4
2.3 .
••••
*•••
n(w + l)
1.2
(n - l)n
L2.*.. ,(n-2)(n-l)
1.2* +"**+ 1.2 *^
u. s. w.
1.2
O
4-12
gleich der Summe der folgenden Grössen ist, welche nach Z)
offenbar die Summen der vorstehenden Reihen sind:
1
ar»
(1— *)»
(l - X)»
X
X*
(1— *)'
(1— *)8
X*
a*
(1-*)»
(1— .r)»
»*•*
a*
(1— x)*~
(1— a:)»-
x*-1
«•
(!—*)•
(1— *)»
n
ar» n(n + l) a?*
n — 1 ar*
1.2 1—*
(n — l)n #*
1 '(1-ar)* 1.2 1— *
n— 2 ar» (n— 2)(n— 1) xe*
1 •(!-*)*"" 1.2
2.3 a?«
u. s. w.
2 ar»
1 ar»
1(1— *)«~1.21— *
J.2'1-*
1.2 a?«
t Leichte eamt elementare attmmlrrme einiger Hellten
Met man nun die beiderseitigen Summen mittelst i.
i Gleichung 1), 60 erhalt man die Gleichung:
1.2.3 . 2.3.4
5 *+r;rs **+-••+
1 1 >!
(!-»)•
T'd-«-)'
T7IT3
njn + l) J
1.2 '(1-*)*
n(«_flKn + 2) _J
1.2.3 1-
-*)* (l~a-)4 l'(l*-äfj*"
TjJn + lKnJ-2) _*■_
~~ T2T3
Es ist ganz unnüthig, diese Entwickelungen noch weiter fort-
zufuhren, da das Gesetz des Fortgangs und der Bildung der be-
treffenden Grossen schon hier ganz War vor Augen liegt. Ueber-
hrmjil gelangt man dadurch offenbar zu der folgenden allgemein
gültigen Gleichung, in welcher die Anzahl der Glieder der Grösse
auf der linken Seite des Gleichheitszeichens n, die Anzahl der
Glieder der Grösse auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens
A+l ist:
l—(t— 1) , 2..-S1
l....(*-l) + l...
1
;»*'
tWtW)
c*-i)* Tr3=i)
**+....+
«— <n-Ht-ä)
1....0-1)
a*->
-l'(l-a:)»-
»<» + !)
K2 (1— *)*-»
H(ii-H)(nH-2) *«
1.2.3 '(l-*)1-
" I.2.3„(i-1) '1-
und äarmus aägeieii. einfacher Beweis des bimm. UhrsaHmtic. 348
1,
r
,~.(k— l)
= 1.
£.«••1»
• k
i.
...(Ä-l)
*-!'
3.
...(Ä+l)
A(*+l)
1.
...(*—!)
- 1.2 '
4.... (k + 2)
*<*+!) (4 + 2)
1.
-..(*— 1)
- l.S.ft '
u. s. w.
n.
I ....'(£ - 1)
2) k(k+l)....(k+n-
2)
:
~" 1.2.3.~.(n— 1)
ist,' wovon man sich am leichtesten^ sogleich überzeugt, wenn
man Zähler und Nenner der Bruche in den einzelnen Gleichun-
gen über's Kreuz multiplicirt, Was augenscheinlich überall zu
gleichen Producten fuhrt; so kann man die obige Gleichung auch
auf folgenden Ausdruck bringen :
k ,*(*+!) *(*+!)(* + 2)
* + !* + 1.2 x + 1.2.3 x +""
. A(A + l)....(A + n-2) _
+ 1.2.3„..(n — 1) *^
••••
1 o:* n arn
(i _ ^)* - (rzifii "• r • ci — a:)*-1
n(tt-fl) a?"
1.2 '(l-*)*-a
«(w+l)(n+2) ar«
1.2.3 "(1— *)*-*
u. s. w.
n(n+l)....(n+k— 2) g«
1A8h-(*-I) ' 1 -*'
Aus der vorhergehenden Gleichung lässt sich ein sehr genü-
gender einfacher Beweis des himmlischen Lehrsatzes für negative
ganze Exponenten ableiten, wocu wir aber erst noch die folgen-
den Betrachtungen vorausschicken müssen.
In der Grosse
344 Grünen. ■ Leichte gtiin elementare summtrttng einiger Heiken
«(» + 1) .:..(W + m-l)_.
1.2. 3... .m x
sollen m unil n positiv«? ganze Zahlen bezeichnen, welche wir
aus einem solchen Gesichtspunkte betrachten wollen, dass, indem
m völlig ungeändert oder constant bleibt, man n in's Unendliche
»arhsen läset. Auch soll & für's Erste als positiv angenommen
«erden.
Zuerst erhellet auf der Stelle, dass
unter der folgenden Form darstellen, kann :
die obige Grösse
(*+=)fl + =>--<H
Tö-
dliche, so nähert das Product
1.
-).
welches aus einer endlichen völlig bestimmten Anzahl von Fm
toren besteht, weil m eine endliche völlig bestimmte positive gani
Zahl bezeichnet, sich offenbar immer mehr und mehr der Einbei
und kann der Einheit beliebig nahe gebracht werden, we
nur ii gross genug annimmt, was sich noch bestimmter auch i
folgende Art übersehen lüsst Offenbar ist
(i + i)(i+|)....<i + ^~xo + nrV- ».
und kann man nun beweisen, dass die Grösse
der Einheit beliebig nahe gebracht werden kann, wenn' n
n gross genug nimmt, so wird dies natürlich um so mehr von i
Grösse
gelten, wobei man nur nicht aus den Augen zu lassen hat, dm
ilie Grössen
(i+;)(i+£>. ...(i+-
heide stets grösser als die Einheit e
gehenden die erstere immer zwische
md (I + '^-=)— i
], und nach dem Vorhi
unddarams mtjekts. einfacher Bereit des ötnom. Uhrsattes etc. 945
1 und (1+— — J»-1
liegt. Um nun aber zu beweisen, dass die Grosse
vi n /
der Einheit beliebig nahe gebracht werden kann, wenn man nur
n gross genug nimmt, muss man zeigen, dass, wenn p eine be-
liebige positive Grösse bezeichnet, die positive ganze Zahl it
immer so gross angenommen werden kann, dass die Bedingung
(1 + — r )— » — 1 < (i
erfüllt wird. Diese Bedingung wird aber erfällt sein, wenn die
Bedingung
erfüllt ist, und diese Bedingung wird ferner erfüllt sein, wenn
die Bedingung
also, wenn die Bedingung
M 1 m— 1
— — < v^r+i-i,
also, wenn die Bedingung
ro— 1 ^ »-*
also, wenn die Bedingung
*>
Vf* + 1 — 1
erfüllt ist; und da der Erfüllung dieser letzteren Bedingung offen-
bar nichts im Wege steht, so wird sich auch die erste Bedingung
immer erfüllen lassen, und daher unser Satz bewiesen sein.
Weil nun
(1 + -)(1 +-)....(! + — i)
34Ö Brmntrt: LeiciUe gtiux eltmtniare Summir**i tiaifer Httkr*
sich, wenn n ins Unendliche wächst, bis |
Grade der Einheit nähert, so nähert
a + r){I+-). .-.(! + -'
idem beliebigem
sich, nenn n in'« Unendliche wächst, offenbar bis zu jedem be-
liebigen Grade dem endlichen völlig bestimmten Bruche
In Betreff des Products ti^x" bemerken wir nun ferner Fol-
gendes. Aul' der Stelle wird man sich von der Richtigkeit der
folgendeu Gleichungen überzeugen:
(n + l)'»x«+'=(l + -)™x.n'"j-,
(»+3)««M-"=(]+^)-^.(n + 2)-«*»-»,
(«+4)»*»t«=(i+-L)».*.(«+3r *•+■■,
also: ,
. (» t i)-*»t' = (i + -y x . n-i",
(f.+2)-^«=(i+jr<»t^i)-»'»-»-.
«nd folglich, wie sogleich erhellet, wenn man nur überlegt, das«
die Brüche
1111
** sn* %x& «+3
und ttomms atfrieH* HnfHcher tiewtit des thtom. leknsaiie* ttc. 347
fortwähre*! abnehmet):
n
(n + 2)"»*ll+*!< t (1 + -)w,a:14.n»^»,
(n + 3)"»*«+s < I (1 + -)mar}8.n"a?»,
1
(« + 4)"« *»** < i (1 + -)»«#)4. w«a*,
U. 8. W.
Wenn aber # < 1 ist, so kann mau n immer so gross annehmen,
dass
(l + -)»* < 1
ist*); denn die Erfüllung dieser Bedingung erfordert nach und
nach die Erfüllung der folgenden Bedingungen:
m m _
<"+><:• i+i<VI- ?<Vs->»
i
«Iso die Erfüllung der Bedingung
m
1 Vjt
n> *- oder n >
m __ ^ m
1 1 — V*?
-—1
vi
«nd da der ErRflhtftg dieser Bedingung offenbar nie etwas «im
Wege steht, wo ttsst »ich auch die erste Bedingung
immer erfüllen, wenn nur x < 1 ist. Noch einfacher lässt «ich
dies sogleich auf folgende Art übersehen. Die Grösse (I + -y*
*■ — r - -
__ r+r
*) Wenn ar. 1 ist, ut die« natürlich nicht möglich, weil dann
immer
(! + !)»«> 1
l«t. *v
348 ßrnner i* Leichte gan% elementare summirung einiger Reihen
»eiche immer grösser als die Einheit ist, ISsst sich offenbar der
Einheit beliebig nahe bringen, wenn man nur n gross genug a
nimmt. Also las st sich w immer so gross annehmen, dass
ist, imi
ist abei
a + -)™-l<^- oder (l + -)»-l<--l
ier nur unter der Voraussetzung, dass x < 1 ist. Dai
wie verlangt wurde.
Hat man nun aber unter der Voraussetzung, dass x < 1 i
n so gross angenommen, dass
(1+j)»X<1
ist, so nähern sich die Potenzen
i(i + J)"*!1. ?;(i+i)»^)a. \{i+\r*\\ t(i+i)^i*,
also offenbar auch die Grossen
folglich nach dem Obigen um so mehr die Grössen
, (n + l)-*-ti, fr+<Xrx'\t. (w+3)"":r»+'», (n+i)^x"+*,.
bis zn jedem beliebigen Grade der Null, nenn man nur weit ge
nug in diesen Reihen fortschreitet; woraus sich alsc
zweideutig ergieht, dass, unter der Voraussetzung x < 1, die
Grösse nmx* der Null beliebig nahe gebracht werden kann , wenn
man nur n gross genug nimmt.
In Verbindung mit dem oben Bewieseneu ergiebt sich
hieraus, dass, unter der Voraussetzung a < I, die Grösse
und daraus abgeleit. einfacher Beweis des biomo. Ukrsatoes sie. 349
d. h. der Null, beliebig nahe gebracht werden kann, wenn man
nur n gross genug annimmt.
Zwar ist bisher x als positiv angenommen worden ; dass -das
Vorstehende aber auch gilt, wenn x negativ, und nur sein abso-
luter Werth kleiner als die Einheit ist, föllt auf der Stelle in die
Augen. •
• IV.
Wenden wir nun den in III. bewiesenen Satz auf die in II.
gefundene Gleichung, nämlich auf die, Gleichung
■ + 1* + 1.2 * + 1.2.3 * *""+ 1.2.3....(n-l) *
1 xn n x*
~ (l-*)*~(l-;r)*~l '(l-*)*-1
n(n+ 1) xn
"" 1.2 '(1-a;)*-*
n(n+ l)(n+2) x*
1.2.3 (1— ar)*-8
U. 8. W.
n(n + l)....(w+£— 2) #«
1.2.3. ...(£— 1) 1— ar
an, indem wir in dieser Gleichung, die Grosse k ganz ungeän-
dert lassend oder als constant voraussetzend, die Grösse n in*s
Unendliche wachsen lassen; so nähern nach HL, wenn der abso-
lute Werth von x kleiner als die Einheit ist, alle Glieder der
Grösse auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens in obiger
Gleichung, mit Ausnahme des ersten, deren Anzahl die völlig
bestimmte, von n ganz unabhängige Zahl k ist, sich offenbar bis
zu jedem beliebigen Grade der Null, weit nämlich nach III. die.
Grössen
. n~* n<n+1> - *(tt+l)(m-2)_ n(n+l)....(n-f*--2) m
x> l*9 1.2 *7 1.2.3 *v"" J.2.3....(*-l) x
sich unter den gemachten Voraussetzungen bis zu jedem belie-
bigen Grade der Null nähern, und die Nenner
(1-*)*, (l-*)*-1, (1-*)*-*, (1-*)*-»,...., 1-x
ganz bestimmte constante, d. h. von n völlig unabhängige Gros-
■
ÄS« ßruneri: Mehle gan% elementare Summirung einiger Fei/kern
sen sind- Als* nähert «.ich offenbar die Grosse auf der rechten
.Seile des (Gleichheitszeichens in obiger Gleichung ihrem ersi
Gliede
(T— <$*
* (l-*»~
als Gränze bis zu jedem beliebigen Grade, wenn n Ins Unend-
liche wächst, natürlich immer nur unter der Voraussetzung, dass
der absolute U'erth von x klein» als die «Einheit ist. Folglich
nähert unter derselben Voraussetzung auch die Grosse auf der
linken Seite de» Gleichheitszeichens in obiger Gleichung, nämlich
die Grosse
«ich der Grösse (1 — x)~k liis zu jedem beliebigen Grade, wi
n ins Unendliche wäcist, so dass also auch {I — x)-11 mittelst
der vorstehenden Reihe mit jedem beliebigen Grade der Genauig-
keit berechnet werden kann , wenn man in derselben nur 71 gross
genug annimmt, oder eine hinreichende Anzahl von Gliedern die-
ser Reihe, vom Anlange an, wenn man sich dieselbe in's Cnei
liehe fortgesetzt denkt, zu einander addirt oder im Allgenieir.
mit einander vereinigt, »an man bekanntlich in der Kürze ;
folgende Art zu schreiben pflegt:
„ ■". . . ■ ■* . *0H-1) . , *(t-fl)(*+8)
(1 —r)->=l + j- * + — i-y- «• + j-j-j *■+
Schreibt man — x IBr x, so stellt «ich diese Gleichung un
der Tnlßenilen Form dar :
<W*—I- f «+^* -^ISrlr*8«"*
i-K*< + ll
oder unter der Forin:
1.2
|-]<a:< + l|
tu welcher Gleichung der binomische Lehrsatz i'üi
Exponenten ausgesprochen ist.
und daraus mietete. etn/kcAer Beweis des Mnom. Lekrsotoe* etc. 351
V.
Die erste Idee zu diesem Beweise des binomischen Lehrsatzes fär
negative ganze Exponenten, der sich hoffentlich den Lesern durch
seine grosse Strenge und verhältnissmässige Einfachheit empfehlen
wird, habe ich den, wie es scheint, nur sehr wenig bekannten Ras u m ^s
analytiques. Par M. Augustin Louis Cauchy. A Turin.
x1833. 4. p. 51. entnommen, wenn ich auch die obige "ganz elementare
Ausfuhrung durchaus als mein Eigenthum in Anspruch nehmen
darf, wie man bei näherer Vergleicbung finden wird. Der math**
matische Unterricht, welchen Cauchy vom Jahre 1832 bis zum
Jahre 1838 in Prag und Gurz dem Gräfe» von Cbambord ertheilte,
gab diesem grossen Mathematiker die nächste Veranlassung, seine
Aufmerksamkeit auch der Verbesserung des mathematischen Ele-
mentar-Unterrichts zuzuwenden, wesha|b auch Moigno in der
Vorrede zu seinen Legons de calcul differentiel et de cal-
cul integral. T.I. p. XIV. von ihm sagt: „M. Cauchy a red ige
sur des bases nouvelles, et K'on sait ä quelle occasion , des traites
e'le'mentaires d'Arithmetique et de Geometrie; on aime ä voir un
grand genie, inspire par un noble devouement, suspendre la pour-
suite de ses brillantes decouvertes pour rendre ä un jeune et
royal exile les importants secrets des sciences." Es ist sehr zu
bedauern, dass nur sehr wenige dieser elementaren Arbeiten Cau-
chy's bis jetzt in die Oeffentlichkeit gelangt sind, und Herr
Moigno würde seinen mannigfaltigen wissenschaftlichen Ver-
diensten gewiss noch ein sehr grosses neues hinzufügen, wenn
er sich in deren Besitz zu 'setzen suchte und dieselben so bald
als möglich publicirte. Je mehr wir, namentlich bei'm Anblick
der jetzt in Deutschland in immer grosserer Fluth erscheinenden
Lehrbücher, überzeugt sind, dass der mathematische Elementar-
unterricht noch sehr der Verbesserung bedarf, weil er bis jetzt,
wie es scheint, leider ganz von den grossen Fortschritten unbe-
rührt geblieben ist, deren sich die höheren Theile der Wissen«
schaft in Rücksicht auf wahre Strenge und Eleganz so sehr er-
freuen : desto mehr wünschen wir die baldige Publication der nach
dieser Seite hin gerichteten Arbeiten des jüngst leider durch den
Tod uns entrissenen grossen Mathematikers. Das Archiv wird es
von jetzt an sich zu einer besonderen Aufgabe machen, Alles,
was in dieser Beziehung uns zu Gesicht kommt, wenn auch öfter
in veränderter, uns eigentümlicher Darstellung, zur baldigen
Kenntniss seiner Leser zu bringen.
352 Spfl%tr: L'eber da* frönte in und das kleimte um eine
lieber das grÖsste in und das kleinste um eine Ellipsi
beschriebene Vieleck von gegebener Seitenzahl.
Schreiben des
Herrn Professor Simon Spitzer
an der Handcla-AItadeinie zn Wien
an den Herausgeber.
lieber da* grüsste in und das kleinste im eine Ellipse beuch Hellene
Vieleck von gegebener Seitenzahl bat Herr Professor Spitzer in Wien
das nachstehende Schreiben an mich zu richten die Güte gehabt, wel-
ches natürlich für mich seihst von dem grossten Interene genesen ist.
und es wegen seines sehr sinnreichen Inhalts gewiss auch für alle Leier
des Archivs sein wird, weshalb ich es, Herrn Professor Spitzer ver-
bindlichst für dasselbe dankend . sogleich unverändert in seiner ursprüng-
lichen Fassung hier abdrucken lasse. G.
Wien, 2. März 1858.
In Ihrer interessanten Abhandlung : „Merkwürdige Con-
structioii des grilssten in und des kleinsten am eine
Ellipse beschriebenen Vieleckes von gegebener Sei-
tenzahl", ArchivThl.XXX. Nr.X. 8. 84., sind Sie zu mehre-
ren schonen und überraschenden Resultaten gelangt. Ich habe
versucht, synthetische Beweise für ihre merkwürdigen C (Instructio-
nen zu liefern, und erlaube mir, Ihnen dieselben hier milzutheilen.
Dreht man den Kreis um den Durchmesser MN (Tai. VII.
Fig. 4.) über oder unter der Ebene des Papiers um den Winkel
tp, und projieirt dann diesen Kreis auf die Papierebene, so ist
offenbar die Projektion desselben eine Ellipse, ferner sind die
Projectionen der Dreiecke ABC, ABC, deren Endpunkte in der
Ellipse betokrttbMe Vftlech *m ftftbener Sriten%aM. 3S9L
Peripherie des Kreises liegen, die Dreiecke abc9 ab'c, deren End-
punkte in der Peripherie der Ellipse sind, und man hat bekanntlich
\abc = &ABC .cos 9?,
&ab'c = &AB'C.co8(p; •
woraus folgt:
(i)
kab'c ^ABC
Ist nuo ABC dalr'grftssie Äei»iKfWsef eingeschriebene, auf der
Geraden AC liegende Dreieck, so ist stets &ABC > ^ABC, wie
immer auch der Punkt B' zwischen A und B oder zwischen B
und C liegt , folglich nuies auch &abc stetsrgrj^sser als &ab'c sein,
weil sonst die Gleichung (1) picht bestehen könnte, und dies ist
der von Ihnen bewiesene Satz«
Ferner ergeben sich aus diesem Satze in Verbindung mit der
Lehre von den Projectionen noch andere Sätze,, die meistenteils
von Ihnen1 schon gefunden wurden. '
Wird einem Kreise ein regulärem neck, eingeschrieben, ihm},
wird dieser Kreis um eiueu seiner Durchmesser um dfn, WinfceJ.n/
gedreht und alsdann auf die Papierebene projteirt,:tsx»; entsteh,
eine Ellipse und ein derselben eingeschriebenes ptipk,, welc^e^
unter allen der Ellipse eingeschriebenen necken ein Grp*si;es M»t ,]^.
Fdie Fläche des regulären aecjcs ond /*die FlÄciedes 4^^l,lP^t,
eingeschriebenen, so hat man
/"3=FC080>.
Aendert sich die Drehungsaxe (q> aber bleibe constäht), so ändert
sich auch die Gestalt des der Ellipse eingeschriebenen necks, aber
die Fläche f bleibt ungeändert, denn sie ist stets gjeicb Fcoscpii'
Es gibt also unendlich viele der Ellipse eingeschriebne wecke'
von grosster Fläche, die alle verschiedene Form haben, abaßen,
selben Flächeninhalt (Unter «dien diesen gibt es vermutlich
eines von kleiestem Umfange.)
Verbindet man den Mittelpunkt der Ellipse mit den, EJnjJ punk-
ten eines der Ellipse eingeschriebenen grosstqn necjks,, ,,s.q ^p^(-
stehen n Drejeeke, die gleich gross sind, upd auch a.ejliptisc;})^
Sertoren *on gleicher Grosse«
'.■■■..•■■ «/
— $ i t -i
- -i'
Betrachtet »an statt „eingescbritber" uinsehrfeb&ie Polyv
gone, so ergeben sich offenbar gaaz andege «Sätze. .%
Simen Spitzer.
Theil XXX. 24
Hei»: SlereiMjraj'hfmhe Projrrtittit.
XXXVIII.
Stereographische Protection.
Von
Heim Professor Dr. Heia
Siner der wichtigst
Sätze über
stereographisi
ist der, dass die Projeetionen zweier beliebiger Kugelkreise i
unter demselben Winkel schneiden, wie diese Kreise selbst.
Alis dieser Eigenschaft folgt ja, dass die Projeetionen der klein-
sten Tbrile der Kngelfliiehe ihrem TJrbilde auf der Kugel ähnlich
sind. Vergeblich wird man sich in den verschiedenen Schriften
ober s(ereogrn|ihische Projektionen nach einem einfachen Beweise
über diesen wichtigen Salz umsehen ; man vergleiche nur u. A. den
weithin ficen und schwierigen Beweis in Klügel's mathemati-
sche m Wörterbuch» Band IV. S. 475-477. Ich fand mich
dessball» veranlasst, einen einfachen und elementaren Beweis auf-
zusuchen, welcher nachstehend folgt und welcher der in Kürae
erscheinenden „Stereometrie von Heis und Eschweiler"
einverleibt ist.
Satz. Die stereographischen Projeetionen zweier
beliebigen Kugelkreise schneiden sich unter
demselben Winkel, wie diese Kreise selbst.
Beweis. A (Taf. VM.Fig.5.) sei ein Punkt der Kugelflache,
in welchem zwei Kreise derselhen (grüsste oder kleine) sich schnei-
den ; AB und AD seien die Tangenten dieser Kreise an A, beide
bis «ur Tafel gezogen, die dieselbe in B und D treffen. Der
Winkel BAD ist also derjenige, unter welchem die durch /
gehenden zwei Kugelkreise sich schneiden. Der Punkt O der
Kugelfläche sei der Ort des Auges; die Verbindungslinie OC die-
ses Punktes mit dem Mittelpunkte C des Kreises steht alsn auf
der durch C gehenden Tafel senkrecht. Die durch OC und CA
Mitteilen. 355
gelegte Ebene OCA schneide die Tafel nach CK, und diese Durch-
schnittslime begegne BD in K. Zieht man KA9 KO, so ist KA
der Durchschnitt1 der feberfe OCJtK mit der Ebene ÜAD f OA
treffe CK und also auch die Tafel in E. Zieht man EB, ED,
so sind diese Linien die Projectionen der Tangenten AB, AD,
und der Winkel BED ist die Protection des Winkels BAD. Es
ist zu beweisen, dass diese Winkel gleich gross sind.
Da OC auf der Ebene BCD (der Tafel) und CA auf der durch
Ähund AD gelegten Ebene senkrecht stehen,- so sind die Ebe-
rn 2?42>t und BCD beide senkrecht : -auf der Eben« vpC^Ä\
an er ist auch ihr Durchschnitt BD senkrecht auf dieser Ebene
und also BD senkrecht auf MO, KCm<) KA. j£C04~JCCA09
ferner Z COA + Z 0£C= * jand ^ CA Q + 4L EAK 5=* ß, da
C^ senkrecht auf J£, folglich is*t *auch 2 OEC=]<LeÄK oder
ZÄ£^^^£, tnjthtot > V ■. m •-..
KE ^= Ül^I. .
Hieraus nun und da it£ und KA beide senkrecht auf BD stehen»
folgt die Congruenz der beiden Dreiecke ABD und E&D, und
hieraus;
^LBEQ-^BAD. , v ...
£
:.<<. »
^ " ■ ■ • m/r '• • :
M 18 c eile n.
• a
1
/ •
Von dem Heransgeber.
I«1 ■
t
• # *
Geometrischer L^ehrsatz.
Wenn in dem Dreiecke ,4£C (Ta f. III. Fig. 8.) die
Linie AD beliebig gezogen ist, so ist immer
AB*.CD+AC*.BD—AD*.BC~BCBD.CD.
a.w
WueUtm,
B e w * .i s.
| i.:ii.' ml. ^ auf BC das Perpendikel /IE. so ist:
/*«« = jr» + ÄC»T^öC-'-£.
.JC'= = Am + BC-tBC. fl£*);
Sft.
r*B».eß + /lC".ßß
= AC*.CD+AB*.BD+BC'+2BC.CE.CB-2BC.BE.BD
= (AD'lCD'— 2£'ß.ߣ).Cßt(Jß,+ ßß* + 2flß.flE).*D
t ßC«T?ßC. C£ . CD—2BC. BE. BD
= AD*.BCiBC< + CD" + BD'
—WD1. DE f 2fl/>*. ߣ + 2BC. C£. CD—VBC. BE.BO
= AJP.BC+BC't tß« + ßß"
— 2Cß».(CO + C£) + 2«B».(BE— ßß)
+ 2BC.CE.CD—2BC.BE.BD
= JS>.SCT«C'-C1)!-SD'
±2Cß».CE + 2Bß".ßE
T2BC. CE.CD-2BC.BE. BD
= AO*.BC + BC°—CD»-BD>
=F 2ßß. CE. CD— 2CD.BE. BD
= AB*.BC+BC'—CD*—BD'—2BC.CD.BD
= AD*.BC-HCD + BD)'—CDa-BD3 — 2BC.CD.BD
=2 AtP.BC + MLP.BD+ZCD.BW — VBC.CD.BD
= AD*.BC+ZBC.CD.BD — 2BC.CD.BD
= AW.BC+BC.CD.BD,
r Figur dargestellLeu Fille
«0» = !fl*+C£» — Ä«»
= W+(ߣ— ör)« — Äff*
'iL
W. Z. I». w.
.Frage: Wie lässt sich dieser Satz einfacher, etwa mittelst
de. s ptötem(lscfcen Lehrsatzes, beweisen?
• i'nnm ■ hm«««» ■»!■ '»,. I . '
I
Iti sefoen Rdsumtfs anialytiques. A Turin. 18S3. p. 10.»
einem manche hübsche Sachen enthaltenden , aber sehr wenig
bekannt zu sein scheinenden Buche, hat Cauchy den folgenden,
auf sehr einfachen Gründen beruhenden Beweis des Fe r mat-
schen Theorems von den Prim^hJeo gegeben, der sich wohl zur
Aufnahme in den Schulunterricht eignen dürfte.
L Auto, dem binomischen Lehrsätze* ffit ffofeittv* gitoscf Expo»
nenten, den man für solcbe Exponenten wohl tsHOtr io 4en Sthafr
Unterricht aufnehmen wird, folgt unmittelbar und ganz von selbst,
dass ffir einöh positiven ganzen ^Exponenten alte Binom. al-CoefB-
cienten positive ganze Zahlen sind.
• i
2. Wür ein positives ganz« n ist also der MioifeiahCräfiaient
immer eine positive ganze Zahl. Wenn nun aber, wie wir von
jetzt an stets abnehmen wollen, n eine Primzahl uqd k njcty
gleich w, also kleiner als n ist, so kann n nicht unter den Pfim-
factoren der Zahlet' 1, 2* 3,.««.£ vorkommen, bnd es «um; also,
d« (a)* etee- positive gatae Zahl ist» das Produet 1 »$«&*»..» 4
offenbar in (n — l)(w — 2)....(n — A+I) aufgehen, oder dar Biso»
mial-Coefficient (»)* muss ein Vielfaches von jt sein.
3. Nun ist nach den binomischen Lehrsatze
(o + l)«=: «« + (11)! fl«-1 + (n)aa»-* + .... + (*)«_ia-f 1.
Also muss, da nach 2. cUe^Binomial -Coefficienten
(«)i . (*)*» (»)s » • • • • («)»ri
sämmtlich Vielfache von n sind, offenbar (a + 1)", durch n divi-
dirt, denselben Rest lassen, wie eP + 1, durch « dividirt. Folg-
lich muss offenbar auch (a+l)n — (a+1), durch n dividirt, den-
wird man to lange hei numerisihen Kechimiigeii statt loetg.r nfl
Ingsin.r einfach logj; nehmen dürfe», als einerseits
2itfi£r , ., , Mdx
•1.3
i-Jar'
indererseits cos 21 :
noch nicht den Werth erreicht, bis auf welchen genau man die
Rechnung durchzuführen wünscht. Will man diese Bestimmung
durchführen, **> wird man iudirect am einfachsten zuni Ziele kom-
men, dabei »lim auch <lie meisten Zahlenwerthu aus den vnrhan-
denen Logarithmentafeln entnehmen können. Will mau etwa bin
aui'0",Ol geuau rechnen, so wird für dx = \" und Jf =0,4342946
bei ;r/ = 5' jlngsecx
«;=I0
*=15
=0,0000007
12
27
Al»glg:t = 1447f>,
4826,
im letztern Falle also j£qi™0,005 — , und man wird daher von
diesem Werthe von x an nicht mehr 0",01 verhörten können,
Fall man log.c statt logtg^c ansetzt. Aeholich wird
bei ^^5' ilogcoN*;=-ü,0000002 Alogs'n ar=14476,
a:=10 „ 6 7238,
ar=15 „ r4 482Ö,
x = 20 „ 24 361H.
Man wird daher hier bis;r = 19' statt logsin^r einfach Inga? setsen
können, ohne einen Kehler von 0",0I zu begehen. Bei der oben
erwähnten Aufgabe pflegt man, wenn X und ß die Länge und Breit«
des Planeten, e die Schiefe-, r der Radius Vector, x. y und
die rechtwinkligen Coordinaten in Bezug auf den Aequatnr
zur Berechnung der Formeln
u — rcosSsiniCost — r «in 3 sin - .
einen Bülfswinkel A ,
i/jsii.Ä sine -f rsin/.V
einzuführen, dass
ncosiV = cos 3 sin A setzt, wonach tgJV =
cos fisin i . , .. _ . - ,
— ^— , sowie ff =■ iit cos (Dt + e) und s
Wenn nun 0 längere Zeit iun
i bleibt, wird man einfach de
man «sinA' = sin0,
~i— t und k = - — ~T
= nrsin(A+£) wird,
halb der oben gefundenen lüren-
Winkel &m X=*-ß-, »od «war
en
vollständig genau ableiten kennen, jedoch niuss man hier darauf
neben, dass der zu bestimmende Winkel N nicht jene (irenze
von 15' überschreite.
G runer t: Neu* \Var*icU.d. Theorie & Berühr* n.Xrtknm.d Curt.$ßg
•*'■;! ;■ f t ' '■ .' '' t ••">' ■. ;■''.!:.';■
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. i"
XJL.
Neue Darstellung der Theorie der Berührung und
Krümmung der Curven.
i ...■«•
Von
dem Herausgeber.
Die Darstellung der Theorie der Berührung und Krümmung
der Curven , so wie dieselbe in den gangbaren Werken über ana-
lytische Geometrie meistens gegeben wird, lässt nach meiner
Meinung sowohl rücksichtlich der Allgemeinheit derjFprnieln, a^s
auch namentlich rücksichtlich der Einfachheit und Bestimmtheit
der Begriffe Manches zu wünschen übrig. Besonders in letzterer
Beziehung muss ich zunächst bemerken, dass es nach meiner
Ceberzeugung bei dieser Theorie, wie überall in der höheren
Analysis, lediglich auf die Bestimmung gewisser, «bei natiirge-
mässer Entwickelung ganz von selbst mit völliger Bestimmtheit
hervortretender Gränzen ankommt, was nicht in allen Darstellung
gen derselben mit gehöriger Deutlichkeit hervorgehoben .und mit
gehöriger Consequenz festgehalten wird. Auf diese Gränzen,. deren
ganz bestimmte Existenz im Räume jedenfalls auch sehr merkwürdig
ist, muss daher überall zurückgegangen, dieselben müssen lediglich als
Definitionen benutzt, und auf deren Bestimmung muss jederzeit allein
das Augenmerk gerichtet werden. Nur auf dieqeiu-. Wege wjrjl
man sich den gegenwärtig in der Analysis, gegeeqborr den y*ge,n
und völlig antiquirten Darstellungs - und Entwicklung«:^, et hodeji
der älteren Reihen -Analysis, nur noch auf Geltung < Anspruch
machen dürfenden Ansichten der neueren strengen^ Wissenschaft
zeitgemäss anschliessen. Dann muss ich ferner bemerken, dass*
ich es fSr völlig verfehlt halte', wenn man, wie gegenwärtig ü^erajl
noch geschieht, die Theorie der sogenannten Curven von einfacher
und von doppelter Krümmung von einander scheidet, indem man
zuerst jene für sich und dann auch diese für sich betrachtet.
Theil XXX.
25
SfcJ
Srun
l: Stile Darstellung d#r Theorie
Vielmehr muss man nach meiner Meinung sogleich von i
•in in völliger Allgemeinheit die sogenannten Curven von doppel-
ter Krümmung einer genauen Untersuchung unterwerfen, und aus
der dadurch gewonnenen Theorie dann die Theorie der sogenann-
ten Curven. von einfacher Krümmung als einen besonderen Fall
ableiten. Namentlich ist es bei dem gegenwärtigen Zustande der
Wissenschaft ganz unerlässlich. bei den sogenannten Curven von
doppelter Krümmung ausser der ersten Krümmung auch die so-
genannte zweite Krümmung einer gleich sorgfältigen Betrachtung
zu unterwerfen, ivas nur zu haußg noch unterlassen wird; dabei
wird sich dann zeigen, dass diese zweite Krümmung bei den so-
genannten einfach gekrümmten Curven verschwindet, dass die
erste und zweite Krümmung in der That nur den doppelt gekrümm-
ten Curven zukommen, und dass nur eben erst hierin die Benen-
nungen: „Curven von einfacher und von doppelter Krümmung"
ihre eigentliche wissenschaftliche Rechtfertigung finden.
Nach diesen allgemeinen Grundsätzen werde ich die Theorie
der Berührung und Krümmung der Curven in der vorliegenden
Abhandlung einer neuen Bearbeitung unterwerfen, und einige Be-
trachtungen über die Berührung der Flüchen hinzufügen, so dass
sich als weitere Ausführung dieser Abhandlung die in der Ab-
handlung Thl. XXVIII. Nr. VIII. entwickelte allgemeine Theorie
der Krümmung der Flachen unmittelbar anschliessen lässt, und
dann mit der vorliegenden Abhandlung ein Ganzes bildet.
Den geometrischen Untersuchungen, welche den eigentlichen
Gegenstand dieser Abhandlung bilden sollen, schicken wir die
folgende allgemeine analytische Betrachtung voraus,
Wenn f[x) eine beliebige Function von x bezeichnet, und
Functionen
/(*). fix), f"(x), f'\X),....,^U)
«wischen den Gränzen x und x + dx stetig sind, was für gewisse
bestimmte Werthe von n hei allen folgenden Untersuchungen jeder-
zeit vorausgesetzt und stets festgehalten werden muss; so ist
nach dem Taylor'schen Lehrsatze bekanntlich, wenn p eine ge-
wisse positive, die Einheit nicht übersteigende Grösse bezeichnet:
!
«,»+^)=/w+fM-x +/■"<*:
Jx*
•.+/ -'■w-i..
~r, +/■'■><»• hc-fa)
/
de* BdtÜMrmn? u*d gHtmmtmg der OurPtn. SOff.
oder;, weas Wir der- Kfirte wegen
»» =/W (* + Czte) . !
J ■ • • • 71
setzen, und diese Grösse» wie gewöhnlich» den der Gliederzahl
n entsprechenden Rest der Taylor'scben Reihe nennen:
Der Rest 91« ist in Bezug auf Ax eine Grösse der rtten Ord-
nW>S# uod wenn nun die positive ganze Zahl m < n ist» so ist
in Bezug auf ^a: eine Grosse von der, Null übersteigenden
(n — m)ten Ordnung. Lässt man nun Ax sich der Null nähern»
so wird» weil o eine die Einheit nicht übersteigende positive Grösse
ist» fl*){x + qAx) sich der endlichen» völlig bestimmten Grösse
f&\x) als seiner Gränze nähern» und dx*~m nähert sieh» weil
rt-offt grösser als Null ist» der Null; also nähert unter den ge-
machten Voraussetzungen nach dem Obigen
-j~ sich der Gränze - / — ->
Axm l....n
folglich der Gränze Null» so dass unter den gemachten Voraus-
setzungen immer
ist. Ferner ist nach dem Obigen:
%, _fi*)(x+gJx)
Ax* 1....W
woraus sieh unmittelbar ergiebt» dass» wenn Ax sieh der Nnil nähert;
-r~ sich der Gränze k
Ax* J .... n
nähert» oder dass unter der gemachten Voraussetzung
Lim-j-r = \
Ist
Hieraus ergiebt sich der folgende Satz:
25#
M4 Crunerl: ßfeue Dartiellung der Theorie
Wenn f(x) eine beliebige Function
uinl die Functionen
A^), fix), fix). m.-'-/'1"lW
swischen den Gränzen x und x + Ax stetig sind, so i
für ein der Null sieb näherndes Ax immer
Axm 1....7I
lachdem m<^n oder /« = « ist.
Von diesem Satze werden wir im Folgenden häufig Anwender
machen Gelegenheit finden.
Es sei jetzt eine beliebige, durch zwei Gleichungen zwischen
den veränderlichen oder laufenden Coordinaten x. IJ, J charakte-
risirte Curve im Räume gegeben *). In dieser Curve denke man
sich einen beliebigen, aber bestimmten, durch die Coordinaten
x, y, * gegebenen Punkt {x, y, ;), und lasse nun x, y, i die
zusammen bestehen kennenden Veränderungen Ax, Ay, A% erlei-
den, so dass durch die Coordinaten x+Ax, y + Ay, x\Az ein
zweiter Punkt (x + Ax, y + Ay, x-\-Az) unserer Curve bestimmt
wird. Legen wir nun durch diese beiden Punkte eine Gerade,
«eiche wir überhaupt eine Sekante der Curve nennen wollen, so
haben deren Gleichungen bekanntlich die Form
cos & cos £1 '
fc-
bEt
welche Gleichungen aber, weil unsere Sekante zugleich durch den
Punkt ix + Ax , >j \ Ay , z\Ai) geht, auch bestehen müssen,
wenn man in ihnen für x, tj, } respective x+Ax, y + Ay, x + At
setzt, wodurch man die Gleichungen
Ax
Ay
Ax
■') In der Abhandlung über die Kriimmiing der Flächen in Theil
X1VIII. Nr. VIII. sind die laufenden Coordinaten durch groaae lateinische
Rurluf.iliiT, bezeichnet worden. Ich habe hier die Bezeichnung dleaer
Cnorriinalm durch kleine deutsehe Bnehsiahen »urfrczng-en ,
natürlich keinen Unterschied macht.
\
erhält, aas denen sich die Gleichungen
cos S.Ja: = cos 8 . Ax ,
*os&.Ay zs, cos Q.Ax,
co&ß.Az ^seoall.Ax
%
ergehen. Quadrirt man diese Gleichungen und addirt sie dann
zu einander» so erhält man, weil bekanntlich
cos S2 + cos &2 + cos JZ2= 1
ist» die Gleichung
cos 0* (Ax* + Ay* + Az2) =zAx* ,
ans welcher sich
Ax
cos & = + A/- j
~~V^r2+zfy2 + ^*2
und folglich, weil nach dem Obigen
Ay Az
cosßsscosö-T2-, cos J7=C0SÖ~j—
• ■ • : i
ist, mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf einander
überhaupt
_ m Ax
cos 0 = ±
cosÄ=J:-^
^Ax2-\-Ay2\Az2
Ay
cos iT= 4-
*{Ax2\A]p>\Az2
Az
^~Ax* + Ay*+Az*
ergiebt.
Weil überhaupt zwischen den Coordinaten jr, w, j, und folg-
lich auch zwischen den Coordinaten x, y, z des gegebenen Punk-
tes der Curve zwei Gleichungen gegeben sind, so kann man immer
eine dieser drei Coordinaten als unabhängig variabel» die beiden
anderen als davon abhängig oder ajs Functionen dieser als unab-
hängig variabel betrachteten Coordinate ansehen. Man kann sich
aber auch» was allgemeiner und der Eleganz und Symmetrie der
zu entwickelnden F«rm*ln förderlich: ist» alle drei Coordinaten
x, y, z als Functionen einer anderen beliebigen, als unabhän*
gig variabel betrachteten Grösse, die wir im Allgemeinen durch
9> bezeichnen wollen, und ihre Veränderungen durch die .Verän-
*n$ der Uimrtt
dertmgen dieser als unabhängig variabel betrachtete» Gross» <
sämmtlich herbeigeführt denken. Thut man das Letztere,
denkt sich also die Veränderungen Jx, äy, di von x,
>.i ni rullicli durch die Veränderung rfep van tp herbeigerührt,
«Inf man die obigen Formeln besser unter der Form
4x
s/I=+ -
" V^j:* + ^ya-r-Aa'
also, nenn aucb nicht ohne alle Veränderung der vorstehenden
Vorzeichen, aber doch jedenfalls immer mit Beziehung der obe-
ren nnd unteren Vorzeichen in den folgenden Formeln auf einan-
der, unter der Form
C06iI=J;
Jx
vesr
♦Gö'-
4L
>m
vea*
♦<*)■
TWW^W
djiralelltn.
:-.-i Lisxt in »u nun Ay sieb der Nnll nähern, so werde«
COSÖ, COSiß, cosil
nirh respective den Grlnceti '
dir Strikmmt **d Mr*mmu*$ der Cmrvt*. 98T
\®'+W*®'
dtp
Bq>
sW®)'+<®
nähern, 00 dass also, wenn wir diese Grunzen von cos 9, cds£,
cos 17 respective durch cos 6, cosco, cosö bezeichnen:
cos 6 =±
dx
y<& +<$'+<&
dy
l; • . . c coso=db
V®* +&)•+«)■
cos6=4-
V (l)' + (I)" ♦ 0
ist; und nach dem Obigen sind dann
*' COSÖ COS© COStt
• ■
also, nach vorstehenden Formeln,
6) dx """ Tg" "" & *
3<p o<p ocp
die Grfinzgteichüngen der Gleichungen
t—x _ 5-jjf _ f--X
C«|6 COS& cos IT*
I
flrunerf: Xm* Darueilnng der Throne
null charakterisireti daher eine der Lage nach ganz hcstimmlr
durch den Punkt (x,y,i) gehende Gerade, welche als die Gränze
der durch diesen Punkt gehenden Sekanten der Curve zu betrach-
ten oder aufzufassen ist, nämlich als eine der Lage nach ganz
bestimmte, durch den Punkt {x, y, i) gehende Gerade, welcher
die durch diesen Punkt und irgend einen anderen Punkt der Curve
gezogenen Sekanten derselben sich immer mehr und mehr und bis ■
zu. jedem beliebigen Grade nahern , wenn man den letzteren Punkt
dem Punkte (x,y, :) immer naher und näher rucken laset. Diese
durch den Punkt (x,y,i) gehende, durch die Gleichungen 2) oder
'■'>) der Lage nach völlig bestimmte Gerade, welche also als die
Gränze aller durch den Punkt (.«, y, i) gehenden Sekanten der
Curve in der oben nfiher angegebenen Weise aufzufassen ist, nennt
man die Berührende der Curve in dein Punkte (x, y, t), und
dieser Punkt selbst wird ihr Berührungspunkt genannt.
Weil bekanntlich
ist, s» kann man die Gleichungen 3) der durch den Punkt (>, y, :
gehenden Berührenden der Curve auch unter der Fnrta
4) TF - 8y - &
schreiben, und die Formeln 1) lassen sich mit Beziehung
oberen und unteren Zeichen auf einander auch unter der Form
ise==±___^ — . ,
a~±^^^
Vfe* + 6>2 + Si* '
darstellen, wobei man sich nur immer x, y, i als Functioi
einer gewissen anderen unabhängigen veränderlichen Grosse i
denken hat*).
Setzt man tp=x, was natürlich verstattet ist,
den obigen Formeln
■) Die« Bemerkung gilt allgemein für al
Jen ähnlichen Falle, WO die eigentlich im
ihängig variabel zu liclraclitenrfe Uriiaae y
in PoIgnmUli vorl.im-
hinzuziidenbenile, als
« den Formeln wegge-
i für alle Mal bemerkt wird.
i
za setpea,, S«^^tutiprijßD,,4eten vvirklipb^^AaßfiihniDp nicht der
geringsten Schwierigkeit :anjter liegt, und daher hier oiibV Inj Fol-
genden immer deu| Leser überlassen bleiben mag.
-**.-.. - ' -« i ' / .•.*,•..■»':.'! »..o-> \
III.
■ • • » . ■ ,.. , » ;•> :i'.| :!-•■•■ ■■■!"■■ '■' r: "Vli 'i «nl .\ > '■' .iti
.1 ■• J^d* d«Peh den Punkt (xjy9 1) gehend*, » auf* der- iMeiNMM
Punkte entsprechenden Berührenden der Gtnv* senkrecht fttetferidfe
Gerade heisst eine Normale der Curve in dem Punkte (x$y>%).
Weil jede Normale durch den Punkt (xf y, z) geht, so haben
ihrq -CMeieliitngtin im Allgesaetaen die Form •••<■ n"'» «»•' • ü!
cos öi .cosjo« cqsgk
/, .... i. ;■■ • ■* ■•*■.: n :i. ■*■.•■■■■•■■ -t ■:!■. • I*-!. '?
und weil sie auf der Berührenden in dem- Punkte ^0,'y;<*)<stftrif-
recht steht, ao sind die Winkel 6X, &l9 (5X den (feigen .ßedin-
gungsgleichungen n
cos 6 cos öx + cos od cos ö>! + cos a> cos Oi = 0,
cos ÖÄ* + ces «1* +'cq* 5if == 1 ;
also nach 1) den beiden Bedingungsgleichungen . >
6) ... 5 ty l + ^C08W| + ä^C08OlL = °'
l cosÖ1a + cosa>12+cosöl2=l;
7).
■>
»
1 , ■ . ■ r 1 ; .
f >
. f
\ ' :
t '
.;.l'. '
. • * •
■4t.'tl\
>
oder des -beiden: Bedingungsgleichungen
dx . cos di + dy . cos cö| -f dz . cos Gx = 0,
COS öi2 + COS /öi2 + COS Öi2 = 1
unterworfen. Der eine der djrej Kinkel, Ql9 <ott sog bleibt immer
der willkührlichen Annahme anheim gestellt, und die beiden an-
deren Wiakel sind 4aon mittelst, der, *w ei .. -obigen • Bediegangsi.
gleichungen zu bestimmen* was in de« theilweistn Unbestubmt»
heit der vorliegenden Aufgabe seine unmittelbare Erklärung findet
., Aus. den. beiden. Gleichungen
■■ '■ ■' ■ v \« •' ■..'■■ ■ I .» **. i .._■ , ■' „. 1 j
COS r3 COS 0i + CQS 0» COS flOi -I- cos Q COS Ot = 0, ,
!.•■■- l <cos0i24-co8<Oi*~Mo*$i2s;L .
Gruittrtx fimm Uaritellmtg der Theorie
findet man mittels! leichter Rechnung mit Beziehung der oberei
und unteren Zeichen auf einander:
— cosScoscocnsöjircnsÖ V^l — cosfl*— cosrJ,*
, Wl _ __ sinö«
a cos g, T cos tu VI — cos 0*— cos fli* .
in welche Formeln man nun leicht noch für costf, cosu, eosö
ihre aus 5) bebannten Ausdrücke einfuhren könnte, was wir jedoch
der Kürze wegen hier unterlassen.
IV.
Die in dem Punkte (&-, ;/. 2) auf der diesem Punkte entspre-
chenden Berührenden der Curve senkrecht stehende Ebene heisst
die Normal- tfbene der üurve in dem Punkte (x, y, i), und
wird der Lage nach durch zwei -durch den Punkt Li, y, i) gelegte
Normalen der Curve bestimmt.
Sind r
die Gleichungen ;
malen, und ist
t-x __ n-y _ _j—i_
cosSj cos raj toso,
r—x_ _ igj-r« _ } — i
cos ftj C03 <u2
COSUjj
h den Punkt (x, y, t) gelegter Nor-
AQc-x) + fi(n-y) + C(j-r)=0
die Gleichung der demselben Punkte entsprechenden Normal-
Ebene der Curve, so hat man, weil in dieser Ebene die beiden
in Rede stehenden Normalen liegen müssen, offenbar die beiden
Gleichungen :
JcosÖ, l ficnst», | Ccosu, =0,
A cos 0g + B cos <us + Ccos oa=0 ;
aus denen sich, wenn G einen gewissen beliebigen Factor I
zeichnet, die drei folgenden Gleichungen ergeben"):
i beliebigen Factor beieicbn*
I 1
• 1
\ {A =s G&osml da* ttf~~corf St cos**), :
Bz=z G(cos c31 cos 6t — cos dt cos ö*) ,
* C=G (cos di cos (0| — cos a>! cos öa).
Nud ist aber nach 4 1.
S • ■ ■ • i ■ ' " ' i ; ' ■ . ■ . .
\
COS0CO*6| -J- C^St»COStt| -f CPSQCOS^! =0»
cos0cos0a-f coso>cosa)a-f cost3co^s=^Q; ;..
also, wenn wieder C einen gewisses Factor bezeichnet:
■ » •
COS 0 == £*' (COS »jL COS <59 — COS6)|COSa>g),
COS 00 = ^'(cOSÖj QOS09 — vCOS^x COSÖj),
J ■
cosö = G,(cob61 cosot»2 — cos(ö1cosöÄ); ... m
wo zur weiteren Bestimmung des Factors G' die Gleichung
cos6a + cosa>t + fosö2==l
dienen würde.
■ *
Weil nun nach dem Obigen der Factor ^ off^nba^r Bine gaiiz
wülkührliche Grosse ist, so kaon auch G=ö', also nach dem
Obigen
4 = G'(COSf0i coseöa — C08 Öi COSCÖj),
B=zG' (cos Öi cos 02 — cos #! cos öft) ,
C= 6r7 (COS 0£ COS Ug —COS OD! COS 0j
l ' " *.
gesetzt werden, welches, mit den oben stehenden Ausdrücken von
608 0, cosca, coaö
verglichen, unmittelbar zu den folgenden Gleichungen fahrt:
A~coaß, Ä=rcos», <C=co*ä>;
so dass also die gesuchte Gleichung der Normal- Ebene der Curvp
in dem Punkte (z, y, z) nach den) Obigen
9) • . • (r — a:)co80 + (w— y)cos» + (j — z)cosö=0,
also nach I) oder 5):
10) .... BÖr-*)+21(»rjr) + £ö-«)=0i
TT i ! **™ ' '•! >VTT » «MV;»"] • »'* '-."I
oder
Grunert: Um* tiarsUUuna der Tktiirft
11) 2*. (r-a:) + Sv.(n-,) + 8*. (*-!) = ()
bt
T.
Wenn die Gleichungen der Curve unter der Fo
/tr, ij, ;) = 0, tfr. ,, j) = 0
gesehen sind, so dass folglich auch
rt*,jr,«)=0. F(x,y,z)*=0
ist, wo also die Curve eigentlich als der Durchschnitt
Flüchen betrachtet wird, so setze man der Kürze wegen
u=f(x,y,z), ü=F(x,y,1).
dx ' dq> 3jr 8<p 2i 3go ~
2J7 2* SP Sy Bü Si
8a; Bf 3y 091 81 drp
wo alte Differentialquotienten v
ferentialquotlenten sind ; und v
sen Factor bezeichnet, so ist:
* und V natürlich partielle Dif-
1 nun C wieder einen gewis-
13)
.
Also sind n
geben en Curve
Voraussetzung :
Ix _ /Iff/0w SV
dtp~ \i
dx _ -,„/8w
8qj _ \(
8* " %
8« 8Ü\
_8« 8t7\
2a; 8j / '
8_w 8C7\
dy' dx/'
;h 3) die Gleichungen der Berührenden der ge-
n dem Punkte (x, ;/. ;) unter der gemachten
dn dÜ_Bu 2ü"
8«'2i 2*'8j
und zur Bestimmung *
Kürze wegen
"8^'8i
8n 8ü__.3w W'
3.t ' 2y 2y " 2a;
9, », U hat man nach 1), wenn der
_, /8a 8U 8« &ÜV>L/8«'8I7 -!--fti 'M7V>'ya«i8&' - **-8ÜV*
oder !".' ! I
15) .
/»
(Zu du ,8a 8ü Bü Büy
~\dx'dx + 8y"8y +8» &/ '
;1 t|: ?i
■ - i
gesetzt wird» die folgenden Formeln, in "denen diet oberen und
unteren Zeichen eich auf einander beziehet! :
Bu Bü^Bu Bü :
m <& " Bz Bi* Ihf
co*0 =f± ä i p ' *■ ,
16) . . • < . 3z * &r 5r * Sz
cos oi= J: — 5 ,
«•. 'i:i
«. m Bx' By Bii* Bit
ooso=± *-p7"
» i'
« *
Die Gleichung der Normal -Ebene in dem Punkte (.r, y, 2)
ist nach 10) unter der gelnachten Voraussetzung:
>:■.{
I.
1 t
i t
a *. -
.»■I
/8a 8T7 du 8C7\
17> • • • U&-87-S'87>fr-*>
, /8a 817 8« 8ü\ f
/8a 817' 8u 8C7\
vi.
• •
Wenn die gegebene Curve ganz in einer Ebene liegt, deren
Gleichung
... ■ J 1 .1
1 i '■■ •
'• ' ". -1',! , ,.....•.' i#). , I i- ;:» ■» M." *
*) E» ist nämlich immer ;•»;»■•- , ■•. r •? ..:«..••._.
8?4
ist, ho Lai
folglich
Gruntrt: Xeue Darstellung t/er Theorie
Ar + Bt) + Ci + D = a
i man im Vorhergehenden offenbar
setzen. Also sind nach 13) die Gleichungen der Berührenden in
dem Punkte (x, y, •-) in diesem Falle:
r— x
"—.V J
B3- — C'u~
«SHfe -*■
:il natürlich
Ax+ By+Ci+D =
ist, so Inast sich die Gleichung der Ebene, in welcher die Curve
liegt, auch unter der Form
Afr—x) + B(t)—y) + C(}-z)=Q
darstellen; und weil nun offenbar
ist, so erhellet leicht, dass die Berührende jederzeit ganz in i
Ebene liegt, in welcher die Curve liegt.
Die Gleichung der Normal-Ebene i
ist nach 17) :
dem Punkte (x, y, t)
19)
f£-%>
■*)
+ (C^-A^)(v~g)\ =0
i welcher die gegebene
Dass diese Ebene auf der Ebene,
Curve liegt, senkrecht steht, versteht sich nach dem Vorher-
gehenden von selbst.
Die in der Ebene, in welcher die Curve liegt, liegende Nor-
male der Curve in dem Punkte (x,y, i) ist offenbar die Durch-
dir Strtiärmß «* 4Mfe»«fl* der Cm*** ST*
«ehnittaHni* dieser Ebene «H der NormaKEbene in dem Punkte
(x, w, *), und wird abo durch im beiden GleielniDgen
charakterisirt. Aus diesen beiden Gleichungen folgt» wen» G"
einen gewissen Factor bezeichnet:
,-*= er WA p^Bpj- <xc£-a£u
■ * •
■ -ri
oder:
I
folglich sind die Gleichungen der in Rede stehenden formale:.
«3S "tt"'* ' * ' ' K*'" ' * 'X" ■' v i * * ■ — a- —
, :.;<fr**+rt£,-*uE4'jig**fe
. .i
«7«
Grunert: heue Oarttellmig der rhi-urle
Nimmt man die Ebene, in welcher die gegebene l'urve lii
als Ebene der rt) an, so ixt ihre Gleichung > = 0, and man hat
also im Obigen A = Q, B = 0, C=\, Z> = 0 iu setzen. Daher
erhält man in diesem Falle nach 18) und 20) ah Gleichungen der
Berührenden und der Normale für den Punkt [x,y) in der Ebene
der jn offenbar respective die Gleichungen
' mxl
r-x _*i— ä
ene
wo natürlich k nur eine Function ton x und y ist, da allge-
mein J=0 ist. Nun int aber nach den Lehren der Differential-
rechnung in diesem Falle:
Sy Bx dy
folglich sind nach dem Obigen die Gleichungen der Berühre
und der Normale respective ;
-g£(r-tf)-f (U-V)=0 und
oder:
22)
wie hinreichend bekannt ist.
-Cr-*)-fo-ar)=o
"— s = £ *— ** u'"' ""
TU.
Zu den bis jetzt betrachteten zwei, durch die Coordinaten
*, y, x und x\dx, y+dy, i-f<4i bestimmten Punkten unserer
Curve wollen wir jetzt einen dritten Punkt derselben hinzulegen,
welcher durch die Coordinaten x—dx, y + Dy, i + Di*) bestimmt
*) Eine Verallgemeinerung der liier absichtlich xuers
genden Weiie angestellten Betrachtung ». m. unten in der Anmerkung.
ful
herbeigeführt werden, so wie dy und ziz. ai^ qwrdi ^o Verände-
rung + dx von a herbeigeführten Veränderungen Von y und z be-
zeichnen. Dur^h die#e drei Punkte wollen. wir*, eben so wie wir
vorher durch die neiden Punkte (£, y9 z) und (x -f z/a:, y + z/y,
2 -f- z/z) eine Gerade legten und dieselbe einer weiteren Betfacfc-
tung unterwarfen , jetzt eine Ebene legen #. ; deren Gleichung , da
diese Ebene dprch den Punkt (x\ y; z) geht, im^llgemeinen die Fouu
habe» wird. Da die in Rede stehende Eben« abe* auch idurdh
die beiden anderen Punkte gäben soll» so. umm diese GreJofang
auch noch bestehen» wenn man ß}r X, t), } respective x + dx,
y + dy, z + dz und. x— dx9 y + Dy, z-f-Dz setzt , wodurch man
offenbar die beiden folgenden Gleichungen erhält:
Adx + B4y + Cdz =0,
Adx— Ä%— 0)2=0;
aus denen sich ferner die drei folgenden GJeiöJnüife»: ;! . ■.» ..>: .
» ^zfX<z/2 + Ü2)+^(%D2 — Z//Py)=:(l, \
B(^y + D^)+ C(^+Dz) = 8, " ''
C(tyP2-d'zPp)—Adx(dy+üy)=F0; V.
oder, wenn wir diese drei Gleichungen nach der Reihe mit dx\
dx, dx2 dividiren, auch die drei folgenden ßletehtiitg**:' ''
\zfa: zto , Jx Jx/ ... \Jx ' tJay
ergeben, au* denen unmittelbar ersichtlich ist, dass es verstattet ist,
. ,'•■ ,. ■ ■■■ • ^f öi • Jr' l>t/» -
'* — Jx%Jx~J#'Jx' ■ *•■- ■
I
•
zu setzen. '
6'='
4V +P#
■ , Ja Jx \
Theil XXX.
l
*itf
37* Erunert: Nette BariMhing der Theortt
Nehmen wir nun x als die unabhängige veränderliche Gri
an. und betrachten y, i als Functionen von x
Taylor'schen Lehrsatze :
<<»=!>> + B,. A = !>: + !»,
%=-s;ä+k.'.
-£'*+*
»obei man, was man
beachten hat, ilass ir
welche x erlitte» hat.
auch im Folgenden nie übersehen darf, tu
letzteren Falle — .J.c die Veränderung ist,
Folglich ist
i + ^m , — = r: + 3
RV ßi
-?: I
dx '
52-_
also nach dem Obigen:
A — \ix + W U» ~ W + W + << J US ~ Jx)
- U* + W U* + — Ax) + V.ai + <<*/ U* + -<*J
tvnraiift man nach leichter Rechnung findet: ,
**~&j:W* — j*/ Stow* -W
-C
R, üi,' SR, R.
7,y
\dx ■ — Ax/ dx —rtiX
Weil nun nach dem in I. bewiesenen Satze, nenn 4
der Kuli nähert, auch die Grössen
R» 3t« __R?' SR,'
sich sümnillich der Null nahem, so nähern unter derselhci
aussetzung auch die Grössen A, ß, C sich sämmtlich der Nul
und «ir werden äIso auf diese Weite zu keiner durch den Puntl
*er>0»iN*u*§ v*m* Wimn&g den Arm.
{*> y» t) gebend«tfi der-Lage nad| VöHig beHlmjDten Gr&nz-Ebene
geführt, weichet die durah die Vother » betrachteten drei Punkte
gelegte Ebene sich nähert» wenn Ax sich der Null nähert, wenn
ittftn *t*b die beiden durch die €o*dfc»ten *+ afc, y+ *fy, i +•* :
und *-+Jx,i?^bfr, *+Di bestimmte« Punkte dem Parikte
(x, y, 2) immer näher und näher ritakea-tt&t.' -Ganz anders «her
▼erhält sich die Sache» wenn man, was offenbar ierptattet ist,
n ■>
dx\4»'y4« 4»' 4»)' .... . ... i
//a: \^r ' Ax/ *
> * ^ 1/^.^ '•• " ■■■v\*v»
setzt; denn dann wird nach dem Obigen offenbar :" '
und
» — | SR* , 9**' i #> **a , IV 1- ;' 1
i'
und nach dein inj. bewiesenen. $a{pe nahem d|eh nun , wenn ^/j
sich der Null nähert, die grossen
Ra 91» R*' »*'
. i •.
• t 1
Ax1* Ax*9 {—Ax)%> (-Ax)*
respective den Gräozen , , . , ' •
4,ffiS*-' *-E?' **§*• *-5^;
die Grössen
,. , .— 4^a: rrAx
aber beide der Nüji; tblglich nähern nach dem Obigen die Grossen
A, B, C
■
sich offenbar respective den Gräfe&btt ■'■ <:" ■'"* ■■'■-■* < v>IJI
26*
Crunert: Heue Darstellung der Theorie
Bxdx*
eh 8*y
uuil die durch die drei oUen befrachteten Punkte gelegte El«
nähert sieb also, wenn man sl.r sich der Null nähern, nenn man
also die durch die Coordlnaten x + Ax, y + Ay, t \ Ai und
M — Ax, y 1 !>//, i-fD: bestimmten Punkte dem Punkte {x, y,i)
immer naher und nnlier rücken Igut, einer durch den Punkt
(x, y, i) gehenden, der Lage nach viillig bestimmten Gräuz-
Ebene, welche durch die Gleichung
23)
vollständig charakterisirt , und Hie Osculatinnx-Ebene
Curie in dem Punkte (x , y, i) genannt wird.
Betrachtet man x, y, ; «iimmtlkh als von der ver*nderHcl
Uriisse q> abhängig, s« ist
cg X By 3 j 3,y 3// , 3# _
B<p ~ ex ' Btp ' Bx Btp ' 8(p '
und ferner ist:
6*«/ _By f«£ H§S/ 3f_% ^ 3*j /3*V'
3<pa 3:r'3<j>* 3g> ' cip 3ar ' Bip* "* 3a-* V<V/ *
<Py _By E^r 8£ B*y _Sy d*x
3*y B<pa 3a: B<pa Btp 3<p* Btp Sip*
Bx*^~ /8* V ~ TäfV "
<j!anr eben so ist:
5;c <*_* ?*
di 3i . 3.r 3*£ 3"<p ' 8g)a By ' 8
Bx ~ By ' 8ip * 8.«» ~~ /3*V
Hieraus erhält man i
leicht |
W
de* 4Mkxmr.nmA *r*mmm$ der Gmm*. 361
,;.r,..
» * 1
: i ■ •»
fe*
■■••■. • •■•• ■ ...-»:•■• ,.-, :: , - • ... -. ; ..... , . M.
T " {fr)'
. t
I
und nach 23) ist also offenbar die Gleichupg der Osculations- Ebene:
24> • • •.. (ai-v-^,^(,r-^]
« * *.
/dz 3*.z dx 3*z\ r u
r-
oder aurb : •'•!-•'>■■ '.#..-..■. .;V-.
25) . . ..-.. : (dydh-d&y)%-x) y ;
N + (fea** - -gia^i) ft ~y) 5 ■ ä o,
+ <9j:8?y-ay8%)(j-i) I' ■'■* . "
wenn man sich nur injmer a;, yf z sämmtlich als von einer ver«
änderlichen? Grösse abhängend denkt
\ •• >
Anmerkung. Ich habe im Vorhergehenden drei durch die
Coordinaten ■ »{';; - » >>; ' t\ . 'I '■■[ a> ;;il«
• • #/
x+Jx, y+4y, z+A%\ x, y, z; x — Jx, y + Ity, z\ Dr
bestimmte Punkte betrachtet, und bin. der Meinung, dass dadurch
bei Untersuchungen dieser Art der erforderlichen Allgemeinheit
kein Eintrag gethan wird; man würde aber . allerdings der Be-
trachtung noch eine grössere Allgemeinheit halben verleihen kön-
nen, wenn man überhaupt M*\ durch die Coordinaten
x\Ax, y + 4y9 z + Jz;\jT,ii,z$ x\aJx\ y + Dy, i+Dz
bestimmte Punkte betrachtet hätte, wo « einen constanten Factor
Crunert: >~eue BarutUung dtr Tkeortt
bezeichnet, dem man übrigen* jeden beliebigen Werilt beilegen
kann, und \iij und Di die durch die Veränderung aAx von x
herbeigeführten Veränderungen von y und i sind. Unter dieser
\ oraussetzimg würde mau auf folgende Art zu schüessen haben.
!>;i die zu bestimmende Ebene dnreh den Punkt (x, t
gehen soll, so hat ihre Gleichung im Allgemeinen die Form :
A(i-x)+B(r>-y)+C(}-z)=Q;
weil die E'iene aber auch nneh durch die beiden durch die (
dinnten x \- Ax, y + Ay, 2 + Ax und x \ u.l.t , y-\ Uy, x-
bestimmten Punkte gehen soll, so muss
AAx + BAy + CA: = 0,
aAAx + ßliy + Clix = Q
sein. Aus diesen beiden letzteren G[e
drei folgenden Gleichungen :
AAx(a]fi — Di) — B(AyDx -Aiüy) = 0,
B(aAy — Dy) + C{uAz — Dt)=0,
C(AyDz\— AxVy) + AAx(aAy — Dy)=0;
oder, wenn wir diese, drei Gleichungen nach der Reihe mit
aAx , aAx- dividiren, auch die drei folgenden Gleichungen
ergeben sich 1
\Ax adx
Ax aAx)
\ds adx dx ttdxj^ \dx adx) ~ !
unmittelbar ersichtlich ist, liaas es verstattet ist,
dx ' adx dx ' adx '
II |M
r--(Jn ®!L\
' ri \dx adx)
yLft^st mainm ^jrVich der Null nähern, so nähert steh
«/Ar sich derlei, «*d /dq durch die Veränderung Jx von «die
Veränderungen ^y und ,4z von y und s, durch die Veränderung
aJx von ar dio Veränderungen Dy und fy von y und t herbei-
geführt werden» so nähern «Ich nach den ßegriffen der Differen-
tialrechnung
i * - / ■
dz dt üt J5i
Ax% Ax% uJx* uAx
#
respective den Gräqzen
* i
§? *!l ty, $! •
dx dx OX OX:
also nähern nach dem Obigen J, B, C siclj säjnjn,tlich der Null,
und wir; werden also anf diese Welse zn fcefaier dnf eh den Punkt
(x9 y, 2) gehenden, der Lage nach völlig bestimmten Gränz-
Ebene geführt. • : '' \
Ganz anders verhält sich aber die Sache, wenn wir, was
offenbar auch verstattet ist,
* 1
Ax\dx aJx 4x ttJxJ'
Joe \Jx aAx) *
dx\Ax udxj
setzen. Denn nach dem Taylor'sche'» Lehrsätze ist:
und
also:
• • ■ 1
und
^S=^^+R«' Jt = PxJ* + fft*
Dy=«^^+R,', Dz = apxJx + 9U,
Jx Bx dx' Jx dx Jx
aJx dx ccJx u4x ex r ccJx
Folglich ist!
9ft <ww*r7>*ii^»^ r
^s, Dz 9L ft/
4y Dy R* R^'^!^-) s.'-*! t . i* i •»!■ ••
w
also nach dem Obigco:
« p
> • .1
, . ) • 1( .«. 'ii.-'.illtiM
9»a 9taf
<*r* "(«4*)*' ■ \ !
fi= -^-a
C'=-{Ä- «!ÄJ.'
V«
Nähert sich nun Jx und folglich auch aJß der Null, so nähern
nach dem in I, bewiesenen^ Satze.. '"•[ k \ - .-. *
R» % Rfl' W,1
sich respective den Grämten
r M \ \ ; ?\ . .:i ; -o , ..
*'a*** *'&*•• »'SP' ••&
h.tti
'i» >.
nähern sich beiÄ der Null) also rfchfrn 'nach dem Obigen die
Grössen "' '•• ■• ■ ' * * > !
A, B, C '
sich offenbar rezeptive den G ranzen' ''
oder v»»8«'
woraus sich, weil a jede beliebige Grosse sein kann,' ergiebt,
das« flk 4ie QseuJaJfciqn? - Ebene \
&r dx* dx aar9
,8*9
<i ■ •!• ■ • ■ J .«:i
) ?■
gesetzt werden . kann , so. das* also
die Gleichung der Ösculatiohs- Ebene ist/ was ganz mit der in
23) gefundenen Gleichung dieser Ebene übereinstimmt.
Till. \ .•,
Die DurchschnittslinTe" der*' Normal- Ebfene mit der Oscula
tions* Ebene nennt man "Hie Hau ^t-Ndf Wale, deren Gieichuo-«
geÄ aMo nach JJ) ufld 2^) .,:,..<!. v .; x\ ; .;,* -%
.11- ..*(»^# = 3*^)&-r*),[,*M> ..'
sino« i • »
Aus diesen Gleichungen erhält man leicht:
|&r(a*8V- 3y0«ar)--:S2;(ay8*x— 8ri*y)|(jr— *)
— i a* (3x3** — 8*3**)
— öz(öyö*z— özö»,y)Kir— #) 1
-ty(dxS^-iyd*x)}(t)-y) )
t. - . ■* «. >
{faid&x-dxatyrityi&safs-dsPxHü—x) •>
..I
3*0
«der
GriiHfrt: .\eutt Dar Heilung iler Thevrle
\i$x*\ %a + 8:a)8a,y— (dxd*x + üy&y + 8i8*i)8,y] (*— ' *) >
-i(3.ra + 8VM6:a)8=
|(8aa+3ya+3ia)8at-(8z3a^ + 8#8,ty + 8i8*T)8iKlj— i/) 7
I (fa* + 8ya + 8ja)öfl-r— (Saä** + 8j3*s + 3:8*1)8*1 (j — i) -%
- ! (&ra + o>a + 8ia) S»i — (6^3^ + S#3«.v + 8i8»i) 3: j (r — x) \
und Hie Gleichungen der Haupt -Normale sind folglich :
I — x
36)
(8;ra + a^a + 8ia) 8** — (8*3*^ + 3i,8*y + 8i8*i)"3i
., . j y— »
~" (3aa + 3#a + Sis) 5aJ/ — (8*3*ar + Bg3*y + &8*0 8y
- (6*3% + 8y8*y + 818*1) 81 '
_(8;ra + 3ya + 8ia)8*i.
Sind
r— g_ w-y _?— *
cosA cosji cosv
die Gleichungen der in dem Punkte (*, y, 1) auf der Os<-ulatiofiK<
Ebene senkrecht stehenden Geraden, so hat man nach 25) und
den allgemeinen Lehren der analytischen Geometrie die folgen-
den Gleichungen:
(3i/3az — 0t3V cos p — (818** - SxcPi) co» 1 = 0 ,
1(di$*x - 8 xd*i) cos v — {8 xd*g — dyfrx) cos p = 0 ,
(3*8*1, — SyS8 j) cos 1 — (8y8ai— 8*3 V cos »■ =* 0 ;
und es ist also:
(tiy&i - SiS'y) cos A = (3^3*1 — 3i3*y) cos A ,
(8.v8ai - 3i9"j) cos ju = (SjS2* — 3*3^) cos i ,
(3y0a; - 828*^ cos v = (3*3»y - 3y/8»z) cos i;
Folglich, neun man quadnrt und addirt;
3j,8»*-8i8*y
f 0^5 - %0*^)*"-|- (3y8*i - eiÖV^He-ä1*— a*8*ij*'
alsawnafb *tau Qfc|gee: tiberlvciipt inj* Begebung -der untren fiid
unteren Zeichen auf einander d
co8Jt=J: —
, V^Sa:^ - 8^j:)ft + %8*2 — 828*0)* + (828*3: -&&£? '*
C09
__ j. .. ._. . q\sm ..>) 'i;..m;. 8fflgT7:flr8*Z. .: , -,
** "" "~ 1^(8*8*^ - 8#8**)* + (Syd *7^&8*y)* T(fe8V -r- a*8**)*'
i
8ar8a« — 8tf8*ar
cosvr=4- —
V(dx3*y—dy8*x)* + (^8*2— 8:8*//)* + (828*0: -8*8*2)*
oder:
... •. . 1 .:, ; ■ : .»■.■: .;i / . . 1
i" 1
8y8*z— 828«?
~ V (cb*+ V+.& *)(82*H8 V +8a22)-(8ar8a^+%8«^+828a2)«
■■.."■■■! . . • " ' «
ebi- • _ 4. •■•.'•■•■ '■ - ■'- ■■■■■a^*~.a^» ■■.•■■ ■■ ■ ■ .
■ . *•-
•j »1 • > • • 1
1. )
\ T
8 a:8*y — 8^8*0:
cos v — _ y-(g^^t^8^)(gaxäl^*Tp82^^ (0*^43^2 |828»x)t'
Also sind die Gleichungen" d*r 'In^etti Punkte (#1 yr i) Auf ddi*
Osculations-E^ne^enl^ecji^ stehenden geraden,: r
X' — x ff — y . . | j— ;
' * * 8#8*z — 828*^ 828*3: — c&o*z cxo*y — byü*x
Die Gleichungen der Berührenden der Curve in dem Punkte
(x9 y, t) teinifffacrr 4) bekanntlich:
... &r du dz
Sotl diese Berflhreode in der Ö*eu1atlon**'Kbene liegen s de
sei* f3r «jedes r dte Coordlnöten 1), j der Berührenden : der
drang 25) de^Otfetitatrens- Ebene getiflgen, welches offenbar Am
Pall sehi wtrdi wenn flßr jedes jr
• ■ *
+ 8^(828** — 8*8*2) Cr— a?) | =0,
-f dz (SxB*y -i- S^x) Cr — i) ' /
d. h; wenn identisch
':'•• ■ i. .)
üruntrl: Wem Darstellung üer Theorie
- dar&i) + tzfÖStfy — BtfPJ)
so ertriebt
ist; und da dies nun offenbar wirklich der Fall ist, so ergtebt
sich, dass die Berührende der Curve in dem Punkte (x, y, t)
immer in ihrer demselben Punkte entsprechenden Osculations-
Ebene liegt.
Folglich wird die Osculations -Ebene jederzeit durch die Be-
rührende und die Haupt-Normale, deren Gleichungen in '-'«') ge-
geben worden sind, bestimmt
1 durch die drei in VII. betrachteten, durch dia
Conrdinaten
x~Jx, y-l-Dy,
: + Di; ac, y, x; x\Axs y+Jy, --\dx *)
bestimmten Punkte einen Kreis legen, und den Halbmesser die-
ses Kreises durch R, die Coordinaten seines Mittelpunkts durch
X, Y, Z bezeichnen; die Gleichung der Ebene, in welcher die-
ser Kreis liegt, sei
A(f—x) + B(x>-y) + C{j-z)=0.
Dann haben wir offenbar die Gleichung
A(X-x) +B(Y-y) + C{Z-t) = 0
und ausserdem die Gleichungen :
{X-x-Jx)*+(Y-y~Ay)* + (Z-j-W = &,
(.Y— x + Jx)* + {r— y — Dy)» + (Z— z— Di)*= ft»
Nun aber wollen wir unser Augenmerk nicht auf die Best im
muag des in Rede stehenden Kreises im Allgemeinen, sonder»
vielmehr lediglich auf die Bestimmung desjenigen Gränzkreises
richten, welchem der vorhergehende Kreis sich nähert, wenn Ax sich
der Null nähert, wenn man nämlich die beiden durch dieCoordinaten
x + Ax, y + Ay, x\Ai und x— /ix, y\ f)y, i-|- Dz bestimmten Punkte
dem Punkte (x,y, i) immer näher und näher rücken lässt. Diesen
') Auch liier wie in VII. wenden wir /.ner»! die folgende Betrtcb-
lungawcite an, werden diescllio liier unten in der Anmerkung vcrallge-
äff AeriUm* *prf Xrfrmtmg der Cwrftn. ß&)
Kreis, insofern 44, worüber eben, die folgenden Untersuchungen
uns vollstänj^gäfi Aufscfitus» geben, sollen und wflfrden, einen
solchen Grän&kreis wirklich giebt, nennt man den Krömmungs-
kreis der grfge^enWi Corve in cjenv Punkte (x, y, z); sein Halb-
messer wird der diesem Punkte entsprechende Krümmungs-
Halbroesser genannt, und sein Mittelpunkt heisst häufig der
Krümnvungs-Mfltelpunkt : Auf diesen Kjrfiromungs|creis sollen
sieht vW jetzt ah 'der durch', R • bezeichneter Halbmesser umt die
durch X, F, ^, bezeichneten Mittelpunkts - Coordinaten beziehen.
• * : . . . * )
'Alis dem vorhergehender* allgemeinen Begriffe des Krüm-
mungskreises und dem aus VII. bekannten allgemeinen Begriffe
der Osculations -Ebene ergiebt sich auf der Stelle, dass dieiobige
.Qleicbtuig .....
'»;.i.»
A(f-s) + B(t>-y) + C(}-z) = 0
notwendig die fcjjeicbung der Osculations - Ebene in dem. Punkte
(ff > U> *) sein^ und dass mau also für Af ß, C die Coeif-
cienten von jr— x9 t) — y, } — z in der Gleichung der Oscufations-
Ebene setzen muss, so dass also A, B, C bekannt sind und
eine weitere Bestimmung dieser Coefficieuten nicht nöthig ist.
i.
Um aber ferner zu einer Bestimmung von R und X, Y, Z
für1 den Krfiromungskreis zu gefangen, «ubtrahire man je zwei der
drei obigen, zwischen diesen Grös*eo: Statt findenden aUgemei
neu Gleichungen von einander, so erhält man die drei folgenden
Gleichungen : *
' [=0,
.-<«..■■ • • > ,
+ ■{Ja* + %» -f- D*»J
t .
:.i
i(X-x)Ax +StfF-y) (4y-%) +;2(Z^*)(,/x-D*) J
also :
2(jr-a:) + 2(r-!yi ^ + 2(Z-z) ^
t.r„n,r,: }W» l,nr,MI,mp ,l,r Ttrortt
2(jr-iH2(r_j)-
-\m-m^-m-(~3\'*)
Las st man nun ,!.:■
4L ,,„j J??
:1t iler Null nähern, >o nähern «ich
beide der Gränze ;•.- , und eben so nähern eich
-7- und — -j- heide der Grün:
nühern alle drei obi-
«en Gleichungen, wenn X, Y, Z nun die Cnordinaten des Mit
lelpunkts des Krümimingskrei^es bezeichnen, sieh offenbar der
Gränzgleichung
A-
e+(r-y)^+,(Z_l)
;"05
und wir haben folglich zur Bestimmung der Coordinaten X, Y, Z
de« Mittelpunkts des Kriiuniiiiiigskreises die zwei folgenden Glei
l*— t/P '■
A(X-x) + B(r-s) + C(Z—.) = 0,
*-* + 5j(r-,)+£(z_,)=0i
wo J, «, C ihre aus dem Obigen bekannte Bedeutung haben.
Da aber diese zwei Gleichungen zur Bestimmung der drei
Cnordinaten des Mittelpunkt« des Krümmuugskrcises noch nicht
hinreichen, so müssen wir noch eine dritte Gleichung zwischen
diesen drei Coordinaten m finden suchen, wozu wir auf folgende
Art gelangen. Durch Subtraction der beiden au* dem Obigen
bekannten allgemeinen Glelcliungen
3<X-*).*t-2ir-»)D»-2(Z-«)D« ) _
+ Will,' + !):>) ( ~~
de* Bhükruht und Jtr%mmi<*9 der C/rW*. $H
von einander erhält raari die Gleicbdng/"
5(Fry)(^ + Dy) + 2(Z-2)(^ f Dz) ^
oder :
c}»>^+<2-^
L.
-**i-W+'«&2»-<ä'»-&S
Nach VII. ist aber bekanntlich
und
^, = ||^r+R„ A=|^*H-gt,
«*-- j| <** + V. D»~ -£■*» + «•'*
als«:;
tfnd folgiieh: '
^y+Dy_ R, R,'
Ax* ~~ Jx* "*" (— .Ar)» '
Nähert sich nun Jx der Null, so ist:
L,ra-3J5- -Llm2£3+Llm(=:^)*;
alfio toich dein in I. bewiesenen Satze:
^Im Jx* ~*'dx^t'Bx*~Sx*'
und weil sich min . . >
respective den Gränzeu
3U-2
Crttitcrl: .Veite Dartmltimg der Tktorit
i GleielRll
30)
nähern, so ist, wenn X, Y, Z nun wieder die Coordinatcn
Mittelpunkts des Krffmmnngs kreise» hezeichnen , die Gränzgleichnng
■*W*GÖ''-*
und wir haben daher jetzt zur Bestimmung iler (.'nordinaten A',
des Mittelpunkts des Krünimungsbreises (He drei folgendei
dieser Bestimmung vollständig hinreichenden Gleichung*
i*(JT-*) + B(Y-y) -f 6'(Z-i) = 0
*— +£<r-yHj&<«-">=0
n
m+m-'^r-
(Z-*)=0;
wo^,ß, C immer ihre aus ilei
n Obigen bekannte Bedeutung haben.
Hat man aber die Coordiuaten A", 1'. Z mittelst dieser drei
Gleichungen bestimmt, so erhalt mau den Halbmesser ß des KrQra-
mungskreises mittelst der folgenden, aus dem Obigen sich unmit-
telbar ergebenden Formel:
31) ■ ■ ■ Ä=Vc*=ij1 + (r-»)*+(z-*)1.
so dass also jetzt alle zur rollstand igen Bestimmung des Krum-
mungskreises erforderlichen Elemente als bekannt betrachtet wer-
den können.
Anmerkung. Auf ähnliche Art wie bei der Osculatione-
Khene in VII. könnte man auch diese Betrachtungen noch etwa»
verallgemeinern. Man betrachte nämlich nie dort die drei durch
die Coordinaten
x + Jx, y + Jy, z\4z% x, y,
bestimmten Punkte; dann hat man
gen gebrauchten Zeichen die folge
; x\uAx, y-f Dg,
mit Beibehaltung alle
den Gleichungen :
t + IJt
■ im Obi-
und
A(X-x) + B[ rTM) + C(Z - 1) -0
(X-x)*+(r-y)* + (Z—.)*= R*,
der BeNlkmnp und Krümmung der Curven. 808
Subtrahirt man je zwei der drei letzten Gleichungen von einander,
so erhält man die folgenden ' Gleichungen :
2(Ä -ar) Ax + 2(F— y) Ay + <2(Z— z) At
\ =0,
— (Ax?+Ay2+Ai*)
2a(X -x)Ax + 2( F— y) Dy + 2(Z - 2) Dz
— (a*Ax*+Dy*+Dz*)
Z—z)(Az-Dz) J
— (Az*±-Dz*J )
2(l--a)(X--x)Ax + 2(r—y)(Ay--Dy)+<Z(Z-~z)(Az-l)z)
— (1 — «*) Ax*-(Ay* - Dy*)
. ■ . ■ .1
also, wenn man diese Gleichungen nach der Reihe durch Ax,
aAx, Ax dividirt:
Lässt man nun Ax sich der Null nähern, so nähert auch aAx .
sich der Mull, und
Ay Az Dy Dz
Ax* Ax ctAx' aAx
nähern sich respective den Gränzen
dy dz dy Bz
SV Fx9 fx' dx\
also nähern die drei obigen Gleichungen sich offenbar respective
den Gränzgleichuogen s
Tlieil XXX. 27
Grunert: Khw fmr&tcUuug ihr Thevrit
siAr-«-Hr-,>i*+<z-,)£i = o,
fS+««-*£.-*.
2(l-.)|.Y-i + (F-
folglich alle drei der gemeinschaftlichen Gränzgleichung
*-« + <I<-„i| + <Z-„* = 0,
xo dass wir also jetzt zur Bestimmung von X, ¥, Z die ;
folgenden Gleichungen haben:
^(jr-^) + fi(F-3,) + C(Z->) = 0,
x-* +l<r-»>+G<z-=)=o.
Um die zur Bestimmung dieser drei unbekannten Grössen
noch erforderliche dritte Gleichung zu erhalten, subtrahire man die
beiden aus dem Obigen unmittelbar sich ergebenden Gleichungen
ultfxDi.
von einander, so erhalt man die folgende Gleichung:
2< r-j) <%- -t) + 2(z-.j <A- 5i) '
also, wenn man durch <d£a dividirl, die Gleichung:
Nun ixt aber nach dem Taylor'schen Lehrsätze;
und
■ »..■■ i i .*»
also:
i. ■ •■•■ .1
und
folglich :
d*r B4Kir*4*Tit und Krümmung der Curten.
D»=4^* * "V • D*=^is4* + «i#5
4f % . R* ^ & . 9t*
Ax • Sx Ax Ax ax >Ax
; i
- \
/ 4* _ D* _ 9t» 9tg'
\ i
also:
*y_ Dy R2 _„ Ra'
zfe D* 8^_ 8V
A x* aJx* "" <*z2 * (« <*r)2 -
Nähert nun Ax sich der Null, so nähern nach dem in I. be-
wiesenen Satz®
R* 9ta Rg SKg
^a?2' 4x*' (aJx)*' (eufcr)2
sich respective den Gränzen
i ■ >
'gi2' *' Bx*' **8x*9 *#a*2
und
i .
Jy dz Dy Dt
/^ar .Ja: «.Ja? «^a?
nähern sich respective den Gränzen v ,
%■, ®L, ?£, ?£.;■' ■■'">- ».:■
8«t dar Sa? ö a?
Also nähern iW Grössen a . ;
2r +
590 Grünen; Neue Dnmtellung 4er TAtor/e
Jx* udx1
Az Di
Ax1 ~~ adx*
•ich respective den Gr&nzen
ki-.A
und die Grössen
\AxJ \a<txj
\Ax/ \aJx/
nähern «ich respective den Granzi
<>-«'©'■
v-tä-
Folglich nähert, wenn *4jt sich der Null nähert, die obige Glei-
chung sich offenbar der Gräuz- Gleichung
(|-"c-»'S+<z-"B.
-n + ÖD'+O«-*
also der Gräns-Gleichung
(r-„|.+(z_4-
-«+(£)'+ ©'•-
oder
•+©"+(§-3?r
9*i
Daher haben wir jetzt zur
X, T,Z die drei Gleichungen
Bestimmung der Coordinaten
A{X-x)^B{T-y)^C{Z-i)=,Q,
x~* +B£(r-sn^(z-x)=o,
»+<BV(£)VS
<»-»>-E3<«-»>=0;
und dann zur Bestimmung des Halbmessers R die Formel
K=V (X-x>* + (r
-jtf" + (Z-.)",
der Berührung und Krümmung der Curven. SVl
was mit den oben in 30) und 31) gefundenen Resultaten genau
übereinstimmt.
Diese Methode, den Krümmungskreis einer beliebigen Curve
zu bestimmen, scheint mir durch die ganz strengen Gränzen-Be-
trachtungen, auf denen sie beruhet, sich vorzüglich zu empfehlen,
und mehr als alle sonst bekannten Methoden der eigentlichen Na-
tur der »Sache zu entsprechen.
X.
Betrachten wir x9 y, z sämmtlich als Functioqen einer ver-
änderlichen Grosse q>, so ist nach den schon in VII. gegebenen
Entwickelungen :
8y __ dy # dx 8x_ dz t 8 x
dx dtp ' dq> * dx ~" dg> ' 5g>
und
dx 8*y dy B*x
8*y <kp ' dqfl 8<p 8<p*
8a:» ~ Tdpy '
dx 8h dz_ <Px
Vh _ 8y ' gy» "~ dq> ' 8y*
8tf2"~ /dx\
W
Wegen der ersteren Ausdrücke nimmt zunächst die zweite der
Gleichungen 30) unmittelbar die folgende Form an:
' \
|(A-,) + |(F-y)+|(Z_t)=0.
Ferner ist
i + &x j. (*l v = G») + w + (4)
1 + \BxJ + \BxJ = TiSy
und
tritcUuxg der UtorU
&ir"
-»'•1
■i»^
8ttäfo$«
-4
(4)
3"»
(4)"
also, iv eil nach dem Yurhc
irgeb«
mden
fc'^ti
^
-„ = -£<*_„
ist;
'S»« 'S2!
3*« 8*y 8*t
(Z-),
g^sl* *JTB«a^ J
W
sii dass die dritte der Gleicht
nimmt:
ingen 30) die folgende
Form an-
Gw + (4) +(äjs) ~
^(•v-»)-3i(r-j)-0(z-)=o.
und man als» zur Bestimn
tollenden Gleichungen hat
mm* •
ler Coordiuaten V, F,
Z die drei
32)
Afx-x) + fi(r-j) + C(Z-o=o,
wo nacri 24);
33)
89 ' 0^a ßy ' 0q>* '
I
'der .BtrMttiuifr w*ä Krümmung der Gurten. 0M
Kürzer kann man auch setzen:
A=zdy8*z — dzd*y, '.' .
34) }B=dz3*x— dxPz,
und
35)
A(X~-x) + B(Y-y) + C(Z-z)=0,
dx.(X— x) + dy.(Y—y) + dz.(Z-z)=zO,
dx*+dy* + dz2—8*x.(X-^x)--d*y.(Y--y)'~d%z.(Z—*)t~0;:
so wie
36) . . . ß = ^(*-*)* + (F-y)* + (Z--z)*,
wie wir von jetzt an tbun wollen.
XI.
Wir wollen jetzt zor Auflösung der drei Gleichungen 35) und
zur vollständigen Entwickelang des Halbmessers des Krfiitaftmings-
kreises übergeben.
Aus den zwei ersten der Gleichungen 35) ergiebt sich, wenn
Gi einen gewissen Factor bezeichnet:
Ä — x^G^Bdz— Cöy),
Y—y^G^CBx—Adz),
Z—z^G^Ady-BBx);
und folglich, wenn man diese Ausdrücke in die dritte der Glei-
chungen 35) einführt:
8a?2 + dy* + 8za
6ri"" (Bdz-Cdy) 3*x + (Cdx—Adz)d*y+ (Ady -BdxJSh '
Wegen der Gleichungen 34) ist aber, wie man leicht findet:
Bdz — Cdy
=(&r» + dy* + 8z«) 8*#— (8.r8«a: + 8yB*y + 8t8*z) dx,\
40(1 Oru/ierl: .\etre DursteUtmg der Theorie
Cdx—ABz
= (8** + 3y* -f 3ia) 8*t — (hx&x + öj^y + 8:3*i) Si ;
folglich :
(Bdt - Cdg) 3% + {CBx - AM 8*# + (A3y — BBx) 3*z
=S f 3 x* + &f f Ba»J (8*«" + 8*1,* + 3*1«) - (33:3% h dycPy H-3x3*i)a
= (a*8»y - 8y8%)2 + OtfS1* - tt^J» + (3i3% - a*8*z)* ,
und daher offenbar:
37)
(Sj'tS^+e^lfS.^ H8^ + 8:2)8%-
r + rv/sy K':^:)^!
(83r2+3y*+a:,i)(8,i.ta+aV+9'J:1)— (3.rf%+3j3% + 313*1)*
)'
_ (i^-l-tyi .[^ifoHt/r f^)3g,i/-(fU-3,J.r + 3v/oaii/+8;Sgi)ggj
~ " (ä*« + S^H^a;(3^M5V + ^W— ;3^^+.-^3aj + B*3%)* '
2 1- BAH
2 -I- 3</a | 82*
~(3ar3% + 8y8gg+8j3a:)3i|
— (St« + S^ I cV) (3%a + &V +~3*A —{3*3% + fyS*y + 8i83i)*
oder
38)
i— *
_ (8ja+8y3+8:2) i(8ja+8'/t+8ia)S% — (3x5% + S//8% +- 3«**) 8.» |
~ (3ar32// - 3y8%> + (3 (/32s - c:3ay)a + (3:3%— 3#8ai)a
(8ja+3^+5ia)l(3.va + 3ga | SAffly - (3.r3% -f 3y8ai/ + 3*3**) fo }
(3^8% - 3y3%)a + (8j/03i - 3z3%)a + (3*3% — bxdH)*
[3a;« + 3yB-f8ia)|(8.r'| 8j" ( 8Ai -: - (8*fl»a +3j3ay+8i8»i)3i1
(8*8^ — 3^3%)* + (3y£32 -"3:3"^)" + (828%— dxdh)*
der Berührung nM Krümmung der Curven. 40t
Die Summe der Quadrate der zweiten Factoren in den Zählern
dieser Brüche ist, wie mau auf der Stelle übersieht:
. • ■ ■ .
oder
(a^+^+ax^Kaa^y ^8fta?)*+(%8ax--8«a^)*+ (828»«— &r8*i)*) ;
also ist:
^ _^ (ßaP+djp+Bz*)* _____
"») • • Ä^(8ar8^~8y8«a:)«+(8^822^z8*y)*+(8z8«a:--8jr8a2)«
und folglich:
_
Ä « (8** + du* + 8z2)
401 R 7^ — - ■■ —
' ' ' ' """V(8-r8y- 9gPx)*+ (dgSkr- 828*^)*+ (828**— 8*8*z)2
oder auch
41)
R _ (8g* +8^+82*)
V(8-r2 f tyHW) (8*-r* + SV+d***) — (8_r8*.r +8^8*y 1828*1)* '
Weil nach 37) oder 38)
A — x
Oj^+ty* + 82*)8*-r — (8*8** + Sycfy + 828*2)80:
J-,
""(a»*. + 8#* + 8i»)8»y— (a_r82g+ 8y8*y + 828*2) 8y
• - ■■ ■ • Z—z • . . .
"" (fop + 8^* + 82*)8*x — (8*8** + 8#8*y + 828*2) dz
ist, indem der gemeinschaftliche Werth dieser drei Brüche of-
fenbar
8-g* + 8y* + 82*
~ (8a?8*y— a#8*aOH (^8*2-828*ty)*+(8282^- Sjp8*i)*
oder
OrttMert: forte Dartlellwtu der Theorie
ist, hi) ergiebt sieh unmittelbar aus 26) das merkwürdige Resultat,
dass der Mittelpunkt des Krümmungskreises immer in der Haupt-
Normale liegt.
i jetzt
XII.
me ganz
henrie
it.
>t-
i einer Ebene, deren Glei
Wir wollen
cbung
Ax+Bt) + C} + D=0
«ein mag, liegende Curve, uud in dieser Curve einen gewissen,
durch die Coordinaten .t, i/, z bestimmten Punkt denken, welcher
natürlich auch in der in Rede stehenden Ebene liegt
also die Gleichung dieser Ebene auch unter der Form
A(r-x) + Bto-g) + C(j - i)=0
dargestellt werden kann.
Die Gleichungen einer Normale unserer Cnrve in dem Punkte
(x, y, t) seien
r — x ^ w-ff ^ ?— i
COS &i COS 10, C'ISG) ,
so ist nach 6);
Bx . du St '
cüsft|a + co8 w^ + cosöi*— 1.
Soll nun aber diese {Normale in der Ebene der Curve liegen, so
,<ICO6 0l + #COBW1+ Ccosw,=0
vorhergehende
bezeichnet.
kann also wegi
n Gleichungen,
..i dieser und de
r ersten der beiden
> beliebigen Factor
■
cosf), = G,
00,.,= «,
'««Sh'sl»;
COSttL = 6',
dar ßHiüAnm? m*d Krümmmig der Omw«. 44J&
seteeri^ »0 dJftss.aloo die'Ctfeidiongen^viiMrar^ttoiiiale'trfbiiiia^
die folgenden sind:
42) *— * _ ?ZL= *-*
Ä^-C^ cj5-j£ ^t*-*{*'
Für einen andern beliebigen Punkt (xx , ^| ,- 2^) der Curve,
dessen Coordinaten
xx=x+4x, yi=y + 4y, z1=z+Jz
sein mögen, sind also die Gleichungen der in der Ebene der Curve
liegenden Normale offenbar!
T —xx
dcp
n—yi
-«8)
d<p
1 dtp
da:
■"£>
A^-B%HA.%-B&
. I
• ■ ;
Otp
Setzen wir der Kurze wegen
ocp ocp ocp 09)
OQp OQp ÖCp OCp.
ocp ocp ocp ocp
#,= £7 + ^*7, r^V+JF, Wt=:W+JW
und bezeichnen die Coordinaten des Durchschnittspunkts der bei*
den in derselben Ebene liegenden Normalen durch X, Y, Z; so
haben wir zu deren Bestimrävng die Gleichungen:
• X-j:_Y— y Z— z
ü — v — W '
i •»■■ • .
X— -ar1_Y*—y1_ Z—tx i.
e runer t: tieue Darstellung der Theorie
Aus di.
■- Gleichungen erhält man, mit Rücksicht darauf, das*
xl—x=4x, y, -y = dy
ist:
■
X-x Y— v Z—i Vxäx— Uxdy
u - r - w - vrx- Füt
oder, wie man leicht findet:
X
V
Y—y Z—i Vdx-Udy\(dVdx—dUdy)
~~ V - W — VdV—VAV
»der a<
ich:
X~x Y— v Z— i
~ü~— v — w
dtp dtp \dtp dtp yj
*¥-*?
dtp dtp
Lassen
r nun dtp sich der Null nähern, und bezeichnen die
(iränzen, denen X, Y, Z eich nähern, durch X, Y, Z; so ist of-
fenbar
X — x Y — y Z — i Sip B<p
ii<p brp
und bezeichnen wir die Entfernung des Punktes (X, Y, Z) von
dem Punkte (x, y, z) durch R, so dass also
Aue den obigen Ausdrücken von V, V, Tf ergiebt sich durch
Differentiation sogleich : i'> >
der Berührung und Krümmung der Curven. 405
w „an r&n
ä^> Si« ~~ CB<p*'
8g> ~~ BqP dtp*
*W_A&y R8hr.
und es ist also, wie man leicht findet:
dtp d<p
-^♦(»'*(s)''-^-Ä*4
dz
dcp
und
8<p 8q>
(dy dh dz 8*£\
Weil aber auch der Punkt {xx, yl9 2,) in der Ebene der Curve
liegt, so ist
oder
oder auch
A(x, ^x) + B(yt -#) + C(*i-*) = 0
^^a?+Äz/y + C^/z=rO,
z/9 z/qp z/97 '
und folglich, wenn man sich 4<p der Null nähern lässt und zur
Gränz-Gleichung übergeht:
also nach dem Obigen:
Krprrrrt: \me ßnrmtlnm rfw TtKwrte
sf - vsi " c IGf) * (4) + W !
Folglich ist:
fff
+
i
HP
HS
M
V
Ä
i
-e^n
■fl^*
4?
-¥■
"i
■IW
«"Ift
b
1
n? np.
.1 ft
n
I I
HS"
lll' Uli (Hill
der Berükruft* und Arüwmung der Cvrte». 407
45)
_ i£) +(4) + \i) „
und
Gf ) + (4) + W „
<Är fl*« «Pz "
.46)
._!(£)•+ 05)"+ (S)'i<«^"+^
< \
("S* HS + «ö*
Auf der Stelle ergiebt sich nun aus dem Obigen, dass
ist; also ist nach 45) offenbar auch:
und ferner .ist nach 45) offenbar auch:
^-,H0(r-,)+^(Z-„=(|)-+(|)-+(|)-.
Nimmt man nun hierzu hoch die offenbar göltige Gleichung
A(X-x)+B(r~y) + C(Z-z)=0:
so sieht man, dass zwischen den drei Coordinaten Ä, Y9.Z die
folgenden Gleichungen Statt fioden: .
40« e,n„.
rt: Xene Warx/rt/iifg der Theurie
47)
A(X-
•«HJ(f-j>t«i-
■.)=«.
%«~
^+8-*(»'-»)+|(z-
->)=»,
®'tä*®ir%frf&
(Z_0=0.
Weil nach Hei»
Obigen
dtp 0<p 8qo
und folglich auch
ist, so ist
0
\dtp Sipa
8<p dtp9/ \dtp dtp%
8. _«y\
= 0,
\dtp S(pa
hg cfia: \ fJ<>* 3ax
Sa: ß3r\
=fc
\<)(p dtp*
9* Ö*iA /&, B*y
dtp Ötp3/ \3(p flijp*
dtp dtp*/
=0;
woraus sich ergiebt,
8qt ' dtp* dtp 8<p% '
48) ... . 1
Bj d*x da: S8!
dtp dtp* 8ep'8<p3'
Si Pf Sj 8»*
dtp dtp* ßip ßipa
setzen kann.
Weil nun die Gleichungen 47) und 48) respeetive mit den Glei-
chungen 32) und 33) genau übereinstimmen, so sieht man, dass
bei ganz in einer Ebene liegenden Curven der Mittelpunkt des
Krümmungskreises auch aus dem folgenden Gesichtspunkte, dar
bei Curven dieser Art sich oft vorteilhaft in Anwendung bringen
lässt, aufgefasst werden kann:
Der Mittelpunkt
Punkte einer ganz ii
des Kn'immunq;skreise« in einem gewissen
_,
der Berührung und Krümmung der Curttn* 4Q9
welcher sieh der Durchschnittspunkt der in diesem Paukte in .der
Ebene der Curve errichteten Normale derselben mit der in einem
anderen beliebigen Punkte der Curve in deren Ebene errichteten
Normale immer mehr und mehr nähert, wenn man diesen letzte-
ren Punkt dem ersteren immer näher und näher rucken Usst.
\ —
XIII.
Die Gleichungen der Berührenden der Curve in dem Punkte
(*> y, *) sind nach 3) bekanntlich
?— x y—y }—z
■TA"" =7' H ■ ST "' A ' $
% dx dy 3*
OCp 0(p 0(p
I
und wenn 6, a>, Z$ für diese Berührende ihre gewöhnliche Bedeu-
tung haben und G einen gewissen Factor bezeichnet, so ist:
*ßx ^y - ^81
COS 0 = Cr ö- > • COS CD = Gö* , COSO=Ug~«
Sind nun
COSÖ+^COSÖ, COS 09 \d cos o», cosö + ^cosÖ
die Cosinus der Winkel, welche eine andere Beröhrende in einem
zweiten Punkte der Curve mit den positiven Theilen der Coordi-
natenaxen einschliesst, und bezeichnet w den Winkel beider Be-
rührenden; so ist bekanntlich
COStt>
= cos 0(cos d+z/cos 0) f cos co(cos co-\- 4 cos co)-|-cos q(cos ö+^cos 5),
also, »eil
cos 0* + cos <o* + cos ö*= 1
ist,
cost£=:l-f-cos0^cos0-f cos caseosa» -f cos ö^ cos (3
Es ist aber auch
l = (cosö+^cosÖ)a + (cosQi + z/costo)4 + (cos(5 + ^cofiS)*
sl + 2cos0^cos0 + 2cosw^coso)+2cos5^cos©
+ (^cosd)a+(^cosw)*+(^cos5)*,
also
cos 6J cos 6 + cos (oJ cos a> + cos qJ cos 5
= — i{(^cosÖ)a+(^cos»)a-K^cosö)«|
Thtil XXX. 28
4!() Grunert: Smt ttaistetiunn der Theorie
und folglich nach dem Obigen:
* co8u. = l— iK-rfcosfl)H(^co»«J, + (^coiö)«t.
also, «ie hieraus sogleich folgt:
4sin;«* = (.*cos«)H(^cnn(o)*+(^cosö)*,
und daher:
(sinjw a> V /^CQBrJV AfcosaA* /^ros5\»
Lässt man nun Jt sich der Null nähern,
v> sich der Null; und wenn man di
zu den Grämen Übergeht, so erhält man die Gleichung:
L'"" (5) =(t|~) +(-T^) +("Tip)
Aus den Gleichungen
folgt durch Differentiation:
— (.;
3 cos«
Pi SG 0:.
nach dem Obigen ist aber offenbar:
also;
folglich :
9 cos o) ., <Pi/ SG dy
;•(■
I.* + 8
Py fc S=i
der Befttonmj mä Kr*mm**9 dt Ckmrti
411
5
3
o
8»
e
o»
22.
ST
^■1 8
I!
r\fi*i
Co Cd
-8 'S
JPlco
Cd| ,
4-
4-
CD
10
CO1 •*
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9
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II
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3#
5"
CD|?D 2T
3"
Crunen: Hev* Dartletlung rf.r Thtari*
•\j<p)
m
S»i Bi ÖW, /8: &x bx d^
»>c
nie sewEhntich, /.' Jen Krümn
'unkte (i, y, i) hczek-hnet, «a-
um) löblich, wenn, wie setvShntich, /.' Jen Kriiiniiiungshalimir*s*r
der Curie in dem Punkte (i, y, i) uezek-hnet, nach 3lJ)s
r'ÄvJ/S'i
Bezeichnet t einen hei rlem Punkte (x, y, t) sich endipem
Bogen tler Curie, so ist bekanntlich
■[so »ach dem Vorhergehenden:
50)
. LlmY"V— .
vSft
«der
'" ■■ .
. "Li
"•U) - -..
woran»
n>an
leicht
"»(^'0'
= «»
oder
-
51) .
?': .
■ '&(&$
1
A4'
und fol<
;lich
52)
■ u«£.= ±
achliesst, indem man daa obere oder untere Zeichen nimmt, jenach-
dem As positiv oder negativ ist.
der Berüärun§ und Krümnuhtg der Cwrvtn. 4)A
* . «... ..■•,' ■■••*
XIV.
Die Gleichyngen der in dem Punkte {x, y> x) auf der Oscu-
lutions - Ebene senkrecht stehenden Geraden sind nach 29):
jr — x !)— -y j — x ■'
dy 3h dz o*y ~ 8x d*X/_$x~¥z — fer 8«y 8;/ 8^*
§9 * 8qp* 89) ' dy2 89p * dqy* dtp ' dqfl 8q> * 8qp* 8<p * 89*
nnd wenn wieder ßif c»i> ^ für diese Normale ihre bekannte
Bedeutung haben und Gx einen gewissen Factor bezeichnet, so ist:
cos
cos
cos
/8;r 8*y 8^ 8»r\
Ist «1 der von zwei Osculations- Ebenen , also der von den
Normalen auf diesen Osculations - Ebenen eingeschlossene Win-
kel, so ist
cosfO| =3 cos $i (cos $i +/f cos 6t) + cos «9] (cos a>t + zf cos <ox)
•f cos ©! (cos Ög + 4 cos ö, ) f
woraus man ganz wie in XIII. die Gleichung
erhält
Nun ist aber nach dem Obigen:
8cosflA ^ /% 8*x $x 3^,8^/% 8»x 8x8-^\
öcosa>,_ /8r 8*r 'ta 8»x\ 8Gt /8* <ftr 8ar 82x\
8? — **l\d<p'$&~dyd<p*J + 89 v^'fy*~oVW*
Scosöj^ /8j? 83y % 83j?\ 8G| /8jr 8*y fy Stx\
5$ -^V8*'^~V*W 89 VVM~;V 89V
und
also :
ri_jA 8" 3* ^/V /h 3*£ 3» 8*i \» \-
.' — ' yty ' Bv" 3o> ' 3"pV , w ' 3Va 3* ' B?v f
1 So) ~~ » Vöq> ' 3o>a " 3? ' 3o>V V&P ' 3V 3?. ' 5g>y '
"*" \cV ' 3gi2 So> ' otp*/
!/% $■*_*& 3^\/3y 3^_3? 3S#\ i
^3i$>'3o)a 3g»" So;2/ \d<p' 3ö?3 dtp'Bip*/ 1
/o: 8**' & 3*i\/3: 8«» ~S* c^xN (
+ Vag» ' St* S«p "39>V U<F ' 3g>a 3g> ' 3g>V ? '
/& ffty _§y 3^% /3^ 3^ _3jf &x\ \
\B<p'Sip't ßqp'3<p2/ \3V3qpa Qtp'BqPJ '
rorau.« sich, wenn wir der Kürze wegen
„_ /% 3^_3i 3J^V/3^ l*£„3r 3^\
~" ^3q>'39>a Btp'SqP/ \ß(p 3oj3 3<p 3ip3/
f% 9^_Ea; ?i^/r?r 8-!f_s5 3siS
VBo)'3pa 6<p" 3oj*/ \t)q> 3<ps 3? 3(p8/
' _l{*!? *%L_J!$ &*\(9* 3_!2_§£ 3'äV
\3o5 3o>a 3o» 3ffa/ \3o) ' öip* 3qp ß^v
setzen, die Gleichung
^3
5$ =
ergiebt. Also ist nach dem Obigen, wenn wir der Kürze wegen
_, /3« 'S»* 9t SfffV./8* 3>a: 3* »z\*
,V=\Ä'V~*9'5?/ +'W*37t'~'39>'3vs/
'" , /3f 3*y 3y flVv*
VW'
mitseu, offenbar
= 0i,e,-äc,«j>«+G,4j»,
4er Btrüürung und Krümmung der Owen. 415
folglich i
Lim • (%y * ***«■- c«s/w>-
Der Zähler von Qfi—G^P2 ist
}/% 8** & 8^\« /& 8** 8* ftV \
l\3q>8<p*'~B<p'B&) + V89 ' 89* ~ 89 89V f
, fdx 8*y 8* 8»*y (
t/% ?!f ?i ^y V f8* «?? ?f ^V
^iVSy'ög)3 89 89*/ + VVV8~VV/
+ \8<p"5^^"89),S^/
/% 8**_& ^VPi **_.* ^A
\3^ " 8g>* 89 * 89V v 89 * 89* 89 * 89 V
,/& 8** &r 8**\/& 8»jf_8jp 8h \
+ U9'V~V89*/\VV 3?> V/
/8* fffy^dy 8*#\/8* Sfg^Sj/ 8»ar\
+ V8g> # ^9* 89' 89V V8~9 ." 89* 89 89 V
| VS^'S^ 89*5^/ V3<P#89S Bq>'$<p*J
' \89 89* 89 89V V89 " 89* 89 '89V
/& 8*£_8.r 8*i \ /8jt 88^ 8^ 88x\ v»
V8_9,89* 89 * 89V V89* 89» ""89 89V I
/8£ 8*£_8y Wr\/& 3?£ 3a; 8^x\ {
^89*89* 89*89^89 '89» ""89 "89»/ )
(
/8y 8*z & ^f \ /fe B*y By B*x\
VZ^*Sg^> 89*89*/ V89'o>*~8£'89V
?* ?&__?£ ?jfW?t ^_^i 8V^
89 * 89* 89 " 89*/ V89 * 89* 89 ' 89 V
und allgemein:
#) 3. V. Note auf S. 373.
416 Grünen: ,¥<»« Danuüvn der Theorie
+ l(«i"s — «|C.J («!*»— *i«9) - («1*» — 6|«e)(ciOs — «ifa)!*
+ !(ol*a— b,a^(b,r.3 — «iW — {Äic2— CiAaJfn,/^— Ät aa) i*
- («ia +*ia+cia)l «a{6ica— cA) + Wd«»- «.«*) + e*(«A-Vi)I*.
also i! ,_.r obige Zühler :
19<p8\.Ö(p ßgja 89» 993*/ oqi1' \oip 8<ps 895 <W /
7 8^/8* 3^,_8j, 8**\ l '
B<p3\d<p' 8<p'£ dtp 2<pv )
und der Nenner von Q^—G^i1* ist:
\Ö9 69)* Sq) 81p9/ \5y Bf* Bqj 0(/i V \3g> 89>9 3qj flqo*/
also ist:
«) Lin,-&)'
KD' + ÖCKI)'!
• 8»,t/3^ 8*1 _8i 8*#\ 6jW8: 8**\&e 8«i\ ,
89>SV.89 3<pa 893 9tV 8g>3 \8g^ ?7>a 89? ' 893 v /
■ 8^/8» <Py_di cPx\ (
Sips \8ip ' 8q>2 Sqp ' 81p1/ '
t/By <^__fo 8V V /8t 8*^_8,r {PiV
1 \8qp ' 89?* 893 ' 8y'v V0Q> ' 89'* 895 " 8qs V
v \Scp ' htjfl dtp ' öipv
Beltanotlich ist
fix
dtt tferilkru»ir*nd foümmunff der CnrveH. 417
und fblgHch:
8»* /% BH _ 8« «fy\ , 8^ / & Sßx_dx Sh\ , •
3gp* Vj)qp * 3pa 89 ' 8p*/ 8p8 \8p * 8p2 $p * S9 v J
8^z /8y 8*£ fy 8*£\ f
"*" 8y 3 V8p * 8y» ~~ 8y ' §y V v
(dy 8*z 85 8*£\a /8z 8** ^»zV /
V8p'8p*~"8p'8pV + V8p*8p*~8p#5pV i
/8a: 8*y §^ d^V
+ V3p'8p*~8p'V/
oder auch
^ u*-(5)'
_ l 8»ar (8y8*z -8i81y)+8>y(828aar- 8*8*g)+8»z (8g8*.y - 3ya»g)J ■
— f (8^9az — 8z8*y)* + (818**— 8*8**)* + (8*6*y —dyPx)* i
oder
56) L,m-(2)"
_ } 8:r(8 V»z - 8*z83y) + 8^ (8*z8»s--8*.r8»z) -f 8*(8*g8»y-8*y88g) { '
. (8a:8*y— 8y8*a:)* + (8^8**--828*y)* + (8z8**--8jr8*z)*
also:
57) Lim^
&r(8*y83z- 8*z8ty + dy (8*z88ar— 8*r8»z) + 81(8**8»^ — 8*y8»jr)
~ * OarS2^ -r- 9^8**)* + %8*z — 8z8*y)* + (dzS*x — 8*8*z)* •
das obere oder untere Zeichen genommen, jenachdem dt positiv
oder negativ, ist.
Die absoluten Werthe der Grossen
Lim -r und Lim ~
nennt man respective die erste Krümmung und die zweite
Krümmung der Curve in dem Punkte (x, y, z). (liegt die Curve
ganz in einer, Ebene» so kann man diese Ebene selbst als Ebene
der xy annehmen, wo dann 8z == 8*2 sr d*z ss 0 ist, and nach 57)
folglich die zweite Krümmung verschwindet. Daher kommen nur
418
GrttJiprt: Heue Darstellung der Theorie
den nicht ganz in einer Ebene liegenden Ourven /i
jtoii zo, die erste und die zweite, nnd dieselben
mit Reebt Curven von doppelter Krümmung ;
ganz in einer Ebene liegenden Curven kommt
Krümmung zu. weshalb dieselben mit Recht Cum
l'achcr Krümmung heissen.
iei Krümmtin-
w erden daher
genannt. Den
nur die erste
'eii von ein-
XV.
Wir wollen jetzt wieder annehmen, das« unser
zwei Gleichungen von der Form
j Curve durch
f(x,x>,i) = 0, F<*,»,j) = 0
charakterisirt
sei, so dass also auch
nx,lhx)=Q, F(x,y,t) = 0
ist, und setzen der Kürze wegen wie schon früher
auch jetzt
« = A>J<V, s), ü=F(x,y,z).
Dann ist bek
imillich
du dx 6« dg du dz
dx dcp dff dtp dt d<p~~ '
dV Sx &V hy dV öi
ö-e dcp Stf dtp 3s d<p '
wenn der Kürze wegen
.*
i**\.Bq>J + 3./-W ^ 3s* W
+ ■:
( B-it dx di/ 'Z B*n 3g 3s 3"«
' dxdy 'dtp dtp 3y3s 3qp dtp 3i3.r
3i dx
3<p dtp
z=
3i* V3<p/ + 6Va W/ + 3:a Vö9/
+s
B*{7 g« %<' -8H7 3g fa ■ ftp
3-r3,v ' dcp' Bip di/di dcp 3<p " ÖsSa:
• 3s dx
dcp dcp
gesetzt wird ,
Gleichungen
nach den Regeln der Differentialrechnung ferner die
dx'dtpt + dy'thp* B~z' dtp9 ~ "'
dV <p* du d'h, du 33s
3T-3»»+'3y"3v«+ &"8»*— ~ *
ffer.JftrMrtmt tutä Krümmung 4er Carmen. ,419
erhalt. Hieraus fpigt:
(du du du d_ü\&x (du du Btt dü\d*»
\dx' Sx ~d*'dx)&p*'~\jb''dj~ %'$*/&
„du Bü
/du dü_du 8ü\8*»_ f9tt du d* ?£\ d*z
\dy' dx dx'dyjdip* \d!c"d!~ 87 * Bxjdp
\ „ du dV> •
s*£d-x~*'5x''
/du dÜ_du W\d*z (du du du dD\8*x
\Jk' dg <%' dzjfjq? \dy'd~x"~~ dx' dg) dtp*
also, weil bekanntlich nach 12), wenn wir Ar das dortige G* der
Kürze wegen jetzt — G schreiben :
dq> \dz * dy dy* Bz )*
dy_r/du hü du dü\
dq>^°\dxlF~^i'dxJ9
dq> \dy ' dx dx dyj
dy ^x dx ö^ Sm du
dz Py dy d^_rfjsdu Bü.
dq>*d<p*~W*<P*~~ **{ dx"*^9
dx d*z dz d2x __ r du du
dtp * dqfl *~" 5<p * dqß * $y ~~ dy .
dx 8^ 8* 8** 817. 8«
d<p°dq>*~ a^'S?*- v {*'dz *" 8x;'
8, 8«r 8* 8*y ' 8ü „du.
^•V«~8y'3^ * &(tf35" "~ £W'
.8» 8»* 8* 8** _ BV _8«,
ist , auch :
oder:
420 trillert! Xeue Darstrlluug dtr Hieortt
Setzen wir Dun im Folgenden der Kürze wegen :
__ Sfci(Su SU hl 3UY
°"~ 8x2V3z ' Sy Sy' St )
(flu (du SU Su suy
+ 8yUs'8' 3. 'dx)
8>» (du su a« apy
+ a.»Uj'ö* Sx'dyJ
SPu /Sil SD Su SV\(Su SV Su SV\
+ iai8jVäz''3»— Sj' 8. As*' Sz — 8z' W
8*» /8« 817 3„ 8t7\/3„ 30 8» 8t7\
+ ,!3j3zW*'^7 3z ' 3*Aäj<' 3.r Sx'SyJ
8"n /3u 8L7 8iz SU\(äu SU 3« 817\
+ J8z8*V,8»'8* dx' dy )\dt ' Sy~ Sy'H ) '
v S'V/Su Sil Su B0\"
V~ 3*'V.3z'3jr 3jV'8z/
, s*vnu sv Su suy
+S?(,8J-37-37E^
S'V/Su sv Su sv\-
+ 8z* Votf ' 3* Sx'Si/J
d*V /8« SV Su dü\ (du SV Su SU\
+ SxSi/\kSz'Sj/ dy'St) V9x"87 9z'3j-/
, 8"f /8u 8t7 8« 3i7\ /3n 3» 3u 30\
+ ' Spz \,8i ' 8z S'dxJ\dy'Sx~Sx,SyJ
„S'O (Su SV du dV\ rt« SU Su SV\ .
+ z8z3i\.3^'8^ e^'Sj/ASz'ä^ Sy'SiJ''
so isl offenbar
«=gv r=G"K
und folglich nach dem Vorhergehenden:
8* 3<y SS S>x dV 8«,
8o>'3i> SaTSte"- " l*8« — r4i''
8j 3*z_8_z Si_cl 8T_ 8».
8z 8** dx 3*z 3iV 8w
3V'3aia S<p ' 8<p* ~ iv dy iV"
«*
drr Berührung und grimmupg der Curven. 421
\ #
/
Setzen wir nun noch der Küne wegen :
_ 8m 31/ 3« dU du dU,
so ist nach dem Obigen:
GS)' ♦«)•+<£)■
,(dudU du 8ff\»
+Vfya*"""3tf#3y/
und
/^ a*# ^ &*\*.{fy &* & s*$ v (di p* _jx fo v
VS^'S^-Sv'ayV +\3g>'8<p» d<p'd<fi) +V0y"8ya 3y8<jpV
= G«(t>«S» + FM — 2* F<?). •
Ferner ist:
Ka^y /8yy /8»Vi8^c /3* 8«* 3^ <fy fo 3«i\ 8x
fy/ W/ \«W/ » 89>* V9> ' V 8V * 3V«+ d<p ' B<p V 89»
_ 3j /3z 8«a: 3* 8h\ _dy fdx 3^ _Ö£ <&rY
~~ Sq> \d<p ' <fö "*" 8q» * 3?)V 8g> 1.8p ' 8<J>* «V ' 8?>V
=G*
/8a 3ff 3k 8ü\ du du
\dy ' dx~~dx • 8y^ (03y — 3^
/du dU du dU\ dU -du
~\dx' dt~ dl' d*J(-v~dl~v %>
-G*
[dV/dudü dudUJäudU\ 8«//30\» ,/dU\* /S^VM
I r3«/8« 317 3« dU, du 9U\ 9U//du\*_l/du\*,/duy\-t\
+ V\j&l\ßxdirdydy+Ttdt)~dl&\Wx) *\ft) +\ßij JA
r-Ai /nSU ..'J«v.j; »,•»<>* _9£/l ,
\
JN
Grvntrt; Xtmi finiifrUtinff der Thenrlt
und alsn
auf diene Welse fiberhaunt:
KU
+ \3>rJ + Wv 1 8?» W 8»* 8» V
-«^iitfrWfe-3©,
,:8i 85\8j
dy>'dq>*/ dtp
10'
9^ ciy'1 ™ Sy dy"
!GÖ"
v \SiJ + W^ 1 8g>" V8<» ' ä»a + 8g. ' 8»* T
8s 8*s\8<
Mittelst iler liier entwickelten Formeln erhalt man uun nach
24) für die Gleichung der Oöculalion»- Ebene den folgenden Aus-
druck:
58) ... . (■S-»'}S>&-*>j
+ *5-Hs><-»> -••
+<4f-4:»«-=)]
iind für die Coordinaten des Mittelpunkts des Krümn
und dessen Halbmesser erhält man nach 38) und 40)
den merkwürdigen Ausdrücke:
die folg«D-
59)
X-
(Af.-«.)|.(eg-S.|) + F(«|-,
's»'
*~ »".S*-l-F»«'--2»Fe
'
-
ft'^«N.(<-(*|) + P»^
•$'
s " B^'+FV — 2eVQ
z-
(i«S'-e,)li>(o|;-4-'™)+F(08"-.
■S
«>#+p«^— *#Sj
der Barükrmf und JMtmmma der Cmntn. 423
und
«»).... Ä-y^,iS,+ F.^_«4l,FÖ'
die in dieser Allgemeinheit wohl noch nicht gegeben worden «Ind.
Wir wollen uns nun eine durch die Gleichung
/Or,n,j)=0
charakterisirte Fläche und auf derselben einen durch die Coordi-
naten x9 y% i gegebenen Punkt denken , wo also auch
ist, und» wenn f(x,y,z) im Allgemeinen als eine Function von
x, y, t betrachtet wird,
u=zf(x,y,z)
gesetzt werden soll.
Unter der die Fläche in dem Punkte (xf y, z) berühren-
den Ebene verstehen wir nun die durch diesen Punkt gehende
Ebene, in welcher die berührenden Geraden aller durch den
Punkt (x, y, z) in oder auf der Fläche gezogenen Curven liegen»
Zu der Bestimmung dieser Ebene gelangen wir auf folgende Weise.
Die Gleichungen jeder durch den Punkt (x, y, 2) auf der Fläche
"gezogenen Curve haben im Allgemeinen die Form
f(T,t),z)=0, *Xr,9,f) = 0;
wo also auch
F(x,y,z)=0
ist, und, wenn F(x, y, 1) überhaupt als eine Function von x, y, z
betrachtet wird,
U=F(x,y,z) #
gesetzt werden soll.
Nach 13) sind
*— x n — y } — x
8u 9U__Bu BU~~Bu BÜ^BulÜJ^Bu BU Bu Bü
ty'Bz Bt'ty S-Sir Bx'Bz Bx'By ~By' Bx
424
GriiHtrt: Heut Darstellung der fttvrtt
l Berührenden der durch die Gleit
die Glejulmngen <
fix, d,j) = 0, *(r, ». }) = 0
cbarakterisirtPn Curve in dem Punkte (x, y, :). Die Gleichung
einer beliebigen durch diesen Punkt gelegten Ebene sei
A(X -x) + ß(lt-ij) + C(j-*)=0.
i dieser Ebene die vorhergehende Be/ührende liegen,
Soll r
(Zu SU Bu SV
)
(Su SU 8« dü\
lBTi-cfyHx+{(Fx-ATi)fy + {Adv-Bbx)F1 = *
sein. Diese Gleichung muss aber, wenn
A(x-x) + B(t)-ff) + t?ft-i) = 0
die Gleichung der die gegebene Fläche in dem Punkte (x, y, t)
berührenden Ebene sein soll, weil in dieser Ebene die Berühren-
den aller durch den Punkt (x, y, z) auf der Flache gezogenen
Curven liegen müssen, für jedes V erfüllt sein, welches nur der
Fall sein kann, wenn
Sz 3v
ist, woraus sich, wenn Gt einen beliebigen Factor bezeichnet,
A=G,f, B=C$. C=C,£
'Sx ldy iSx
und folglich nach dem Obigen als Gleichung der die Fliehe in
dem Parkte O, y, i) berührenden Ebene die Gleichung
t
der Berührung und Krümmung der Cvrven. 425
fiix Bu , x . du, x _ Sa, x A
61) . . .c(r-*)+^(v-jf) + Eö-«) = 0
ergiebt.
Sind nun
COS ß COS 09 COS 0)
die Gleichungeo der in dem Punkte (#, y, z) auf der berührenden
Ebene senkrecht stehenden Geraden, welche man die Normale
der gegebenen krummen Fläche in dem Punkte (x, y, z) nennt, und
COS0X COS CO! COSG)!
■— . *
die Gleichungen eiaer beliebigen durch den Punkt (x, y, z) in
der berührenden Ebene gezogenen Geraden ; so muss
COS 0 COS 0j -f COS CO COS COj -f- cos ö cos öx = 0
sein. Weil aber die vorstehende Gerade in der berührenden
Ebene liegen soll, so muss nach 61)
*
du du du _ Ä
g— COS $i + w- COS (»! + g~ COS G), =0
sein, und aus den beiden Gleichungen
COS0COS0J + COS (0 cos»! + COSÖCOSÖj =0,
du du du—.*
g^COSÖ! + g^COS©! + g^COSÖ1=0
folgt nun:
__ du du du _ Bu
(COS O g COS CO ä-) COS <B| = (cos 0 g COS Cd g^) COS öi ,
_8t« 8* « , Bu _8«N
(cos Cd g~ — COS CO g^) COS öj = (COS COg COS ß g-) cos fy ;
woraus sich, wenn man quadrirt und addirt, mit Rücksicht auf
die Gleichung
COS $i* + COS CÖ!2 + COS Qt* = 1 ,
die Gleichung
— Bu Bu n .
(cos o g cos co g-)a sin ßx*
„Bu - 9«v« . / Bu „Bua, , n
= {(cosög cos co g-) 2 + (cos cog-- — cos0g-)a|co.stV
Theil XXX. 29
42ti Crunert; JVtue Darstellung der Theorie
oder
(.„.ö|-™4>.„e«,.
, „3« ~3«.„ , - ß« „3«\-
ergiebt, welche (Gleichung, weil die Normale auf allen d
urch den
Punkt (x, y, z) in der berührenden Ebene gezogenen
(Gerades
senkrecht stehen inuss, für jeden Werth von ttmgfj, gelt
en mus«.
was nur dann der Fall sein kann, wenn
coswv, cos Os- =0.
(COS fl 57 — COS ü — )8 + (COS CO fr- — COB 0 R-)* = 0 ,
also wenn
CO8Ö^-CO9[Ug-=0,
cop«^-co8ü8-=0.
- 3« „3« «
cos u< cos 9 — = U
8x ci
ist, woraus sich, wenn Cz einen gewissen Factor bezeichnet,
-r.au ,,3« _ f, 9«
coa«=C,a, co.»=fc,^, co = G,E
ergieht. Folglich sind nach dem Obigen
02)
~%r-
rs_Ir
die Gleichungen der Normale der krummen Fläche in dem Punkte
Auf der durch die Gleichung
fV. u, i) = 0
charaktemirten Flüche denken wir uns nieder durch den in der-
aelhen liegenden Punkt (x, y, z), wo also
der Berükrun§ und Krüwmun§ der Curve*. 427
f(x* y» *)=0
ist, eine beliebige durch die Gleichungen
/Cr, 9. i)=:0, F(jr, t), j) = 0
charakterisirte Curve gezogen, so dass also auch
F{x,y% z) = 0
ist, und setzen der Kürze wegen wieder
u =/(#, y, x), 17= F(x, y, z).
Die Gleichungen der Berührenden der Curve in dem Punkte
G*> y> *) sind nach 13):
T— x n — y ? — i
du Sü_du du" du SU_du d_U~ du dU _dudU'
dy 'dz dz' dy dz ' dx dx ' dz dx'By dy' dx
Die Gleichungen der Normale der Fläche in dem Punkte
(x, y, z) sind nach 62):
x— x_jt>— y _3— *
Sil du *""" du
dx 8y dz
Die Gleichung der durch diese beiden Geraden gelegten
Ebene sei
so dass also
.,/Bu du Bu Bü\ ,n,/Bu BD Bu BD\ ,n,(Bu du du BU\
A \B$' 3z ~B2 ' By)+" \B% Bx~Bx'Bt)+%' \fix%~8j,BiJ
= 0,
ist, und folglich
/St« du du BU\du /du dU du dU\du
A -\dzdx~~dxdz)dz~\dx'dy~dydx)~djif
Rl /8t# dU du dU\du (du dU du d£\du
U -\dx'~dy~~dy'dx)dx \dy' dz~~dzdy)dz'
c, /8« <W__du dV\du^/du dU__du d£\du
~~\dy' dz dz'dyjdy \dz*dx Hx'dz/dx
CO«
4$)
er
untrt: flaue Darslelluiiff der Theorie
uJu-r
KS'+(!H")V
Sa /du
8p > af/ 3u
B<7\
aj'
OXIHÖV
(7/ /c«
8«/ 8u BP a«
Hl)'
»©■
♦®'+G?)V
"BWi
8ü 8« 80 8«
su\
SiJ
^esetat
imngen
werden
Ist aluo
kann. Nach den
in XV.
gebrauchten Bezeich-
-<■
C' = '*t
-«6
und fol
Heb die
Gleichung der iu
tede stehende» Ebene:
63)
«%-
«&*
-™fi-4
Cfl— y) + C-»gf — <?|f>(i
-0=0.
Die Gleichung der Osculatioos- Ebene ist nach'SS):
wo wir der Kürz« wegen
-1 ="5i-r8i'
, — .!? ■>
setzen wollen.
Mittelst leichter
Rechnung findet man
,i>*+B*+C
= i<S«t«fi-W =
i" (•««"-
-OT
und
der Berührung und Krümmung der Cnrven. 429
A»2 + B«2 + c"* = v*S* + F V - 2» FQ.
Ferner ist
+ <'8?-«©<»C-F»>
- -IG£)"+(S)"+(SD'»
*"l<©'+©'*<*)'l
\8a? "8a: 8y * 8y 'dz'dzj
_ /8m 8tf 8t« 8tf 8m 8f/\
\8o: " 8a? "■ 5y * dy dz' dz)
= t*2«2 + Fs2Q — t>Q* — F**Q,
also
Bezeichnet nun J den von der durch die Berührende und die
Normale gelegten Ebene mit der Osculations- Ebene eingeschlos-
senen Winkel, so ist
_ (A'A''+ß'B" + C'C)*
cos J — (^,a + ßl2 + C/2^^//a + J5//2 + £//*) >
also nach dem Obigen offenbar:
64) . . . cosJ — jft^2jsä+ FV_ 2oFQ)'
und folglich, weil nach 60)
ß*=
«,»«*+ FV — 2c FQ
ist:
65) .... COS J —- ) ^ /S*$Z Q*\ t '
welchen Ausdruck ich für sehr merkwürdig halte.
firmiert: Ntuc Darstellung der Theorft
Leicht lindet man auch:
06) . .
und folglich:
67) ... .
Wei! rational
. „ (.T-tO)»
ist, en ist dieser Ausdruck jedenfalls der merkwürdigste.
Durch den Punkt (.r, y, i) wollen »vir uns nun einen
Schnitt unserer dureb die Gleichung
«fr. v,l) = 0
charakterisirten Fläche gelegt denken, dessen Gleichung
Hl + »ij + ÜJ + P = 0
sein mag, sn dass also auch
&x + 3% + fo'+ P = 0
ist, und im Allgemeinen
U = ite+l% + tfi + P
gesetzt werden soll. Dann ist
Sit
Sit
und die sä mm (liehen zweiten Differential quollen teil von U ver-
schwinden also. Bezeichnen wir nun den Krümmungshalbmesser
des ebenen Schnitts in dem Punkte (.r, y, z) durch fi, und setzen
der Kürze wegen
"fc**^
der Berührung und Krümmung der Curwen. 4SI
Shi .^ du ^du
8*11 ^.du du ^
-0Satt/^8M -Sttw^8tt Aöttv
+2ä^(*&-«$(*är~il£)
+V*(€^~i,fc)(i,%~*ä*)
so ist nach 60), weil im vorliegenden Falle wegen der verschwin-
denden zweiten Differentialquotienten von 11, welches hier an die
Stelle von U in XV. tritt, die dort durch V bezeichnete /Grosse
offenbar selbst verschwindet:
69) *»=(-^5^.
Lassen wir jetzt den durch die Gleichung
Äjr + »« + tfj + I> = 0
oder
ü(r-x) +»(»-#) + tf(j-2) = 0
charakterisirten ebenen Schnitt mit der vorher durch die Berüh-
rende der durch die Gleichungen
ftr, t>,1)=0, F(r, »,?)=0
♦
charakterisirten Curve in dem Punkte (x, y, i) und die demsel-
ben Punkte entsprechende Normale unserer durch die Gleichung
/fr,iM)=0
charakterisirten Fläche gelegten Ebene zusammenfallen, so müs-
sen wir nach dem Obigen
A = A', » = £', «sC
setzen, wo nach dem Obigen bekanntlich:
A=z'd*-Qfc' *=*%-%' c=*Tz-QTz
Bfiklen: iebtr
Ueber drei geometrische Aufgaben und über eine Big<
schaft der Ellipse.
Heim Otto Böklen
u SuU a. S. in Würtember
I. (Jeher drei geometrische Aufgabe
(Taf. VIII. Fig. 1. und Fig.2.)
Nachstehende Aufgaben stehen in naber Verbindung mit ein-
ander : 1. Die Trisektion des Winkels. 2. Es ist ein rechter Winkel
gegeben und ein Punkt; durch letztern eine Gerade zuziehen, so
dass das von den Schenkeln des Winkels abgeschnittene Stuck
derselben eine bestimmte Länge habe. 3. Von einem Punkte Nor-
malen auf eine Ellipse zu fallen.
Ich beginne damit, den Zusammenhang zwischen den Aufga-
ben 2. und 3. nachzuweisen. Es sei (Taf. VIII. Fig. 1.) OA = a die
grosse, OB—I) ilte kleineHaluaxe einer Ellipse. Aufdem Quadranten
AB liege ein Punkt W, dessen Abscisse =x ist; man ziehe die
Normale von jtf , welche OA in L und die Verlängerung von SO
in K trifft, setze
so ist
OL=t*x, OA" = Aa£ Vat'-^x*.
Man nehme nun auf OA den Punkt / an, so dass-
Ot=
t-OL=k*-
und über etat EijeMckuft tlrr t
konstanter Länge. Wenn i
hen eine Linie von der Länge
t man unl' den Schenkeln den
a und OB = b so, dass die
-6*
- genüge
fälle i
der gegebene Punkt ist, durch wel
'. gezogen werden soll, so bestimm
rechten Winkels die Längen OA =
Grossen .; und b der Gleichung jta
auf die Verlängerung von BO das Perpendikel aß und bestimme
darauf den Punkt y durch die Proportion aß-.yß = a:b, falle von
y auf die Ellipse AB eine Normale, welche OA in L und die
Verlängerung von BO in N trifft, ziehe Na, welche verlängert
OA in l begegnet, so ist Nl die gesuchte Linie.
Die Anfgabe 1. ist ein spezieller Fall von der Aufgabe 2., wie
aus folgender, an einem andern Orte schon veröffentlichte», aber
wohl sehr wenig bekannten Darstellung erhellen wird. Man be-
schreibe von der Spitze // (Taf. VIII. Fig. 2.) des zu (heilenden Win-
kels GHE ausmitdem Halbmesser |2 einen kreis, welcher die Schen-
kel des Winkelsin £und G trifft, verlängere EH bis zum Durchschnitt
mit der Peripherie in K, ziehe den Durchmesser jTJV, welcher den
Winkel GHK haibirt, und durch Keane Sehne KO' , welche l'J$'
in a' schneidet, dass a'O' = O'H— H, so ist GHO'^\GHE,
wie sich sehr leicht beweisen liisst; denn 0'ö'.//= O' Ha' = K
+ GW, also GHO=K = \OHE.
reduzirt, durch K eine Sehne A'O'
schneidet, so dass a'O' eine tiestim
dem Halbmesser des Kreises. Zu di
Linien, welche sich in einem Punkte O
die Gerade Oa, welche mit jenen Lii
KO'V und KO'N', mache Oa=iK, zi
Die Aufgabe ist nun daraul
i ziehen, welche l'N' ii
te Länge bähe, hier gleich
sem Zwecke ziehe man zi
htwinklig kreuzen i
Winkel bildet gleich
(im-i-li a eine Gerade,
welche jene Linien in l und N trifft, so dass lN = k; (rüge auf
den Durchmesser VN' die Grösse l'a'^la an, ziehe die Sehne
KO' , welche durch a' geht, und endlich den Halbmesser O' II,
so ist GUO' = \GHE.
Aus dem Vorhergehenden erhellet nun, dass die Aufgaben '£.
und 3., welche, algebraisch bebandelt, wie bekannt, auf Gleichun-
gen vom vierten Grade führen, und dass die Aufgabe 1., die eich
durch eine Gleichung vom dritten Grade ausdrücken lässt, welche
aber der irreducible Fall ist, übereinstimmt mit der Aufgabe 21,
wenn die Entfernung des Punkts, durch welchen eine Gerade von
der Länge i gelegt werden soll, von der Spitze O tles rechten
Winkels =U ist. Auch hier hat die Aufgabe I ier AuJIösungen, wo-
von jedoch Eine leicht zu finden ist, nenn mau nämlich von dem
gegebenen Punkte aus mit dem Halbmesser 1-A einen Kreis beschreibt.
436 Bohlen: Ueber drei geometrische Aufgaben
Wenn endlich dieser Punkt auf der Halbirungslinie des rechten
Winkels liegt, so erhält man das Problem des Pappus, welches
elementar aufgelost wird.
In Band 48. von Crelle's Journal hat Joachimsthal eine
Auflösung der Aufgabe 3. mitget heilt, welche im Folgenden zu
Grunde gelegt ist, um die Trisektion des Winkels mittelst einer
Ellipse und eines Kreises auszufuhren. Es. sei, wie oben, GHE
der zu tbeilende Winkel; man beschreibe mit dem Halbmesser
i& von H aus einen Kreis, GH=EH=\Xf verlängere EH nach
K und ziehe den Durchmesser l'N'9 welcher GHK halbirt. Nun
konstruire man eine Ellipse, deren grosse Halbaxe OA=*Xf wäh-
rend die kleine = \X ist, ziehe durch O eine Linie, welche mit
der kleinen Axe. der EUipse einen Winkel bildet =\KHN', und
nehme auf derselben den Punkt u an, Oa =£>l; ziehe aß senk-
recht auf die kleine Axe oder ihre Verlängerung, halbire aß in y.
Von y aus sind nun Normalen auf die Ellipse zu fallen. Eine
dieser Normalen kann nach dem Obigen sogleich gezogen werden,
sie schneide die Ellipse in it.
Man ziehe von A eine Linie senkrecht auf yn, welche der
Ellipse in m begegnet. Ferner werde von A aus eine Linie ge-
zogen , welche senkrecht auf yO steht und die Ellipse in p trifft;
man ziehe die Tangente in p, welche den Kreis, dessen Durch*
messer die grosse Axe ist, in q und s trifft, endlich werde noch
durch die Punkte q, s, m ein Kreis gezogen, welcher der EUipse in
den drei weiteren Punkten m', m" , mm begegnet, so sind die drei
Linien, welche durch y rechtwinklig gegen Am1 , Am" und Am*
sich ziehen lassen, die drei übrigen Normalen der Ellipse. Man
hat nun nur noch die Punkte, wo sie die kleine Axe treffen, mit
a zu verbinden, und erhält vier Linien, welche durch or .gehen
und von welchen die Axen Stöcke abschneiden =X; es sei IN
eines dieser Stöcke; man mache /'«' = /«, ziehe Ka'9 welche Linie
verlängert den Kreis in O' trifft, so ist GHO' = ]GHE. Zwei
von den andern Auflosungen fuhren auf die Trisektion der Win-
kel GHV und EHV.
11. Ueber eine Eigenschaft der Ellipse.
(Taf. VIII. Fig. 3. und Fig. 4.)
Es seien (Taf. VIII. Fig. 3.) OA = a die grosse und OBznb die
kleine Halbaxe einer EUipse ; auf OA liegt der Brennpunkt F. Man
ziehe durch einen beliebigen Punkt M auf dem Quadranten AB die
Tangente, welche die Verlängerung von OA in P, von O&inQ trifft,
und über eine Eigenschaft der Ellipse. 437
und bezeichne die Linie PQ, welche die Hypotenuse des rechtwink-
ligen Dreiecks OPQ ist, mit h{M)% die Summe der beiden Linien
OQ und FQ mit s(M). Für einen andern Punkt N des Qua-
dranten erhält man durch eine ähnliche Construktitn die Grössen
A(iV) und «(ZV). Diess vorausgesetzt, lässt sich die fragliche Eigen-
schaft der Ellipse in folgendem Satze aussprechen :
Man bestimme (Taf. VIII. Fig. 4.) auf AB den Punkt D, für welchen
h(D) ein Minimum ist, so ist die Differenz der Bögeji BD — DA
= a — b. Man nehme ferner die Punkte Dx auf BD und D% auf DA
an, so dass h(D{) = h(D>2) z=s(D)9 dann ist die Differenz von je
zweien der Bögen BDX , DLD, DD2, D2A eine algebraische Grösse.
Ebenso lässt sich der Quadrant AB in acht Bögen theilen, von
welchen je' zwei um eine algebraische Grösse differiren, indem
auf BD1 und D2A die Punkte D3 und />4, auf DXD und DD2 die
Punkte Z)5 und D6 so bestimmt werden, dass A(D3) = A(Z)4)=*(Da)
und h(f)5)~h(D6) = s(Dt') ist. Wenn man diese Construktion
auf den Kreisquadranten anwendet, wo F mit O zusammenfallt,
so ergibt sich die Eintheihing desselben in zwei, vier, acht u. s. w.
gleiche Theile.
Es sei x die Abscisse eines Punktes M auf dem elliptischen
2 A2
Quadranten, ^ — =A2; so ist
(i) äw=_y____,
(2)
Wenn drei Punkte 71/", üf', 71/ auf dem Quadranten liegen, deren
Abscissen #" > x1 > ar sind, und weiche die Eigenschaft haben, dass
BM\BM = gy+^'f^
oder
k* x x1 x"
(3) BM — MfM*= xx-*L9
so finden folgende Bedingungsgleichungen statt, welche die Addi-
tionsformeln für elliptische Integrale sind :
(4) sTä^lx*. Vd^x1* — — — \fa*—IPx"*=z aV&^-x** ,
43*
(6) v*-«w.y<
Höhlen: Heber drei getnnetritche Aufgaben
x.x"
\Ta*-!Px'll=a\r<P—x'*,
Man lasse erstens TU" mit .4 zusammenfallen, so führt die For-
mel (4), wenn man darin .r" = a setzt, auf die Gleichungen
(?)
i2.c2'
Ourch Vergleichung mit (I) ergibt sich h{M)=h(M'). Zw
solch« Punkte, wie M und IM', von deren Eigenschaften unten die
Rede sein wirf, (hellen den Quadranten AB in drei Theile, wo-
von die Leiden äussern um eine algebraische Grösse differireu.
Aus (3) und (?) erhalt man nämlich
(8) b»-j«m=*>*V£^=*vvQ§5-
Zweitens soll M' mit M zusammenfallen und die Abseiese. de;
dritten Punkts M" zur Unterscheidung £ heissen, so ergibt sich
aus der Formel (4), wenn man darin &' ' =x und x"—l setzt,
iml aus (3)
(10)
a + >Ta*~ k%*
Die Gleichungen (7) und (!l) zwischen den drei Aliscissen a:'>|>.r
bezichen sich auf das System der drei Punkte M', M", M. welche so
liegen, das« nach (8) und (10) je xwei der drei Bügen BM, M'A
MM" um algebraische Grössen differireu.
Man bestimme noch einen vierten Punkt TW", dessen AIisclss«
|' ist, so dass ti(M"') = h(,M"), oder nach Formel (7):
und über eine Eigenschaft der Elttpee. 439
eltmioire aus dieser Gleichem? and aus (9) £, setze den so erhal-
tenen Werth von x in (1), so erhält mau:
A ra2 — £«£'« ab
dl) A(jf)»«(jr)=«V 5^^ + ^===«<ar).
Durch geeignete Versetzung der vier Punkte ilf, ilf', M"$ Mm,
wobei zu bemerken ist, dass durch die Lage eines derselben, z. B.
von Mn , diejenige der drei andern bestimmt ist, erhält man die an-
gegebene Eintheilung des elliptischen Quadranten.
Man setze das Differenzial des Ausdrucks h(M )= — V — a «-
—jtl für die Abscisse des Punk-
tes D, der durch die Eigenschaft charakterisirt ist A(Z>) = Min.
Der gleiche Werth für x ergibt sich aus (7), wenn x — x1 gesetzt
wird. Durch Vergleichung mit (8) erhält man BD — DA=a — b.
Wenn wir zunächst M" mit D zusammenfallen lassen, so füllt
auch W auf JD; die Punkte M und M1 fallen auf Dx und Z)2>
welche nach (11) sich durch die Gleichung h(Dx) = k(D2) = s(D)
— 7,
so erhalten wir:
fi/>4 - Z>a J = (Va — Vb) (VäTl — V6) ,
und aus (8):
BD*— Dx A = (Va- Vb) VV+l ;
durch Verbindung mit BD — DA = a—b = (Va + V6) ( Va — Vb) :
DJ) - DDt = (Va — Vb) (Va + V& - V7+Ä).
Um die Eintheilung des Quadranten in acht Theile auszufuhren,
von welchen je zwei um algebraische Grössen differiren, versetzt
man W und MIU auf Dx und D29 so fallen M und M1 auf Z)3
und Z)4, und maii hat, wie oben, A(Z>3) = k(D/l) = j(Z)a); nach-
her wird umgekehrt M" und üfw auf D2 und Dx versetzt, wo
dann M und JH' auf D5 und Z)0 fallen, und es ist
A(Z>6) = A(Z)6) = *(A).
Somit wäre der Quadrant in acht Bogen getheilt; die Theilpunkte
sind der Reihe nach A, Z>4, D2, D6f D, D6, Dl$ DZ,B; durch die
Formeln (8) und (10) können die Unterschiede zwischen je zweien
dieser acht Bogen angegeben werden.
44öBlihle»i l'eb. drei geomet. Aufgab, u.vb.eine Eigemeh.dtr Ellfpsr.
Das Vorstehende "in! genügen, ntn tu zeigen, nie man zur
Eiiithelluiig dea elllptisuhen f Quadranten in secbszehn, zweiunddre
t>ie u.s. w. Theile fortschreiten kann. Bei der Theilung in sechs
zehn Theile kommt M" der Reihe nach auf Dg, Öt, Ds, D6, die
Punkte M, M' fallendann auf die Uögen ßOs und D±A, D&f> und
Dh6, D,D, und /W ü,06 und D6D%.
hie hier angegebene Theilung lässt sich mit einigen Modifi-
kationen auf die Quadranten Verkürzter oder verlängerter lyeloi-
den, Epieycloiden und Hypncycloiden ausdehnen.
'z«'ei Punkte auf der Ellipse, wie M uiid M1 (Tai. VIlLFig. 3.),
für welche die Gleichung h(nt)=h(M') gilt, haben folgende, leicht
zu beweisende Eigenschaften : Ihre Normalen sind gl eich weit vom Mit-
telpunkt 0 entfernt, diese Entfernung ist gleich BM—M'Ä. Die
Produkte ihrer Krümmungshalbmesser, der Abstände ihrer Tangen,
teil vom Mittelpunkte, der halben konjugalen Durchmesser von OM
und UM' sind je gleich ab. Wenn die Tangente von M die verlän-
gerten Axen in P und Q schneidet. OS senkrecht auf PQ steht
und P, Q'. S' dieselbe lledeutung für M' haben, so ist
QM=S'P, MP=Q'S', QS—IU'P, SP = Q'M';
QM. Q'M' = SP. SP' = n2 ;
3JP . Ml» = QS.Q' S' = 6*.
i durch M Pari
i Stücke gefheilt
den Halbaxen gleich
malen von M und M'
■n mit den Axen, so wird dadurch
ovon die zwei äussern lieziehtich
Produkt der Abschnitte der Ni
:hen der furve und der grossen Axe
und «wischen der Curie und der kleinen Ase oder ihrer
Verlängerung =y- Aus dem hier Angeführten lassen sieh riii
Eigenschaften des Punktes D, in welchem zwei Punkte
und jW', vereinigt sind, leicht ableiten.
Endlich folgt noch die AufRleui)g der Aufgabe, ein.
d/ auf der Ellipse zu linden, wenn die Lange von PQ
oben h(JH) genannt wurde, gegeben ist. Man besehre
dieser Länge als Durehmesser einen Kreis und lege von einem
Endpunkte desselben zwei Sehnen in den Kreis gleich a -f 6 und
a—b, so ist die Entfernung der andern Endpunkte dieser Sehnen
gleich dem konjugirten Durchmesser von M, wodurch also dieser
Punkt bestimmt ist. Die C (Instruktion gibt zwei Auflösungen.
I
In:
Z*kru»^mf*mihtktt^.*t*9'o*»r*clieiiAludruc**f*rlXti).Wl
Xlill.
Einfache Herleitang des 6 aas «'sehen Ausdrucks für
... ' ■' ■: ¥«»
Herrn Dr. Zehfuss,
Lehrer der Mathematik und höheren Mechanik an der höheres Gewerbe-
schule in Darm ttadt
Bekanntlich ist
sc* — 1 1 1 — «*
kr = iim — 5— oder 1— =lim — 3 — »
3? 0
wof&r man auch, wenn n= 1:5 gesetzt wird, setzen kann:
1
\x~\\m.n(\ — &*).
Setzt man nun
o
86 ergibt sich
T(f*) = lim . n/*-i # (1 — x*)t*~l &r ,
o
d, h. wenn x — t* gesetzt wird:
I\(i) = Um .tu" /** (1 - ty-1 t*-1 8t
0
Nach einer bekannten ReductioDsformel, welche, so oft n eine
ganze positive Zahl ist, geschlossene Resultate liefert, ist aber
woraus direct folgt:
ty \ is«. "^ 1.2.... (n — 1) .. 1 2 . n
iTttlsslim. — «/• , lx 7 — : TT ss Ion.-« — rr..., .HA«-1
1 li-^a» 2*-/***
£' f* + l ' f*+2
••••
Theil XXX. 30
44t i* tfltftf
V«t dw \ußütbarkHt der gtinstn
'
'
AM II
Von der Auflösbarkeit, der ganzen rationalen Funktion
ntcn Grade» in Faktoren.
Herrn Dr. Am Ende
.«Lang»»«!!..
Bekanntlich lassen sich von Jen unentwickelten Funkfio
uor die homogenen ganzen rationalen Funktionen zweier Veränder
liehen in allen Fällen in lineare Faktoren, also in Faktoren von
Her Fnrn» ax-^by +c, aufliisen.
Es wird sich in folgender Untersuchung ihrum handeln, die
Bedingungen festzustellen, unter «eichen eine ganze rationale
Funktion von mehreren \ eräuderlichen sich in Faktoren auflösen
lässt.
Du die Funktionen mit zwei Veränderlichen die einfachsten m
und dieselbe Methode, welche hier zur Feststellung obiger
diugungen angewendet wird, auch auf die Funktionen mit drei
mehreren Veränderlichen anwendbar ist, so untersuche» wir zu
die ganzen rationalen Funktionen mit zwei Veränderlichen.
Die allgemeine Form dieser Funktionen ist:
(1) P(*,j)= Vt^i-'j K»-V+ + /!./■
+ «„■""- ' + ß.z" "j + J^I— V + .... + Bn-,y'
+ cjt- ? + c,^>->j + «v-v + ....+ c_«
+ « = 0.
\
rätf6*witn Fvnklfontii mea f rvufe* in xnto*4*. 449
Substitoirt man in diese Gleichung füt x undy die allgemeinen
Formeln für die Coordjnatenverwandluog in der Ebene, nämlich:
4r = :r'cQstf — y'ainu + a,
yz=x' sin u + y'cosu + ß;
so ist ersichtlich, dass, wenn Gleichung (1) zuvörderst einen linea-
ren Faktor, also einen Faktor von der Form ax+by+c hat, dieser
bei passender Bestimmung des Winkels u und der Grössen auudß
als einfacher eingliedriger Faktor in der Form x' resp. y' heraus-
treten wird, und dass im entgegengesetzten Falle, wo also die
Gleichung (1) keinen solchen Faktor hat, die Bestimmung der ge-
nannten Grössen sich als unmöglich ergeben wird.
Geometrisch ausgedrückt würde dies lauten : Wenn.eine Curve
einen geradlinigen Theil hat, so wird die Gleichung dieses Thei-
les bei passender Verwandlung der Coordinaten in die Gleichung
x*z=:Q übergehen, wenn „ er mit der y'- Achse, — oder in die
Gleichung y1 = 0, wenn er mit der x1- Achse zusammen/feilt.
V» mm»
' . * '
Die Bestimmbarkeit oder Nichtbestimmbarkeit der Grössen*
tu, a und ß unserer Aufgabe gemäss ergiebt, skh aus Folgendem:
Durch die Substitutionen x = x' cos u — y' sinti + « und
y=x' sinu + y1 co»u+ß in Gleichung (l) erhält man in Beziehung
auf x1 und y' drei Gruppen von Gliedern:
1. solche, welche mit Potenzen von x1 multiplicirt sind, zum
Theil aber auch y' als Fafefor enthalten ;
2. solche, welchfe "nur mit Potenzen von y' multiplicirt sind;
3. solche, welche nur et und ß und ausserdem noch die Coo-
stante Q der Gleichung (1) enthalten.
In Beziehung auf die erste Gruppe ist nun zu bemerken, dass,
wenn die Gleichung (I) einen linearen Faktor enthält, oder, wenn.
x' als eingliedriger. Faktor in der durch die. Substitutionen, erhal-
tenen Gleichung heraustreten soll, die beiden übrigen Gruppen
verschwinden müssen» ,
Diese Bemerkung gewährt die Mittel , mit denen man zur Be-
stimmung des Winkeis u und der Grössen a und ß schreiten kann.
Es ist klar, dass zunächst der Theil, welcher mit y'n multi-
plicirt ist und von unbestimmten Grössen nur den Winkel u ent-
hält, verschwinden muss. Mau hat für gerade n:
IiO»
Am Ende: Von der iHßüjiarkelt der jnrtsf»
y " (Au sin u" — A\ sin uh~
k+ A.it,\im*-'t.cQsui — ....
.... — A„^i sin «.cos w--1 + An <-a* W).
Für ungerade n beginnen die Güeiier mit — Aa und die Vorzeichen
»iiiil dann ebenfalls abwechselnd.
Damit dieser Theil der durch die Substitutionen erhaltcrei
Gleichung =0 »erde, muss sein :
.40sina»— A^inu—Ktasn + ....+ A,cosu" = 0.
Diese Gleichung ist identisch mit:
('■!)
^utgti" — AL tgu1
... + A.
$
-J,COtgU+/l,cntga
.. + ^flcotgii'' = 0.
Die " Werthe von tgu, welche Gleichung (2) Geniige
und die wir im Anfange unserer Untersuchung alle als u
annehmen, seien :
tgu = r,, rt, r3 iv
Es bleiben womit noch a und ß der Aufgabe gemäss zu b
men übrig. Zur Bestimmung derselben genügen zwei voi
mit Potenzen von y' multinlicirteu Ausdrücken, welche auf
bracht sind. Wir denken uns, um die Untersuchung r.u t
fachen, den mit i/'"-1 und den mit y'"-a mulliplicirteu Aue
gewühlt, von denen der erste in lieziehuug auf a und p
ersten Grade, der ?,w eile vom zweilen Grade ist. Diese Aust
IiüI '.-i demnach die Gestalt :
(4) Ma + Nß + 0,
(5) Pa* + Qaß * Rß* + Sa + 713 + V.
Diese beiden Ausdrücke bieten sich stets dar, wie spSle
bewiesen werden soll, in dem Falle, dass alle Wurzeln tgu^A'f
verschieden sind. Damit nun dieselben Werthe a und ß, welche
den Ausdruck (4) =0 machen, auch alle Übrigen Ausdrücke,
welche in Beziehung auf et und ß von höheren Graden sind, =0
machen, muss Ausdruck (4) in diesen als Faktor enthalten sein.
Ist dies der Fall, wa3 dunh einfache Division zu entscheiden
sein würde, so dividire man mit titu+Itß+O in Gleichung (5),
damit hier der mit Sfu + Sß + O identische Theil entfernt werde.
Aus dem sich ergebenden Quotienten , welcher die Form Ja \ Kß\ L
liat, und Gleichung (4) erhält mau dann a und ß der Aufgabe
> boatin
. für tg
B Werthe fül
mtimrten Funhttonm *tm Grades in FHHtortA. 449
x1 = d? cos u + y kiii *■*-(<* cos it -f- 0 sin u) ,
ro ist £COBu+y8\nu — (aco8u-\-ß&iüu) ein linearer Faktor der
ursprünglichen Funktion. Ist dagegen Ma+Nß+O nicht Faktor
der a und ß enthaltenden Ausdrücke, so verschwinden die mit
Potenzen von y* roultiplicirten Ausdrucke nicht, oder wenigstens
riebt alle, und die Funktion hat keinen linearen. Faktor fär die
Wurzel tgtc = r.
Dieselben Untersuchungen würde man nach Substitution der
übrigen Wurzeln tgw = r anzustellen haben.
J. 3.
Schneller als diese Methode, welche zu unserer Untersuchung
eine (n — 1) malige Division in dem Falle erfordert, wo die Funk«
tSon wirklich einen linearen Faktor hat, führt uns die Methode
zum Ziele, welche sich ergiebt aus der Bemerkung, das* die
oben genannte dritte' Gfiedergruppe der Substituttorisgleichuwr,
einen Ausdruck giebt, welcher der ursprünglichen Funktion (1)
vollständig conform ist, so dass, wenn man in jenem Ausdrucke
x für et und y fär ß setzt, man wieder zu der ursprünglichen
Funktion (1) gelangt
Hieraus würde folgen, dass, wenn Funktion (1) Air die Wur-
zel tgn = r* einen linearen Faktor bat, dieser = M x + Ny + O
sein muss, oder umgekehrt: wenn J/a + iV/3+O ein Faktor des
durch die dritte Gliedergruppe gebildeten Ausdruckes ist, so muss
Mx + Ny+0 ein linearer Faktor von 'Funktion (I) sein.
}. 4.
Wir betrachten jetzt den Fall, wo zwei oder mehrere Wur-
zeln tgu = r* einander gleich sind. Wir berechnen zu diesem
Zwecke die Ausdrücke, welche, in Beziehung auf o und ß vom
ersten, zweiten und dritten Grade sind. Man bat für gerade *;
(6) Y"-1!;— J0(nasinü-*)
+ iii((fi— l)o;sinii^-*.cosf«— ^sint*?-1)
— ^((n— 2)asintt*-,.costt*— • 20sintf"-*.cosw)
^-^^((«.cost**-1— (n — 1)0 sin «.cos«»-2)
— An(— H/fcoste"-1)
— Ä0sinie*— 1+ff|Siiitt"—a.co«ic— Äa sinn"-3, cos «*-|-....
.... — Äi_a sin u . cos un~* + B%+-\ cos u"-1],
\
446 »m Bude: Von 4er Auflösbarkeit 4er gante»
t
* *
. /(».— l)(n— 2) ... ^ \
— Ax r j-^ ct2*\nu*~zco8u~(n—l)aß sint**— *1
+ 4a ( p2^^a*sint«n-4.cost**--2(fi— 2)ctßs\i)u*-*.cosu
+ /3*sintc"-A
i ",
r\
+ ^«~* («* co« w"-* — (» — 2) 2<x/S sjn u cos ««^-3
(tt-2)(n~3). .
— Am-i (- (*-l) «flcosi«»-* -fr ***"" | '^~" ,- ' PsmucoHu*-*)
+ iJ, ( n (ft~ r- ß* cos tt"~M
+ Ä0 ((n — 1) «sin u"~2y
— Bx ((»—2) d sin t*»-*. cos tt — ß sin u*-*)
+ 2?a ((w — 3) « sin tt*~*. cos u* — 20 sin d*-*, cos »)
• • • . • •
»
+ Ä«-a(a.costi*11*- («— -2)psinu.co8W^^
— Bn-i (— (n - 1) ß cos w«-*)
-f Qsinti"-* — C^sin t*»-3. cosii -f C28\nü*-*.co9u* — , . ..
• ••• + d-icost*"-* I»
"™ ^^^^^^^^^^fc , 4Vff
,<8) -< \ .
«'—»1" ,< A(n~l)(n-2) , . \
y »L"*^4 1.2.3 J """^ "7
t ■
, A»-l)(*-2)(n-3)
TT ^ V ' in r^ * sln **"^ w** \
(»— l)(n— 2) .. . ,\
A A"-2)(«-3)(n-4)
+ * V u 3 a sln M • C08 M
3(<t^3)(n^4) , # \ .. ,
+ 3(n — 3)*/S*riti«»-4.cos*-~ /T'siii *»~»)
» * • ■ ■
• •• • •• •*• .-i «■
+ ifw-g (a'.costi«-»— - — 1-~ a^sinttcosM«-4
1.2
, (n— 3)(n— 4)0 Ä4 .
i i *
(Bt^3)(<,-4)(ii~5)M ... _JÄ
— — ' T~2~3r~~~~~~^ ™ «uilr.eo»«" -•)
. . (n— 2).2.1 .. . (n— 2)(n- 3)Ä -_
-i*_»(-i-^-^— a»/?.cos*»-»-H — j^-^2«/»«»».«»«^-«
(n-2)(n-3)(»-4)„. ..
i -
+ ^«-iT ?-5 ■ a/P-co«*»-*
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"""■ /(»— 3)(* — 4) . . _ A *
""" • v F2 co®
— 2(n — Z)aßAnvF~*.co*u + /Fsinii^M
*■•- •< .- -i«'
-+A((n — 3)«f8infil,-^.coflw— ßslnvP-*)
— ft ((n — 4) a sin t«"-*..cos ti* —2/5 sin ti"-4 . cos u)
v
+ ^Cll-1(acÖ8lir,,-^ — (n4r3)/3sinil.costi*-4)
1 * » , *
'» . . . V
• • v « - ■♦.;( -
f *» » i r i • ( 1 1 . *•
Für ungerade h worden, -wie leicht zu sehen, die Anfangsglieder
Aq9 BQ9 C0 u.s.w. das entgegengesetzte Vorzeichen haben and
der Zeichenwechsel daqji jn .entsprechender Weide fortschreiten.
Man erkennt leicht» nach welchem Gesetz die Glieder gebil-
4ty suid. Für gerade * wird das -allgemeine Glied mit dem Coef«
dcieoten A dargestellt in* der -Form:
i
.'. * Ftif die Ceefödcnten Ä / C, Z>nl 8. wi hätte man bezie-
-^ hungsweise n — 1, h— 2, * — 3kt,w, für n in diese«
« . Gliede zu setzen und bei n — 1, n— 3, n — 5 u. s. w. das Vor-
■'*■ l!l zeichen zu wkhlen, welches «ich aus (-^»1)*WhP-J ergiebt.
a % ■
. 44 «Die Benutzung de* allgemeinen Gliedes für ungerade n
is, .. ergießt sich van seihst.
~ Bezeichnen wir die identischen Gleichungen (2) und (3)»
•» i
ä. ::;.. welche ütt? i| Wurzeln tgti==r*,»respective c*tgytf*B~-,ent-
^* Tic
•*
5
+
i ■ haften; von denen jetzt zwei einander gleich sein sollen,
Z der Kürze wegen mit /"(tgu) und 9>(eotgu), so haben wir also*
7' /(tgi«) = 0 ünd>(cotgtt)=a
jT a. Pur den Fall, dass zwei Wurzeln einander gleich sind,
* rauss der erste Differentialquotient von f(tgu), respective
jp(cotgti), ebenfalls =r0 sein» also:
f'(tgu)=zO und 9>'(cotgu)s:0.
Betrachten wir nun die Coefficienten von a und ß in (6),
so bilden ihre Summen bezüglich die Differentialquotienten
von f(tgu) multiplicirt mit cos u"-1 und qp(cotg ti) multiplicirt
ff ; . mit sin**"-1; so » dass >t wenn wir- diese Coefficientensummen
mit M und JS bezeichnen,
M *= — eoftir^ -.. f f. (tg «) >
V
+
^ ^ N = sin t«»-1 q>' (cotg u)
I i
l ist Für zwei und mehr gleiche Wurzeln tg u = r* ist folglich :
JH = 0 und N=0.
Es können nun zwei Fälle eintreten» pärolich da* weder
a noch ß enthaltende Glied O in (6) ist entweder =0 oder
I nicht =0.
£ 1. Es sei 0=0:
I In diesem Falle ist der in Beziehung auf « und ß quadra-
s, tische Ausdruck in (7) zu untersuchen. Es sind, hier drei
Fälle möglich: \
) ¥{af ß) ist durch diesen quadratischen Ausdruck
Ä' - • »h)i]F(sii #'••* Mr diifch isinen lineirea Faktor davon
J, theilbar; -
»- a
I
Am Ende: Von der Auflösbarkeit der gan%tn
huck noch
c) F{a, ß) ist weder durch den quadratischen Aasdruck
durch einen linearen Faktor davon theilbar.
im ersteren Falle ist der Ausdruck entweder rein quadratisch,
und die Funktion hat alsdann zwei gleiche lineare Fakturen ; oder
er ergiebt, falls er sich in iwei Faktoren zerlegen lässt,
zwei verschiedene Faktoren, in welchem Falle also die Funktion
für zwei gleiche Wurzeln tgu = rt zwei verschiedene lineare
Faktoren hat.
Ist F(a, ß) nicht durch den quadratischen Ausdruck theilbar,
so hätte man zu untersuchen, ob ein Faktor davon in /■'(«. ß)
ohne Rest enthalten wäre.
Ist auch dies nicht der Fall, so hat die Funktion für die bei
den gleichen Wurzeln keinen Faktor.
2. Es sei O nicht =0.
In diesem Falle ist kein Faktor vorhanden, indem alsdann
y'"-i nicht wegfallen würde.
5.4.
Wir nehmen jetzt an, es seien drei Wurzeln tgu einander gleich.
Wir setzen hier voraus, dass O=0 ist, da ohne diese Vor-
aussetzung die Unmöglichkeit des Vorbandenseins von Faktoren
sich sofort ergeben würde.
Es ist dann:'
JW=0, A=0, 0=0, P=0, Q=0,
wo P, Q und R die Coefficienten des in Beziehung auf a und ß
quadratischen Thelles in (5) bezeichnen, denn es ist:
Dass die mit B. V, D u.s. w. behafteten Coefficientensumnien
in derselben Weise, wie die mit A behafteten su mit ersuchen
sind, ergiebt sich nun von selbst.
rational™ Funktionen nun Grade» in Faktoren. 4äl
Bezeichnen S, T und U die Coefucienten des linearen Thei
■es in (5), so sei jetzt:
1) S=0, T = Ü, Ü=0.
In diesem Falle ist der in Beziehung auf a und ß cubiscbe Ans-
druck zu untersuchen.
Entweder ist dann F(a, ß) durch diesen cubiscben Ausdruck
theilbar und die Funktion hat in diesem Falle entweder drei gleiche
lineare Faktoren, oder zwei gleiche und einen ungleichen, oder
drei ungleiche, oder einen kuhischen; oder sie ist nur durch einen
quadratischen Faktor davon theilbar, in welchem Falle sie ent-
weder nur diesen quadratischen Faktor, d.h. keinen linearen Fak-
tor hat, wenn sich derselbe nicht wieder zerlegen lässt, oder,
wenn er sich zerlegen lässt, zwei gleiche oder zwei ungleiche
lineare Faktoren; oder sie ist nur durch einen linearen Theil
davon theilbar, in welchem Falle sie nur einen einzigen linearen
Faktor hat; oder endlich, es tritt keiner von den genannten Fäl-
len ein und die Funktion hat für die drei gleichen Wurzeln tg w=n
keinen Faktor, weder einen linearen, noch einen kubischen.
2) Es sei Ä=0, 7*=0, aber V nicht =0.
In diesem Falle ist kein Faktor vorhanden.
3) Es sei einer von den Coefficienten S, Tum) V = 0.
Alsdann hätte man zu untersuchen, oh Sa+Tß in F(a, ß)
ohne Rest enthalten wäre, in welchem Falle die Funktion für die
drei gleichen Wurzeln einen linearen Faktor hätte.
Wir bemerken hier, dass der Fall, dass S = 0, wahrend T
nicht =0, oder umgekehrt, nicht eintreten kann, da man hat:
S= — cos«"— *ifi'(tgM),
r=sin«"-az'<cotgM).
Ist nun ifi'(tgw) = 0, so muss auch g'(cotgu)=0 sein, folglich
ist immer T—O. wenn S=Q, und umgekehrt.
Ist S nicht =0, so ist also auch T nicht =tt Es bietet sich
hier demnach nur der einzige Fall Sa | Tß für die Untersuchung
dar, da man für S = 0, T = 0 und 17 nicht =0 den Fall 2) hat.
4) Es sei weder S, noch T, noch Ü = 0.
In diesem Falle ist zu untersuchen, (ib .Sa -f- Tß + C in
F(a,ß) ohne Rest enthalten tat.
452 Am Ende: Von der Att/löstrark, der sau*, ratton. Funktionen etc.
Da man leicht sieht, dass die Untersuchungen für vier
mehr gleiche Wurzeln tgM = r* in derselben Weise anzustellen
sind, so beendigen wir hiermit diesen Theil unserer Aufgabe,
welcher die Funktionen mit zwei Veränderlichen zu betrachten
hatte und wenden uns nunmehr zur Betrachtung der ganzen ratio.
nalen Funktionen mit drei Veränderlichen,
Folgende Untersuchung soll nun noch zeigen, in welcher Wei
die gefundene Methode auch auf die Ermittelung der Faktoren
Funktionen mit drei Veränderlichen anwendbar ist.
Es handelt sich hier zunächst um die Aufsuchung eines li
ren Faktors von der Form ax \ bij \ e; -| </. Hat die Funktion
einen solchen Fabtor, so liegt auf der Hand, dass der Theil die-
ses Faktors, welcher cz nicht enthalt, d.h. ax + by \ <! , sieb aus
der Summe von Gliedern der vorliegenden Funktion linden lassen
muss, welche ; nicht enthalten. Untersucht man dann den Theil
der Funktion, welcher ;/ nicht enthalt, so wird man entweder
na: -\- c:-\ tl selbst hier als linearen Faktor linden, oder doch einen
solchen, welcher durch Multiplikation mit einer constanten Grosse
ax + ci + d giebt. Endlich wird man noch den Theil der Funktion
zu untersuchen haben, welcher x nicht enthält, und es wird jetzt,
vorausgesetzt, dass die Funktion den Faktor ax\by\c%\d hat,
sich Inf | !■: ( rf entweder van selbst oder durch passende Multi-
plikation ergeben.
Für Funktionen von mehr als drei Veränderlichen würde sich
dieselbe Methode zur Auffindung von Faktoren anwenden lassen.
Man sieht, dass man bei einer ganzen rationalen Funktion von
»0.-1),
i
i Veränderliche!
] : 2
- Untersuchungen in Beziehung auf Funk-
tionen zweier Veränderlichen anzustellen hätte. Wir gehen jedoch
hierauf nicht weiter ein, da «ich das Weitere nunmehr von
ergiebt und die Resultate überdies keine geometrische Bedeu-
tung mehr hätten.
erunert: Ntue merkmUrä. FormttfSr dem kSrptrl. Jnkmtt etc. 459
Neue merkwürdige Formel für den körperlichen Inhalt
schief abgeschnittener Prismen , mit besonderer Rück-
sicht auf die wichtigen Anwendungen, welche sich von
derselben zur Berechnung der aufzutragenden und ab-
zutragenden Erdkörper bei Eisenbahnbauten, Wiesen-
anlagen und allen Nivellirungsarbeiten machen lassen.
Von
dem Herausgeber.
Man kennt die Formel, mittelst welcher der Inhalt eine» schief
abgeschnittenen dreiseitigen senkrechten oder geraden Prismas
bestimmt wird, und weiss auch» wie wichtig diese Formel
für die Berechnung der aufzutragenden und abzutragenden Erd-
körper bei Eisenbahnbauten , Wiesenanlagen und überhaupt allen
Nivellirungs-Arbeiten ist, indem es, insbesondere wenn diese Erd-
körper von unregelmässiger Gestalt sind, wohl überhaupt keine
andere Methode zu der, für die Veranschlagung solcher Arbeiten
so wichtigen Berechnung der auf- und abzutragenden Erdkörper
als die Anwendung der erwähnten Formel geben dürfte Bekannt-
lich erfordert die Anwendung dieser Formel dieKenntniss der drei
Höhen des Prismas und des Inhalts seiner horizontalen Grundflä-
che. Die Messung der drei ersteren ist mit Hülfe der Nivellir-
Latte und des Nivellir- Instruments mit aller erforderlichen Ge-
nauigkeit leicht ausführbar und unterliegt nicht der geringsten
Schwierigkeit. Anders verhält es sich aber mit der Bestimmung
des Inhalts der horizontalen Grundfläche, welche die Messung der
horizontalen Projectionen der drei Seite* der oberen schiefen
454
Crnnert: tfettt mrrkicürilige Formel für dtn
liehen Ga-
Grund fläche in Anspruch nimmt, und mit der erforderlich*
nauigkeit nie ohne namhaften Zeilaufwand anslührbar, in der Praiis
selbst zuweilen nicht von allen Schwierigkeiten frei ist. Ueber-
dies muss man aus diese» drei gemessenen Projectionen den
Inhalt der horizontalen Gm tid fläche nach der bekannten Formel
für den Inhalt des Dreieks aus seinen drei Seiten berechnen, wozu
die Ausziehung einer Quadratwurzel erforderlich ist, die sich in
diesem Falle nicht wohl anders als nach der gewöhnlichen ele-
mentaren Methode oder mittelst der Logarithmen ausfuhren lässi.
Um diese etwas weitläufige Rechnung zu umgehen, misst man
auch wohl nur die horizontale Prnjectioii einer Seite der oberen
schiefen Grundfläche und deren horizontalen Abstand von der ge-
genüberstehenden Ecke dieser Grundfläche, wodurch man sich eine
Seite und die entsprechende Höhe der horizontalen Grundfläche
verschafft, woraus man dann »leren Inhalt leicht berechnen kann;
aber diese Messung genau auszuführen , ist nicht ganz leicht und
nimmt ziemliche Zeit in Anspruch.
Alte diese Schwierigkeiten «
rtesitz einer Formel ist, mittelst
mas aus seinen drei Hoben und d'
Grundfläche berechnen kann, n«
sung der ersteren mittelst der Ni
erdei
uiedci
welcher man den Inhalt des Pris-
;n drei Seiten der oberen schiefen
i, weil, wie schon gesagt, die Wes-
er Mvellir-Lntte und des Nivellrr- In-
struments mit grosser Genauigkeit leicht ausführbar ist, und die
Messung der letzteren nur die unmittelbare Anlegung des Maas**
stahes erfordert, wozu ich noch bemerke, das» auch jede Höhe
der oberen schiefen Grundfläche sehr leicht mit dem Maassslalie
gemessen, und also der Inhalt dieser Grundfläche einfach aus
Grundlinie und Hübe berechnet werden kann. Eine allen diesen
Erfordernissen entsprechende Formel [\\t den Inhalt schief abge-
schnittener gerader dreiseiliyer Prismen will ich nun entwickeln,
«eiche ich auch in theoretischer Itücksicht für sehr merkwürdig
und für eine Bereicherung dtr elementaren Stereometrie zu halten
geneigt bin, m> dufa es mir sehr ivünschenswcrth scheint, dass
dieselbe künftig in den stereometrischen Elementar-Unter rieht und
die betreffenden Lehrbücher nufgenoi
deshalb, weil dieselbe Gelegenheit i
sehen Anwendungen darbietet.
i vielen
amentlicli auch
ichtigen prakti-
In Taf. VIII. Fig. I. sei ABC Ate untere Grundfläche des schiel
abgeschnittenen geraden dreiseitigen Prismas Aßt'A'B'C, auf wel-
cher die drei Höhen AA' , BB' , CC desselben senkrecht stehen,
körptrlfcüen Inhalt Bthief afi&scknittener Priswun. 455
und A'B'C «et die obere schiefe Grundfläche desselben. Der
Kürze wegen bezeichne man die Inhalte der beiden Grundflächen
ABC nnd A'ß'C respective durch A und A9 and setze:
BC =a, CA =ß, AB =y;
AA' sc, J?£'=n6, CC =c;
: Ä'C'=«', C'A'=b>, A9B9=d'.
Nach einer bekannten Formel der ebenen Geometrie Ut
i
16*J* = 2«*|3* + 2/Fy* + 2y*a» - a4 - ffi — y4
Offenbar ist aber
a*=a'*-(6— c)*, 0*=6'*— (<?_ a)«, y*=c'*— (a— 6)*;
folglich :
lftJ*= 2|a'a— (6-c)«}{6'a—(c— «)•}
+ 2t«'»-(a— 6)*|{a'*— (6-c)*}
woraus man nach gehöriger Entwickelung der einzelnen Theile
dieses Ausdrucks die folgende Formel erhält:
16 J* = 2a'26'2 + 26' V* + 2c' V* - a'4 - 6'4— c'4
~2(« — 6)*(«'*+6'*— <?'*)
— 2(o-c)*(6'* + c'a— a'*)
— 2 (c — «)» (<?'* + a'«— 6'«)
+ 2(a-6)a(6— c)»+2(6 — c)a(c-fl)*+2(c— #?)«(a-6y»
-(a— *)4-(A-c)4— (c-a)4
Nun überzeugt man sich leicht von der Richtigkeit der auch
an sich merkwürdigen allgemeinen algebraischen Relation:
i)
2(a —*)»(& — c)* + 2(Ä— c)»(c— «)» f2(c-a)*(o-6)« J
(=0,
■ ■ : *
• *
und es ist also nach de» .Vorhergehenden:
456 sruntrl: A'eu* merkwürdig* Fornitl für an
WJ*— 2V«4'* + 26'Va +2c'V* - o'«— *'* - c1»
— 2(o— 4)' (o" + 4'»— c'«)
— 2(6— c)«(6"+c"— o")
— 2(e - o)"(o'*+i.'"— 6'»),
oder, weil nach der schon oben angewandten Formel der eben«
Geninetrie
KW = 2a'»6'a+26'V» -f 2c'Va— a'*— 6'«— «'*
Ist:
2) . . l&fl=l6<<"-2(..-6)a(n,»+6"— c")
— 2(4 — c)"(6'"+i.'»— o'»)
— 2(c— o)» (c'a f n'»— 6'*)
oder
3) 16^=16J"— 2o'»| (n— 6)> — (S-e)= + (c-o)"|
-24'*l (o_4)'+(4-c)' — (e-o)«l
-2c'«l_(o-6)« + (6-e)' + (e-o)»|.
Leicht ergiebt sich s
(0_6)«_(6-c)«+(c-o)'=_2(o-4)(c(-o),
. («— 4)'4.(4-e)"-(c-«)'=-2(4-c)(o-6),
_(o-4)»+(4-c)'+(e-«)»=-2(e-o)(4-e)j
und es ist also:
!»*<■= 16/)"+4o'«(a— 4)(c— o)+44"(6-c)(«— 4>+4V«(c— «)(4— «)
- ... . n"(»-6)(c-a) + 6"(6-e)(°-6)4-e,«(c-a)(4-c)
4*=4*-\ j i,
oder auch:
.,.,, . i."(.r-6)(c-o)4.4"(6-c)(«-4)4-c"(c-ri)(4-e),
**"=*» "11+ — |^ L
and folglich:
^_ J,V/Yj'o7?(i-6)(c-o) 4- 6"(4-c)(a-4) + c"te-«)(4^
L
körperliche* InWt tchUf abftscAnittener Prismen. 457
Bezeichnen mir jeta;t den Inhalt de« schief abgeschnittenen
dreiseitigen geraden Prismas AÜCA'B'C durch P, und denken
uns durch Ä eine mit ABC parallele Ebene gelegt» wodurch das
schief abgeschnittene dreiseitige gerade Prisma in ein gerades dreisei-
tiges Prisma und eine vierseitige Pyramide zerfällt wird ; so ist» wenn
Wir das tön A öder Af auf die ^>bent BCB'C^ gefüllte Perpendikel
durch h bezeichnen j offen bar:
i
i
» t
= <i« + ^F^«A
2
= (a + = ).*«*,
1 > ■ ^^ . ■ ^^ ^^^\ 1 w
also :
•» • .i
'»5J . ■ P="T^T<7^
Al*b ist nach 4):
. r . ■ 6) '
(a+b+c)A'Art . q,g(o~6)(c~fl)-f6/g(6~c)(a--6)+cftt(c-fl)(6-c)
und wenn man
/>_ „ _ .T 4^/f
?)' i . . . . . . . 2i' = a' + 6' + c'
setzt» qo ist bekanntlich: . ,
*) Wenn ABCA'B'C' in Taf. VIII. Fig. II. ein beliebiges. dreiseitiges
Prisma- »si, so kann man sich dasselbe, indem man durch AA' eine mit
BCB'C parallele Ebene legt, an einem Parallelepipedon erganit denken,
▼on irelchem das dreiseitige Prisma' die Halfterst. Bezeichnet man nun
die Entfernung der Kante AA' ▼on der Seitenflache BCB'C , d. h. ein von
einem beliebigen Punkte In AA* aof BCB'C gefällte« Perpendikel ditfc^i
B, so ist H. BCB'C der Inhalt des Parallelepipedons , folglich
Prisma ABCA'B'C =z\B.BCFc';
und ist BCB'C' ein Rechteck , so ist
Prisma 'ABCA'B' C.' = JA*. BC. BF.
Dieser Sats iit oben bei der Bestimmung des Inhalt« von P in An-
nendnitgtgabrac^t waräen, und bann ube#hau|>t bänfig bei Körperbc-
teohnjmgen: mit grossem yortjbeil. angewandt werden, weshalb man'
in die Elemente aufnehmen sollte..
Thcil XXX. 31
/
ff r li Hirt: t/evt rxerkwirdige Formel für den
M/H-rU'*/" a'\a~b){c-U) i//y,-V)( „-//) >c'V-a)<6-
4i'(5'-a'j(»'-6'>{*'-^."
„<«,/' | ,-U'./ 4i«"l«-ft)fr-Hj>//'(ft.rJ(.i- 6)+c"(c-a)(6-c)]
^- 3 V ,+(a'+Ä'+c')(6'+c'-a')(c'+a'-6')(«'+ft'-0'
Formeln, durch welche nun, wie verlangt wurde, P bloss durch
«, b, c und a', &', c' ausgedrückt ist.
In der Praxis wird man sich am besten der Formel 6) be-
dienen , indem man den Flächeninhalt A' der oberen schiefen Grund-
fläche A'B'C durch Messung nur einer Seite und der dieser
Seite entsprechenden Höhe des Dreiecks A'B'C bestimmt, was
nie einer Schwierigkeit unterliegt und immer mit der erforderlichen
Genauigkeit durch unmittelbare Anlegung des Maassstabes aus-
führbar ist *).
III.
Wenn die Ebene A'B'C nur wenig von der horizontalen Lage
abweicht, was bei praktischen Arbeiten häufig der Fall sein wird,
so sind die absoluten Werthe der Differenzen a — b, b — C, c—a
nur klein, und es wird also auch der absolute Werth der Grösse
<i«|
a-b)(c-a)\t'
■<6-c)<«-
■6)-f c'a(c-
«)(6-c)
also
M"(6-e)(«
:-t)+c"(.
Id.-in
Bein. Setzen wir
•"(«-«)(e— «)■-
-<,)(*-«)
\4<i
md folglich nach 6):
12) pJi
*) Wenigsten* die bin hierher entwickelten Formeln möchte ich
künftigen Aufnahme in den Hb reo metrischen Elementar - Unterricht i
die he (reffenden Lehrbücher sehr empfehlen.
kdrp9rUcten fnkoil tctüef akfftscknütetier Primen. 4M
so kann, in solchen Fällen zur Berechnung der in dieser Formel
vorkommenden Quadratwurzel voftheilhaft llas Binomial- Theorem
angewandt werden, wodurch wir den folgenden Ausdruck erhalten:
■ ••■'' • • •;; i3) .
• «
i •
»
«.m-CM-fe-HM',»- . . 1 • 1-3 4 1.3,5 . .
r 3 ** ** 2.4* 2.4.6* 2.4.6.8*^ ~'
14)
^— -..3;- •<". **~«* 16* H8v "••'"f. .
welcher eine desto leichtere Rechnung gewlhrt, je kleiner * ist.
< •
IV. ,
ahnten Satze der Lehre von den Projectionen
ist, wenn t' den Neigungswinkel der Ebene A'B'C gegen oW
Horizont, d.h. im? Allgemeinen gegen die- Ebene ABC, bezeichnet:
A = A4 cost',
■ ♦
äl4ö nach 4) offenbar
15)
• ' « #
i/\ . a«(a-6)(c-a)+6,«(6-c)(g-6)+c«(<?-a)(p-i-c)
ss y i + —- jjjä : »"
folglich: ....
16)
J
. ._ a*(a— 6)(c— a) + 6'"(6-c)(a— b) + c*(c-d)(b-c)
sintil= r — — ; ; q^s ; *=*»
. . •.. .
woraus:
17)
. ., V - { a*{a -b)(e-a) + 6«(6-c)(a-o) + c*(c-a) (o-cj)
sin »' = ; — : — jQT '
oder
18)
, „ V a*(a-b)(a— c) + bn(b— c)(6— c) + «^»(c— a) (c— »)
sin i* = — — 2J,
folgt, welche Formeln gleichfalls sehr bemerkenswert!) und man-
cher Anwendungen fähig sind.
31*
Neue merkwürdige Formel für dt*
Wenn in Taf. VIII. Fig. III. die Schwerpunkte der Dreiecke
ABC und A'B'C respeclive S und S' sind, so ist bekanntlich
AO=BD, A'H' = B'D>; SD=\CS, S,D'=\C'S>;
woraus zunächst auf der Steile erhellet, dass die Linie .S.S"', wel-
che die Schwerpunkte der beiden Grundflächen des Prismas mit
einander verbindet, den Kanten AA', BB , ('(." des Prismas
parallel ist, und daher auf <4£Csenkrecht stebt. Ferner ist nach
einem leicht zu beweisenden Satze vom Trapezium*):
DD'=>t.AA' + 't.BB',
SS' =;.ß.O' + i.CC';
.AA' + i.BB' + lCC
„ AA' + ßB'+CC _ a-H+c
folglich :
oder
SS'
Bezeichnen wir also die Entfernung der Schwerpunkte der
Dreiecke ABC und A'B'C, nämlich der beiden Grundflächen des
schief abgeschnittenen geraden dreiseitigen Prismas, von einander,
oder nach dem Vorhergehenden die Entfernung des Schwerpunkts
der oberen Grundfläche von der unteren, durch E, so ist nach 5):
19) . .
und nach f
-EA,
») Wenn in Taf. VW. Fiff. IV. in dem Trauezium AA' BB' mit AA'
rad BB' die Parallele CO' gezogen ist, an erhellet, wenn man durch i
ine Parallele mit A'B' legt, anf der Stelle, da»
CC1 = AA' + (BB' - AA').—
_ AAf.(AB—AC) + BB' . AC
_AA' .BC+BB'.AC
r
ktepcrtickm Inhalt $cMef abjesckniuener Prtswum. 461
.1
20)
4 • * ■
i + tz*
vi.
Ein schief abgeschnittenes gerades Prisma, von beliebiger Sei-
tensahft bann hau, wie Taf. VIII. Fig. V. zeigt, immer in mehrere
settftefoftgesebnittene gerade dreiseitige Prismen zerlegen/ deren
untere und obere Grundflächen wir mit Bezug auf die genannte
Figur durch
■ • *
bezeichnen wollen. . Bezeichnen wir dapn ferner die Entfernungen
der Schwerpunkte der Grundflächen dieser schief abgeschnittenen
geraden dreiseitigen Prismen von einander, welche nach V. zu-
gleich die Entfernungen der Schwerpunkte der oberen Grundflächen
von der unteren Grundfläche des ganzen Prismas sind , respective
durdb
£j, E%9 EM9 2J4, £A
und den Inhalt des ganzen schief abgeschnittenen Prismas durch
P; so ist nach 19) :
P=ElJl + E%A% + E9Jn + JB4^4 + EkJk.
Nach der Lehre .vom Schwerpunkte ist aber, wenn wir die Ent-
fernung des Schwerpunktes der oberen Grundfläche des ganzen
schief abgeschnittenen Prismas von dessen unterer Grundfläche
durch E bezeichnen:
E^i'+E^+EtJi'+Etdt'+EjJi'
*— JS + Jt' + Ji' + Jt'+Jj
oder, wenn A\ den Inhalt der ganzen oberen schiefen Grundfläche
unseres Prismas bezeichnet, so dass
• . »
A'^^' + Jj + Ji' + Jt' + A,?
ist: • /
folglich auch, wenn ü den Neigungswinkel der oberen Grund-
fläche gegen die untere bezeichnet:
/ *• EJ'cos»'
= £A4 ' cos V + E*d%* cos i' + E%4xl cos V + £444' cos i' + £»4'cds t',
i
J
Grunerf: i\ette merkwilrdigr Furrntl für dtu
also nach dem schon oben angewandten bekannten Satze von den
Projectioneu, wenn A den Inhalt der ganzen unteren Grundfläche
unsers Prismas bezeichnet:
EJ= E,At + E%A* + E3AS + EtAt+E9As.
Daher ist nach dem Obigen:
21) P=EA,
um) die oben für das schief abgeschnittene gerade dreiseitige
Prisma bewiesene Formel 1(1) gilt daher allgemein für jedes schief
abgeschnittene gerade Prisma von beliebiger Seitenzahl.
Au? der bekannten Construction, durch welche man den Schwer-
punkt einer beliebigen geradlinigen Figur, die man in Dreiecke
zerlegt hat, nach und nach aus den Schwerpunkten dieser Drei-
ecke zu finden [»liegt, erhellet auf der Stelle, dass die Entfernung
E des Schwerpunkts der oberen Grundfläche unsers Prismas von
seiner unteren Grundfläche die gerade Linie ist, welche die Schwel
punkte der beiden Grundflächen mit einander verbindet.
iwer-
Ent-
Wenn man in der oberen schiefen Grundfläche unsers
mas drei ganz beliebige Punkte A', B' , C annimmt, derer
fernungen B'C, CA', A'B' oder a', b', c' von einander missl
und ihre senkrechten Abstünde a, b, c von der unteren Grund-
fläche nach dem gewöhnlichen praktischen Verfahren bestimmt,
so ist nach 15) :
aT ««(a-fexc-a) -f 6'»(fl-c)(g-6) + &*(fi-a)(h-c)
"T 1+ 4»V — o'Hi'— b')(s'~c')
wo wie frühe:
ist, oder
cosi
i/~l . lln^*(«-*)"(crn) +b'Hb-c){ a-(,)+c'*(c-a)(l>-c) \
-T l + (HJ + *' + c'>(o' + c'-0')(c' + fl'-Ä')(«'+«'-cO,
also, wenn A und A' wie oben die ganze untere und obere Grund-
fläche des schief abgeschnittenen mehrseitigen Prismas bezeich-
nen, da nach dem schon mehrfach angewandten Satze von den
Projectinnen allgemein A=A'ctisi' ist, nach 21):
'l
,yr
"(a-t)(c-a) + f(t-Q(ii-<)+c"(c— „)(t-0
4.'(«'-o') (.'-«') (''-»0
ktrpcrlUtei* Inhalt xchi*t a&Qt$t!mH4cner toismtn. . « 4Ü
«'■-.-l :..-,•■■. ' - 23)
P - r*\Ti x 4a^a^Xc-aHft"(6-g)(«^Hc"(fr-«)(6-c)l
~ V ~l"(«'+Ä, + cO (*' + «'— o')(c'+o'— 6')(a'+6'-c')'
■ ' 1
! ' .,"■•' • '■ . ■ ■ i ■ ' : ■ ■ ■* " '
Heseichnen wir den Inhalt des vorher auf der oberen Grämt*
ittcfce. unsere Prisma* beliebig angenommenen Dreiecks, dessen
Seiten a', 6',^ sind, jetzt durch D'; so ist
24)
„ «.„j/". . a»(a^)(c-«) + 6"(&-c)(a-ft)+c'»(c--<i)(ft-c)-
p=EJ'y i + j2)« '*"*
jMo man £K auch durch Messung einer Seite utfd der entepreehen«-
Mb Hübe des betreffenden Dreiecks bestimmen kann. -'*
• . • .',■■■
: Die vorstehenden Formeln/ in denen alle zu messenden Ele-
niente.sich auf die obere sjctuefe \ Grundfläche des Prismas be«
ziehen, und in allen Fällen durch die bekannten Methoden mit-
telst des Maassstabes, derNwelMT*La.tteund desNiveIlir-Iqs£ruments
leicht und genau ermittelt werden können, gelten auch Kr sclitef
abgeschnittene gerade Cy linder, weil im Vorhergehenden natür-
lich die Seitenzahl des Prismas sich beliebig gross annehmen
lässt, die Seitenflächen desselben beliebig klein angenommen wer-
den können.
TU.
Wir wollen uns jetzt ein Prisma von beliebiger Selfejnzahf
von zwei gegen seine ^arafleten Seitenkanten wlllkuhflich" genefg'
ten Ebenen durchschnitten denken , wodurch zwei Schnitte ent-
stehen, deren fiächenräume wir durch Al und Jt\ und den In-
halt des zwischen diesen Schnitten enthaltenen Körpers durch* *.P
bezeichnen wollen. Die Schnitte 4' und Ax* mögen der Kürze
wegen die Grundflächen dieses Körpers genannt werden. Denken
wir uns nun ferner einen auf den parallelen Seitenkanten des
KörpeVs>;!Sfenkr^^
ausserhalb Wdter £ahz 'WeMiälb des Körpers P sliefct;' 'so dass fni
ersten Falle die Grundfläche tf\! zwischen der Grundfläche Al und
dem senkrechten Schnitte A liegt, tind- bezeichnen die Entfernun-
gen der Schwerpunkte der Grundflächen 4' itid A\f tvott dem
4M Grunert: Seite merXrSrtl. Formel für Hm körpert. fnlialt etc.
senkrechten Schnitte ä respective durch £ und Et ;
21) offenbar
P—EA^ ElA=(ETE1)A,
indem man in dem ersten der beiden obigen Fälle das obere, i
dem (Metten dieser beiden Falle dagegen das untere Zeichen zu
nehmen hat. Aus VI. erhellet unmittelbar, dass die Schwerpunkte
von d' , Jt' . A in einer und derselben auf dem Schnitte A senk-
recht stehenden geraden Linie liegen, so dass also E:fEl die
Entfernung der Schwerpunkte der beiden Grundflächen des Kör-
pers P von einander, und folglich, wenn wir diese Entfernung
durch (£ bezeichnen, nach dem Obigen
25) P=<BA
ist.
Nehmen wir nun etwa in der Grundfläche A' , die unter dem
Winkel *' gegen A geneigt «ein mng, drei beliebige Punkte A',
B', G" an, und messen deren Entfernungen B'C'=a', C'A' = hl,
A'B'-=.c' von einander, so wie ihre senkrechten Abslände a,b,c
von der Ebene des senkrechten Schnitts _•/; so ist, wenn D' den
Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C bezeichnet, bekanntlich:'
., t/", ■ a'H«-b)(c- tt)-H"(6-cJ(«-6) + c"(c-a)(6-c)
cost'=Y 1 + Jß« ■>
also offenbar :
20)
P=(£A'\ 1 +
i'Ha-6) (c-a) -)■ b'^b-c) (a-b) -+ c< V-a) (b-c)
Ist das Prisma ein dreiseitiges, und sind a, b, c und o, , b_
die senkrechten Abstände der Ecken der Grundflächen A' und At'
von dem senkrechten Schnitte A, so ist bekanntlich
a + 6-f-c _"i+6i+ci.
£T£i =
_ (Q:Fa1) + (oTft1) + (e:Fc, )
3
dder, wenn wir die Entfernungen der Ecken der beiden Grund-
flächen d' und Jy' von einander durch o, b, c bezeichnen:
also nach dem Obigen:
' 3 -•- -« >#ilj '!*>•». hilt»
Bezeichnen aber wie gewöhnlich et} b1 , c4 iR** Selben der
Gründliche • Jt in i. der ojken famer* festgehaltenen .Ordnung , so
dass nämlich« wenn wir diese Grundfläche durch A'&C bezeich-
nen, wie oben a' = JB'C, b'^C'Al, c' = A'B' ist, so rit*'
• f
'Ätfe diese Formeln sind1 so eiit^ictel t und darges^M t wo^W,
dass die Bestimmung der Grössen^ von denen* sie abhängen j' in
der Praxis keiner Schwierigkeit unterliegt, wa* mit ein Hau^t
zweck wäV,' den1 dieser Aufsatz 'zu' erreichen suchte.
li
" f • J.
il * 'i » ...
j i t» »
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x*v.
-r • ••■». r
«(«."!
, I
r. J
.1)
Verschiedene Sätze und Resultate«
j" . . . . ••!'• jj.><;
Von
♦ !
Herrn Dr. Zejkfuss,
Lehrer der Mathematik und höheren Mechanik an der höheren Gewerjie-
•ehnle zu J> arme ladt»
■ i
1) Es ist mir nicht bekannt, dass Jemand folgende Integrale
bestimmt hätte:
»
/ 5-=— V8*s=A[e-li.e-«-«-«li.e-I.
* •** » . %»A r-
■
466 Zehfus»; Verschieden Sätze und gemimte.
wo li das Zeichen des Integrallogarithnius vorstellt. Leichter i
gibt sich das Resultat :
$%
<P VT—U*aiii*<p "
r
n h-r
dx=\\
Auf Verlangen bin ich gerne bereit, die- HerleMung dieser For-
meln zu veröffentlichen. Besonders eigenthümlk-b dürfte die Ana-
lyse sein, durch welche ich mit Zusiehung des Imaginären die
beiden ersten Integrale gefunden habe und welche noch die Werthe
einer sehr Grossen Anzahl bestimmter Integrale mit den Grena
ac und 0 ergibt.
2) Setzt man ->,-- — K(y), wo K ein Operationszeichen <
stellt, und K(Ky) zur Abkürzung = K*y, K(K»j) = Ksy h.s..
so ist
(In)« (lo)'
»•»fa-fffT-OC*}1-* .w»».«.»
Man hat für den Ausdruck \\y den Namen des Quotials
y vorgeschlagen. Die obige Reihe ist mithin ein Analogon
die Taylor'sche Reihe, gefunden mittelst der Theorie der Quo-
Hak'. Ich habe dieselbe schon vor zehn Jahren gefunden, als
ich mich in den ersten selbs (ständigen Arbeiten versuchte, und
bemerkt, dass man auch daraus ableiten könne:
A*») = ft*H «/.' ■ l* +*(zf*'y- -J*2 M-WW-V ■ !— 2^ + . . . .
Mittelst des Cauchy'scjien Satzes über die Taylor'sche Reihe
ist es eine leichte Aufgabe, die Grenzen der Giltigkeit der obigen
Formeln zu bestimmen.
3) Jeder Zerlegung einer Zahl in vier gerade Quadrate lässl
sich noch jede der beiden folgenden als currespondirende beige-
saHeo:
(2«)* + (2ß)H(2c)* + <2rf)*
=(a + b+c+d)*-\-{a+b—c-d)* + (a—b+c^d)*-Ha~l>-c+d)'
=(a + b+c-d)* + (a+b~c+d)*+(<t-Hc+d)H(~a+b + c+df.
Für a = 1, fc=2, c=3, d=5 erhält man z, B.
2«+4« + fi*+10»=:ll2+5*+3:[ + la = 9«+7H5a+ia.
0#*4«#v. Mwit,m*strm*w*p<>*r WwJHfrrwU\4eJ>ti*mte* |§y
, .ftlli. I ij
l •,!
•Vt}\\ t„ .1
^
XliVI.
f .>
»fcgle mn^momque pour «terire lea förtmites <te »D*!
lambre.
•, . .
i *,
A
Par
w .
>M »' »
'.> • \
,A
i / «
* »4.
Monsieur Georges Dostor.
Docteur es aciences mathematiques , Merabre de la Society det Science*
et Art« de l'Ile de la R4union (Mar ütu In de«}.
Hauduit a imaghn* un.moyen ranemönique, pour 4crire avec
certitude et facilitö les relatio»«, qui existent «entre les cdtes et
les angles du triangle spheriqqe rectangle., Le« formules de De-
lambre, ou analogies de Gauss (corame od les appelle en
Allemagne) sont beaucoup plus rebelies au Souvenir. Nous avons
cra devoir chercher un moyen aise* pour en rendre l'tariture plus
facile. Nous avons Thonseur de soumettre au public enseignant
le resultat, qui s'est presentä ä la sflite. de nos recherches.
Dans un cercl$ inscrivous un tnangle PMN:
IM.
n a\b
8ur res deux cAtft f>#, PJS du, triwgle jpwquon* 4e*va*gtos
A + B A-B
*. »»
7»
et 1 angle
ff C
2 2
sur la base MX; eufin sur la saite des demi-arcs soustendns
marquons
les cfites
a + b
» a—b a—b n a + b n
c c
2
"2 2 ' 2 ' 2 2 ' 2"
'y r
Cela cons fruit, voici la regle mnemonique, que nous avons imaginee :
Lesin
us dun cote du triangle est ä celui de
la base dans
le rapport
des sinus des demi-arcs sousiendut, yti
i ne tont pat
adjacenU
au sommet commun.
Lecos
Inus d'un cöte est ä celui de la base, dims le r
apport des co-
itnus des di
Od in
■mi-arcs sousiendut, qui sont adjacents au sommet commun.
iuve ainsi les quatre formules ;
sini(^ + fi)_ V2 2 )
"'»(f-ä) ain(f-|)
Anl(A— S)_sini(«— b)
a[n(j~i) a',0i
cosUA + B) co8i(o + Ä)
coe(,2~ V cos2
cosXA-B) C08U 3~j.
cos(?-f) C08(|-I)
OB
5ini(.( + ß) cosJ(a— 6)
cosjC — cosic '
sini(^— Bf slni(o— ö)
cos IC sinic '
c*Bl(A + B) cosä(<i + Ö)
siniC cos je '
cos \{A— B) cos J(a + b)
sinJC — sin je- '
qui soot Celles de Gauss au de Delambro.
VttoMßMUfrato* /*r StMUtr« 4QQ
. ■ ■ .1 : ■■ . : ■
Uebangsaufgaben für Schüler.
w
Auf ga b e.
•""•■■' > .
Von Herrn Dr. Zehfutt in Darmtiadt*
Wie beweib man, dass
/°'+1 ir(a?)&* =\Vtot+.plp — p?
i •■
i..*i
Lehrsatz.
Von Herrn Otto Bdkjen iarSul* a. N. in Wärftemberg.
Ein Kreis» dessen Halbmesser = r, rollt auf der äussern oder
innern Seite eines festen Kreises, dessen Halbmesser =R und
Mittelpunkt 0 ist. Man. ziehe durch- O eine Gerade," welche den
Kreis R in den Endpunkten eines Durchmessers 05 schneidet,
und nehme auf dieser Geraden irgendwo den Punkt A an. Im
Anfange der Bewegung sei Q, am Ende S der Berührungspunkt
beider Kreise; während derselben beschreibt A einen Quadranten
AB einer. verlängerten oder verkürzten Epicycloide oder Hypo-
cycloide. Zwei Punkte. JBf und M' auf ABt9 deren Normalen gleich*
weit von O abstehen, und zwar um d, theilen den friadranten AB
in drei Theile, wovon die beiden äusseren um eine algebraische
Gr5sse diffenreii:
BM-M'A = iß^rd-$
das obere Zeichen gilt, wenn der Kreis r ausserhalb, das untere,
wenn er innerhalb. des Kreises R rollt.
. ■. A
Vebniigsau-fottben für Schüler.
A» flf.su in; der drei Gleichungen:
(« — *)(ft~!f) = *.
(o,— x){bl-y) = z,
(ai-x)(bl-y) = z.
Von dein H erau »gelier.
i diese Gleichungen auf folgende Art dar;
ab — bx — ay + xy = i,
albl—b1x — a1y + xy=z,
o,6,— 6a;E — a.ty + tfy =i
und zieht dann die zweite von der ersten, die dritte von der zwei-
ten ab , so erhält man i
ab — Oi 61 — (6 — bi)x — (o — «i)ff = 0,
«1 61 — 0,6, — ( *i — 63) x — («i — «a) y = 0.
Durch Auflösung dieser zwei Gleichungen erhält man:
abjai— flgj + n.Mfla— o)-|-g,6,(a— «t)
a(6, -6,) + 0, (6a-6) + 0,(6-6.) '
q6 (6. - 6a) + o,6, (6,-6j + 0,6,(6-6,)
a(6,-6a> +«, (6,-6) + 0,(6-*!)
ab (a, — a,) -I- al61 (o, - o) + o,6a(a — «,)
6(o, — «,) + 6,(wa — a) + 6,(o — o.) '
ab (6, -6^ + 0, bx (6, — 6) + 0,6, (6 - 6, ) .
M«,
-«,) +6,(0, — «)+ 6,(0 -fli)
-ga6a) + flI(«,6a-o6) + g,(a6-o,6,)
— 6ai) + (ol6a— o,6,)+ (0,6—063) *
- V<a) + 6, (0,6,-06) -f 6,(n6~«]6l) .
-6o,J + (o,Ö,— a,6t) + (0,6 — 064)
Jf(n|6,
" (06,
aa,(b — 61)-f-o,fl,(61 — 6B) -(-0,0(6,— b)
o(6,-6^ + o,<A3-A)+aa(*-6i) *
66,(B-fl1) + 6,6,(fl1-oB) + 6a6(n,-g)
6(a,-o,)+6,(o,-«) + 6,(«-o,) '
UebungsauftBNti9%fär Schüler.
47>
Ad diesen und noch andern Umgestaltungen der vorhergehen-
den Ausdrücke von x und y können die Schüler sich mannigfal-
tig versuchen.
Ferner findet man nun hieraus leicht:
* ~ 6(o, -o,) + ^(a, - ff)+ 6,(0-0,) '
oder:
a— # =
(aAi — bat )+(ßi 6*- aa^) + (a^b—ab^) '
t«*i -*<h) +<*i V-«**i) -K%6-«^)
Ol
Folglich ist endRch
.■* ■
•:V
w<v mbn den Nenner wieder verschiedentlich umgestalten kffftnte.
•
■■» •■ y»
Dergleichen» , zu mehrfachen eleganten und symmetrischen
Umgestaltungen Gelegenheit gebende Aufgaben scheinen mir ffir
den Unterricht in der allgemeinen Arithmetik und Algebra beson-
ders zweckmässig zit seitr, mehr ak viele andere iri 4*n Aufga-
bensammlungen vorkommende, die auf einen undurchsichtigen Wald
complicirter Formeln fahren. Auch spricht sich gerade fq solchen
eleganten Transformationen fler Charakter der neueren Anätysis
vielfach ans* und dass der Scnüler frühzeitig in denselben einge-
führt und mit ihm bekannt gemacht werde, ist sehr zu wünschen,
wozu natürlich möglichst einfache und besonders zweckmässige
Aufgaben und Beispiele erforderlich sind; '
i • \
XL VIII.
M i s c e 1 1 e n.
Der von mir in Thl.XXJV. S.403. mittelst der Integralrecb-
nung bewiesene merkwürdige Aufdruck für den Flächeninhalt
eines, seine Spitze im Mittelpunkte der Ellipse habenden ellipti-
schen Sectors kann auf elementarem Wege auf folgende Weise
leicht gefunden «erden, was ich im Interesse des Unterrichts in
der Lehre von den Kegelschnitten hier mittheile.
Der Mittelpunkt der Ellipse sei C. Zwei durch die Anoma-
lien uQ und ux bestimmte Punkte der Ellipse seien .),, und -■!,.
Die diese Punkte mit einander verbindende Sehne A0Ay der Ellipse
werde durch ,t0., bezeichnet, so ist bekanntlich*):
»„„»= a»(cosMo- cosw^-f- Aa(si
-sin»,)a.
Bezeichnen wir nun ferner die von dem Mittelpunkte C na<
den Punkten A0 und Ay gezogenen Halbmesser CAa und CA±
der Ejlipse durch r0 und r,, und den Winkel A0CAt des durch
die Punkte Au, C, A, bestimmten Dreiecks durch C, den Fl
cheniuhalt dieses Dreiecks aber durch A\ so ist
r0a=aacosi<os + &2s«iw0*, ri* = o*cos«,a + o^sinn,"
(tl
cos C= -
iir0r,
also, wie man leicht findet, wenn man in diese Formel die obigen
Ausdrücke von r0a, r1a, i0,i" einführt:
-, fl3cnswncos«i +62sintf0sina,
— V(o*cosa0a+ 6«sSiä^9)(rf»cös w,» + Ga am«,"«) '
•) TM. XXIV. S. 37D.
**«#<* ♦?*
wbtM»«tak ferner Jekkt
< i
! • i
V^ofcW «6* -fc 6* sin j*fl) («* co« Mg9 -f 6»sin «!*)
oder . /
;, wenn man in dieser Formel das obere oder untere
eben nimmt, jenaebdem sin(*i — Uq) positiv oder negativ ist.
Weil nun
• :! : ^«ir^sinC ... .i * /
ist1/ so ist'
wenn man das obere oder untere Zeichen nimmt» jenaejidem
siu(«t — ato) positiv oder negativ ist» . ! !
Wir nehmen jetzt an, dass ug grösser als Uq «ei, und be-
zeichnen den Flächeninhalt des, der Differenz «t — Uq dieser Ano-
malien entsprechenden elliptischen Sectore ♦ durch Ä^r Vm Son
zu bestimmen, theile man «i— «o in n gleiche Theile ein, o>ren
jede** sein ipag, so dass also #i
»*' «t — tto . '•'■ ' h
ist Da wir uns nun bei der folgenden Grffnzenbetrachtung offen-
bar immer n so gross, oder das positive t so klein angenommen
denken können, dass sin« positiv ist; so ist offenbar unter der
Voraussetzung, dass n in's Unendliche wichst, also t io's Unend;
liehe abnimmt, nach dem Obigen :
• •• » , i
*eu.?=? ia6JLim{sint + swi+sint + sin* + ,*„ + aioi|,
wo die Anzahl der Glieder der eingeklammerten Reibe » ist
Folglich ist
' ' ' >d0,1 = va6Lim.iislti^
älaev- weil nach dem Obigen ...»
Mi — tu
W:
I . ;i
Tlieil XXX.
474 MKcrtteri.
und folglich, wenn «i— «<> io Theilen -oWteftiheH tuftgedrftakt
angenommen wird, offenbar: ,,
sint * * "'*
Nun ist aber nach einem bekannten Satze
• • ' ■ i:
fs;Sint -
Lfm— r-=i,
*
also . • ' • , ,
* *
welches die in Thl. XXIV; 3, 403. durch die Integralrechnung be-
wiesene Formel ist, zu der wir also hier bloss mittelst, ganz ele-
mentarer Betrachtungen, im Interesse des Unterrichts in der Lehre
von den Kegelschnitten, 'gelangt sliirf.
'' >''f#t die '&«tirf KHlpse ist :«^t#kJ2*. also', WeW'W
Flächeninhalt der ganzen Ellipse bezeichnet, •."""<
.w. -pM-j.'l» ,,v. - .- ' •■';» '» »: '')'.. ■ \ ." ' .-•;
so ,4|afl0 »algo jtofrdietreiWei**'.a«eh die ganze Ellijtar ^uadriri ist
" ,v,Vohi,',der ' bvfe^' ''allgemeinem' Fdrmel fär den FläclieninhaK
eines elliptischen Sectors lassen sich' vielerlei Amv£ »dringen machen,
die aber, einer Schwierigkeit nicht unterliegend, natürlich nicht
hierher gehören.
. *:h« £ !ii»J- •>* f " • • •' > ."'"i - ,};-l — ' v- 5 :" » .- i«: i.. //! ..-•'
• .'. -,,:.»; ••• *t ;" *m . *• :.'.'"*• ». «i..' -••'•> . .• i • i«m • f-.i:i1
Nachtrag und Berichtigung zu der Aohandlung: '^p^^er^j
Bestimmung der Directrixen, Brennpunkte und Charakteri-
stiken' dģr DeWmlnnnte'ii der Linien des zweiten Grades
; * miI irti AUgMidttto fe TM. XK V Nrj XXM, > ; «.::. .»/
In meiner oben genannten %AhbaQdlungjkommt auf S. 281. ein
Versehen vor, welches eine Berichtigung erfordert, wenn es auch
nur eine beiläufige Bemerkung, nicht ämw tfgentlichkn Gfegenstwä
der Abhandlung betrifft, indem dieselbe es nicht eigentlich mit
der Discussion der Linien des. zweiten Grades, sondern lediglich
mit der Bestimmung der Directrixen, Brennpunkte und Cbarak*.
teristiken dieser Curven durch ganz allgemeine Formeln zu thiro
hat, welchem letztere» £*eck*auc|) ,mit. möglichster Vollständig'
keit in dieser Abhandlung entsprochen sein dürfte. Jedenfalls
* / : t *
aber bedarf ditselbf ie^jNa«4rt*»^*>iitar fcl|,- n#bst einer Be-
rieh tigungf des erwähnten Versehens', hier geben werde.
Auf S. 281. ist nämlich Folgendes gesagt:
„Wenn
(rf+\e|)^(•^»^i>{^-rff)«>fJ•a'^l'§)h<o'•,• •■•'»
ist, Wo sind beide Werthi von ClmagitiSr, und es |r1M*'aJs*lhl
diesem Valle weder ein* Dfrectrix, noch eiota »emJpunkVvXVeil
man anderweitig (m. s. den Aufsatz Nr. XII. is> diesem Theile)
weiss, daeAjpi ietn ▼erliegeriden Felle, N*e c^^ab^W ist, die
Gleichung
ax*+by*+2cxi, + 2da: + 2ey+f=0 T "hl ,0°
* . * * • *
nur eine Qy^eqbf l tpler swei gerader fdnisj) repräsentier! kann,
die Hyperbel1 aber immer zwei Brennpunkte und zwei tMrectrixen
k*U «P ,ftm in dpm Falje, wepin v » -i ».-
, (d+ez).-(n.-l),(.-rff). + A|.(l + ^.l50 ,
ist, die Gleichung • t ,• v
nur zwei gerade Linien repräsentiren, was wir jetzt der KürzW
weffesv^icM weHer analytisch untersuchen wollen."..
• if*n *iaht es . dieser Bemer^mi^ an ihrem 3chljjsssatz& ait,
dass sie nur beiläufig gemacht sein sollte. Dieselbe enthält aber
e)ne Uotichtigfeeitj «reiche darin ihren Grund hat» dass von nur
fiber*efee*' porden isf, d*** ip dem vorliegenden Falle, wo
€% — ab > 0 ist, a und 6 ganz beliebige Grössen sein können,
nicht wie in den beiden andern Fällen, wenn c* — ab=*0 dde*
c* — «4 < 0 ist, beide, als negativ vorausgesetzt ..werden müs-
sen, wie nies auch auf S. 2761 besonders hervorgehoben werde*
ist. Man bat nun aber die obige fieitarkung ganz zu Erreichen
und eid) vielmehr an die .folgende Auseinandersetzung zu halten.
ist» so hat man zu bemerken tl dass nach dem Obigan a und b
zwei ganz beliebige Grössen sein können, weshalb man die ge-
gebene Gleichung der Curve sowohl unter der Form
i •«*.
4M Mitteten.
ab aueh unter der Form
schreiben kann, in welchen beiden Formen die Coefficienten aller
Glieder j insbesondere s\u*b die Coefficienten von.' «fey* entgegen-
gesetzte Vorzeichen haben: bezeichnen wir nan die der zweiten
|?o w ^n^preche^o W^rtbero.) », 4, B Aespectivft.fjji^ *',
4%. Ä1 ; ; wi^t 4«r , , 4er zw.eitea Foq* jeutepre^e^e,; Werih, jpn
i.i
offenbar
*»
i » • »i-.
wo in der ersten Grosse für d, e, f,n, A, B re^ectiVe —rf;
— *, — /, n'g A', B1 gesetzt worden ist, wie es «sein muss.
Nsch' S. ?71. und S. 272. ist »
> •••'
, q»+6»+2c» + (q + 6)V(q— o^+iW»'
' V •
um)
»+«,-f:2Jf)i
B -j\ c*~a6 } 6(6— «)+2cg+oV(nt^)»fr4cE< H-
i c»— ab a(a— 6)+2c»+ atf(g^bt
; ~ fV{a-«)* + 4c* ' (a + b) V(a~6)» + 4c^f(a»-
o4er ..at, ..:-.•....(
. I ,c»-a6 q (o— .6) + 2c*+ q V (a— ftp + 4cM i
+ « V (a— 6)»+4c»'.(q+6) V (a— tp+^-M^f-ff^' '
jenachdetn e positiv oder negativ ist. Also' ist besiebangB weise:
... .. , «H^-f 2c»- (q + 6) ^(g -6)» + 4e»,
, 2(c*— cr5) . i , • %
und » . j r- • 'jm-'t; i'i«'.*- . im * *...•• .*•! >]%> '»U*1'0'
•(«-i6)-m»-»ttV(a^o)»+4c» (I
ai —4. 1 _Jü*l_i: ''•(<«-i>-0»-t-»*-*teV(«^ft)'+^* 1
oder • • ;• •' ' *'i»' Alf* . ii'»!i:.»'ri i»ü<«
~± » Vr(orA)«+4<J» ' -(«+6).V(«,-f)?+4c»+£«f-t=6»+2c»)» '
_, . J e»-«* 6(6— a)+2c»-ftV(g— 6)»-f4c» M
l"'
Folglieh ist mit Beziehung der oberen and unteren Zeichen apC
einander:
. ■ 1 I \\u * * - - - - W ' *
!»•.;.• *•" ; •
!•! ..;.<{
«a(a-6)+2e»+«V(o— 6)» +4«*» '
2T"** I a(o— 6) +2<*r*a Vv(a-6)« + 4<* ' ?
woran« man mittelst leichter Rechnung die Gleichung
1 z^83""*' a,so ^"-b x*
erhält;' und ferner ergiebt afcfr mittelst des Obigen eben so leicht
die Gleichung
FolgRdhlist nach dem Öligen/ -wie man ItelcHt ffiödet*. wenn
man fför ~-rt und nn — I ihre Torhergehenden Werthe setzt:
.*
Nach.' den. Obigen ist *fce»i
» <
4W
/ . .
1
.: , y> + *» +^*-H (a +*) Vfr-jgjMg i ^
und folglich, weil, wie man leicht findet: <r»i.M
• 4.
= *<?(<*— ab)
ist, offenbar: t
also nach dem Obigen:
Daher ist .- ,.i,i . '.. . .', • •,;,.»,.'• . .i. i-.i «-.' • '■.«u. *••«• ^..m.t-*/
lg* O/ 1|/J
• < *
oder
. I.\i M «.i:i .'• ■'!" :'.•■:■■■' >.'■■ • ■ ••' I ' \: Im v, et ••«..!.
oder \
^ • ftM-«J )»-**^lR<«*-«rr| )M-A#(Ji+2»)f»i
=— g* rrr-^-^rj ■•
Weit nun in dieeem Falle *»— 1 positiv iet, im habeü (üeOrSeecif
• I.
t
jederzeit.eotg^en^setztj^ YoKte^beq, find .wenn^lso.oHe erste
negativ ist, so ist die zweite positiv.
Also liefert in diesem Falle immer entweder die Gleichung
oder dW\ VMchung\ , ■/, > . , -■.!'•..•
welche Gleichungen natörlicb beide ganz dieselbe Curve aus^
drucken» für C9 X9 Y reelle Werthe, und in dem Falle
(d + e|)2-(n»-I)|(^-rf|)»+^(l+^)*)<0
". ■ • ",j • -. .* • « v ' ••\A • .'
ist also die durch die Gleichung
. . ....... w%:+W+*n+^*^Mf*fa,i ni , . ,- ..ii
tMarakteriftirte1 Cnrve Ebensowohl -'eftifc Hyperbel #1* itt derii Falle*
I
natürlich immer unter der Voraussetzung, dass * l
«
c*— «6>0
ist
«<
Ich bitte nochmals, das Vorstehende meiner oben genannten
Abhandlung als einen Nachtrag beizufügen, oder vielmehr statt
der oben näher bezeichneten Stelle in dieselbe einzuschalten.
Schreiben des Herrn Professor Dr. Koenig am Kneiphöfi-
schen Gymnasiö zu Königsberg }. Pr. an den Herausgeber.
• * - ' j »#.
AI« iWb 'dritten Heftet db* 80steii T belli ^bre* geschätzten
Archivs iniW ich Wit» 366! «inert geomtfrbbheh Satz bewiesen
und am Schluss die Frage: „Wie läset sich dieser Satz einfa-
cher beweisen ? " Wenn hierin vielleicht der Wunsch liegt, einen
Mtotißttm,
einfachem Btofreia. zu erhalten, so erlaube ich Wr, hier eben
solchen mitetftbeilen.
Behält man dieselben Figuren (Taf. HL Fig. 8.) und moltipff-
cirt die Quadrate von AB und AD gleich reep. mit CD and CB,
so entsteht: »
ÄB*CD = A&X&±
.. •' ■ i •>■ . ■*. >. . - .. •
^0« C#:=^C».CJ?+ CD*.CBTlCD.CE.CB\
und die untere fdeiehong. von der öfteren abgesogen giebt:
AB*. CD- AD*.CB=-AC*(CB—CD)+BC.CD(CB-CD)
t= — ÄC*.BD + BC.CD.BD,
.»..
Bemerkung vom Herausgeber.
• »>
Unter den in Nr. XXVII. dieses Theils von Herrn Director
He inen in Düsseldorf veröffentlichten und eingesandten Beweisen
des £eojnetifecji#n ]Lebrsatzes von Ferro a,t rubren die. mit S<
beaeichneten von einem Primaner der dortigen Realschule, A. Sie-
bet, her, welches auf den Wnqsch dea Einsenders, und in Folge
einer schon fruhta brieflich gemachten Bemerkung desselben, hier
nachträglich besondere bemerkt wird.
n fv ii*r .» : .
. • «
» «■
•Vti ••>•"
Berichtigungen.
! »/'."»
M l<
Thl.XXX.S.52.Z.26.v,o. statt „Comptes Rondpa" setze man
„Comptes Rendus."
,„. * ;, , S.lMJE.I&*T8.:r.* werde för „Prisma Jß^'tfUTÄ'1'
. <•: beide Mal gesetzt: >,P»iai»*.4AI'C^CV«
• j ti.
j' *
' I . I 1 1 1 '} M*
i < ' J • . ' » < • •
Uiermn$cktr Bericht CXf/l
4
( ' i • t
Literarischer Bericht
CXVII.
Am löten November 1857 starb au Berlin der frühere Pro-
fessor der Mathematik am •dortigen Königlichen Cadetten - Corp*
und ao der Universität Dr. Johann Philipp Grüson, daa itteate
Mitglied der Königlichen Akademie. der Wissenschaften, im 90*ten
Lebensjahre, seit vielen Jahren pensionirt.
Die Mittheilung eines , Necrologs. von einer kundigen Feder
aar Aufnahme in's Archiv würde uns angenehm sein. Gr.
Geometrie.
.V>- •
Ueber harmonische Punkte. Von Prof. Paul Backet.
(Programm des fe» k. Ob«*- Gymnasiums au Böhmisch-
Leippa aroSchlusaedes Schuljahres 1857.) Prag, Druck
von Haase Söhne. 1857. 8.
Es. ist von uns schon öfter als zweckmässig anerkannt wor-
den, dasa zum Gegenstände von Schul - Programmen solche der
neueren Forschung angehörende Theorieen, die nicht in de« Kjrej*
der gewöhnlichen Elemente gehören, gewählt werden, wie ia dem
vorliegenden Programm die Theorie der harmonischen
Punkte. Dergleichen Abhandlungen, wenn tnr Gegenstand so
einfach und deutlich behandelt wird, wie in der vorliegenden
Schulschrift, können dann sehr wohl dazu dienen, um, fShigern
und vorgerückteren Schülern zum eigenen Studium in die Hände
gegeben, dieselben weiter zu üben und mit der neueren weiteren
Ausbildung der Geometrie und der Wissenschaft überhaupt , be-
kannt zu inachen« In sehr zweckmässiger Kürze» wie, es «Jas
Bedürfnis* de* Schuler fordert, ist in , der vorliegenden. Scbr$
TM.XXX. Hfl. 1. 1
t Ülerfirftctef Stricht CXtfl
die Theorie der harmonischen Punkte recht deutlich in systema-
tischem Zusammenhange behandelt worden , und es finden sich
auch manche hübsche eigene Beweise darin, wie z. B. 17., 23., 24.
u. s. w. Auch ist zweckmässig in 26. die Anwendung der Sätze
von den harmonischen Punkten zu der kurzen Entwiekelung der
Grundformel der Theorie der sphärischen Spiegel gezeigt, und
mehrere geometrische Aufgaben sind zu weiterer Erläuterung an
Scbluss aufgelöst.
v.«
0 p t i k.
Ich habe es im Interesse der Sache für meine Pflicht gebal-
ten, nachstehende mir zugesandte Anzeige ihrem wesentlichen Inhalte
naoVhn Archive abdrucken zu lassen*. Im Bezug anf die angege-
benen Leistungen* insofern dieselben voUsiändtg.erfiiUt werde», sine
dto* Ffceise allerdings niedrig gestellt. Gesebea habe ich jedoch Uf
jetzt ketäs. «titar Instrumente, sodass ich mir. aJso> ein Urtbel
über dieselben nicht erlauben kann* da mir «weh kein aedfttiesifanfr
des Uriheil zur Seite steht. Röcksichtlich der Preise bitte ich die
auch ungemein niedrig gestellten Preise der so vortrefflichen Instru-
mente des Herrn v. Stein heil in Mönchen im Literar. Bericht
Nr XCVII. S. 8. und Nr. CXL S. 7. zu vergleichen. G runert
Empfehlung vollkommen achromatischer optischer Instrumente.
Za den wesentlichsten Hulfsmittetn der Naturwissenschaft gebsrai
-ailstrertlg Ott« i . . . ; . . „ . . ,
- .! •» * - Vemrolnr, Mikvoslcs* «tust *Me JLmpm. ■■ ' i
*Iaei «weiter* ftebanate. Tfcattaehe- ist e», äae».4ieft« Isifenunent« mm
wissenschaftlichen Gebratiobe einen höhen firad . des .Ye|Ucpejsl«*)MP
erreicht haben müssen, wenn sie dienstthaend sein sollen, in welch««
' fäfle dieselben aber auch dann beim Ankauf sehrthenei* zu stehen konuse*
' "* : Mein Zweck ist non, Inetrameste *on rursuglkhe* «nd gspslfNr
*€fito dm die nteglidtMt bittigen Pfeift* allen denen ■■ liefern,, weiset
«stell SaeM» aU' FsciMbftntMr «rit dem Städtern .des Bssnr»»is«n<ieha|r.S»
isehiiStis^nv (shnisi aber «ueh itenes , welche Mom sie. liiebhalw. *#<**'
dsJssenstiMrfiliehe. $*odiee<cn|tiwen,
,;-,'. Die Jsstrus^te,, euerer ^rt sinel JFejflrabFe/ren,?^'' Peflhnjg Si#
$l" ffosinwetye mif verst^Uharem , irdischen Okulare, von 3fl— ^maijge/
SflfQP**f*PHg * -mfa #>. &>9 8° nDI) Winnügsjr astronomischer yergröi-
sernng., E}n, .solches Fprnrqhr f erhält eine niit horizontaler und verti-
kaler Bewegung ..versehene Baumschraube oder auf Verlangen *{■
Stativ mit Sucher.
' .Die Instrumente der «weiten Art' sind kleine Toben, mit hrdltthet
titfd astronomischen Okularen bei 14* Oeflnnng wnSl 9* Bretoirwefl*; 4Ni
1 .5 .1 >. .///.MI
Irdiseb« Obelec PMgiiMiiaHumh die jasfrenomisahcn *, att ««4 #>a*aJ4
da« laetraiaent athdlt glsaehiali« ein« IMoinsehranhe -ade* Ssntir -auf
Verlangen and a« werden diale«teumense eW. «raten a»d »wette» Art 4»
eleganten Kittel*» geordnet dem Kiefer eberliefitrt and «lud beide. Ata
ettvUeata mit geseheter WM«eito^e ead mit Getriebe djer f«inena«>
rttn«t»Unng halber versehen« ...
Ale LekmagsflihfelceU der besagten gi$Meraj^ iMnwmte wIN :£•?
»emtlnV deas bot goastiger Atmosphäre und hohe« Sfende 4«« .Plnutfa*
die Theimeg des S»turn?s-Iling»fl * die TheiUing e&esevet feiner «tappel-
•tetne, wie n. B« MeseHbim Im Widder, 6 Sterne im Tranes de« Orielie»
Nebels etc beobachtet werden köejftee, auch wind bei irdischen Reeoi 1
uchtuegen auf eine Entfernung von 2 deutschen Meile* jede BewegNMmj
eine« Menschen neck erkennt werden- flie klsiaeron Xahe» werden
▼esfcalmissaiässig Aehntiehes leisten und e« wird mit demselben der Hing
dee Saturn«, die Phasen der Vena»» feinste« Detail auf der Mendener»
fläche, die Streifen de« Jsmitev and die ¥ei0nste«utg •fiw ^«aedait«
sowie nicht athtu naheeteheade Deppeleteme beobachtet werian.heatxMi
wenn «die leisteten nicht mftes * Sekunden Desfeim haben.
Wetter He«« feh anfertige* «am heuuenftefe fiawiaebrauche aaf Het-t
aen und Spaalergftflgea sogenannte FHdstecbe*, den «lad kleinere irdi*
«ehe Fernrohre nach neuerer Goactreetloa.
Diese Instramente von Älterer £ibrichtnn(r finden wegen ihre« klei-
nen Sehfelde« wenig Anklang mahn» Iah Kens .dieseibea nun in. 4er Weise
eeef&hren, da«« dieselben., eehnsebadet der Deetiich&eit, «eine jmgemjein
Oeffnung des Objective bei k«r*er Brennweite erhalten , wodurch
Inatrnmeat ein grosse« Gesichtsfeld darbietet« Da« achromatische
Doppeloknlar hat aber 7 pariser Linieu Oeffnung und dabei dach ein«
aa kleine Äerstreuaugsweite* das«. .es eine namhafte Vergrossereag { g e-
stattet, ahne die BHder am Rande des , Gesichtsfeldes an vemiehen.
Die Leistungsfähigkeit eines «a lohen Instrumentes wird dahin gmeantirt :
ab* ende Entfernung *ea .* >deuU*hs*. Meile* werden kleine Femtereff-
uemgent ohne Muhe erkannt und geaahLt*. auch die Bewegungen ejaee
Mensehen auf eine Meile beobachtet. . Die In«trum«mte eignen afch wegen
ihre* Beanemlichltek mit 'kleiner Baumschranha ▼ersehen Jfrff^tlqote,
hhmnhnelniisieto wd Bewende, sowie sie euch booaam^fnr« dir Bahne
in gebrauchen sind, weil sie neben, uhrer Leistungsfähigkeit für die
Ferne nach ^die Kitistler auf den • Brefteru -. in unmittelbare Nähe, des
Beobachtern' bringen. Ihre l*fUago betragt *it*.geso>ge.a 4i und
sfa e » mm en-geec hoben Si". pariser Masses«, , .
Ttte dKntfehtang diteser imtrtitfteo«* ist .nicht etwa btee* ein ondischer
Gewanke«,' dessen fteudmiroMmit ueeh in Frag«) steht, sondern es sind
selche bereit« ausgeführt und ihre Leistungen» etaeabit . ,. . i
'Bhdlidh erbiete ich naieh atich, suaamnvertgtesietateiBaikreeliope
lernten, Apothekern., Nattarsoreahern mid Teebai kern *an liefern und «Mi
werden den Anforderungen der Wissenschaft, eeftseeeeheii 9 dieselben' ge*
wahaen einen ans re^hepdep Weoh«e^¥onVergrds«er.uiujen; von der 40f«f ben
btaiaur ftOOmaligen, im Diameter hinansteigend , diesen fie »ur Betracht
4 tturdrhtMer Beruht CXTHi
tewg trtiisparentdr, wle-eptkeV' Otyeetei ' D^r2OHMt0Mt»%4» ^^^mMi
«in« geriÄnt« Stande beweglich traft da« gftnne Instrument ist •»•faaal
erntend In ein Mahagoni -tiäitehen geordnet, das** «s*dcr tieaitiar.aal
■lfen AoAfl&geu Ohne alle Bel&stigUnfr *mik sieh fä^rev' Kann*, «Frelash
*<on 'prisiimtlscheh Farbenrändern, ^ros»« Klar h^t und foine9eiKMoU«ltf
ohne dass da« Auge des Beobachter« durch jene« eigetfthn*n1iche,< Math1
gebrochene Licht, weiches ein Fehler so mancher Mikroskope isti be-
listigt Wird * «lad die Eigenschaften meiner «imamaiengesetaten Mikroskop*
Pelspielsbalber wird als eine der Leistungen dieser Mikroskope* aaf»
gefohlt, das« es die Lioiamente auf den Flögelschnp^en des Kahle/als«*
lingr erkennen lässt, welche Beobachtung bekanntlich s» den schwieri-
geren* der Mikreskopib gehört. • • ■»
Jeden» Instrumente werden ejne Ansaht Probeobjecte1 beigegeben. •
Meine Toraäglichen Lupen zum Gebrauche und cur voriÄofigen mV
obechtang mikroskopischer Objecto mit' aplanatischer ' Constrnelien >•
Messmgröhrchen gefasst von 24m al ige* bis ethnalrger Vergrösseruag im
Dfameter kann ich A ersten und Apothekern bestens empfehlen.
Refractoren von 4" freier Oeffnung bis 9" werden, paralaktisch auf*
gestellt» um die mögüefaat billigsten Preise für Sternwarten angefertigt
nnd bei Yollkommenster Aehromasje, Klarheit und Deutlichkeit, der, Bil*
der über die ganze Fläche de» Objectfres wird auf einzulaufende ffa-
etalUtng hin die Leistungsfähigkeit garantirt.
Die vorläufigen Preise der vorbenannten Instrumente sind:
1) Tub<$n -241" Oeffnung mit Ter« teil barem irdischen Okulare, SOsiai
40maliger Vergrösserung, dann 40, 60, 80 und 126e*aliger astit»
nomischer Vergrösserung, 40 Thlr. prent«. Cour« oder TO iL nW*
oder 00 fl. Conv.-M. '
2) Tuben von 14'" Oeffnung mit 20maliger irdincher, SO,.«*«»*
80maliger astronomischer Vergrösserung , 28 Tbk. prouss. Ovar,
oder 49 A. rhein. oder 42 fl. Conr.-M. ••
S) Feldstecher, 8Thlr.preuss.Cour. od. 14 fl. rhein. od.12AC.-ol.
4)' HlkrOflkope, wie oben angefahrt, 14 Thlr. preuss.Ceur.se**
' 24 fl. 80 kr. rhein. oder 21 fl. <Jonv.-M. H'
• 6) Ii«l»eik , 2 Thlr. preuss. CourJ oder 3 11. io kr. rhein. oder 8 nVG-*-
4) Reflractoren werden bei Bestellung nach iGMsse derOajeeftf
Fassung und Aufstellung berechnet.
Anmerkung. Die Tuben 1 and 2 werden auch ohne astrono-
mische Okulare abgegeben* Wid danri um 4 Thlr.' biülajer in*
kauft, so dass der grossere Tonnt* dann nur 36 Thlr. oder e*&
rhein« oder 54 fl. Conv.-M.> der kleiner« Tnbns 24 Thlr. oder 42 fl.
rhein, oder 86 fl. Conv.-Mt kosten wird. ' Briefe ond «einer nw>
den f ranco erbeten einzusenden^
• Don Instrumenten snb 1., 2* und 8v ist eine Baumsvhrailbe beige-
geben» Stative werden «igonds berechnet and ja nach der. BesteUneg
möglichst billig angefertigt.
Die Objectire, ans Crown- und' Flintglas bestehend, her *******
Kugelgestaltfehler Aber das ganze ObjectW strenge vermieden feti
Ute+atittkvr Serttht CKVif. 5
dytHruUfcoauwfc » «daWafrAtfohj • »nift ^e tfmt tc t auf Wag and ^tolahr
de» 'Boateller abg«liefer& —i Die Betahlnag erfolgt erat aeefci eaä|
gevmri IoataMiente «ad etpaftbter liefe tangtfiliigkeit,. welche dafür
raatfr* ,iit<: gti dietem Behufs senden.' alle .Instrumente tob! a>K,Y*i
4*10» ; i^FPM , einer - eigenen CuVnmisMon . von Sachkennern gepruf t ,, . de»
Gutachteq den? Empfänger mit eingeiendet und .des .laatrnjnaaf aariM?-*
genommen (für den fall es nicht beschädigt ist)» wenn, <lie ye^p^d^ena
LeUtungsfahiglceit nicht erreicht sein sollte.
Der Preis' der Instrumente ist absichtlich niedrig im Verhältnisse an
den Preisen optischer Instrumente anderer optischen Werkstätten gehal-
ten, um den Ankauf 'flffr ohen bezeichnete Zwecke zu ermöglichen.
fieiteDangev nimmt entgegen - ^
August Lamprecht,
Kgl, bay er. Hof apo theker in Bamberg. .
• »i I «\
Vermischte (Schriften. '
.!. . >; . • . •• »
Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie ddr
Wissenschaften ru Wien. (Siebe Literarischer Btfr.'
Nr. CXV1. S. IS.)
Jahrgang 1857. Band XXVIII. Heft 2. §chrüttert: Ja*,
die krystalliuische' Textur des Eisens von Einfluss auf sein Ver-
mögen , magnetisch zu werden. S. 472. — Pohl: Ueber ein
neues Sonnen - Okular. S. 4Ö2. ' ' "
»<
Jahrgang 1857. «and XXIV. Heft J; Aus einem Schrei-
hefedes Gfafe»:F. j&chaffgotscjb an Herrn Dr. Natterer, Afceti
ejpe «köstliche Beobachtung bei der chemischen Harmonik»; §.3«;
-r Ettingshausen, A, v. i Bericht über, das Arithmometec ,de*,
Heren Thojnas (in* die taietpn&en de,*\ Herrn Thema*. **hfiM*,
erkennender Weise),.. S. .1$. — Schrütter : . Ueterdje Un» sehen
dös Toas.bei der chemischen Harmonika. (4uf & 4« fräset Her*
Schrotter nach, dass er die von dem Grafen Schaffgotsch
jetzt veröffentlichten Beobachtungen über die chemische Harmo-
nika schon im Jahre 1843 -gemacht und das - Allgemeinste darüber
in dem amtlichen Berichte übet die 21. Versammlung deutscher
Ifetarforscher veräf entlieht habe. Die in dem vorliegenden Auf*
«atze von Herrn SchrStter gegebene Erklärung flieser Ersehet»'
■rangen ist sehr lehrreich and verdient aHe Beachttfngi) S. 18. ->-:
Zantedeschi: Rfcerche nur caldrfea räggiante. 8. 43. '-— Petz-
val: Bericht ober optische Untersuchungen. (Dieser Bericht , nebst
•einen ^£wei Fortsetzungen in diesem und dem folgenden Hefte,
QkmjLt amt gtasset Ausdauer von Herrn. Professor P«tzral
r
rj Uter/irtaclier Bericht CXW,
fortgesetzten optischen Untersuchungen Riebt ein sehr klares ilUit
des Ganges und der Tendenz derselben int Allgemeinen, und Wei-
set mehrere durch dieselben schon jetzt gewonnene sowohl wis-
senschaftlich als praktisch sehr nichtige Resultate auf. Insbe-
sondere hat Herr Professor Petzval aneb der gesamm len
Beleuchtung» -Theorie grosse Aufmerksamkeit gewidmet, ist dabei
zu verschiedenen sehr merk würdigen Resultaten gelangt, und hat
eine eigene Beleuchtung*- Wissenschaft geschaffen, die, was
wenigstens den mathematischen Theil betrifft, als abgeschlossen
betrachtet werden darf. Sowohl in praktischer, ;ils auch in theo-
retischer Rücksicht ist sehr zu wünschen, dass Herr Professor
Petzval die mühsam und mit grossem Scharfsinne gewonnenen
Resultate seiner Forschungen auf dem ganzen Gebiete der Optik
in dem grossen Werke , mit dessen Ausarbeitung er, wie wir
wissen , schon seit vielen Jahren beschäftigt ist, dem wissen-
schaftlichen und technischen, Publikum recht bald vor Augen lege
und zu dessen Gemeingut mache.) S, 50. — Ritter v. Perger:
Ueber die Vervielfältigung von Lichtbildern (Photographien) durch
Aetzungeu und Galvanoplastik. S. 76. — Zenger: (Jeber eine
neue Bestimmungsraethode des Ozon -Sauerstoffes. 8.78. — Petz-
val: Fortsetzung des Berichts über optische Untersuchungen.
S. 92. — Hornstein: lieber die Bahn der Calliope und ihre
Opposition im Jahre 18511. S. 106.
Jahrgang 1857. Band XXIV. Heft 2. Petzval: Fort-
setzung des Berichts über optische Untersuchungen. Dritte Fort-
setzung. S. 129. — Alle: Ueber die Bahn der Lälitia. S. 159,
— Lüwy: Ueber die Bahn der Leda. S. 173. (Fleisslge Ar-
beitender Wiener Sternwarte, wie die obige des Herrn Hornstein
über die Calliope.) — Aus einem Schreiben des Herrn Prof. Beer
in Bonn an das wirkliche Mitglied, Herrn Sectionsrath Haidinger
(betreffend einen vom Herrn Prof. Beer gefundenen bemerken!
werthen Satz der Mechanik, zugleich in Bezug auf die, die E
coTven umhüllenden Flächen des zweiten Grades). S. 314.
rker*
Lin-
igeoer
Die Atti doli" Accademia Pontificia de' Nuovi
eei sind durch deu in ihnen enthaltenen reichen Schatz gediegi
Arbeiten gegenwärtig so wichtig für die Wissenschaft, das« ich
mir es, durch besonders günstige Umstände in sehr liberaler, Ten
mir mit dem grüssten Danke anerkannter Weise dazu in den Stand
gesetzt, angelegen sein lassen werde, den Inhalt der einzelni
Theile möglichst bald nach ihrem Erscheinen in dem Archi
mitzutheilen.
Die ihren Sitz in Rom habende Accademia de' Uiicei
Uieranuker BtricM GflW.
gestiftet von Federico Cesi im Jahre 1603, ist «ine der älte-
sten u ml b er (ihm testen Akademieen in Italien, und hat zwar im
Laufe der Jahre mannigfaltige Umgestaltungen erfahren , bei altem
Wechsel der Schicksale aber immer ihren alten Ruhm bewahrt.
Den Namen Accademia de' Nuovi Lincei hat sie im Jahre
1740 bei ihrer zweiten Umgestaltung erhallen. Ihre neueste, sehr
vervollkommnete, ganz dem gegenwartigen Zustande der Wissen-
schaften entsprechende Gestalt verdankt sie aber seit dem Jahre
1847 durchaus Seiner Heiligkeit dem jetzt regierenden Pabste
Pio IX., der bekanntlich nicht nur ein grosser Kentier, sondern
auch der grüsste Beschützer und Beförderer der Wissenschaften
in seinen Staaten ist. Der erste, die Jahre 1847—48 enthaltend«
Tlieil ihrer „Atti" ist zu Rom im Jahre 1851 erschienen, und
enthält, ausser anderen werthvollen wissenschaftlichen Arbeiten,
eine sehr interessante und in allgemeiner literar- historischer Hin-
sicht sehr wichtige Geschichte der Akademie seit ihrer Gründung
bis zu ihrer neuen Organisation im Jahre 1847.
gro;
Sie zählt unter ihren jetzigen ordentlichen Mitgliedern eine
ise Anzahl berühmter Namen: Abate Ottaviano Astolfi,
essore di materuatica nel collegio di Propaganda Fide; den
durch seine grossartigen Arbeilen auf dem Felde der Geschichte
der Mathematik so berühmten D. Baldassarre Bnncompagni,
dei principi dl Piombino; D. Ignazio Ualandrellt, profes-
sore di ottica e di astronomia nell' universitä di Roma, zugleich Dtrec-
tor des pontificio nuovo osservatorio ilell universitä romana, ed
annesso all' accademia, dessen durch Zeichnungen erläuterte Be-
schreibung sieb in den Atti. Anno VI. p. 267. tindet; San Ber-
lolo Nicola Cavalieri, professore emerito di architettura statica
e idraulica nell' universitä di Roma; P. Domenico Chelini delle
Seuole Pie, professore di meccanica e idraulica nell' universitä di
Bologna, durch viele werthvolle Abhandlungen in Zeitschriften be-
kannt; D. Tommaso Mazzani, professore di meccanica e idrau-
lica nell" universitä di Roma; Giuliano Pieri, professore
d'introduzione al calcnlo sublime nell' universitä di Roma; D. 8*1-
vatore Proja, nominato a professore luturo di elementi di mate-
matica nell' universitä di Roma; P. Angelo Secchi, della com,-
pagnia di Gesü, direttore dell' osservaiorio astronomico del collegio
romano, den Lesern der „astronomischen Nachrichten"
durch viele verdienstliche Arbeiten wohl bekannt; die Beschrei-
bung des osservatorio del collegio romano ist, durch Zeichnungen
erläutert, in den Atti. Anno Vit. p. I. gegeben; Carlo Sereni,
Erofessore di geometrla descrittiva e idrnmetria nell' universitä di
!»na; D. Barnaba Tortolini, professore dl calcolo sublime
nell' universitä di Roma, berühmt durch die grosse Anzahl seiner
trefflieben analytischen Arbeiten und die Herausgabe der „Annali
di seienze matematiche e ßsiche; Dott. cav. Paolo VolpicelM,
Erofessore di fisica sperimentale nell' universitä di Roma, Sekre-
ür der Akademie, berühmt nicht bloss durch seine wichtigen
physikalischen Arbeiten, sondern auch durch seine Untersuchun-
gen auf dem Gebiete der Zahlenlehre.
8
Uteraritcher Bericht CXV11.
Der neueste zehnte Band der Atti dell' Accademi
Pontificia de'Nuovi Lincei. Torao X. Anno X. (1856—57.)
Roma. 1856. 4. enthalt die> folgenden, dem Kreise des Archin
angehörenden Abhandinngen.:
Prof. R. P. A. Secchi: Ricerche sulla luce elettrica. p. 9.
Cnnini. Alessandro Cialdi: Appendice alla memoria inti-
tolato: Cennisulraotoondosodel niare, esulle correnti di ess». p.12.
Prof.D. IgnazioCalandrclli: Sulla rifrazione solare. p.2ö.
Prof. Paolo Volpicelli: Sugii spezzameoti diverei che pud
subirc un dato numern, luiti ad una stessa legge di partizione
Buhordinati. p. 43—1*22.
Prof. N. Cavalieri: Alcune ricerche intorno alle serie aritme-
tiche. p. 78.
Prof. R. P. Arm Ho Secchi: Alcune ricerche di astronomia si-
derale, relative specialmente alla distribuzione delle stelle nello
spazio. p. 100-265—337.
Prof. R. P. Angeld Secebi: Intorno ad un nuovo baro.
raetrografo. p. 137.
Prof. D. Ignazio Calandrelli: Osscrvazioni astronomiche,
fatte nel nuovo pontificio osservatorio della romana universitä. p. 146.
Prof. Paolo Volpicelli: Sulla legge di Mariotte, e sopra
un congegno intovo, per facilmente rfimostrarla, neue sperimentali
pubbliche lezioni. p. 181—393—430.
De La Rive: De l'influence du
l'action du magnetisme sur les corps
Prof. J. Calandrelli: Sopra i r
p. 20Ö-213.
Dr. R. Fabri : Sülle curve ciclc
F. Woepcke: Recherches
nard de Pise. p. 236.
Prof. P. Maggiorani: Sulla endosmost dell' albumina.
Prof. Paolo Volpicelli: Quarta communieazione sulla elet-
trostatica induzione. p. 280.
Dr. R. F
contro la isuoi
p.331.
Prof. R. P. Angelo Secchi: Sülle variazioni o perlurba-
zioni straordinarie dell 'ago magnet'rco. p. 373.
Prof. Carlo Dr. Maggionari: Nuove osservaziont micro-
scopiche sull'azione che la elleltricitä esercita sull allbumina. p. 376.
D. Ruggiero Fabri: Sulla curvatura delle linee cicloi-
louvement mecanique dana
in maguetiquee. p. 003.
vimenti propri delle stelle.
plusieurs ouvrages de Li
eo-
dali.
. :}*:.
Prof. R. P. Angelo Secchi: Osservazioni astronomiche
diverse, p. 414.
Man sieht hieraus, wie reich an einer grossen Anzahl wich-
tiger und interessanter Arbeiten der vorliegende neueste Band,
eben so wie seine Vorgänger, ist.
LUer arischer Bericht C XVI 11
Literarischer Berieht
cxvra.
Arithmetik.
Mathematische Mittheilungeo von Dr. J. L. Raahe,
Professor (zu Zürich). Erstes Heft Zürich. Meyer
& Zeller. 1857. 8.
* i
*
Der Inhalt dieser Mittheilungen ist folgend et*: f. Deutung
bestimmter einfacher Integrale mit complexen Inte-
grationsgrenzen. — II. Zur algebraischen Analysis.
{Eigentümliche Beweise der gewöhnlichen analytischen Reihen,
gegen die wir freilich verschiedene Einwendungen zu machen
haben würden, wenn dies hier ohne grossere Ausführlichkeit in
zweckmässiger und wissenschaftlich erschöpfender Weise geschehen
konnte.) — III. Neue Anwendungen der Jakob BernouU
li'schen Zahlen, wie der nach demselben Autor be-
nannten Function. A. Ueber die Form der linearen Differen-
tialgleichung zweier Variabein nter Ordnung, bei der eine partikuläre
Integral - Auflösung zugleich den Integrirenden Factor derselben,
der lediglich Function der absoluten Variabein ist, vorstellt.
B. Ueber die Darstellung des Ergänzungsgliedes, bei der nähe-
rungsweisen Berechnung eines bestimmten Integrals nach der
Methode der Quadraturen. — IV. Werthung des bestimmten In-
/x
a^-1ehxecxidx. — V. Zur cubischen Gleichung.—
0
Dass den Lesern hier meistens Interessantes und Lehrreiche*
geboten wird, wenn man auch mit dem Herrn Verfasser nicht
überall einerlei Meinung sein kann, dafür leistet dessen Naino
hinreichend Bürgschaft.
Tbl. XXX. Hft.2%
Utrrarise-Aer Befiehl CXVII1.
Geometrie und Trigonometrie.
Lehrbuch der elementarer
Oberlehrer am Gym
SchGningh. 1857. 8«
Trigonometrie und el
Planimetrie von D
iiiasium zu Paderbo
■. B. Fea
jmetitare Stereometrie
Paderborn. Schöningh. 1857. 8".
Begreiflicher Weise sind wir bei der Fluth mathematischer
Elementar- Lehrbücher, mit welcher namentlich seit einiger Zeit
der Büchermarkt überschwemm t wird, ganz ausser Stande, diese
Bücher alle im Archiv anzuzeigen oder gar dieselben genauer zu
charaklerisiren. Sowohl durch Deutlichkeit, Zweckmässigkeit und
angemessene Strenge der Darstellung, selbst, wie es uns scheint,
durch manche eigene Bemerkungen, zeichnen sich aber die obi-
gen Biichelchen nach unserer Meinung vnrtheilhaft aus, und wei-
sen wir daher auf dieselben hin, wie wir dies von jetzt an in
ähnlichen Fällen üfter thun werden, aber freilich immer nur ganx
im Allgemeinen, da zu ausführlichem Bemerkungen hei solchen
Buchern uns ganz der Raum fehlt. Mögen pädagogische Zeit-
schriften sich deren ausführlicherer Besprechung unterziehe!
■. T. A. Hirst.
Magazine for
Mechanik.
On equally attracting bodies. By B
WIth a Plate. (From the Philosophical
May 1857.) London 1857. 8.
Diese in vieler Rücksicht interessante Abhandlung, auf die
wir die Aufmerksamkeit unserer Leser zu lenken für unsere Pili et
hallen, soll aus den drei folgenden Theilen bestehen:
1. Equally attracting curves;
II Equally attracting surfaces;
III. Equally attracting solidg.
Di* erste Abtheilung über, einen Punkt auf gleiche Weise i_
ziehende t'urven liegt uns jetzt vor. Das Problem, mit dessen
Liisung der Herr Verfasser sich beschäftigt, ist folgendes:
Man soll alle die Curven finden, deren Elemente
einen gegebenen Punkt, den Pol, auf dieselbe Art an-
ziehen wie die cor respondirenden Elemente einer ge-
gebenen Curve.
Uternriscker Bericht CXVJJL . & |
Polare Coordinaten w$rdep zu Grunde gelegt« Der angezo-
gene Punkt wird als Pol angenommen. Alle auf demselben Radius
vector liegende Punkte der beiden Curven werden correspön-
dirende Punkte genannt. Die zwischen denselben zwei Vec-
toreh liegenden Bogen der beiden Curven beissen correspondjr
rende Bogen oder Elemente; correspondirende Elemente^
unbestimmt verlängert gedacht , heissen correspondirendeTan-
genten.
Die Gleichung der gegebenen Curve sei
dann ist die Anziehung eines Elements derselben auf ; den Pol
proportional der Grösse
wenn der Kürze wegen
-.1 .
1 , Bu Jt 8r
1-1
gesetzt wird. Bezeichnen wir das von dem Pol auf die Tangente
gefällte Perpendikel durch p, so ist bekanntlich
p:r = rdd:ds,
also
SS _ ds
p ra
und folglich nach dem Obigen:
-SV-+(S)T- ••**"»■
de
p
Ist nun
die Gleichung einer anderen Curve, so ist — die Anziehung des
correspondirenden Elements, und man kann, nun leicht schlössen»
dass die correspondirenden Elemente zweier,, ..gder
mehrerer Curven, und also auch die. Curven selbst, den,
Pol auf gleiche Weise anziehen, wenn ihre correspon-;
direnden Tangenten gleich weit vom Pole entfernt sind.
Nach dem Obigen ist also die Bedingungsgleichung, dass diei
correspondirenden Elemente der beiden Curven ,1;.
■trhcAer Bericht CXVIil.
r = /tfl), i^=/i(fi)
den Pol auf gleiche Weise anziehen, die Differentialgleichung
«■ + «'■ = uf + u,'*
welche für alle Werthe von H erfüllt sein niuss. Diese Gleichuni
kann man auf folgende Art ausdrücken :
"' + «i' "' — Mt'— _]
tf + K, ' M-Il,
oder, wenn wir
seU?u, auf folgende Art:
Diene Gleichung ist a
6 bezeichnet, erfüllt.
i F(6) eine beliebig« Function i
ist. Integrireu wir diese Gleii
liehe Co instanten c und Cj ein,
tli Addition u
ic Illingen zi
ise anziehe
hungen und fuhreu zwei v
so erhalten wir:
_ r ■»
nd Subtraction die beiden folgenden
geben, welche den Pol auf gleiche
reu
■ J em,
Der Kaum gestattet nns leider hier nicht, dem Herrn Verfasser
in seinen interessanten Betrachtungen, namentlich der Anwendung
dieser allgemeinen Gleichungen auf specielle Fälle, weiter zu folgen;
die obigen Mittheilungen werden aber schon hinreichen, unsere Leser
auf den interessanten Inhalt der vorliegenden Abhandlung auf-
merksam zu machen und ihnen dieselbe zu sorgfältigster Beach-
tung recht sehr zu empfehlen.
Wir wünschen sehr, dass der geehrte Herr Verfasser recht
Imlri die, Flächen und Körper in ähnlicher Weise behandelnden
Fortsetzungen der hier besprochenen v er dienstlichen Abhandlung
Literarischer Bericht (Witt
t «offen t lieben möge; ans hat er durch dieselbe eine sakr inier
essante Leetüre gewährt *).
..
Vermischte Schriften.
Mathematisches von Jobati
Jahresberichte der st. st. Ober
für das Studienjahr 1897 besnnd.
Rogner. (Aus dem
Realschule in Grats
rs abgedruckt)
Die in dieser Schrift mitgeth eilten Untersuchungen baben, wie
es bei solchen Schulschril'ten ganz recht ist, neben ihrem wissen-
schaftlichen Wertbe an sich, hauptsächlich auch das Bedürfniss
der Schüler im Auge und gehen nicht, oder wenigstens nicht
viel, über deren Gesichtskreis hinaus, indem sie vorzugsweise
den Zweck haben, dieselben in einzelnen Partieen der E lernen tar-
Mathematik etwas weiter zu fuhren, als es in den eigentlichen
Lehrstunden müglich ist, oder ihnen Gelegenheit zu eigenen
Üebungen zu geben, was Alles natürJich nicht bloss dem mathe-
matischen Unterrichte auf der besondern Lehranstalt, durch
welche die Schrift in's Leben gerufen ist, sondern überhaupt dem
mathematischen Unterrichte auf allen auf gleicher Stufe stehen-
den Unterrichtsanstalten förderlich ist, und den letzteren zu Gut*
kommt, weshalb wir auch diese Schrift zu allgemeinerer Beach-
tung gern empfehlen und ihren Inhalt im Folgenden etwas genauer
augeben werden, woraus zugleich erhellen wird, dass dieselbe
auch an sich nicht ohne wissenschaftlichen Werth ist.
A. Üebungen in der Analysis für Schaler am
Schlüsse des Studienjahres.
Diese Üebungen betreffen die folgende
Aufgabe.
Ein Kapital K liege zu P Procenten ;
! gross wird das-
*elbe nach n Jahren geworden sein, we
a) nach dieser Zeit die einfachen Zinsen hinzugeschlagen werden;
b) wenn nach jedem Jahre die Zinsen zum Kapitale geschla-
gen und mit diesem verzinst werden;
c) wenn nach jedem kleinen Zeiträume von - Jahren, wobei
e>l ist, die Interessen zum Kapitale geschlagen werden;
if dk Knhrik Geomntrie
mreiigawiHBB Reimte triurh.
*) m<we Schritt tun
fpkiurlit worden k< innen
ilii"! ihr Inhalt is
6 Uteraritther Bericht CXVIII.
ii) wann nach jedem Augenblicke die Interessen »um Kapiti
gelegt werden, und sonach die Kapital isation mit Zinses-
zinsen jeden Augenblick vor sich geht?
Wissenschaft lieh ist der leinte Theil dieser Aufgabe natürlich
von dem meisten Interesse. In lehrreicher Weise hat der Herr
Verfasser diese Partie der Aufgabe auf doppelte Art mittelst der
B in omial reihe und der Reihe für ex, die wohl auch auf Schulen
theilweise als bekannt vorausgesetzt werden können, und mittelst
der Differential- und Integralrechnung behandelt, wobei er in bei-
den Fällen 21t demselben Resultate gelangt.
B. Beweise zu vier von Dr. fcilienthal, Director
iiums zu Böisel, bekannt gemachten
ls rechtwinklige Dreieck.
des Pro
Sätzen
Der Herr Verfasser liefert hier eine recht verdienstliche neue
Behandlung der vier Sätze von dem rechtwinkligen Dreieck, die
Herr Director Lilienthal in Rüssel schon in dem Archiv.
Tbl. XXI. S. 99. einer ausführlichen Untersuchung unterworfen
hat, nachdem er dieselben bereits unter den im Programm des
Gymnasiums zu Braunsherg von IS ir> gelieferten vier und fünf-
zig Aurgaben unter Nr. 16, 17, 47, 48 inifgetheilt hatte. Dieselben
sind besonders bemerken«« erth , weil sie auf Gleichungen des
dritten und vierten Grades fuhren und daher eine begönnere Be-
handlung erfordern. Wir machen auf die in dem vorliegenden
Programm gegebene Untersuchung des Herrn Prof. Rogner be-
sonders aufmerksam.
C. Historische Skizze vom Kreise als Curve von
der Eigenschaft, dass der Quotient der Entfern n nge n
eines jeden ihrer Punkte von zwei gegebenen Punk-
ten eine constante gegebene Grüsse sei.
Dieser Abschnitt des verdienstlichen Programms ist uns wegen
der darin enthaltenen, mit grosser Sorgfall und Umsicht und gros-
ser Vollständigkeit gesammelten historischen Notizen über den
fraglichen Gegenstand sowohl überhaupt, als auch namentlich des-
halb sehr interessant gewesen, weil wir selbst diesem Gegenstande
gelegentlich im Archiv. Thl. XXV. S. 231. unsere Aufmerksam-
keit gewidmet haben, was auch der geehrte Herr Verfasser kei-
neswegs zu benierken und besonders zu beachten unterlassen hat.
Wir, und gewiss viele Leser des Archivs mit uns, halten uns
daher dem Herrn Verfasser für seine in der vorliegenden Schrift
gegebenen sorgfältigen hist'irisehen Untersuchungen zu ganz be-
sonderem Danke verpflichtet, und haben daraus wiederholt gesehen,
wie oft auch in der Mathematik der Ausspruch sich bewahrt:
„dass nichts Neues unter der Sonne sei." Da jedoch in
der Mathematik so viel auf die B ehand long eines Gegenstandes
selbst ankommt, weil man zu demselben Resultate oft auf vielen
sehr verschiedenen Wegen gelangen kann, so trägt in dieser Be-
ziehung eine mathematische Untersuchung doch oft ein besonderes
Verdienst in sich, wenn auch das gewonnene Resultat an s
Wer arischer Berieht CXV/If. 7
nicht neu sein sollte, was ja auch der Herr Verfasser gern anzu-
erkennen bereit sein wird.
Wir hoffen, dass diese Bemerkungen hinreichen werden, auf
das vorliegende Programm aufmerksam zu machen, das sich sonst
leicht der verdienten Beachtung entziehen könnte.
Annali di scienze matematiche e ffsiche, compilati
da Barnaba Tortolini. (S. Literar. Ber. Nr. CXVI. S. 14.)
Maggio 1857. Sulla teorica delle coordinate curvilinee e sni
luogo de' centri di curvatura d'una superficie qualunque. Memo-
ria del prof. Delfino Codazzi. (Cont. e fine. p. 161.) — Intorno
ad una Vioea situata in una superficie sviluppabile. Nota del prof.
Delfino Codazzi. p. 165. — Sur l'induction electrostatique.
Note par M. A. De la Rive. p. 168. — Forraule generali sul
maooraetro ad . ariä compresso, e per lo stereometro. Nota del
P. Volpicelli. p. 169. (Sehr beachtenswerth.) — Applicazione
della teorica de determinanti. Nota di R. Rubini. p. 179. —
Sur un theoreme d'Abel. Note par M. A. Cayley. p. 201. —
Ricerche riguardanti la risoluzione per serie di qualunque equa-
sione. Lettera del prof. Emmanuele Fergola. p. 104.
Giugno 1857. Sulla trasformazione delle funzioni ellittiche.
Memoria del dott. Feiice Ca so rat i. p. 209.
Lug Ho 1857. Sulla trasformazione delle funzioni ellittiche.
Memoria del dott. Feiice Casorati. p. 257. — Leonardo Pisano
matematico del secolo XIII. Articolo del sig. Anselo Genocchi.
p. 261. — Riduzione d'un integrale multiplo. Nota del sig. An-
gelo Genocchi. p. 284.
ROMA 2. DIGEIBRE 1857
ANNUNZIO SCIENTIFIC PER L'ANNO 1858
AMALI DI MATEMATIOA PUKA
ED APPLICATA
PÜBBLICATI DA B. TORTOLINI
E COMPILATI DA
EL BETTI a pisa A. GENOCCHI a tfoaiNO
F. BRIOSCHI a payia B. TORTOLINI a roma
(In coutinuazione agli Annali <U Scienze Matematiche e Fisiche.)
II rapide e continuo incremen to delle Scienze Matematiche,
in queeti ultirai tempi, e dovuto principalmente alla facilita coo.
cui le molte e varie ricerche appena intraprese, le nuove verita
Uttrartockcr Bericht CXYIU.
iijipeua scoperte possono subito estendersi e tecondaisi du ni<
geometri contemporaneamente in varie parti d'Europa. Quiiuli per
lutte le nazioni, che vogliouo cooperare a questn prugresso, la
necesMtä ili periodiei che diflondauo con prestezza e regolarilä i
nuovi trovati dei loro dotti , e che agevollno il modo di seguire
il generale avanzamento della Scienza. In Italia gli Jimali di
Scieine Matemativke e Ftiiche, fondati fino dal 1860 da uno di
noi, intendevano soitanto al primo di questi due üni, ne esisteva
linora alcun periodico che st proponesse il aecondo. Noi abhiamo
perc'm credutu di potere far cosa utile agli studj mateniatici nel
nostro paese, associaudoci per trasformare i suddetti Annali in
im giornale che avesse questn doppio inteiidmietifo.
II nuovo (äiornale sarä distinto in due parti. Nella prima di
esse troverannu luogo gli scritti original! contenenti nuove verita
acqui&tate alla scienza, o dimostrazinni nuove di importanti verita
conuüc'mte. Nella seconda parte si daranno estratti, piu o nieno
fitsti'si, de meniorie pubblicate nei giornali matematici «träniert e
negli Atti delle Academie, cnrredandoli di tutte quelle notizie
bibliogratiche e di quelle indicazioni delle Conti original!, che poa-
sauo dare agli estratli medesimi l'efficacia di un mezzo di istrit-
zione; ed a raggiungere questo scopo ei daranno anche alcune
monogratie di quei nuovi rarni della scienza, a conoscere i quali
richiedem, per difetto di trattati speciali, In studio di niolle me-
morie sparse in varie pubblicazioni. Queste monogratie perö po-
tranuo essere iiiserite nella prima parte, allorquando conterranno
cose nun ancora note sin sostanzialmente, sia riguardu al metodu.
Da ultimo nella seconda parte si reoderä conto dei libri recente-
mente pubblicati, delle questione matematiche proposte dalle So-
cietä scientifiche per concorso a premii, ed in generale di tutto
quantn concerne i progressi delle siiLgole discipline niatematiihe.
1 compilatori sentnno tutla la gravi tä, ilell' impresa alla qnale
sl acclngnno, e dei doveri che assumono; ina non polranno ren-
derla veramente utile alla Scienza, e decorosa per I'Italia, senza
la cnoperazione dei geometri e »pecialuiente dei loro conria/ionaH,
ai quali e a tutti i cultori delle matematiche raccomandaao il nuovo
Giornale. Essi cnnfidano (ed altrimenti non avrebbern Intrapresa
questa pubblicazione) che i geometri Italiani si intpegneranno perche
un giornale che ai pvopnne di rappresentare lo stato della scienza
tra noi, pnssa ricbianiaie l'attenzione continua dei dotti degli alf"'
Kiesi; e far cessare il lamento che i nostri lavori non i
ori d'ftalia.
E. BETTI. A. GENOCCHS,
F. BRIOSCHL B. T0RTOLINI,
la scienza
degli altri
t t.irf. 19.
Der Preii
i für Dc.it«.
ti!
and im
■23 Fr.,
für ga
m Uenterreich Jt. Lire 10.
Die obigen Ann:
vom Jahra 185H an i
A. Genncchi in Qi
aetziing der Annali
teil . welche bisher v
il
lif
di
i di Mai ni
Herren li l.n
I-Formtil heran
Herrn Torlol
ca pni
»Beben
ini alle
■a eil app 1 Icata,. «eiche
E. Belli, F.Brluschi,
»erden, sind als eioe Fnrt-
he e fi«iche I» helrach-
:in so trefflich redi-rirt und
in Octav herausgegeben wurden. Wie viele treffliche Betträffi
thAiialik und Physik diene» letztere Journal, durch deasen Hernosgabe
Herr Tarlottal airh ein so grosses Verdien«! um die Wtoen.chaft
erworben hat, tnthält, ist bekannt.
:•■ f
jyiatlieraatlsche
und physikalische Bibliographie,
XTIII.
CteicMrihto der Mathenurtfk «nd Ftayaflc.
Tb. Du Mo nc ei, Notice hi/storU}** et tbdorique sur |e tonnen*
et tat eclairs. In - 8°. Paris.
' H. Slomann, Leibnitzens Anspruch auf die Erfindung (Utr
Differenzialrechnung. Leipzig 4°. I Thlr.
Systeme, I«elur~ *»4 Wörterbücher-
. Leitfaden der Planimetrie und Elementar* Arithmetik. % Aufl.
SP,, geb. Leipzig «od Görlitz, 9 Ngr,
J. J.JEgli, Leitfaden der Arithmetik für Mittelschulen, 8°.
geh. Zärich. 9 Ngr.
F. Hoff mann, Sammlung der wichtigsten Sätze aus der Arith-
metik und Algebra. Zum Gebrauch an höheren Lehranstalten.
gr.8°. geh. Bayreuth. 4Wgr.
W. PJerling, Lehrbuch der allgemeineo Arithmetik, nebst
Beispielen und Aufgaben, gr. 8°. Dorpat. geb. 1% Thlr.
W. Nerling, Sammlung von Beispielen u. Aufgaben aus der
Buchstabenrechnung und Algebra, gr. 8°. geh. Dorpat.' % Thlc
— Die Auflösungen dazu gr. 8°. geh. ebenaas. % Thlr.
A. Paulsen, Lehrbuch der reinen Arithmetik gr. 8°. geh,
Dorpat %Tblr.
F. X. Po Hak, Sammlung algebraischer Aufgaben. Der Samm-
lung, arithmetischer und algebraischer Aufgaben 2. Abtheilung.
o> Aufl. fp. 8. geb. Augsburg. % Thlr.
C. Rauch, Elementare Arithmetik für Berg-, Gewerbe- und
FwtbiJihingsscbijlen. 2. Aufl. gr. 8". geb. Mahlheim. 1 Thlr.
A» P» Hey er, Beiträge zum Studium der Arithmetik und Al-
gebra Jför Guter -Gymnasial- und Realschulen, gr. 8°. geh.
Triest. 1 Thlr.
B. Riemanu, Theorie der Abelschen Functionen, gr/ 4*
geh. Berlin. */, Thlr.
S, Stampfer. Lognrithniisdi trigonometrische Tafeln neb.it
▼erschienenen anHeren nützlichen Tafeln etc. 6. Aufl. er. 8°.
geh. Wien. % Tblr.
Geometrie.
W. Berkhan, Die Anwendung der Algebra auf Geometrie.
Eine Anleitung zum Auflösen geometrischer Aulgaben vermittelst
Her algebraischen Analysis. gr. 8°. geh. Halle" 24 Ngr.
W. Blum her ger.'Grunrläiige einiger Theorien aus Her neueren
Geometrie in ihrer engeren Beziehung auf Hie ebene Geometrie
gr. 8". geh. Halle. 1 Thlr. 21} Ngr.
VV. & F. Fischer. Lehrbuch Her Planimetrie mit Rücksiel
auf Wiickels Sammlung geometrischer Aufgaben. 8". geh,
berg. 21 Ngr.
J. C. Lückeuhof, Anfangsgründe Her Geometrie 2. Thl.
Stereometrie, sphärische Trigonometrie unJ Kegelschnitte. 2. Aufl.
8". geh. Münster. Vl\ Ngr.
lt. Witzsc bei, Grundlinien Her neueren Geometrie mit besond.
Berücksicht. der metr. Verhältnisse an Systemen von Punkten in
einer Graden und einer Ebene, gr. 8°. geh. Leipzig. 2 Thlr.
Zor^r, Grundriss der ebenen Geometrie. I. Abth. Lex.™
geh. Ellwangen und Tübingen. Ö Ngr.
mechanik.
Js. Didion, Lois de la resistance de l'air sur les proiectiles.
Paris. 8». 1 Thlr. 5 Ngr.
Duhamel, Lehrbuch der analytischen Mechanik. Ins Deutsche
übertragen von 0. Öchlömileh. 2. Aufl. 4. u. 5. Lfr. gr. 8°. geh.
Leipzig, ä 10 Ngr.
H. B. Lübsen, Einleitung in die Mechanik. Zum Selbst-
unterricht mit Uiicksit'lit auf Hie Zwecke des praktischen Lebens.
1. Thl. gr. 8° geh. Hamburg. 24 Ngr.
J. C. F. Otto, Neue ballistische Tafeln. 2 Abthlgn. Mit
Holaschn irren im Teste, Berlin. 4». 2 Thlr.
ren
rie.
ebt
rn-
Astronomie.
The Nautical Almanac and Astronnmrcal Fphemerls for the
Year 1861. 8". London. 2 s. 6 d.
Annuaire uour l'an 1838 imlilie iiar le Bureau des Longitudes.
In 16. Paris. 1 Fr.
G. F. W. Baehr, Over de dreaijend« beweg!
ligehaam om een rast nunt
zwaartepunt. Uitgeven
- Kenntniss des gestirnten Himmel!
ker. 11. Ausg. 1. Lfr.
4°. Anislerda
J. E.'Hode, Anleitung *
Herausgesehen von C. Bren
geh. Berlin. i„ Thlr.
Handatlas der Erde um! des Himmi
Ausg. 17. 18. 19. 20. Lfr. ciu. Imp.-Fol
Berliner astronomisches Jahrbuch fü
von J. F. Eneke unter Mitwirkung von Wolfe
ile Iteweging van een
He beiveging der aarde om haar
i Koninklijke Akademie van We-
flerlin
4 Thlr.
10 TSgr.
trnnomisches Jahrbuch Tür 1860. Herausgegeben
. .. ._«*... njt:«n.:wL..nH ...... 1x7« l r«-« „T fto aph
I
J. Kepleri, astrnnomi, opera omnia ed. C Frisch. Vol. I.
Pars II. Lex. 8. geh. Frankfurt a. M. 2 Thlr. 6 Ngr.
C. Ramus, Grundtrael« i Astronomien. Udg. af A. Steen.
M. i Tab. 8". Scan uit.a vier,. 21 Wgr.
C. Rauch, Populäre Astronomie f. Schule und Haus. 2. AuA.
gr. 8. geh. Mülheim. 1 Thlr.
J. F.P.Schmidt, Resultate aus einjähriger Beobachtung der
Soniienflecken. 4°. geh. Olmütz. 2 Thlr.
Wochenschrift für Astronomie, Meteorologie und Geographie.
Red. von Heis. Neue Folge. 1. Jhrg. (Der „Astronomischen
Unterhaltungen" 12. Jahrg.) Nr. 1. gr. 8°. Halle. Preis für den
vollständigen Jahrgang 3 Thlr.
Kaatfk.
J. M. Knudsen, See Merke-Buch, ein Handbuch für See-
fahrende. 12". Neustadt und Altotja. 185j. cart. % Thlr.
Physik.
E. Dorville. Monographie de la pile electrique. Sa forme,
»es applications , ses perlectionuenients. Paris. 8°. Mit Abbil-
dungen. 12l|a Ngr.
B. Ellner, Der Höhenrauch und dessen Geburtsstätte. 8°.
geh. Frankfurt a. M. 7 Ngr.
A. v. Ettingshauseu, Die Priuciiiien der heutigen Physik.
Hoch 4°. Wien. geh. 7% Ngr.
W. B. Feddersen, Beitrüge zur Kenntuiss des elektrischen
Funkens, mit 2 Steintafeln. gr. 8«. (Inaug. diss.) Kiel. 10 Ngr.
J. C. Galle, Urundzüge der scblesisclien Klimatolngie. Aus
den, von der schlesischen Gesellschaft für vaterländische Cultur,
seit dem Jahre 1836 veranlassten und einigen alteren Beobachtun-
S)n ermittelt und nach den in den Jahren' 1852—55 ausgeführten
echnungen der Herren W. Günther, R. Büttner und H von
Rothkifch zusammengestellt, und für den Druck vorbereitet.
Breslau. 4°. 2 Thlr.
E. Kahl, Mathematische Aufgahen aus der Physik n<ebst
Auflösungen. 2 Thle. gr. 8°. geh. Leipzig. 1 Thlr. 14 Ngr.
J. Lamont, Resultate aus den an der Köuigl. Sternivavte
veranstalteten meteorologischen Untersuchungen, gr. 4°. geh.
München. Va Thlr.
Physikalisches Lexicon. 2. Aufl. Von O. Marbach. Fort-
ges. von C. S. Cornelius. 39. 60. L fr. Lex. 8°. geb. Leip-
zig. »|, Thlr.
Fr. Marron y Villodas, Disertacion teörica sobre el mod»
de producir im motor permanente sin consumo de combustible ni
otra materia alguna, por medio de la combinacion de la preston
atmosferica enn la fuerza elastica de un resorte sölido polignnal,
o sea resolucion teörica del cetebre problema del movimiento
continuo. Madrid. 8°. Mit 3 Taf. 3 Thlr. 6 Ngr.
A. Mühry, Klimain logische Untersuchungen oder Grundzüge
der Klimatolngie in ihrer Beziehung auf Gesundheitsverhälnisse
der Bevölkerungen. 2 Abthlgn. gr. 8°. geh. Leipzig. 4 Thlr.
J. Müller, Lehrbuch der Physik und Meterologie. Theil-
neue »ach f oDtllets Lehrbuch der Physik nelhstä«dig bearbeitet.
5. Aufl. 2. Bd. 1.-6. Lfr. gr. 8». geh. Brauuscbw. k 15 Ng«.
M. A. K. Prestel, Di« mittlere Windrichtung an der Nord-
Westküste Deutschlands für jeden Tag im Jahre, gr. 4°. cart.
Bonn. 2*1, Thlr.
Results from Meteorological Observation« made at the Royal
Observutorv, Cape of Good Hope, between Jau. 1842 and Jan. 1856.
P. K. Ilobida, Vibrations-Theorie der ElektricitäL gr. 8".
geh. Klagenfurt. »!„ Thlr.
E.Schering, Zur nmthemat. Theorie elektrischer Ströme.
gr. 4°. Güttlugen. \ Thlr.
Wehster, W. H. Bailey, The Recurring Montbly Period»
and Periodic System of the Atmospheric Actions, with Evidences
of the Transfer of Heat and Electncity, and General Observation«
un Meteorology. London. 8°. 4 Thlr. 6 Ngr.
F. Zantedeschi, l>e mutationibus quaecontingunt in spectro
soiari futo. gr. 4°- seh. München. *|, Thlr.
Zantedeschi, Delle unitä di misura dei suoni rousicali, del
loro limiti, della dnrata della ribrazioni sul nervo acustico dcll'
uomo elc. 8°. geh. Wien. 20 Ngr.
Zantedeschi, Delle dottrine tlel terzo suono, nssia della
eoineidenza delle vihraz.ioni sonore, con un ceuno sulla analogia,
ehe preaentano le ribrazioni luminose delln spettro solare, Me-
moria 1. Lex. 8°. geh. Wien. ?»|a Ngr.
Zantedeschi, Della corrispondenza che mostrano fra loro
in corpi sonori nella risonanza di piü suoni in uno. Memoria 11
Lei. 8°. geh. Wien. 6 Ngr.
W. F. A. Zimmermann, Die Macht der Elemente. 8 Lfr.
gr. 8a. geb. Berlin. 7% Ngr.
Vermischte Schriften.
Abhandlungen der mathematisch -physikalischen Gasse der b
bayer. Akademie der Wissenschaften. 8. Bd. 1. Abth. gr °'
München. 2*|3 Thlr.
F. Arago, OemTes coraplets. Publiees d'apres son o
snus la direction de J. A. Barral. Tome IX. (Instructions,
ports et notices sur les questinus ä resoudre pendaut les voyagea
seien ti (Jones), gr. 8U. geh Leipzig. 2 Thlr,
Bulletin de la Classe nbysico-iuathe'matique de l'Aeademic
imperiale des sciences de St." Petersbourg. Tome XV. Peters-
bourg. 4". Mit 5 Taf. 3 Thlr.
Melanges mathematiques tires du hulletin physico-matheiua-
tique de l'Acaderaie imperiale des sciences de St. Petershourg.
Tome II. Livr. 5. Lex. 8". geh. Leipz. u. Petersb. 1? Ngr.
M«n»ii*s de Al'eademie des sciences de St. Petersbourg.
6. Serie. Sciences mathematiques et physiques. Tome VI. gr. 4°.
geh. Leipzig und Petersburg. 6 Thlr. 28 Ngr.
Sitaunesbe richte der kaiserL Akademie der Wissenschaften.
Mathematisch- narurwissenschaltJ. Classe. XXIV. Bd. I.u2. Hft.
Wien. 8°. Mit 5 Plänen, 1 Karte u. 16 Tafeln. 2 Thlr. 19 Nei.
Sitzungsberichte der k. Akademie der Wissenschaften. Ma-
thematisch • naturwissenschaftliche Classe. 25. Bd. (Jahrgang 1857)
1. Hft. Lex 8°. Wien. 2 Thlr. 14 Ngr.
■
Liter aritcker gericki CXIX.
• « « i
■ . • ■
! . i »*»
Literarischer Bericht
» ; : • CXIX... • .-
«
I i -fi
♦
Geometrie
' Grundlinien der neuereu Geometrie mit besonderer
Berücksichtigung der metrischen Verhältnisse an Sy-
stemen von Punkten in einer Geraden und einer Ebene.
Von Dr. Benjamin Witzschel, Lehrer der Mathematik
am Krause*scben Institute zu Dresden. Mit in den*
Text gedruckten Holzschnitten. Leipzig. Teubner. 1858: &
Diese neue Darstellung der Grundlinien de* sogenannten neue,?
fen Geometrie zeichnet sieh durch ihre völlig elementare Haltung
manchen früheren Bearbeitungen dieser Disciplu) vortbeilhaft
, und empfiehlt sich dadurch ganz besonders auch Lehrern d$r.
Mathematik an heberen Unterrichts -Anstalten, weiche von der-,
selben vielfach einen rortheilbaften Gebrauch för die Zwecke des.
Unterrichts au machen Gelegenheit finden werden. Alle hierher,
gehörenden Arbeiten Ton Cbasles, Möbius, v. Staudt, Stei-
ner hat der Herr Verfasser für seine Zweeke umsichtig benutzt ;
die metrischen Relationen haben, wie schon der Titel besagt,.
besondere Berücksichtigung gefunden, und auch dem Gebrauche
der Zeichen, so wie der geometrischen Deutung und Constrsiqtipn
imaginärer Werthe und Formen ist, zum Theil in eigentbumlicbeg.
Weise, besondere Aufmerksamkeit gewidmet worden, so dasm.w^
diese auch äusserlieh trefflich ausgestattete Schrift Allen, /fte*
stob Air die darin abgehandelten Gegenstände Htteressiren,, afts,
Ueberseagung recht sehr empfehlen können, hier aber» de* ^Vej»>
taten, wegen, ans mit der folgenden Angabe de« Hauptinhalte 4fr*;
qeeVae begnügen mAsaen: r. , ,.,.,,-,
Erstes Kapitel. Einleitung. Princip der Zeichen und
dessen Anwendung auf Abschnitte einer Geraden, auf Winkel
und Flächenräume in einer Ebene. — Ä weites Kapitel. Von
detiJ>'o?t>el*e*bältnissen, — »rittes Kapitel, Das bar-
manische Verhältnis*. — Viertes Kapital, Yofl.dea
TU. XXX. Hf t. 3. 3
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M
it 8 F
Uterartseher Bericht. CX/X.
Involutionen. — Fünfte» Kapitel. Geometrische De
tung und Construction imaginärer Werthe und Forme
complexe Doppel verh ältnisse und Involutionen.
Höchstes Kapitel. Von den geometrischen Verwan
schaffen der Figuren.
Möge das Buch die verdiente Beachtung finden I
Algebra auf Geometrie. Eine
geometrischer Aufgaben ver-
en Analysis. Zum Gebrauche
i, Gymnasien, Real- und (Je-
:h zum Selbstunterrichte von
am Herzoglichen Gymnasium
'igurentafehi. Halle. 1858. 8.
i Buch enthalt eine Sammlung von durch die gewöhn-
liche Buchstabenrechnung und Algebra, zugleich mit Zubülfenahme
der ebenen Trigonometrie, in alter bekannter algebraischer Weise
gelöster geometrischer Aufgaben, ohne irgend welchen Gebrauch
der neueren streng wissenschaftlichen analytischen Geometrie,
welche eben deshalb allein den Namen „streng wissenschaftlich"
verdient, weil sie eine vollständige analytische Darstellung der
geaammten Geometrie giebt, und dadurch, was die Hauptsache
jst, zu einer in der That ganz allgemeinen Methode der Lösung
aller geometrischen und, mit Zuhullenahme der allgemeinen Grund-
lehren der Mechanik, auch aller mechanischen, so wie auch aller
optischen und astronomischen Probleme gelangt, eine Leistung
und höchst allgemeine Anwendbarkeit in allen Theilen der Wis-
senschaft, worin sie, von keiner anderen Wissenschaft übertreffen,
namentlich auch die sogenannte neuere Geometrie weil überflügelt und
gewiss stets überflügeln wird, weshalb auch die letalere in Beziehung
auf allgemeine Bedeutung für die gesanimte mathematische Wissen-
schaft der ersteren nie sich gleichstellen können wird. Eine recht
zweckmässige allgemeine Einleitung und Anleitung zur Construc-
tion der gewöhnlichsten algebraischen Formen, mit Einsihluss
der quadratischen Gleichungen, ist beigegeben, und als ein gutes
Schulbuch und zweckmässiges II filfs mittel für manche Lehrer an
Schulen kann daher die Schrift immer empfohlen werden, da sie
eigentlich wissenschaftliche Ansprüche auch wohl selbst uicht macht
Darstellende Geometrie.
o nie frische Zeichnen für technische Lehr
jwerhe- und Industrieschulen, dargestellt
Ulernritcker Bericht CXIX. %
und begründe.* vom Ant. Ph. Largiader, Professor ier
Mathematik uod des technischen Zeichnen« aa der
Industrieschule zu Frauenfeld. Erster Theil: - Tbeoce?
tische Begründung, Frauenfeld und Lahn. Verlagst
Comptoir. 185& 8.
Diese Schrift enthält eine recht gute, gans elementar gehal-
tene theoretische Begründung ' des axonometrischen Zeichnens,
worunter man bekanntlich im Allgemeinen die Darstellung eines
Raumgebildes auf einer Ebene oder Tafel versteht» wenn man
die Punkte des Raums auf drei rechtwinklige Axen bezieht und
mittelst ihrer Coordjnaten ihre Lage im Räume bestimmt, das
Auge in eine unendliche Entfernung von der Tafel versetzt ©der,
was eigentlich dasselbe ist* das betreffende Raumgebilde ortho-
graphisch auf die Tafel projicirt, und die Zeichnung dieser Pro«
jection auf der Tafel» unter der Voraussetzung» dass die wirk-
lichen Coordinaten der zu" entwerfenden Punkte vorher gemessen
worden sind, mit Hülfe dreier von einem Punkte ausgehender, in
jedem einzelnen Falle besonders zu bestimmender Linien oder
Axen, welche die Projectionen der wirklichen Coordinatenaxen im
Räume auf der Tafel sind, ausführt, welcher letztere Umstand
namentlich Veranlassung gegeben bat, dieser Art der graphischen
Darstellung von Gegenständen dreier Dimensionen den Namen
„axonometrisches Zeichnen" beizulegen. In der Vorrede
sagt der Herr Verfasser» — und hat demgeroäss auch seine Schrift
verfasst, — dass er entschieden der Ansicht sei, dass die
Probleme der Axonometrie Probleme der* Geometrie seien, auf
welche die Rechnung nur dann anzuwenden ist, wenn ihre Auf-
lösung auf geometrischem Wege — d. h. durch planimetrische Con-
structionen — nicht möglich ist. Wir müssen gestehen, dass
wir diese Ansiebt nicht vollkommen theilen können* Denn die
der ganzen Operation zu Grande zu legenden Data werden durch
unmittelbare Messung- gewonnen und sind demzufolge in einen*
gewissen bestimmten Maasse ausgedrückt» in Zahlen, also picht
als wirkliche geometrische Linien, wie bei den Problemen der
reinen Geometrie, gegeben, wodurch doch jedenfalls, ein wesent-
licher Unterschied bedingt wird, und es uns daher immer weit
zweckmässiger erscheinen will, mittelst möglichst einfacher, For-
meln aus diesen in Zahlen gegebenen wirklichen Coordinaten
die axonometrischen Coordinaten mit aller durch die Rechnung zu
erreichenden Genauigkeit abzuleiten» nach einem bestimmten
Maassstabe auf die auf der Tafel vorher bestimmten, für die
ganze Zeichnung als gegeben zu betrachtenden und derselben zu
Grande zu legenden projicirten Axen» deren gegenseitige. Lage
Uin -ii <ltcher Bericht CXIX.
auch am besten auf dem Wege der Rechnung leicht und mit €
fnrderlrcher tienaingkeit ermittelt wird, aufzutragen und aus diesen
aronem* Irischer! Coordinaten dann die zu entwerfenden Punkte
durch die bekannte einfache Cnnstrucfion, welche man in allen
Schriften über diesen Gegenstand lindet, zu bestimmen. Gerade
durch ihre eigentümliche Natur scheint die von Farish erfun-
dene axnuniuet rische Methode sich uns vorzugsweise zu «iner
gemischten Anwendung des CaWls und der Construclion zu eig-
nen und darin eine besondere Bürgschaft für ihre Genauigkeit
W|r empfehlen aber da« obige Küchlein allen auf seinem
Titel genannten Lehranstalten , so wie überhaupt allen dehi
tvetche auf leichtem Wege sich eine Kenntnis« der in vielen I
Ziehungen interessanten asnno metrischen Darstellung&metbode
werben wollen, recht sehr zur Beachtung.
Krystallographie.
). Sülle forme er
•■ <lel Boro adamanti
bro della R. AccadeH
•l. Suite forme c
stallin« di aleuni sali dl Plati
o per «uintfno Seil», Me
ia delle scieuze. Toriuo. 1857.
ristalltue del Born adamantir
»eennda Memoria per
1837. 4°.
'A. Sulla legge d
line di una stessa sos
Torino 1836. 8U.
(tuintlno Seil«, etc. Tori
conuessione delle forme crist
anza, per Qtilntiuo Seilt», «
Herr Professor Quintino Rella in Turin, der unsei
Lesern schon aus seiner im Literar. Ber. Nr. CX. S. 4. au
zeigten Bcliiinen , auch , wie wir zu unserer Freude gesehen hab
nach unserem a. n. O. ausgesprochenen Wünsche ins l>euts(
übersetzten *) Schrill üher die verschiedenen Arten des geome
sehen Zeichnen* [Sui prineipii geometrici de Disegti
insbesondere Über die axnimmetrischeu Darstellunaen, von i
vortheilhaftesten Seite bekannt ist, hat neuerlich die drei obi;
krystallographischen Abhandlungen veröffentlicht, welche ne;
ihres auch in mathematischer Rücksicht vielfach interessanten
halts jedenfalls eine Anzeige hier sehr verdienen, so wie wir dt
'I tn ilet von Weiabacti n s. w. htrausgeguheiieit Zeitai.hr
für Ingunieur- Wissen» vlta fl,
aterariädkar SerMU MM: 5<
Ottertretiptf der Krystarogra>hiey Vielehe sehe« ge^ «ind «aibe^
matische, namentlich analytisch - geometrische Ferrii 'arigtfrioratneit*
h&t».;jn unserem Journal uncj insbesondere, unseren .literarischen
Berichten eine grossere Berücksichtigung als bisher widmen werden.
• Die «rate der drei obigen Abhatwüaagen beschaff gt sieb
tedrgHoh mit der numerischen Bestimmung der krystaJIographischen.
Blgiensdkaften der auf ihrem Titel genannten Körper und enthalt
allgemeine mathematische* irmbesöndere analytisch -geometrische
Betrachtungen und Untersuchungen nicht, scheint aber b» erste*
rer HeVrebang die* sorgfältigste Berik'käkvtigung su verdieiMfv
weftffsie auch wertigertnden Kreis dieser literartschert BerichtegvMtt •
Dagegen enthält die zweite Abhandlung in (Jen neiderf ihr
beigefugten Noten: Nota (A). Sul cangiamentö dl assi In*
un'sistema cristallino. p. 30. und Nota (B). 'Sülle pro-'
prietä geometriche di aleuni sistemi cristarfirii. pl 37.
eine grosse Anaafcl interessanter analytt&ch» geometrischer Be-
trachtungen. Insbesondere müssen wir gestehen, das* die fa der*
zweiten Abhandlung gegebene Darstellung der allgemeinen : geo-
metrischen Eigenschaften aller krystallographischen Systeme, aa^
mentlich in Bezug auf die dabei auftretenden rationalen YerbäU*.
nisse, ,die auch mehrfach selbst von den Resultaten 4er J^cUie^fui*.
Zahlenlehre oder der Theorie der Zahlen, u. A- (pag.,45..). vop^
einem interessanten, von Herrp Gen occhi gelösten Problem*),,
.Gebrauch macht, zu dem Besten gebort, was über diqsen
Gegenstand gelesen zu haben wir uns erinnern , weshalb wir
auch dieser Note wohl eine deutsche Uebersetzung wünschen
mochten. Wir selbst werden von derselben bei einer später* fh
diesem Archive zu veröffentlichenden Abhandlung Über Aair" AIP-
gemeinste in der mathematischen Krystallographie gewissenhaft
•) RUolvere con noroerf iiitieri le ieguenti equazioni, neue quali
a ö, C sono niimeri intieri moltiulicabili o dmsibili isolataraenJe per
ogni qdadrat** « Intal atnieme per qaalomfa« ftfl*ret ''
a b c i •■ • n .
Sinroo detritori della «olazfone di qnesfd interessante probleina cU ana«i
Ifei aa nn nostro Vafent* Geometni all? Art. GenofteHt. ££tf tföva,'
die «ade <r, y, *; *', y',%'% x" t #", %n tiano Intimi ,e neeetsarfcl*
e hasta. che si jjossano trovare tre nniperi intieri U%v. /, che Eendano
focferi I qtfozientf . . f ,T
• » •
- «Werft fn altrfe parote, che tornanb atto MtH&. 1f urodött« 'hegativo
dl 4m wasJaoatje 4M nitmari -«, «v c de** esssre rtüldaw qdgjracteb äVteAlss
Literarischer Bericht CXIX,
Gebrauch machen, s
gen den Abhandlung.
i auch von der Nota (A) und dar lol-
Die dritte Abhandlung gehört ganz zur allgemeinen mathe-
matischen Krystallographie und miiss gleichfalls der Beachtung
unserer Leser sehr empfohlen werden. Wir heben aus derselben
vorzugsweise die folgenden Sätze hervor, die wir, um uns vor
jedem Miss Verständnisse zu wahren, ganz mit den Worten des
Herrn Verfassers geben: La legge degli assi si pu<> compen-
diare como segue: Daie tutte Ic forme eristalline dl una sostanza
supposte convenienlemente orientnte, se si assumono per assi U
intersezioni di tre. o pik faccie r/ualitnt/ue , due nitre faceie
t/ualsiasi del tittema cihtalfino tagliertatno ciascuno dci sud-
detti assi a dülanse tali dalla loro comttnt origine, che il foro
quonenU starä in un rupporto rationale ai quozienti detle di-
slanze analoghe mimrate sorra ciascmto degli altri assi. (p. 3.J
Ogni faccia del cristallo e paralle/a a due O piu ipigofi giä
eiistenti, o possiltili nel crislalla. (p. 10.)
Abbiasi un eliuoide di cm sono diametri conlugati tre spt-
goli del crisfallo limitati in lunglieiza da un quarta faccia del
medesimo, ogni faccia possibile sarä paratfela al piano diame-
trale coniugato ad an diametro pnrallelo ad una zona possibite,
ed inversamente ogni zona possibile sarä parattela al diametro
coniugato ad un piano diametrale, parutlelo ad un faccia possibile.
(p. 1-2.)
Müge das Obige geeignet sein, die allgemeine Aufmerksam-
keit auf diese neuen verdienstlichen Arbeiten des Herrn Verfas-
sers zu lenken. G.
Physik.
Mathematische Aufgaben aus der Physik nebst
Auflösungen. Zum Gebrauche an höheren Lehranstal-
ten und zum Selbstunterricht bearbeitet von Emil Kahl,
Lieutenant der Arlillerie und Lehrer der Physik und
Chemie an der Königlichen Kriegsschule zu Dresden.
1. Theil: Aufgaben. — II. Theil: Auflösungen. Mit in
den Text gedruckten Holzscbn. Leipzig. Teubner. 1S57. 8.
Diese neue Sammlung physikalischer Aufgaben reibet sich
den früheren Sammlungen dieser Art von Fliedner, Bary (von
Korscbel übersetzt) in würdigster Weise au, und unterscheidet
sieb von denselben durch eine noch weiter gehende Anwendung
sowohl der Mathematik überhaupt, als auch, indem sie namentlich
JJterariteter ItoNnkt CX1X. %
-einen' durchgreifenden Gebrauch toiI der -EMfomithl» ofcHl'Int**
gralrecbnung in allen Fällen, wo dieselbe erforderlich umf bequem,
i»ty macht und sulässt. Sehoo dieser letztere Umstand zeigt» dass
hhfp too einem eigentlichen Schutbucbe, d. h. von einer für Gym-
nasien, Realschulen, u, s. w. bestimmten Aufgaben - Sammlung nicht
die- Rede sein kann ; und so sehr wir die Anwendung der, sog?*
nannten höbeten Analysis bei. einem für aalchei Anstalten bestimm-
ten Buche tadeln würden, so sehr billige« wir dieselbe' bei «ieem
Buche, welches .wie das vorliegende zweifelsohne vorzugsweise
für solche Lehranstalten wie Kriegsschulen, polytechnische, höhere
Gewerbschulen u. s. w. bestimmt ist, auf denen die höhere Ana«
lysis einen wesentlichen Bestandteil des gesammten mathemati-
schen Unterrichts ausmacht Im Interesse dieser letzteren, Lehr-
anstalten haben wir daher auch das. vorliegende Buch, weJphejf
wir in den meisten Beziehungen für vollkommen zweckentsprechend,
4, b. namentlich in einer sehr richtigen Mitte zwischen eigent-
licher Physik und sogenannter angewandter Mathematik sich b*r
wegen d, halten, mit besonderer Freude begrüsfct, und wtfassheh
der Königlich Sächsischen Kriegsschule' aufrichtig Glück zu einem
so mathematisch gebildeten Lehrer der Physik, wie der Herr Ver-
fasser dieses Buches ist. Aber auch, abgesehen von den obenge*
nannten besonderen Lehranstalten, begrüssen wir jedes» und) also
auch dieses Buch mit besonderer Freude, welches in der Physik
def Anwendung der Mathematik ihr wohl begründetes Recht sichert»
' da wir jeden physikalischen Unterricht tux verfehlt halten, weichet
nicht vorzugsweise ein, mathematisches, dqrch/die .^altur, det
betreffenden .Lehranstalt natürlich gehörig begränztes Gepräge
trägt* Wie man aber namentlich auf vielen Universitäten . wo die
Physik leider nur zu oft bloss im Dienste der Medicin steht, $icl|
bei den betreffenden Vorlesungen jetzt noch der Anwendung; de*
Mathematik ganz entschlagen kann, ist uns noch unbegreiflicher
als bisher geworden, als uns vor Kurzem Behufs einiger von uns*
zu gebenden mathematischen Erläuterungen ' die uns bisher unbe-
kannt gebliebenen neuesten Lehrbücher der anatomischen Physiolo*
gie von Donders und Anderen vorgelegt wurden, in denen wir zu"
unserer Freud ein vielen Partieen eine sehrdurchgreifende Anwendung
der durch die mathematische Analysis begründeten Mechanik fanden.
Nochmals heissen wir also auch diese» eine sehr umsichtige
Auswahl lehrreicher Aufgaben nebst ihren davon zweckmässig
gesonderten/ Auflosungen enthaltende, auch äusserlicb tre'ffitcb
ausgestattete Sammlung willkommen, und schliesscn mit der fol-
genden Angabe ihres Hauptinhalts: < '
Erste Abtheilung. Mechanische Naturlehre. — Zweite,
Abtheilung. Akustik. — Dritte Abtheilung. Optik. — Vierte
UteroTltCher Berithl CXI.X.
Ign et Ismus,
Autheilnng. Wärme. - Fünfte Abteilung. Magnet
— Sechste Abtheiluug. Eleklricitüt.
Eine genauere Einsicht in das vollständige Inhalte Verzeichnis«
selbst wird einen Jeden auf der Stelle von der Reichhaltigkeit
und der möglichst gleichmäßigen Berücksichtigung aller l'artieen
der Phvsik, indem auch der praktischen Anwendung, besonders
in der Mechanik, gehörig Rechnung getragen worden ist, über
zeugen, so da«* wir dem Buche zum Schlüsse, nur noch
vielfache Verbreitung wiiuschen küunen-
Vermischte Schriften.
Annali di
■' matematiche e fisiche, compilati
da Barnaba Tortollni. (S. Liter. Ber. Nr. CXVIH. p. 7.)
Agosto 1857. Intorno ad nna gamma di dcrivale surcessive.
Nota fiel sig. Angeln Uenocchi. p. '289. — Intorno ad alcune
proprietä delle sitperiicie a linee di curvatura |>iane o s (erlebe.
Nota del sig. prof. F. Brinschi. p. -297. — Intorno ad alcuni
teoremi di Dupiu. Nota del sig. prnf. Deifino t'odaizi. (Con-
tinuerä.J p. 309.
Wir Treuen uns sehr, im Folgenden schon den Inhalt der uns
vorliegenden ersten Nummer der im Liierar. Ber. Nr. ('Will,
angekündigten „Annali di Matematica pura ed applicata,
pubblicati da B. Tnrtolini, e compilati da F.. Bettt »
Pisa, F. Brinschi a Pavia, A. Genncchi a Torino, B. Tor-
tolini a Roma" unseren Lesern mittheilen zu kilnnen?
AnnaM di Matern;
cati da Barnaba Tor
Pisa, F. Brinschi a
B. Tortolini a Roma.
N" 1. (Den«, o Feliri
L'Edi
toll
ra ed applicata, pubbli-
;■ compilati da F. Betti a
A. Genocchi a Torino,
185B.) Armo dot Cur
ntnsiiil
»Jgebrid.e (OB t>ia
Memoria del Prof. Enrico Belli, n. I. — Siillo »viUnpei dl
Himme. Not« Jet Prof. Franttsto Brio.cl.i. p. 9. - fafli
Aheliane
F. l'.rn.-.-ii.. |i. 12. — Sonra »kirne ,...--,. r ., e . . ilelle Tue
Memoria Je] Prof. F. Brioäcbi. p, 30. — So[>vrt um, rosi,
r.-um di .-M.. !. Nota del Prof. Angeln G euo ethi. p. 33.
■ da) i
Rivi.ta l>ibliografi<
oatbi- p. 41. — Inloroo ad
Prof. F. BrioscLi. p. 43. ■
" -lolo „Tl.
Snllq »vil.ippo delle fimzioni Jaeobiane
IT areümsnlo. Articol» del Prof, F. Bri-
1 ICorfma del Sic BortUarül. Articelo det
fiopra un opero del Sig, D. RUI.ardt
od Auwei ~
imnlen." Arllcolo del Sie. Dr. F
Memoria del ProF, Ollavlano Fib
Frame«.» Callaneo. n, 4B. — Pul.LUcoiionl recenli.
p. 45. ■
. p ma.
Sopr» ul.a
1 il lllolu
i del Prof.
. ■ f
<,ll ,
Mathematische
and physikalische Bibliographie.
Geschichte 4er Mathematik und Physik.
James D. Forbes, A. Review of the Progress of Mathema-
tical and Physical Science in more recent Times. 4. (Edinburgh.)
London. 8 s. 6 d. ,
Systeme* Lehr- und Wörterbücher,
Jos* Ph. Herr, Lehrbuch der höheren Mathematik- 2 Bde.
Wien, 8». 4 TWr.
Arithmetik.
C. L. Scboof, Arithmetik und Algebra filr höhere Lehran-
stalten und zum Selbstunterricht. 3. Hft gr. 8°. Hannover. 17J Ngr.
Geometrie.
A. P. Largiader, Das axonometrische Zeichnen für tech-
nische Lehranstalten, Gewerbe- und Industrieschulen dargestellt.
1. Tbl.: Theoretische Begründung, gr. 8°. geh. Frauen fei d. jThlr.
F. Mann, Die Elemente des geometrischen Zeichnens, Grtind-
und Aufrisse, verjüngter Maassstab etc. qu. 4°. geh. Langensalza.
12 Ngr.
K. G. Chr. y. Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage. 2. Hft.
Nürnberg. 8°. Jedes Heft 27 Ngr.
G. Weiland, Raumlehre. Lehrbuch der elementaren Geo-
metrie, gr. 8°. geh. Berlin. \ Thlr.
e
Geodäsie.
'' J. J. Vorlaender, Ausgleichung der Fehler polygonometrU
scher Messungen. Lex. 8. geh. Leipzig. 1 Thlr.
Mechanik.
C. Delaunay, Tratte* de mlcanique rationnelle. 2« tfdttion.
is. 8°. Mit 300 in den Text gedr. Abbild. 2 Thlr. IS Ngr.
■loa. Didion, Caleul des prohabilites apptiqne* au tir i
projectiles. Iu-8. Avec wne ptanche. Paria. 3 fr. 50 c.
Duhamel. Lehrbuch der analytischen Dynamilt. Deutsch b
ausgegeben von O. Schlomilcb. 2. Aufl. 6 Lief.
Leipzig. !. l'hlr.
L. Matthiessen, Ueber die <.>leichgenichts-Figuren hom
gener freier rottender Flüssigkeiten, gr. 8. Kiel. geb.
Praktische Itlechnnllc.
II Dar cy, Recherche« experiitientaleN relatives au
ment de l'eau dans les, tuyaux. Paris. 4n. Mit Atlas i
fi Thlr. 20 Ngr.
I.ilm. Polier, Table» cyclographiques pour le trace des o
bes de raecordement des voies de communication, prsciidöes (
Instructions necessaires sur la mauiere de les catculer et i
faire usage, etc. Paris. 8°. 2 Thlr. 15 Hg*
Optik.
C. F. A. Leroy, Traite de stereotomie, comprpuant les appli-
cations de la geometrie descriptive ä la fheoHe des ombres,
perspective litieaire, la gnomonique, la coupe des pierres et la
charpente. 2. edition revue et annotee par E. M&rtelet.
#>. Paris. Mit 74 Taf. 8 Thlr. 20 Ngr.
P. Harting, De nleuwste verbete ringen van het mihroslco'
eu zijn gebruik sedert 1850. gr. 8°. Met 2 gelitb. paten.
2 fr. 20 s.
Astronomie.
Annalen der Künigl. Stern« arte bei Manchen, auf fiffentli.
Kosten herausg. von J. Lamont. IX. Bd. (Der vollstand,
lung XXIV. Bd.) München. 8°. 1 Thlr. 20 Ngr.
Fr. Arago, Astronomie populaire, puhliee sous fa direef. rieJ.A.
Barral. TomelV. Scbluss. Paris. 8n. MitöTaf. Jeder Band 21 Thlr.
A. Drechsler, Die Sonnen- und Mondfinsternisse in ihrem
Verlaute oder Anleitung, wie diese durch Rechnung und Zeich-
nung zu ermitteln sind. Lex. 8°. geh. Dresden. 11 Thlr.
C. Herold, Leitfaden der physikalischen und politischen Ge<
graphie. gr. 8». geh. Nürnberg. 71 Ngr.
Jo. Kepler!, Astroiiomi^operaonniiaedid. Ch. Frisch. Vol.
Parsl. Frankfurt a.M. 8«. Mit eingedr. Holaschn. 1 Tblr.24N(
B. Martin, Memoire sur 1
calendrier hebrai'que. 8U. Paris
A. M. Neil, Darstellung un
nis* am 27. Februar und der Soi
gr. 8°. geh. Mainz. 4 Ngr.
calendrier mueulnuin et sur le
1 Thlr. 5 Ngr.
Beschreibung der Mondfinster-
leuGnsterniss am 15. März 1658.
■tu
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r
LA.
hlr.
rem
ch-
:
■Vmitlk.
M. F. Albrecht und C. S. Viernw, Lehrbuch Her Navi-
gation und ihrer mathematischen Hilfswissenschaften, Für die
preusg. Navigationsschulen bearbeitet. 2. Aufl. Lex. 8U. Berlin,
geh. 3J Thlr.
Vf.V.. bergen, Spherical Table» and Diagrams, with their
Application to Great Circle Saillng and various Problems in Nau-
tical Astronomy. Edinburgh. 8°. 1 Thlr. 24 Ngr.
F, A. C. Keller, Instruction sur la navigation pararc de grand
circle ä l'aide du double planisphere. In 8. Paris.
Physik.
Babinet, Etndes et lectures sur les sciencea d'ohservation
et leurs appücations pratiqnes. Vol. IV. Paria. 12°. 25 Ngr.
C. Büdeker, Die geaetz massigen Beziehungen zwischen der
Zusammensetzung, Dichtigkeit und der specilisehen Wärme der
Gase. Giittingen. 8°. 10 Ngr.
R. CTausius, Ueber das Wesen der Wärme, verglichen mit
Lieht und Schall. (Akadem. Vortrage. 3. Hft.) Zürich. 8°. S Ngr.
Ntb. Culverwel, Ofthe Light of Natura : a Discourse. Edi-
ted by J. Brown, with a Critical Essay by J. Cairus. Edin-
burgh. 8°. 4 Thlr. 20 Ngr.
H.W. Dove, Klimatologlscbe Beiträge. 1. Thl. Mit 2 Kar-
len. Berlin. 8". I Thlr. 20 Ngr.
Allgemeine Encyklopädie der Physik Bearbeitet v. C, W.Br ix,
G.Decher, F. C. O. v. FeiNtzsch, F Grashof, F.Harmsetc.
Herausg. von Gst. Karsten. 3. Lfg. Leipzig. 8°. 2 Thlr. 20Ngr.
Inhalt: 1. Bd. Allgemeine Physik, von G«t. Karsten, F. Marcus
uudG.WegeN p.49— 96. — 5. Bd. Angewandte Mechanik, von
F.Grasbof. ji«29 - 160. Mit eingedr. HoUschn. — 19. Bd. Ferne-
wirkungen des galvanischen Stroms, von F. v. Feilitzsch. p. 81
—272. Mit eingedr. Holzschn. — 21. Bd. Meteorologie, tonE. E,
Schmid. p. 1-48.
Ed m. Külp, Lehrbuch der Experimental-Physik. 2. Bd.
Die Lehre vom Schall und vom Licht. Darmsladt. 8°. 2 Thlr.
Physikalisches Lexicon. 2. Aufl. Von O. Marhach, fortge-
setzt v'oa C. S. Corneli us. 61. 62. Lief. Lex. 8°. geh. Leip-
rig. i Thlr.
W, H. Tb. Meyer, Beobachtungen über das geschichtete elee-
trische Licht, sowie filier den merkwürdigen Etniluss des Magne-
ten auf dasselbe. 4- geh. Berlin. 27J Ngr.
Th. Du Moncel, Etüde du magnetisme et de l'electro-mag-
nelisme au pnint de vue de la construction des electro -aimants.
In-8. Fig. et pl. Paris. 5 fr.
tatioo
rDif
n
A.Mouseon, Die Physik aufGrundlageder Erfahrung, l.Abth
Physik der Materie, gr. 8. geh. Zürich. 1 Thlr. 14 Ngr.
E. A. Rosaraässler, Das Wasser. Eine Darstellung für g
bildete Leser und Leserinnen. Mit 8 Lith. u. 47 Ulustrat. in Holzecbu
Leipzig- 8n. 3 Thlr. 20 Ngr.
E. v, Sydow, Handhuok to the series c-f large physical i
for echool Instruction. Edited byJ. T illäard. gr. 8°. 1867.
Gotha. 10 Ngr,
Vermischte Schriften.
Sitzungsberichte der kai.serl. Akad. der Wissenschaften zu Wiei
Mathem.-nattimissensch. Ciasse. XXV. Bd. l.Hft. Wien.
14Taf. '2 Thlr. 14 Ngr. — (p. 19-30) Brücke, Ueber Gravitatioi
und Erhaltung der Kraft. - (—70.) Spitzer, Integralion der D
ferentialgleichung (o2 + b^x)^" + («, -f-6,;z) y' + (o„ + b0x) y = 0.
( — 86.) Knochenhauer, Heobaehtungen über zwei sich gleich
zeitig entladende Batterien. - <p. 145-164.) Zantedescbi, Del
dottrine del terzo suono. Memorial0. Mit 1 Taf. — (—171.) Zante
deschi, Dellu corrispondeiiza, che mostrunofra lern i corpi som
nella risonanza di piü snoni in uno. Memoria II. Mit I Taf. ■
( — 184.) Zantedeschi, Della unitä di misura dei suoni mnsical
dei Inro limite, della durata delle vibrazinnt sul nervo acuslico del
iionio, e dell' innalzamento del tonn fundamentale
diaspason di acciajo , in virtu di im movimento spontaneo mnlec«
lare. Memoria HI. Mit 3 Taf. Wp- 240— 250.) Fritsch , Unte
Buchungen über das Gesetz des Einflusses der Lufttemperatur i
die Zeiten bestimmter Entwickelungsphasen der Pflanzen mit U
riicksichtigung der Insolation und Feuchtigkeit. — (—'253.) Lit
trow. Physische Zusammenkunft der Planeten Ampbitrite ut
Melpomene im November 1857.
Novornm acturum Acariemiae Caesareae LeopMdino-Carolin
natura« curiosorum voluminis vicesimt sexti pars prior. A. u. d. T.
Verhandlungen der kaiserl. Leopnldinisch-Carolinischeu Akademi
der Naturforscher. 26. Bd. 1. Abth. Vratislaviae et Bonnae.
Mit 30 Taf. 10 Thlr. — (p. 174—188.) Cohn, Ein interessante
Blitzschlag. Mit 2 Taf. — (p. 295-369.) Prestel, Die mittlere
Windrichtung an der Nordwestküste Deutschlands für jeden Tag
im Jahre aus neunzehn Jahre umfassenden Beobachtungen in Emden,
so nie auch für Hamburg berechnet, und numerisch und graphiscl
dargestellt. Mit 2 Taf. — Nachtrag.
Zeitschrift Air Mathematik und Physik. Herausgegeben von
O. SchUimilch und B. Witzschel. 3. Bd. 1. Hft Lex. 8"
Leipzig. Preis für den Band 5 Thlr,
t.lierarineher Bericht t l.t.
Literarischer Bericht
A -.1 i. *1
Arithmetik.
Welchen speciellen Werth von (1 +a + «)* + *■< **H
die Binomlalreihe. welchen Hie ! ogari thm ische Reih«
l,ir logfl +n + Äi), und gegen welche Crenzerfhin con-
vergirt der Binomi&lcoefficienL ( ) für y=ao? Von,
W. Dünzier. (Ans den Mittheilungen der tut tu r forschenden
Gesellschaft zu Zürich besonders angedruckt).
Auf S. 1. spricht der Herr Verlasser ifher diese Abhandlung
«ich Iblgendetmassen aus: „.Schon in Nro. 114. der Züricher Mit;
theilungen haben wir die Behauptung ausgesprochen, dass die
Binomialreihe für (I + « +oi')*+*'f in sämmtlichen Fallen ihrer
Convergenz den speciellen Werth 0(I+«+6i)H*i<" von (1+0+60*+*''
darbietet. Wir wollen nun zunächst im Folgenden die Wahrheit
dieser Behauptung darzuthun versuchen, und hierbei die im Gan-
zen klassische Arbeit des für die mathematischen Wissenschaften
viel zu frühe verstorbenen Abel , die sich im Journal von
fr eile. Bd. 1. Nr. 211. abgedruckt findet, zu Gründe legen. Diese
Arbeit gibt zwar ein Resultat, das nur in einem einzigen Falle
unrichtig ist; aber die Begründung seheint uns schon in den
ersten einleitenden Sätzen, die sich auf die bedeutendste Schwie-
rigkeit des ganzen Beweises beziehen, auf einem für das Nach-
folgende wesentlichem Irrthum zu beruhen. Wir werden es nicht
unterlassen, im Folgenden das uus im Abel'schen Beweise vor-
züglich irrthü'iulich Scheinende ausführlich zu besprechen".
Die vorliegende Ahhandlung des Herrn Denzler in Küsnach
bei Zürich ist zwar schon 1855 geschrieben"), ist uns jedoch erst
jetzt hekannt geworden. Da sie aber auf die, für die gesammte
neuere Analysis so ungemein wichtige Abhandlung von Abel
—11 -TT*- ..
•> tVcaigatfliu I
Thl.XXX. Hfl. 4,
„den LS. November 1855'
tJterarttreAtr ßtrfrht C JX.
üher das Binnmial- Theorem Bezug nimmt und darin Irrtlifim
aufzudecken und zu berichtigen sucht; so scheint es uns jeden-
folls von Wichtigkeit, auf <li.-scll.i-. hier auch jetzt noch aufmerk-
sam zu machen. Wir müssen uns aber mit der Massen Anzeige
ihrer Existenz begnügen; <leuo wo es sich um eine Arbeit eines
Abel handelt, können um! dürfen diese nur kurze Notizen geben
sollenden literarischen Berichte sich nicht anmaassen, in kurzen
Worten und ohne sorgfältigste Begründung ein Urtfieil darüber abzu-
geben, auf welcher Seite das Richtige liegt. So viel aber können wir
sagen, dass Herr Den zier sich von Neuem in dieser Abhandlung
als einen Mann bekundet, welcher in der Analysis wirklich eifrig
nach Wahrheit suchet im d ringet, und sich nicht wie die
Verfasser vieler neueren Lehrbücher, auch seihst monographischer
Abhandlungen, mit den oberflächlichsten, unrichtigsten, jetzt al»
ganz antiquirt zu betrachtenden Yorstellungsweisen begnüget uml
bei denselben beruhiget, welches Letztere freilich eine sehr be-
queme Manier ist, von uns aber immer eben so sehr von Neuem
getadelt und bekämpft werden wird, wie wir ein solches Bestreiten
wie das des Verfassers der vorliegenden Abhandlung, der sich
zugleich überall als einen Kenner der neueren strengen Analysi*
und einen eifrigen Anhänger derselben zeigt, stein in der freu diu
wten Weise lobend anerkennen werden. Möge daher diene AnhaiM
hing die verdiente Beachtung finden!
Geometrie.
Lehrbuch der Geometrie zum Gebrauche an höhe
ren Lehranstalten. Von Dr. Eduard Heia, Professo.
der Mathematik an der Königlichen Akademie tu Mün-
ster, u nd Thomas Joseph Esch weiler, Directotder höhe-
ren Bürgerschule zu Köln. Zweite verbesserte und
vermehrte Auflage. Erster Theil. Planimetrie. Köln.
Du M..nt-Schauherg. 1 858. 8.
Wir haben die erste Auflage (1855) dieses Lehrbuches der
Geometrie, aus welchem der, welcher es sorgfältig stodirt, eine»
reichen Sehatz geometrischer Kenntnisse schöpfen und eine sehr
Nichtige Uebung in dieser Königin der mathematischen Wissen
schuft sich erwerben kann, das auch zugleich durch nicht wenige
den Herrn Verfassern eigenthümliche Beweise und Auflösungen sieb
auszeichnet, schon im Lilerar.- Ber. Nr. XCV. S. 1. als eins der
vorzüglichsten neueren geometrischen Lehrbücher empfohlen.
teste Bewein für die Richtigkeit unsere Urtheil« ist gewiss die
t UttrarUcAer Bericht CX.X. 5
vorliegende, schon nach etwa drei Jahren ntithig geivurdeue neue
Auflage, die wir daher unseren Lesern von Neuem zur üorgföl-
tigsten Beachtung dringend ans Her« legen. Nach der Ansähe der
Herrn Verfasser seihst hat dieselbe zwar Berichtigungen siim-
stürendcr Druckfehler und verschiedene Zusätze erhalten, aber
wesentliche Veränderungen in keiner Weise erfahren, was auch
bei der unzweifelhaften Güte des Buches nicht nOthig war. Des-
halb Lüunen wir uns im Uebiigen auf unsere frühere Anzeige be-
ziehen, indem wir das dort Gesagte auch jetzt noch vollkommen
unterschreiben, und den Herrn Verfassern nur noch zu dieser
ausgezeichneten Arbeit, die dem Schulunterrichte gewiss i
seilt liehen Nutzen bringen wird und schon gebracht hat, so nie
den preussischen Lehranstalten zu solchen trefflichen Lehrern auf-
richtigst Glück wünschen.
■ ■
Geometrische Betrachtung über d ie Brennpunkt s-
und MittelpunkfskreUe der Kegelschnitte. Von Hell
wig, Oberlehrer an der Realschule zu Erfurt (Pro-
gramm der Kealschule zu Erfurt von Ostern 1558).
Erfurt. 1858. 4.
Wir empfehlen dieses Programm, in welchem der Herr Ver-
fasser, von der gewöhnlichen Definition der Kegelschnitte ausge-
hend, tbeils eine Reihe neuer bemerkenswerther Beziehungen)
theils auch mehren; bekannte Eigenschaften der Kegelschnitte in
eigentümlicher Weise elementar entwickelt, der Aufmersamkeit
und Beachtung unserer Leser recht sehr. Auch darf sich der
Herausgeher des Archivs wohl erlauben, dem Herrn Verfasser
daliir zu danken, daes er den von ihm in der Abhandlung Nr. 11.
in diesem Theile des Archivs gefundenen neuen Sätzen über
der Ellipse ein- und umschriebene Figuren seine Aufmerksam-
keit geschenkt, und für einige der betreffenden, auf analytischem
Wfege von dem Herausgeber gefundeneu Ausdrücke neue recht
beachtenswerthe elementare Beweise gegeben hat. Im Allgemei-
nen aber empfehlen wir dieses Schul-Programm wegen seines lehr-
reichen und mehrfach interessanten Inhalts unseru Lesern noch-
mals recht sehr zur Beachtung.
Astronomie.
und Mondfinsterni
laufe oder Auleilu
dfinsternisse in ihrem Ver-
dic.se durch Rechnung oder
ü/cmrittlier äeric/n CIA.
Zeichnung iu ermitteln sind; AI ig«iu ein l'a,ssUrh 4»f>
gestellt um) durch Beispiele erliiutert v»n I>r. Adolpa
Drechsler, Lehrer der Mathematik HÜ Jet Handel*
schule zu Dresden. Dresden. 1868. 8.
Diese Schrift halte immerhin ungedruckt bleiben können, di
ihres Gleichen giebt es schon mehrere ältere und neuere. A
i grösseren astronomischen Lehrbücher — «ir ertnn
nur z.B. an ein Paar sehr vorzügliche rlflTfs mittel, nämlich
fraÜe" elementare d' Astronomie pbysique von Biol
den älteren und der neuesten noch nicht ganz vollendeten Ausgab«
und an die Astronomie pratique von Francoeur, beson
ders aber an den Abriss der praktischen Astronol
fjaivitsch, durch dessen Uehertragung aus dem Kue
tHamburg 1851.) Herr Dr. Götze sich so sehr verdient gema
hat — meistens viel bess«re Anleitungen in grösserer Kürte.
Von den rein analytischen Arbeiten neuerer Astronomen über die
Finsternisse und Stern bede^kungen *) enthüll natürlich die vorlie-
gende Schrift gar Nichts, und dergleichen Arbeiten lieger über-
haupt wohl auch nicht im Gesichtskreise des Herrn Verfassers,
l wenigstens aus dem ziemlich veralteten Standpunkte,
auf welchem er in dieser Schrill steht, auf die Weite jenes Ge-
sichtskreises einen Sehluss zu machen berechtigt sein soll. In de««
mag mancher Liebhaber der Astronomie, dessen mathematische
Kenntnisse nicht Aber die ersten Anfangsgründe der Trigonometrie
hinausgehen, dem Herrn Verfasser für diese Schrift Dank wissen,
so wenig die Wissenschaft an sich von derselben weitere Notiz
nehmen wird.
') Der Her.itisgeher des Arebjvs darf sidi wohl erlauben, auf ■>
beiden uinfüliilicluii annlvtiiulien Abhandlungen über riitaen (iegemttm
iu yerweiicn, die in den I) en h ich ri ften der kaiserlich
dV-mie der Wi .«cn «cha f len in Wien unter folgenden Titeln c
«rhieoen sind: Theorie der Sun n en fi nltem i««e, der
Ränge der unteren Pinnoten vor der!
bedecknngen fii r einen ^egenenen Or
TlrnaeTt. (»enluchri fleo der niathei
e und de;
r Erde. t'ott J A.
MiHtirw, Clan'.
Band VIII. Wi,
-rj.
■
Wetaritcüer Bericht r.V.i. {i
Physik.
Jahresbericht fiber die Fortschritte und Leistun-
gen im Gebiete der Fotografie, mit genauer Naeliwei-
bd'u'k der Literatur. 1855. Von Karl Jos. Kreutzer.
Wien. 1858. 8.
Dieser mit dem grössien Kleisse unil der grÖssten Sorgfalt
ausgearbeitete literarische Jahresbericht über die Fortschritte einer
der. nichtigsten neueren physikalischen*) Künste ist jedenfalls
sehr verdienstlich, weshalb "ir hier alle, «eiche sich mit photn-
graphisehen Arbeiten beschäftigen oder r.n beschäftigen beabsich-
tigen, auf denselben aufmerksam machen. Nur die reichen literu-
risihen Hiillsmittel, welche dem Herrn Verfasser in seiner Stellung
bei der Bibliothek des k. k. polytechnischen Institut* in Wien zu
Gebote standen, konnten die Abfassung desselben möchllch ma-
chen. Auf 55 Seiten ist eine so grosse Anzahl einzelner Ab-
handlungen aus den verschiedensten Journalen und besondere»
Schriften namhaft gemacht, deren Inhalt und die dadurch bedingten
Fortschritte der Photographie überall angegeben sind, dsss, wfe
gesagt, Niemand, der sieh mit dieser Kunst beschäftigt, diese»
Bericht entbehren kann, her ganze Bericht ist in die folgenden
Hauptahlheilungen gebracht: I. Die Erse ngung von Lichtfcil-
ilrrn und die dahei vorkommenden Arbeiten. A. Foto-
grafie auf Metall. — B. Fot"nrafii! auf Papier, u) Negative Papiere
und Bilder, b) Positive Papiere und Bilder, c) (Jeher fotwgrausehe
Papiere. 0) Fotografie auf Glas, a) Bilder auf Knllod. b) Glas-
bilder auf mit Eiiveiss überzogen ein Kollod. c) Glasbilder mit
Eiweiss, Kleber, Leim. — . I)) Fot-.grafie auf Elfenbein, Wach-s-
le'umand, Wachst äfft und anderen Geiveben , Email, Porcellan,
Glas u. dgl. — II. Erzeugung von Fotografien Behufs der Yervie|
(altiguug durch die Presse. — Ml Anwendungen der Fotografie.
— IV. Apparate, Instrumente, Vorrichtungen. — V. Fisikaiis. he
und chemische Bemerkungen. — VI. Verschiedenes. — Literatur.
Ein sorgfältiges Register erleichtert den Gebrauch sehr.
Möge der Herr Verfasser sein Versprechen, einen ähnlichen
Bericht für I85ti zu veröffentlichen, bald erlufteh.
Vermischte Schriften.
Annali di Mathematica pura ed applicata, pubbli-
cati da Barn aha Tortolior, ecompilati da E. Betti a Pisa,
■) Mm wird ii««n ,iiia'ilriu-.li »..hl mit lln hl ftrbrM
UterarUcher Brritht CXX
F. Bri
i a Paria,
■•. (8. LH«
igeo
A.Geuoechi a Toriaa. B. Tortoli
rar. Her.Nr. CXIX. S. 8.)
Mo. 2. (Mann e Aprile 1858), Aus dieser neuen Mumm
werden die Leser des Archivs das regelmässige Erscheinend!
neuen trefflichen mathematischen Zeitschrift, welcher wir den
gestürtesten Fnrtgang, und allen ihren hochachtbaren He
Herausgebern die ungeschlachteste Kraft bei ihrem schwierige!
Unternehmen von Herzen wünschen, ersehen. Der Inhalt di
viele treffliche Aufsatze enthaltenden neuen Nummer ist folgende
Nuove ricerche relative alla sostituzione lineare per
y.ioiie delle fuuzioni eltittiche di prima speeie, del Prof. B
Tortolini. p. 57. — Memoire sur Ea probabiiite des erreurs dans
la sonime, »u daus la innyciine de plnsieurs Observation^ par le
P.M. Jullien S. J, p. 7<i. — Intorno alla questione: riportare in
uns superÜcie piana, o sferica una figura situata in una superlieie
uualunque di rivoluzioue tahuente che le parti deli' iniagine, e
della figura abbiano le aree iu rapport» costante. Memoria de)
Prof. Delfino Codaazi. p. 89. — Note relative a la coostruc-
tion de diverses courbes a 3. points multiples des degres supe-
rieurs, et theoreme relatif ä ces courbes. Par E. de Jonquieres.
p. 110. — Note relative a une courbe du siiieme ordre qui se
presente en Astronomie. Par E. de Jonquieres, p. 110. — Di-
mostrazione di una formola di Jacobi. Nota del Prof. Francesc«
Brioschi. p. 117.
nivi-l« hihilotraflra. Intorno ad una formola
Integrati deliniti. Artirolo del Prof. F. Brioschi. p. 119. _ Sopi
una Memoria del Prof. Ottaviann Fabrizio Mossntti sotto
il titolo „Nnova tenria degli stromenti ottici," Osservazioni del
Prof. Francesco Cattaneo. (Cnntinuazione.) p. 120, — Sopra
un' opera del Sig. Dr. Georg Karl Christian v. Statidt sotto
il titolo: „Beiträge zur Geometrie der Lage." Articolo del Prof.
Luigi Cremona. p. 125.
Soggetti per premj proposti dall' accadeniia delle Scienze di
Parigi. p. 12*. — Pubblieazioni reeenti.
i
Annali di scienze matematiche e fisiche, coropilati
da Barnaba Tortolini. (S. Literar. Ber. Nr. CXIX. S. 8.)
Settembre 1857. Intnrno ad alcuni tenremi ili Duniu. Nota
del »ig. jirof. Deliino Codazzl. (Cont. e fine.) p. 321. — (>i-
stophe Rudolf. Article de M. Tor quem. p. 325. — Dimostra-
Kione deli' ultimo teorema ili Fermat. Nota del prüf. Laigi Cal-
LfltTUTltrher Bericht CX.X. i
;alnri. p. 339 — Inlomo alle super (nie le quali hamm eostaute
il prodotto de' «lue ragt»; <li corvatara. Nota del prof. Delfiitn
Codazzi. p. 346. — Hicerche analitiche sulle curve coniche
circosrritte aiT un triangoio. Dt Barnaba Tortolini. p. 356.
Dieses Journal wird nur bis zum Ende des Jahrgangs 1857
fortgesetzt, «n dann bloss die vorher angezeigten Annali di
Matematica pura ed applicata, welche schon von Anlanc
1858 an erscheinen, au dessen Stelle tritt. Wie viele Mühe rouss
alier Herrn Torlolini jetzt die Redaclinn dieser beiden Jour-
nale auf Ein Mal machen, und wie sehr verdient er dafür den
i, der Wissenschaft!
=
Mittheilunger. der naturforschenden Gesellschaft
»Bern. Nr.385-407. (Vergl. LÜerar. Her. Nr. CXV 1. 8. 15.)
Hermann Klnkelltt, Die Fundamentalgleichungen der Func-
tion T(.i). Nr. 385 und 38ö. S. ].
F. A. Fläckjger, Bemerkungen und Versuche über Oznun-
melrie. Nr, 387. S. 17.
M. Hipp, L'eber eine neue Anwendung der Elektricilät. (Be-
sieht sieb auf eine mangelhaft isolirle unterseeische Telegraphen-
leitung und scheint allerdings für die technische Telegraphie von
Bedeutung zu sein, weshalb wir auf diesen Aufsatz aufmerksam
machen.) ■ Nr. 391—3**3. S. 66.
C. Urnnoer, Ueber Darstellung und Eigenschaften des Man-
gans. Nr. 394-306, S. 73,
Koch, Meteorologische Beobachtungen in Bern, Burgdorf und
Saanen ftn Sommer und Herbst 1856. Nr. 394—396. S. 82. -
Diese Beobachtungen reichen bis November 1856 und sind fortge-
setzt vom December 1856 bis Mai 1857 in Nr, 401 -403. S. 141.
R, Wolf, Auszug aus dem Chronicon Kerneusi Abrahami
Musculi ab Anno 1581 ad Annum 1887. Nr. 397-398. S. 107.
(Enthält verschiedene meteorologische und andere Aufzeichnungen
über Erdbeben u. dergl.)
W. Beetz, Ueber die elektromagnetische Wirkung Volta'scher
Ströme verschiedener Quellen. Nr. 399—400. & 113.
Em. Schinz, Ueber das Polar - Planimeler von Prof. Anis-
ler in Schaffhausen. Nr. 404-407. S. 153. (Je mehr die Ver-
breitung und der aligemeinere Gehrauch des Amsler'schen Pla-
nimeters zu wünschen ist. desto dankenswerter ist diese, gegenüber
Ig l.ifrarl*£f>l>r ftrrteht 09KB
(1er van Herrn Ampler selbst in deiner Schrift: „l-elier i
chaiiischo Bestimm .mg .Ip* Fl liehen in hnl tu , der stat».
sehen Momente und der Trägheitsmomente ebene»
Figuren, insbesondere Aber einen neuen Plantmeter,
Schal fli ausen, A. Beck und Sohn" gegebenen eleganten,
y euigeu Schrillen zum Ziele führenden Theorie ganz elemer
gehaltene Theorie des empl'ehlenswerthen In ström ents.1
der Akademie der Wissenschaften
Paris.
Perfectionner en quelque poiut important la theo
■ geometrique des polyedres.
(Le prix ennsistera en une me'daille d'or de la valeur de
Irois mille francs. Les Memoires destines au concours
de v rollt etre remis, Tranes de pnrt, au Sekretariat de
1'Institut avant le Ir. Juillet 1861.)
Quels
peuvent 6tre
le«
Tinmt
ires de valeurs tlc
bien definies
<|lli
ennt
iennent un iiombi
lettre», et comi
nenl
peul
■ on former les fon
pour lesq uelleg il existe un nnmhre dorn
s?
(Sans exiger des coneurrents nne Solution complete,; qui
serail saus dnute bien diflicile, l'Acndemie pourra aecor-
der le prix (medVille d'or de la valeur de trois mille
francs) ä l'auteur rl'un Alemoire qui feraif faire un pro-
gres notable ä cette Iheorie. Les Memoires devroni etre
remis avant le K Juillet 1860.)
■
. I . t » «I
'*"? 1 hü*:
» . : "•
.n.
Mathematische
and physikalische Bibliographie'.
i
' Systeme, Iiehr- und Wörterbücher.
'." F. Coyteux, Expose des vrais principe« des matheraatiques,
examen critique des prinzipales th^ories ou doctrines qui ont etö
admises ou einises en cette science et reflexions au sujet de l'en-
seignement des mathdmatiques. In -8. Avec 2 pl. Paris.
J. Salomon, Lehrbuch der Elementar -Mathematik fär Ober-
Realschulen. I. Bd. 2. Aufl. gr. 8. geh. Wien. \% Thlr.
Tb. Wittstein, Kurzer Abriss der Elementar -Mathematik zum
Gebrauch für den Unterricht und bei Repositionen. 2. Aufl. gr. 8.
geh. Hannover. 8 Ngr.
Arithmetik«
F. Krancke, Arithmetisches Exempelbuch für Volksschulen.
% Hft. 82. ' Aufl. . gr. 8°. Hannover. 7i Ngr.
S. Spitzer, Bemerkungen über die Integration linearer Dif-
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hängig Variablen von der ersten Potenz sind. Lex. 8. geb. Wien.
1 Thlr.
* . S. Spitzer, Integration verschiedener linearer Differential^
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Geometrie»
W. Bluraberger, Grandzüge einiger Theorien aus der neue-
ren Geometrie in ihrer engern Beziehung auf die ebene Geometrie-
* Haue. 8. 1 .Thlr. 26 Ngr.
:-> E. üet« .und T. J. Eschweiler, Lehrbuch der Geometrie
■um Gebrauche an höheren Lehranstalten. I. Tbl..; Planimetrie*
2. Aufl. gr. 8. geb. Köln. J Thlr.
OeodHsIe.
J. J. Baeyer, Die Verbindungen der preussischen und nii-
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der trigonometrischen Abtheilung des Generalstabs. 4. cart. Ber-
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Mechanik.
B. Peierie, Physical and Celestial Mechanics. Developed
inFour Systems of Analytic Mechanics, Celestial Mechanics, Poten-
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48 6.
Praktische Mechanik.
J. B. Belanger, Theorie de (a resislance et de la flexinn
plane de» solides dont le» dimensions transversales sont p etiles
relativement ä leur longueur. In -8. avec une pl. Paris. 3 fr.
P. Kittinger, Ceutritugal- Ventilatoren und Centrifugal- Pum-
pen. Theorie und Bau aller Arten derselben, mit Berücksichtigung
der Resultate zahlreicher selbstuusgefiihrter Versuche. Wien. 8.
Mit 7 Tab. 2 Thlr. 15 Ngr.
!.,
Optik.
Theorie des Regenbogens in fass-
geh. Jena. 271 Ngr.
s; verlieteringen van het mikrnskoop
Tief. 8. MU2Taf. J Thlr. Iri Ngr.
dioptrisuhe Untersuchungen. Lex. 8.
A. E. Aderhetdt, Dt
lieber Darstellung, qu. Fol
P. Harting, De nieu«
en ziju gebruik sedert 1850.
J. Potzval, Bericht üb<
geh. Wien, i Thlr.
Astronomie.
J. E. Bode's Anleitung zur Kenntniss des gestirnten Him-
mels. Herausgesehen von C. Bremilter. 11. Ausg. 2. und3. Lief.
gr. 8. geh. Berlin, ä 10 Ngr.
A. Cnester.i Sonnenfinsternlss am Nachmittag des 15. März 1868,
zunächst für Berlin und Potsdam, beziehungsweise für Hamburg
berechnet und dargestellt. 1 Blatt in 4. aufgezogen. Cassel. J Thlr.*
Handatlas der Erde und des Himmels in 70 Lief. Neu red.
Ausgabe. 21. 22. Lief. qu. Imp.-Fol. Weimar, ä 10 Ngr.
Astronomische Nachrichten, begründet von H. C. Schuma-
cher, fortges. von P.A. Hansen und C. A. F. Peters. 48. 49. Bd.
Nu. 1. gr. 4. Hamburg. a Bd. 5 Thlr.
A. M. Neil, Der Planetenlauf, eine graphische Darstellung
der Bahnen der Planeten, um mit Leichtigkeit ihren jedesmaligen
Ort unter den Gestirnen auf eine Reihe von Jahren voraus ia
bestimmen. Mit Atlas, gr. 8. geh. Braunscbweig. U Thlr.
W. Oeltzen, Argelander's Zonen-Beobachtungen vom löten
bis 3l8ten Grade südl. Declination in mittleren Positionen für
1850. Lex. 8. geb. Wien. 14 Ngr.
F. Piper, Karls des Grossen Kalendarium und Ostertafel
aus der Pariser Urschrift, herausgegeb. und erläut. nebst einer
Abhandlung Ober die lateinischen und griechischen Ostercyklen des
Mittelalters. Lex. 8. Geh. Berlin. I Thlr.
HTautlk.
C. Bremiker, Nautisches Jahrbuch oder vollständige Ephe-
meriden und Tafeln für das Jahr 1860 zur Bestimmung der Länge»
Breite und Zeit zur See nach astronomischen Beobachtungen, gr. 8.
geb. Berlin. 15 Ngr.
Physik.
M. Benedikt, Geber die Abhängigkeit des elektrischen Lei
tungswiderstandes von der Grosse und Dauer des Stromes. Lex. 8.
geh. Wien. 2 Ngr.
Calculs pratiques applique's aux scienees d'observation, par
MM. Babinet et Housel. Paris. 8. 2 Thlr.
Die Fortschritte der Physik im Jahre 1855. 11. Jahrg. Red.
von A. Krön ig. 1. Abth. gr. 8. geh. Berlin. 2 Thlr.
G. W. Hankel, Elektrische Untersuchungen, dritte Abband-
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Salzen, gr. Lex. 8. geh. Leipzig. 16 Ngr.
Observations m&äorologiques faites ä Nijne* - Taguilsk (monts
Ourals, gouvernement de Perm). R4sume* des dix annees 1845
—1854 et annle 1855. Paris. 8.
J. J. Pohl, Ceber den Gebrauch des Thermo -Hypsometers
iu chemischen und physikalischen Untersuchungen. Lex. 8. geh.
Wien. 4 Ngr.
J. F. J. Schmidt, Untersuchungen über die Leistungen der
Bourdon' sehen Metallbarometer mit Hinweisung auf den Nutzen
dieser Instrumente für die Marine. 4. geh. Olmütz. | Thlr«
Vermischte Schriften*
Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissenschaften.
Mathematisch -naturwissenschaftliche Gasse. 25. Bd. 2« Hfl. Lex. 8.
geh. Wien. 1 Thlr. 4 Ngr.
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